Декартово произведение отрезка и окружности – : —

3. Найти середину отрезка.

Пусть АВ — данный отрезок. Построим две окружности одного радиуса с центрами А и В (рис. 14). Они пересекаются в точках С и С’, лежащих в разных полуплоскостях относительно прямой АВ. Проведем прямую СС’. Она пересечет прямую АВ в точке О. Эта точка и есть середина отрезка А В.

Действительно, треугольники САС’ и СВС’ равны по трем сторонам. Отсюда следует равенство углов АСО и ОСВ. Значит, отрезок СО — биссектриса равнобедренного треугольника АСВ и, следовательно, его медиана, т.е. точка О — середина отрезка АВ.

4. Построить биссектрису данного угла.

Из вершины А данного угла как из центра описываем окружность произвольного радиуса (рис. 15). Пусть В и С — точки ее пересечения со сторонами угла. Из точек В и С описываем окружности одного радиуса. ПустьD — точка их пересечения, отличная от А. Тогда полупрямая АD и есть биссектриса угла А. Докажем это. Для этого рассмотрим треугольники АВD и АСD. Они равны по трем сторонам. Отсюда следует равенство соответствующих углов DАВ и DАС, т.е. луч АD делит угол ВАС пополам и, следовательно, является биссектрисой.

5. Через данную точку провести прямую, перпендикулярную данной прямой.

Пусть даны точка О и прямая а. Возможны два случая:

1) точка О лежит на прямой а;

2) точка О не лежит на прямой а.

В первом случае построение выполняется так же, как и в задаче 4, потому что перпендикуляр из точки О, лежащей на прямой, — это биссектриса развернутого угла (рис. 16).

Во втором случае из точки О как из центра проводим окружность, пересекающую прямую а (рис. 17), а затем из точек А и В тем же радиусом проводим еще две окружности. Пусть О’ — точка их пересечения, лежащая в полуплоскости, отличной от той, в которой лежит точка О. Прямая 00′ и есть перпендикуляр к данной прямой а. Докажем это.

Обозначим через С точку пересечения прямых АВ и ОО’. Треугольники АОВ и АО’В равны по трем сторонам. Поэтому угол ОАС равен углу О’АС и, значит, треугольники ОАС и О’АС равны по двум сторонам и углу между ними. Отсюда их углы АСО и АСО’ равны. А так как углы смежные, то они прямые. Таким образом, ОС есть перпендикуляр к прямой а.

9. Преобразования геометрических фигур. Понятие преобразования

Главной задачей геометрии является обоснование правил построения фигур с заданными свойствами. Но при построении используется понятие равенства фигур, определить которое можно через понятие преобразования.

Пусть задана некоторая фигура Р и каждой точке фигуры Р поставлена в соответствие единственная точка плоскости. Множество точек, сопоставленных точкам фигуры Р, является некоторой фигурой Р’, вообще говоря, отличной от Р. Говорят, что фигура Р’ получена преобразованием фигуры Р. Можно сказать также, что фигура Р’ является образом фигуры Р для данного преобразования, а фигура Р — прообразом фигуры Р’.

Если А’ — точка фигуры Р’, соответствующая точке А фигуры Р, то говорят, что А’ — образ точки А, а точка А — прообраз точки А’.

Преобразования, изучаемые в геометрии, как правило, являются взаимно однозначными, т.е. такими, при которых разным точкам фигуры соответствуют разные образы. Простейший случай взаимно однозначного преобразования — это преобразование, при котором каждой точке А фигуры вставится в соответствие эта же точка, т.е. образом фигуры Р является сама эта фигура. Такое преобразование называется тождественным преобразованием.

Рассмотрим примеры преобразований фигур.

studfiles.net

декартово произведение — ПриМат

Декартовым (или прямым) произведением множеств $A$ и $B$ называется такое результирующее множество пар вида $(x,y)$, построенных таким образом, что первый элемент из множества $A$, а второй элемент пары —  из множества $B$. Общепринятое обозначение:

$ A\times B = \{(x,y)|x \in A, y \in B \}$

Произведения трёх и более множеств можно построить следующим образом:

$ A\times B\times C = \{(x,y,z)|x \in A, y \in B, z \in C \}$

Произведения вида $  A\times A, A\times A\times A, A\times A\times A\times A$ и т.д. принято записывать в виде степени: $A^2, A^3, A^4$ (основание степени — множество-множитель, показатель — количество произведений). Читают такую запись как «декартов квадрат» (куб и т.д.). Существуют и другие варианты чтения для основных множеств. К примеру, $  \mathbb{R}^n$ принято читать как «эр энное».

Рассмотрим несколько свойств декартова произведения:

  1. Если $A, B$ — конечные множества, то $A\times B$ — конечное. И наоборот, если одно из множеств-сомножителей бесконечное, то и результат их произведения — бесконечное множество.
  2. Количество элементов в декартовом произведении равно произведению чисел элементов множеств-сомножителей (в случае их конечности, разумеется): $|A\times B| = |A| \cdot |B|$.
  3. $A^{np} \ne (A^n)^p$ — в первом случае целесообразно рассмотреть результат декартова произведения как матрицу размеров $1\times np$, во втором же — как матрицу размеров $n\times p$.
  4. Коммутативный закон не выполняется, т.к. пары элементов результата декартова произведения упорядочены: $A\times B \ne B\times A$.
  5. Ассоциативный закон не выполняется: $(A\times B)\times C \ne A\times (B\times C)$.
  6. Имеет место дистрибутивность относительно основных операциях на множествах: $(A * B)\times C = (A\times C) * (B\times C), * \in \{\cap, \cup, \backslash \}$
  1. Положим $ A = \{1,2\}, B = \{3, 4\}$. Тогда результат декартова произведения можно записать так: $  A\times B = \{(1,3), (1,4), (2,3), (2,4)\}$, а $  B\times A = \{(3,1), (3,2), (4,1), (4,2)\}$
  2. Если в предыдущем примере положить $B=A$, очевидно, что $  A\times B = B\times A = \{(1,3), (1,4), (2,3), (2,4)\}$
  3. Возьмём $  A = \{x \in \mathbb{R}|0\leq x \leq 5\}, B = \{x \in \mathbb{R}|5\leq x \leq 10\}$. Тогда $  A\times B = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2|0\leq x \leq 5 \wedge 5\leq x \leq 10\}$
  4. Множества декартова произведения могут и не быть привычными числовыми множествами: $A = \{\circ, \diamond\}, B = \{2,8\}, A\times B = \{(\circ,2),(\circ,8),(\diamond,2),(\diamond,8)\}$
  5. Спойлер


    Множество точек некой функции $f(x)$ можно отождествить как подмножество множества $\mathbb{R}^2$: $F = \{(x,y)\in \mathbb{R}^2 | f(x) = y\}$

    [свернуть]

  6. Спойлер


    Множество клеток игрового поля «Морского боя» можно представить в виде декартова произведения множеств $A = \{1,2,3,4,5,6,7,8\}, B =\{A,B,C,D,E,F,G,H\}$

    [свернуть]

С помощью декартова произведения множеств определяется понятие бинарного отношения. Кроме этого, декартово произведение используется очень часто для обозначения множества числовых наборов, особенно в математическом анализе.

Часто говорят, например, что некая функция $f$ действует следующим образом: $f:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}$ (числовая функция $n$ переменных).

  1. Белозёров Г.С. Конспект по алгебре и геометрии.
  2. Ануфриенко С.А. — Введение в теорию множеств и комбинаторику. Екатеринбург: Уральский государственный университет им. А.М. Горького, 1998 (стр. 11-13).

Декартово произведение множеств

Лимит времени: 0

Информация

Тест предназначен для проверки знаний по теме «Декартово произведение множеств».

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается…

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

  1. С ответом
  2. С отметкой о просмотре
  1. Задание 1 из 6

    Какая из представленных записей является правильной записью определения декартова произведения множеств?

    Правильно

    Неправильно

  2. Задание 2 из 6

    Выберите два правильно построенных декартова произведения.

    • $A=\{0, 1\}, B=\{a, b\}, A\times B = \{(0,a), (0, b), (1, a),$ $(1, b)\}$
    • $A=\{2,3\}, B=\{\oplus , \ominus \}, C = \{\alpha, \beta \}, A \times B \times C =$ $\{(2, \oplus, \alpha), (2, \oplus, \beta), (2, \ominus, \alpha), (2, \ominus, \beta),(3, \oplus, \alpha),$ $(3, \oplus, \beta), (3, \ominus, \alpha), (3, \ominus, \beta) \}$
    • $A=\{f, g\} B = \{f\}, A\times B = \{(f, f), (f, g), (g, f), (g, g)\}$
    • $A=\{2,3\}, B=\{\oplus , \ominus \}, C = \{\alpha, \beta \}, A \times B \times C =$ $\{(2, \oplus, \alpha), (2, \oplus, \beta), (2, \ominus, \alpha), (3, \ominus, \beta),(3, \oplus, \alpha),$ $(3, \oplus, \beta), (3, \ominus, \alpha) \}$

    Правильно

    Неправильно

  3. Задание 3 из 6

    Выберите правильное утверждение.
    $A,B,C$ — произвольные непустые множества.

    Правильно

    Неправильно

  4. Задание 4 из 6

    Выберите те пары, которые принадлежат произведению $A\times B$, где $A=\{x \in \mathbb{N} | 1 \le x \le 10\}$, а $B=\{x \in \mathbb{R} | x^2 > 9\}$

    • $(3, 3.101), (9, 4), (1, -4)$
    • $(8, -7), (5, 14), (2, -12)$
    • $(4, -7), (5, -2.84), (7, -14)$
    • $(11, -7), (3, 9), (1, -17)$

    Правильно

    Неправильно

  5. Задание 5 из 6

    Запишите хотя бы одну пару, принадлежащую $A\times B$.
    Пример ввода: (2,3)
    $A = \{0, 3\}, B = \{-1, 1\}$

    Правильно

    Неправильно

  6. Задание 6 из 6

    Отсортируйте произведения по количеству элементов в результирующих множествах (от большего к меньшему).

    • $A\times B$, причём $A = \mathbb{N}$, а $B = \{-3, 3, 18\}$

    • $A\times B$, причём $A = \{1, 9, 33\}$, а $B = \{-0.35, -0.45, -0.55\}$

    • $A\times B$, причём $A = \{9, 81\}$, а $B = \{7, 49\}$

    • $A\times B$, причём $A = \{1, 2\}$, а $B = \{ \oplus \}$

    Правильно

    Неправильно

Поделиться ссылкой:

ib.mazurok.com

Свойства операции нахождения декартова произведения


ТОП 10:

1) Так как декартовы произведения А´B и В´А состоят из различных элементов, то операция нахождения декартова произведения множеств свойством коммутативности не обладает.

2) Аналогично рассуждая, можно доказать, что для этой операции не выполняется и свойство ассоциативности.

3) Но она дистрибутивна относительно объединения и вычитания множеств, т.е. для любых множеств А, В и С выполняются равенства:

(AÈB) ´ С = (A ´ С) È (B ´ С), (A \ B) ´ С = (A ´ С) \ (B ´ С).

Пример

Проверьте справедливость свойства дистрибутивности декартова произведения относительно объединения, если: А = {3; 4; 5}, В = {5; 7}, С = {7; 8}.

Решение. Найдем объединение множеств А и В: AÈB = {3; 4; 5;7}. Далее перечислим элементы множества (AÈB) ´ С, используя определение декартова произведения: (AÈB) ´ С = {(3; 7), (3; 8), (4; 7), (4; 8), (5; 7), (5; 8), (7; 7), (7; 8)}.

Чтобы найти элементы множества (A ´ С) È (B ´ С), перечислим сначала элементы множеств А ´ С и В ´ С:

А ´ С = {(3; 7), (3; 8), (4; 7), (4; 8), (5; 7), (5; 8)}

В ´ С = {(5; 7), (5; 8), (7; 7), (7; 8)}.

Найдем объединение полученных декартовых произведений:

(A ´ С) È (B ´ С) = {(3; 7), (3; 8), (4; 7), (4; 8), (5; 7), (5; 8), (7; 7), (7; 8)}.

Видим, что множества (AÈB) ´ С и (A ´ С) È (B ´ С) состоят из одних и тех же элементов, следовательно, для данных множеств А, В и С справедливо равенство (AÈB) ´ С = (A ´ С) È (B ´ С).

Выясним теперь, как можнонаглядно представить декартово произведение множеств.

· Если множества А и В конечны и содержат небольшое число элементов, то можно изобразить декартово произведение этих множеств при помощи таблицы или графа.

Пример

Декартово произведение множеств А = {1; 2; 3} и В = {3; 5} можно представить так, как показано на рисунке 1 и 2

 

 

(1,3) (1,5)
(2,3) (2,3)
(3,3) (3,3)

Рис. 1

· Декартово произведение двух числовых множеств (конечных и бесконечных) можно изображать на координатной плоскости, так как каждая пара чисел может быть единственным образом изображена точкой на этой плоскости.

Способ наглядного представления декартова произведения двух числовых множеств удобно использовать в случае, когда хотя бы одно из них бесконечное.

Пример

Изобразите на координатной плоскости декартово произведение A ´ В, если:

а) А = {1; 2; 3} и В = [3; 5];

б) А = [1; 3], В = [3; 5];

в) А = R, В = [3; 5];

г) А = R, В = R.

Решение

а) Так как множество А состоит из трех элементов, а множество В содержит все действительные числа о т 3 до 5, включая и сами эти числа, то декартово произведение A ´ В будет состоять из бесконечного множества пар, первая компонента которых либо 1, либо 2, либо 3, а вторая – любое действительное число из промежутка [3; 5]. Такое множество пар действительных чисел на координатной плоскости изобразится тремя отрезками.

у

 

1 2 3 х

б) В этом случае бесконечны оба множества А и В. Поэтому первой координатой может быть любое число из промежутка [1; 3], и, следовательно, точки, изображающие элементы декартова произведения данных множеств А и В, образуют квадрат. Чтобы подчеркнуть, что элементы декартова произведения изображаются и точками, лежащими внутри квадрата, этот квадрат можно заштриховать.

у

3

1 2 х

в) Этот случай отличается от предыдущих тем, что множество А состоит из всех действительных чисел, т.е. абсцисса точек, изображающих элементы множества A ´ В, принимает все действительные значения, в то время как ордината выбирается из промежутка [3; 5]. Множество таких точек образует полосу.

y

 

х

г) Декартово произведение R´R состоит из всевозможных действительных чисел. Точки, изображающие эти пары, сплошь заполняют координатную плоскость. Таким образом, декартово произведение R´R содержит столько же элементов, сколько точек находится на координатной плоскости.

Кортеж. Длина кортежа

В математике и других науках рассматривают не только упорядоченные пары, но и упорядоченные наборы из трех, четырех и т.д. элементов. Например, запись числа 367 – это упорядоченный набор из трех элементов, а запись слова «математика» – это упорядоченный набор из 10 элементов.

Упорядоченные наборы часто называют кортежамии различают по длине. Длина кортежа – это число элементов, из которых он состоит. Например, (3; 6; 7) – это кортеж длины 3, (м, а, т, е, м, а, т, и, к, а) – это кортеж длины 10.

Рассматривают в математике и декартово произведение трех, четырех и вообще n множеств.

Определение. Декартовым произведением множеств А1, А2, …, Аn называется множество всех кортежей длины n, первая компонента которых принадлежит множеству А1, вторая – множеству А2, …, n – я – множеству Аn.

Декартово произведение множеств А1, А2, …, Аnобозначают так: А1´ А2´ …´ Аn.

Пример

Даны множества: А1= {2, 3}, А2= {3, 4, 5}, А3 = {6, 7}. Найти А1´ А2 ´А3.

Решение

Элементами множества А1´ А2 ´А3 будут кортежи длины 3 такие, что первая их компонента принадлежит множеству А1, вторая – множеству А2, третья – множеству А3.

А1´ А2 ´А3 ={(2,3,6), (2,3,7), (2,4,6), (2,4,7), (2,5,6), (2,5,7), (3,3,6), (3,3,7),(3,4,6), (3,4,7), (3,4,7),(3,5,6), (3,5,7)}.

 




infopedia.su

1.1.6. Декартово произведение множеств | Решение задач по математике и д

Пусть имеется два множества A и B (не обязательно ).

Определение. Декартовым (или прямым) произведением множеств A и B называется множество всех упорядоченных пар вида (A, B), где первый элемент , а второй — :

Множества A и B предполагаются непустыми. В противном случае, если или , то .

Если, например, , , то:

Вообще говоря, , за исключением случая, когда . Тогда произведение называется декартовым квадратом множества A и обозначается: . Если — множество действительных чисел, то можно рассматривать, как координатную плоскость, отождествив пару (A, B) с точкой, имеющей координаты и Y = b.

В частности, если имеются отрезки , , то представляет собой прямоугольник на координатной плоскости Y.

Всякая кривая Г на плоскости может быть истолкована как подмножество R2, определяемое некоторым условием (уравнением): .

Аналогично определяется декартовое произведение любого количества непустых множеств.

Именно, пусть заданы множества A1, A2, …, AN. Тогда N-кой (кортежем) называется упорядоченный набор (A1, A2, …, AN), такой что . Множество всех таких N-ок называется декартовым произведением множеств A1, A2, …, AN и обозначается . В частности, если все , то называется N-ой декартовой степенью множества A.

Замечание. Вообще говоря, . Действительно, следует рассматривать как множество матриц , а — кортежи, не учитывающие матричной структуры.

Таким образом, уже из данного примера следует, что ассоциативный закон для

Декартового произведения множеств не выполняется.

Но дистрибутивные законы относительно È, Ç и \ имеют место:

В любом случае, операция “” существенно отличается от предшествующих операций на множествах в том плане, что декартово произведение множеств из данного универсального множества U Уже не принадлежит U.

< Предыдущая   Следующая >

matica.org.ua

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *