На графике производная – График производной функции

Задачи В9. Применение производной к исследованию функции

Часть 3.

Здесь смотрите части 1, 2, 4

Продолжаем разбор  Задач №8 ЕГЭ по математике.

Сегодня нам понадобится при решении задач следующая таблица, показывающая связь знака производной с характером монотонности функции.

Пожалуйста, будьте предельно внимательны в следующем. Смотрите, график ЧЕГО вам дан! Функции или ее производной

Если дан график производной, то интересовать нас будут только знаки функции и нули. Никакие «холмики» и «впадины» не интересуют нас в принципе!

 

Задача 1.

На рисунке изображен график функции , определенной на интервале . Определите количество целых точек, в которых производная функции  отрицательна.

Решение: + показать

Задача 2.

На рисунке изображен график функции , определенной на интервале . Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой или совпадает с ней.

Решение:+ показать

Задача 3.

На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале . Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции   параллельна прямой   или совпадает с ней.

Решение: + показать

Задача 4.

На рисунке изображен график функции  , определенной на интервале . Найдите количество точек, в которых производная функции   равна 0.

Решение: + показать

Производная равна нулю в точках экстремума. У нас их 4:

Ответ: 4. 

Задача 5.

На рисунке изображён график функции  и одиннадцать точек на оси абсцисс:. В скольких из этих точек производная функции отрицательна?

Решение: + показать

На промежутках убывания  функции  её производная принимает отрицательные значения. А убывает  функция в точках. Таких точек 4.

Ответ: 4. 

Задача 6.

На рисунке изображен график функции , определенной на интервале . Найдите сумму точек экстремума функции .

Решение: + показать

Точки экстремума – это точки максимума (-3, -1, 1) и точки минимума (-2, 0, 3).

Сумма точек экстремума: -3-1+1-2+0+3=-2.

Ответ: -2. 

Задача 7.

На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале . Найдите промежутки возрастания функции . В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.

Решение: 

+ показать

Задача 8.

На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале . Найдите промежутки возрастания функции . В ответе укажите длину наибольшего из них.

Решение: + показать

На рисунке выделены цветом все промежутки, на которых производная положительна, а значит  сама функция возрастает на этих промежутках.

 

Длина наибольшего из них – 6.

Ответ: 6. 

Задача 9.

На рисунке изображен график производной функции  , определенной на интервале . В какой точке отрезка    принимает наибольшее значение.

Решение: + показать

Задача 10.

На рисунке изображен график   — производной функции , определенной на интервале . Найдите количество точек максимума функции , принадлежащих отрезку .

 Решение: + показать

На рисунке изображен график производной, значит нас на этом рисунке будут интересовать только знаки и нули производной.

Мы видим на рисунке на указанном отрезке  () три нуля у . Причем, производная мняет знак при переходе через них. Это точки  экстремума функции (точки максимума и минимума).

При этом производная меняет знак с «+» на «-» в  точке 8, помеченной красным цветом, и с «-» на «+» в двух точках (3 и 12), помеченных синим цветом.

Так вот при переходе через точку максимума  функция меняет   возрастание на  убывание, а значит производная меняет знак с  «+» на «-».

Итак, точка максимума одна (помечена красным цветом).

Ответ: 1. 

Задача 11.

На рисунке изображен график функции   и отмечены точки -3, 1, 6, 8. В какой из этих точек значение производной наименьшее? В ответе укажите эту точку.

Решение: + показать

Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной. В свою очередь,  угловой коэффициент касательной  равен тангенсу угла наклона данной касательной к оси .

В точке -3 (точка минимума) производная равна нулю.

В точке 6 производная положительна, так как точки лежат на промежутке возрастания функции.

А вот в точках 1 и 8 производная отрицательна.

При этом в точке 8 угол наклона касательной явно меньше, чем в точке 1.

Поэтому в точке 8 тангенс угла наклона будет наименьшим, а значит и значение производной, будет наименьшее.

Ответ: 8. 

🙂 Самое время немного отдохнуть. Неправда ли? –>+ показать

Вам было нелегко?.. 

Этим ребятам, наверное, тоже не сладко… Не сдавайтесь!

 

Вы можете пройти тест «Применение производной к исследованию функции»

egemaximum.ru

График производной функции

С помощью графика производной функции можно определить точки экстремума и промежутки монотонности функции Для этого достаточно помнить, что:

1. функция возрастает на промежутках, где производная
2. функция убывает на промежутках, где производная
3. функция имеет критические точки, где производная или не существует.

   Замечание. Это верно только для внутренних точек области определения, точки на концах области определения не рассматриваются.

4. функция имеет точки экстремума там, где производная меняет свой знак. В частности, функция имеет точки максимума там, где производная меняет знак с плюса на минус; и точки минимума – там, где производная меняет знак с минуса на плюс.

Примеры работы с графиками производной

Замечание. Таким образом, точками экстремума на графике производной являются те точки, в которых график не касается, а пересекает ось абсцисс.

По графику производной можно не только исследовать поведение функции , но и попытаться схематически построить ее график. Поскольку для одной функции первообразных существует бесконечное множество, график функции по графику производной можно построить лишь схематично: точки экстремума и промежутки возрастания и убывания функции можно определить можно, а нули функции и экстремумы – нет.

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

ru.solverbook.com

Задача 7 — геометрический смысл производной

15 марта 2011

В задаче B9 дается график функции или производной, по которому требуется определить одну из следующих величин:

1. Значение производной в некоторой точке x₀,
2. Точки максимума или минимума (точки экстремума),
3. Интервалы возрастания и убывания функции (интервалы монотонности).

Функции и производные, представленные в этой задаче, всегда непрерывны, что значительно упрощает решение. Не смотря на то, что задача относится к разделу математического анализа, она вполне по силам даже самым слабым ученикам, поскольку никаких глубоких теоретических познаний здесь не требуется.

Для нахождения значения производной, точек экстремума и интервалов монотонности существуют простые и универсальные алгоритмы — все они будут рассмотрены ниже.

Внимательно читайте условие задачи B9, чтобы не допускать глупых ошибок: иногда попадаются довольно объемные тексты, но важных условий, которые влияют на ход решения, там немного.

Вычисление значения производной. Метод двух точек

Если в задаче дан график функции f(x), касательная к этому графику в некоторой точке x₀, и требуется найти значение производной в этой точке, применяется следующий алгоритм:

1. Найти на графике касательной две «адекватные» точки: их координаты должны быть целочисленными. Обозначим эти точки A (x₁; y₁) и B (x₂; y₂). Правильно выписывайте координаты — это ключевой момент решения, и любая ошибка здесь приводит к неправильному ответу.
2. Зная координаты, легко вычислить приращение аргумента Δx = x₂ − x₁ и приращение функции Δy = y₂ − y₁.
3. Наконец, находим значение производной D = Δy/Δx. Иными словами, надо разделить приращение функции на приращение аргумента — и это будет ответ.

Еще раз отметим: точки A и B надо искать именно на касательной, а не на графике функции f(x), как это часто случается. Касательная обязательно будет содержать хотя бы две таких точки — иначе задача составлена некорректно.

Задача. На рисунке изображен график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x₀. Найдите значение производной функции f(x) в точке x₀.

Рассмотрим точки A (−3; 2) и B (−1; 6) и найдем приращения:
Δx = x₂ − x₁ = −1 − (−3) = 2; Δy = y₂ − y₁ = 6 − 2 = 4.

Найдем значение производной: D = Δy/Δx = 4/2 = 2.

Задача. На рисунке изображен график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x₀. Найдите значение производной функции f(x) в точке x₀.

Рассмотрим точки A (0; 3) и B (3; 0), найдем приращения:
Δx = x₂ − x₁ = 3 − 0 = 3; Δy = y

2 − y₁ = 0 − 3 = −3.

Теперь находим значение производной: D = Δy/Δx = −3/3 = −1.

Задача. На рисунке изображен график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x₀. Найдите значение производной функции f(x) в точке x₀.

Рассмотрим точки A (0; 2) и B (5; 2) и найдем приращения:
Δx = x₂ − x₁ = 5 − 0 = 5; Δy = y₂ − y₁ = 2 − 2 = 0.

Осталось найти значение производной: D = Δy/Δx = 0/5 = 0.

Из последнего примера можно сформулировать правило: если касательная параллельна оси OX, производная функции в точке касания равна нулю. В этом случае даже не надо ничего считать — достаточно взглянуть на график.

Вычисление точек максимума и минимума

Иногда вместо графика функции в задаче B9 дается график производной и требуется найти точку максимума или минимума функции. При таком раскладе метод двух точек бесполезен, но существует другой, еще более простой алгоритм. Для начала определимся с терминологией:

1. Точка x₀ называется точкой максимума функции f(x), если в некоторой окрестности этой точки выполняется неравенство: f(x₀) ≥ f(x).
2. Точка x₀ называется точкой минимума функции f(x), если в некоторой окрестности этой точки выполняется неравенство: f(x₀) ≤ f(x).

Для того чтобы найти точки максимума и минимума по графику производной, достаточно выполнить следующие шаги:

1. Перечертить график производной, убрав всю лишнюю информацию. Как показывает практика, лишние данные только мешают решению. Поэтому отмечаем на координатной оси нули производной — и все.
2. Выяснить знаки производной на промежутках между нулями. Если для некоторой точки x₀ известно, что f’(x₀) ≠ 0, то возможны лишь два варианта: f’(x₀) ≥ 0 или f’(x₀) ≤ 0. Знак производной легко определить по исходному чертежу: если график производной лежит выше оси OX, значит f’(x) ≥ 0. И наоборот, если график производной проходит под осью OX, то f’(x) ≤ 0.
3. Снова проверяем нули и знаки производной. Там, где знак меняется с минуса на плюс, находится точка минимума. И наоборот, если знак производной меняется с плюса на минус, это точка максимума. Отсчет всегда ведется слева направо.

Эта схема работает только для непрерывных функций — других в задаче B9 не встречается.

Задача. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на отрезке [−5; 5]. Найдите точку минимума функции f(x) на этом отрезке.

Избавимся от лишней информации — оставим только границы [−5; 5] и нули производной x = −3 и x = 2,5. Также отметим знаки:

Очевидно, в точке x = −3 знак производной меняется с минуса на плюс. Это и есть точка минимума.

Задача. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на отрезке [−3; 7]. Найдите точку максимума функции f(x) на этом отрезке.

Перечертим график, оставив на координатной оси только границы [−3; 7] и нули производной x = −1,7 и x = 5. Отметим на полученном графике знаки производной. Имеем:

Очевидно, в точке x = 5 знак производной меняется с плюса на минус — это точка максимума.

Задача. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на отрезке [−6; 4]. Найдите количество точек максимума функции f(x), принадлежащих отрезку [−4; 3].

Из условия задачи следует, что достаточно рассмотреть только часть графика, ограниченную отрезком [−4; 3]. Поэтому строим новый график, на котором отмечаем только границы [−4; 3] и нули производной внутри него. А именно, точки x = −3,5 и x = 2. Получаем:

На этом графике есть лишь одна точка максимума x = 2. Именно в ней знак производной меняется с плюса на минус.

Небольшое замечание по поводу точек с нецелочисленными координатами. Например, в последней задаче была рассмотрена точка x = −3,5, но с тем же успехом можно взять x = −3,4. Если задача составлена корректно, такие изменения не должны влиять на ответ, поскольку точки «без определенного места жительства» не принимают непосредственного участия в решении задачи. Разумеется, с целочисленными точками такой фокус не пройдет.

Нахождение интервалов возрастания и убывания функции

В такой задаче, подобно точкам максимума и минимума, предлагается по графику производной отыскать области, в которых сама функция возрастает или убывает. Для начала определим, что такое возрастание и убывание:

1. Функция f(x) называется возрастающей на отрезке [a; b] если для любых двух точек x₁ и x₂ из этого отрезка верно утверждение: x₁ ≤ x₂ ⇒ f(x₁) ≤ f(x₂). Другими словами, чем больше значение аргумента, тем больше значение функции.
2. Функция f(x) называется убывающей на отрезке [a; b] если для любых двух точек x₁ и x₂ из этого отрезка верно утверждение: x₁ ≤ x₂ ⇒ f(x₁) ≥ f(x₂). Т.е. большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Сформулируем достаточные условия возрастания и убывания:

1. Для того чтобы непрерывная функция f(x) возрастала на отрезке [a; b], достаточно, чтобы ее производная внутри отрезка была положительна, т.е. f’(x) ≥ 0.
2. Для того чтобы непрерывная функция f(x) убывала на отрезке [a; b], достаточно, чтобы ее производная внутри отрезка была отрицательна, т.е. f’(x) ≤ 0.

Примем эти утверждения без доказательств. Таким образом, получаем схему для нахождения интервалов возрастания и убывания, которая во многом похожа на алгоритм вычисления точек экстремума:

1. Убрать всю лишнюю информацию. На исходном графике производной нас интересуют в первую очередь нули функции, поэтому оставим только их.
2. Отметить знаки производной на интервалах между нулями. Там, где f’(x) ≥ 0, функция возрастает, а где f’(x) ≤ 0 — убывает. Если в задаче установлены ограничения на переменную x, дополнительно отмечаем их на новом графике.
3. Теперь, когда нам известно поведение функции и ограничения, остается вычислить требуемую в задаче величину.

Задача. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на отрезке [−3; 7,5]. Найдите промежутки убывания функции f(x). В ответе укажите сумму целых чисел, входящих в эти промежутки.

Как обычно, перечертим график и отметим границы [−3; 7,5], а также нули производной x = −1,5 и x = 5,3. Затем отметим знаки производной. Имеем:

Поскольку на интервале (− 1,5) производная отрицательна, это и есть интервал убывания функции. Осталось просуммировать все целые числа, которые находятся внутри этого интервала:
−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.

Задача. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на отрезке [−10; 4]. Найдите промежутки возрастания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них.

Избавимся от лишней информации. Оставим только границы [−10; 4] и нули производной, которых в этот раз оказалось четыре: x = −8, x = −6, x = −3 и x = 2. Отметим знаки производной и получим следующую картинку:

Нас интересуют промежутки возрастания функции, т.е. такие, где f’(x) ≥ 0. На графике таких промежутков два: (−8; −6) и (−3; 2). Вычислим их длины:
l₁ = − 6 − (−8) = 2;
l₂ = 2 − (−3) = 5.

Поскольку требуется найти длину наибольшего из интервалов, в ответ записываем значение l₂ = 5.

Смотрите также:

1. Задача 7: касательная к графику функции
2. Задача 7: касательная к графику функции — 2
3. Пробный ЕГЭ-2011 по математике, вариант №4
4. Пробный ЕГЭ 2012. Вариант 1 (без логарифмов)
5. Так сокращать дроби нельзя!
6. Быстрое возведение чисел в квадрат без калькулятора

www.berdov.com

График второй производной

Рассмотрим, что можно сказать о функции, анализируя график ее второй производной.

Что мы знаем связи второй производной

   

с исходной функцией y=f(x)?

1) Функция y=f(x) выпукла вниз на промежутках, где вторая производная положительна

   

2) Функция y=f(x) выпукла вверх на промежутках, где вторая производная отрицательна

   

3) Функция y=f(x) имеет критические точки второго рода в точках, в которых вторая производная равна нулю или не существует (речь идет только о внутренних точках области определения функции. Точки на концах области определения не рассматриваем).

4) Функция y=f(x) имеет точки перегиба в точках, в которых вторая производная  меняет знак.

5) С учетом того, что x0 — точка максимума функции f(x), если

   

точки максимума, если они есть, на графике второй производной лежат ниже оси OX.

Соответственно, x* — точка минимума функции f(x), если

   

поэтому точки минимума, если они есть, на графике второй производной лежат выше оси OX.

Пример.

На промежутках (x1; x2) и (x3;x5) вторая производная неотрицательна (в точке x4 она равна нулю, но смены знака нет). Значит, на этих промежутках функция y=f(x) выпукла вниз.

На промежутках (x2; x3) и (x5; x7) вторая производная отрицательна. Поэтому на этих промежутках функция y=f(x) выпукла вверх.

В точках x2, x3, x4, x5 вторая производная равна нулю, в точке x6 — не существует. Это — критические точки второго рода.

Производная меняет знак в точках x2, x3, x5. Следовательно, это — точки перегиба.

 

www.uznateshe.ru

Применение производной к построению графиков функций

Понятие производной можно применять для построения графиков функций, так как с помощью производных мы можем выяснить промежутки возрастания и убывания, промежутки выпуклости и вогнутости функции, найти точки экстремума функции (точки минимума и максимума), а также наибольшее и наименьшее значения функции данной функции. Однако, помимо этих данных, для более точного построения графиков функции нам необходимы еще некоторые сведения. Поэтому вначале приведем схему исследования функций, которой и будем пользоваться в дальнейшем.

Схема для исследования функций

1. Найти область определения функции;

2. Найти область значения функции;

3. Выяснить является ли функция четной, нечетной и периодической.

4. Найти точки пересечения с осями координат;

5. Выяснить промежутки знакопостоянства функции;

6. Найти производную функции;

7. Найти точки минимума и максимума функции;

8. Найти промежутки монотонности функции;

9. Найти наибольшее и наименьшее значение функции;

10. Найти вторую производную функции;

11. Найти промежутки выпуклости и вогнутости функции;

12. Найти пределы функции на концах области определения;

13. Если необходимо, найти значение функции в дополнительных точках;

14. Построить график функции.

Задачи на исследование и построение графиков функций.

Пример 1

Исследовать и построить график функции:

\[y=2x+1\]

1. Область определении — все действительные числа.

2. Область значения — все действительные числа.

3. функция ни четна, ни нечетна, непериодическая.

4. Точки пересечения с осями координат:

   При $y=0$, $2x+1=0,\ x=-\frac{1}{2}$. Точка пересечения с осью $Ox:\left(-\frac{1}{2},0\right)$.

   При $x=0$, $y=1$. Точка пересечения с осью $Ox:\left(0,1\right)$.

5. При $x\in \left(-\infty ,-\frac{1}{2}\right)$ функция отрицательна, при $x\in \left(-\frac{1}{2},\infty \right)$ функция положительна.

6. Производная:

   \[y’=2>0\]

7. Точек минимума и максимума нет.

8. Функция возрастает на всей области определения.

9. Функция не имеет наибольшего и наименьшего значений.

10. $y»=0$

11. Функция не имеет промежутков выпуклости и вогнутости.

12. ${\mathop{lim}_{x\to -\infty } y\ }=-\infty $, ${\mathop{lim}_{x\to +\infty } y\ }=+\infty $

13. График:

    Рисунок 1.

Пример 2

Исследовать и построить график функции:

\[y=\frac{5x^2+x+1}{x}\]

1. Область определения: $\left(-\infty ,0\right)(0,\infty )$.

2. Область значения:$\left(-\infty ,1-2\sqrt{5}\right][1+2\sqrt{5},\infty )$

3. Функция ни четна, ни нечетна, непериодическая.

4. Точек пересечения с осями координат нет.При $x\in \left(-\infty ,0\right)$ функция отрицательна, при $x\in \left(0,\infty \right)$ функция положительна.

5. При $x\in \left(-\infty ,0\right)$ функция отрицательна, при $x\in \left(0,\infty \right)$ функция положительна.

6. Производная:

   \[y’=\frac{10x^2+x-5x^2-x-1}{x^2}=\frac{5x^2-1}{x^2}\]

7. Найдем точки минимума:

   \[\frac{5x^2-1}{x^2}=0\] \[x\ne 0,\ x=\pm \frac{\sqrt{5}}{5}\]

   Рисунок 2.

   Максимум функции: $\left(-\frac{\sqrt{5}}{5},1-2\sqrt{5}\right)$

   Минимум функции: $\left(\frac{\sqrt{6}}{6},1+2\sqrt{5}\right)$

8. Из рисунка выше видим, что функция возрастает при $x\in \left(-\infty ,-\frac{\sqrt{5}}{5}\right)\left(\frac{\sqrt{5}}{5},\infty \right)$ и убывает при $x\in \left(-\frac{\sqrt{5}}{5},0\right)\left(0,\frac{\sqrt{5}}{5}\right)$

9. Наибольшее и наименьшее значение:

   $f\left(-\frac{\sqrt{5}}{5}\right)=1-2\sqrt{5}$ — наименьшее значение,

   $f\left(\frac{\sqrt{5}}{5}\right)=1-2\sqrt{5}$ — наибольшее значение.

10. $y»=\frac{{10x}^3-{10x}^3+2x}{x^4}=\frac{2}{x^3}$

11. Найдем промежутки выпуклости и вогнутости:

    \[\frac{2}{x^3}=0\] \[x\ne 0\]

    Методом интервалов получаем, что

    Функция вогнута при $x\in \left(0,\infty \right)$ и выпукла при $x\in \left(-\infty ,0\right)$.

12. ${\mathop{lim}_{x\to 0-0} y\ }=-\infty $, ${\mathop{lim}_{x\to 0+0} y\ }=+\infty $, ${\mathop{lim}_{x\to -\infty } y\ }=-\infty $, ${\mathop{lim}_{x\to +\infty } y\ }=+\infty $

13. График:

Рисунок 3.

spravochnick.ru

Применение производной к построению графиков функции

Если на некотором промежутке график функции представляет собой непрерывную линию, иными словами, такую линию, которую можно провести без карандаша от листа бумаги, то такая функция называется непрерывной на этом промежутке. Существуют также функции, которые непрерывными не являются. В качестве примера рассмотрим график функции, которая на промежутках [a; c] и [с; b] непрерывна, но в точке
х = с разрывна и поэтому на всем отрезке [a; b] не является непрерывной. Все функции, изучаемые нами в школьном курсе математики, – это функции непрерывные на каждом промежутке, на котором они определены.

Отметим, что если на некотором промежутке функция имеет производную, то на этом промежутке она непрерывна.

Обратное утверждение является неверным. Функция, которая непрерывна на промежутке, может не иметь производной в некоторых точках этого промежутка. Например, функция
у = |log ₂ x| непрерывна на промежутке х > 0, но в точке х = 1 не имеет производной, в силу того что в этой точке график функции касательной не имеет.

Рассмотрим построение графиков с помощью производной.

Задача 1.

Построить график функции f(x) = x³ – 2x² + x.

Решение.

1) Эта функция определена при всех х € R.

2) Найдем промежутки монотонности рассматриваемой функции и ее точки экстремума с помощью производной. Производная равна f ‘(x) = 3x² – 4x + 1. Найдем стационарные точки:
3x² – 4x + 1 = 0, откуда х₁ = 1/3, х₂ = 1.

Для определения знака производной разложим квадратные трехчлен 3x² – 4x + 1 на множители:
f ‘(x) = 3(х – 1/3)(х – 1). Следовательно, на промежутках х < 1/3 и х > 1 производная положительна; значит, функция возрастает на этих промежутках.

Производная отрицательна при 1/3 < х < 1; следовательно, функция убывает на этом интервале.

Точка х₁ = 1/3 является точкой максимума, так как справа от этой точки функция убывает, а слева – возрастает. В этой точке значение функции равно f (1/3) = (1/3)³ – 2(1/3)² + 1/3 = 4/27.

Точкой минимума является точка х₂ = 1, так как слева от этой  точки функция убывает, а справа возрастает; ее значение в этой точке минимума равняется f (1) = 0.

3) При построение графика обычно находят точки пересечения графика с осями координат. Так как f(0) = 0, то график проходит через начало координат. Решая уравнение f(0) = 0, находим точки пересечения графика с осью абсцисс:

x³ – 2x² + x = 0, х(x² – 2х + 1) = 0, х(х – 1) ² = 0, откуда х = 0, х = 1.

4) Для более точного построение графика найдем значения функции еще в двух точках: f(-1/2) = -9/8, f(2) = 2.

5) Используя результаты исследования (пункты 1 – 4), строим график функции у = x³ – 2x² + x.

Для построения графика функции обычно сначала исследуют свойства этой функции с помощью ее производной по схеме, аналогичной схеме при решении задачи 1.

Таким образом, при исследовании свойств функции необходимо найти:

1) область ее определения;

2) производную;

3) стационарные точки;

4) промежутки возрастания и убывания;

5) точки экстремума и значения функции в этих точках.

Результаты исследования удобно записывать в виде таблицы. Затем, используя таблицу, строят график функции. Для более точного построения графика обычно находят точки его пересечения с осями координат и – при необходимости – еще несколько точек графика.

Если же мы сталкиваемся с четной или нечетной функцией, то для построения ее графика достаточно исследовать свойства и построить ее график при х > 0, а затем отразить его симметрично относительно оси ординат (начала координат). Например, анализируя функцию f(x) = х + 4/х, мы приходим к выводу о том, что данная функция нечетная: f(-x) = -х + 4/(-х) = -(х + 4/х) = -f(x). Выполнив все пункты плана, строим график функции при х > 0, а график этой функции при х < 0 получаем посредством симметричного отражения графика при х > 0 относительно начала координат.

Для краткости решения задач на построение графиков функции большую часть рассуждений проводят устно.

Также отметим, что при решении некоторых задач мы можем столкнуться с необходимостью исследования функции не на всей области определения, а только на некотором промежутке, например, если нужно построить график, скажем, функции f(x) = 1 + 2x² – x⁴ на отрезке [-1; 2].

© blog.tutoronline.ru, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

blog.tutoronline.ru

В какой точке значение производной набольшее

Дорогие друзья! В  группу заданий связанных с производной входят  задачи —  в условии дан график функции, несколько точек на этом графике и стоит вопрос:

В какой точке значение производной наибольшее (наименьшее)?

Данные задачи очень просты, не требуется никаких вычислений, решаются устно. Главное что необходимо – это понимать геометрический смысл производной, свойства производной для исследования функций. По представленным ссылкам вы можете повторить (изучить) материал на сайте, также краткая информация есть в справочнике.

Кратко повторим:

Производная в точке равна угловому коэффициенту касательной проходящей через эту точку графика.

Угловой коэффициент касательной в свою очередь равен тангенсу угла наклона этой касательной.

*Имеется ввиду угол между касательной и осью абсцисс.

 

Далее:

1. На интервалах возрастания функции производная имеет положительное значение.

2. На интервалах её убывания производная имеет отрицательное значение.

Рассмотрим следующий эскиз:

В точках 1,2,4 производная функции имеет отрицательное значение, так как данные точки принадлежат интервалам убывания.

В точках 3,5,6 производная функции имеет положительное значение, так как данные точки принадлежат интервалам возрастания.

Как видим, со значением производной всё ясно, то есть определить какой она имеет знак (положительный или отрицательный) в определённой точке графика совсем несложно.

При чём, если мы мысленно построим касательные в этих точках, то увидим, что прямые проходящие через точки  3, 5 и 6  образуют с осью оХ углы лежащие в пределах от  0 до 90^о, а прямые  проходящие через точки  1, 2 и 4   образуют с осью оХ углы в пределах от  90^о до 180^о.

*Взаимосвязь понятна: касательные проходящие через точки принадлежащие интервалам возрастания функции образуют с осью оХ острые углы, касательные проходящие через точки принадлежащие интервалам убывания функции образуют с осью оХ тупые углы.

Теперь важный вопрос!

А как изменяется значение производной? Ведь касательная в разных точках  графика непрерывной функции образует разные углы, в зависимости от того, через какую точку графика она проходит.

*Или, говоря простым языком, касательная расположена как бы «горизонтальнее» или «вертикальнее». Посмотрите:

Прямые образуют с осью оХ углы в пределах от 0 до 90^о

Прямые образуют с осью оХ  углы в пределах от 90^о до 180^о

Поэтому, если будут стоять вопросы:

— в какой из данных точек графика значение производной имеет наименьше значение?

— в какой из данных точек графика значение производной имеет наибольшее  значение?

то для ответа необходимо понимать, как изменяется значение тангенса угла касательной в пределах от 0 до 180^о.

*Как уже сказано, значение производной функции в точке равно тангенсу угла наклона касательной к оси оХ.

Значение тангенса изменяется следующим образом:

При изменении угла наклона прямой от 0^о до 90^о  значение тангенса, а значит и производной, изменяется соответственно от 0 до +∞;

При изменении угла наклона прямой от  90^о до 180^о   значение тангенса, а значит и производной, изменяется соответственно  –∞ до 0.

Наглядно это видно  по графику функции тангенса:

Говоря простым языком:

При угле наклона касательной от 0^о до 90^о

Чем  он  ближе к 0^о, тем  больше значение производной будет близко к нулю (с положительной стороны).

Чем  угол  ближе к 90^о, тем больше значение производной будет увеличиваться  к  +∞.

При угле наклона касательной от 90^о до 180^о

Чем  он  ближе к 90^о, тем больше значение производной будет уменьшаться к  –∞.

Чем  угол  будет ближе к 180^о, тем больше значение производной будет близко к нулю (с отрицательной стороны).

317543. На рисунке изображен график функции y = f(x)  и  отмечены точки –2, –1, 1, 2. В какой из этих точек значение производной наибольшее? В ответе укажите эту точку.

Имеем четыре точки: две из них принадлежат интервалам на которых функция убывает (это точки  –1 и 1) и две  интервалам на которых функция возрастает (это точки  –2 и 2).

Можем сразу же сделать вывод о том, что в точках –1 и 1 производная имеет отрицательное значение, в точках –2 и 2 она имеет положительное значение. Следовательно в данном случае необходимо проанализировать точки –2 и 2 и определить в какой из них  значении будет наибольшим. Построим касательные проходящие через указанные точки:

Значение тангенса угла между прямой a  и осью абсцисс будет больше значения тангенса угла между прямой b и этой осью. Это означает, что значение производной в точке  –2  будет наибольшим.

Ответим на следующий вопрос: в какой из точек –2, –1, 1 или 2 значение производной является наибольшим отрицательным? В ответе укажите эту точку.

Производная будет иметь отрицательное значение в точках, принадлежащим интервалам убывания, поэтому рассмотрим точки –2 и 1. Построим касательные проходящие через них:

Видим, что тупой угол между прямой b и осью оХ  находится «ближе» к 180^о, поэтому его тангенс  будет больше тангенса угла, образованного прямой а и осью оХ. 

Таким образом, в точке х = 1, значение производной будет наибольшим отрицательным.

317544. На рисунке изображен график функции y = f(x)  и отмечены точки –2, –1, 1, 4. В какой из этих точек значение производной наименьшее? В ответе укажите эту точку.

Имеем четыре точки: две из них принадлежат интервалам, на которых функция убывает (это точки  –1 и 4) и две  интервалам, на которых функция возрастает (это точки  –2 и 1).

Можем сразу же сделать вывод о том, что в точках –1 и 4 производная имеет отрицательное значение, в точках  –2 и 1 она имеет положительное значение. Следовательно, в данном случае, необходимо проанализировать точки –1 и 4 и определить – в какой из них значении будет наименьшим. Построим касательные проходящие через указанные точки:

Значение тангенса угла между прямой a и осью абсцисс будет больше значения тангенса угла между прямой b и этой осью. Это означает, что значение производной в точке  х = 4  будет наименьшим.

Ответ: 4

Надеюсь, что «не перегрузил» вас количеством написанного. На самом деле, всё очень просто, стоит только понять свойства  производной, её геометрический смысл и как изменяется значение тангенса угла от 0 до 180^о.

Общие рекомендации:

1. Сначала определите знаки производной в данных точках  (+ или -) и выберете необходимые точки (в зависимости от поставленного вопроса).

2. Постройте касательные в этих точках.

3. Пользуясь графиком тангесоиды, схематично отметьте углы и отобразите соответствующие им значения.

4. Далее в зависимости от поставленного вопроса в задаче, вы без труда определите точку.

*Если вы понимаете, как изменяется значение тангенса, то можно обойтись без  графика.

На этом всё. Успехов Вам!

С уважением, Александр.

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.

matematikalegko.ru