Деление степеней – Деление степеней с одинаковыми основаниями. Видеоурок. Алгебра 7 Класс

Деление степеней с одинаковыми основаниями. Видеоурок. Алгебра 7 Класс

На этом уроке мы изучим деление степеней с одинаковыми основаниями. Вначале вспомним определение степени и теорему об умножении степеней с одинаковыми основаниями. Далее мы сформулируем теорему о делении степеней с одинаковыми основаниями, решим разъясняющие задачи и докажем теорему в общем случае. Затем мы применим теорему для решения различных задач, а также решим типичные задачи с использованием обеих теорем.

Тема: Степень с натуральным показателем и ее свойства

Урок: Деление степеней с одинаковыми основаниями (формула )

Основные определения:

Здесь a — основание степени,

n — показатель степени,

n-ая степень числа.

Теорема 1. Для любого числа а и любых натуральных n и k справедливо равенство:

При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются, основание остается неизменным.

Теорема 2. Для любого числа

а и любых натуральных n и k, таких, что  n k справедливо равенство:

При делении степеней с одинаковыми основаниями показатели отнимаются, а основание остается неизменным.

Разъясняющие задачи

1) 

2) 

Вывод: частные случаи подтвердили правильность теоремы №2. Докажем ее в общем случае, то есть для любого а и любых натуральных n и k таких, что  n k.

Доказательство теоремы 2.

Первый способ.

Воспользуемся теоремой 1. Применим ее для степеней  и .

 

  . Разделим обе части на .

Второй способ.        

Доказательство основано на определении степени

Сократим k сомножителей.

То есть   для любого а и любых натуральных

n и k таких, что  n k.

Пример 1: Вычислить.

Для решения следующих примеров воспользуемся теоремой 2.

а)

б)

Пример 2: Упростить.

а)  

б) 

в) 

Пример 3: Решить уравнение.

а)  

б)  

Пример 4: Вычислить:

Для решения следующих примеров будем пользоваться обеими теоремами.

а) =6 или быстрее =6

б) ==81 или быстрее =81

в) == или быстрее

Пример 5: Упростить:

а) = или быстрее

б)  

в)  или быстрее

 

Список рекомендованной литературы

1. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 7. 6 издание. М.: Просвещение. 2010 г.

2. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебра 7. М.: ВЕНТАНА-ГРАФ 

3. Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е. и др. Алгебра 7 .М.: Просвещение. 2006 г.

 

Рекомендованные ссылки на ресурсы интернет

1. Школьный помощник (Источник).

2. Testent.ru (Источник).

 

Рекомендованное домашнее задание

Вычислить:

а)       б)

 Упростить:

а)        б)       в)

Решить уравнение:

а)     б)  

Вычислить:

а)       б)       в)

Упростить:

а)       б)       в)

interneturok.ru

Умножение и деление степеней с одинаковым показателем. Алгебра, 7 класс: уроки, тесты, задания.

1. Возведение произведения в степень

Сложность: лёгкое

1
2. Произведение степеней, отрицательный одночлен в чётной степени

Сложность: лёгкое

2
3. Произведение трёх степеней

Сложность: лёгкое

3
4. Степень произведения

Сложность: лёгкое

2
5. Степень трёх множителей

Сложность: лёгкое

1
6. Неизвестное основание (нечётная степень)

Сложность: лёгкое

2
7. Куб трёх множителей

Сложность: лёгкое

3,5
8. Степень дроби

Сложность: лёгкое

1
9. Отрицательная дробь в чётной или нечётной степени

Сложность: лёгкое

2
10. Возведение дроби в степень

Сложность: среднее

1
11. Дробь в квадрате

Сложность: среднее

4
12. Неизвестное основание квадрата одночлена (обыкновенная дробь)

Сложность: среднее

4
13. Квадрат трёх множителей

Сложность: среднее

5
14. Возведение в степень, дробь в степени (отрицательный числитель)

Сложность: среднее

5
15. Дробь в степени

Сложность: среднее

2
16. Значение выражения (произведение степеней с одинаковыми показателями)

Сложность: среднее

2
17. Вычисление значения дроби

Сложность: среднее

4
18. Произведение трёх дробей с одинаковыми показателями степеней

Сложность: сложное

6
19. Уравнение (свойства степеней)

Сложность: сложное

6
20. Уравнение (свойства степеней с натуральным показателем)

Сложность: сложное

5
21. Уравнение (обыкновенная дробь)

Сложность: сложное

6

www.yaklass.ru

Деление степеней с одинаковыми основаниями

Пусть надо a9 ÷ a3; здесь, согласно смыслу деления, дано произведение = a9 и дан один множитель = a3. Надо найти другой множитель. Напишем данное произведение (a9) подробнее

a · a · a · a · a · a · a · a · a

и отделим, например, подчеркивая, данный множитель, т. е. a3 или a · a · a. Тогда мы увидим, каков другой множитель, а именно осталось неподчеркнутым

a · a · a · a · a · a,

что = a6. Итак,

a9 ÷ a3 = a6.

Пусть надо b47 ÷ b18. Данное произведение есть b47 или такое произведение, где b повторяется множителем 47 раз; отделим один данный множитель, b18, или произведение, где b повторяется 18 раз множителем. Тогда мы сообразим, что искомым множителем является произведение, где b повторяется 29 раз множителем, т. е. b29. Итак, b47 ÷ b18 = b29.

Также

x15 ÷ x5 = x10
(a + b)7 ÷ (a + b) = (a + b)6
323 ÷ 320 = 33 = 27 и т. д.

Вообще

am ÷ an = am-n (если m > n)

или словами: при делении степеней с одинаковыми основаниями основание степени остается без изменения, а показатель делителя вычитается из показателя делимого (если показатель делимого больше показателя делителя).

Пусть теперь надо

20a5b4c2d ÷ 5a3b3c2.

Здесь дано произведение (20a5b4c2d) и один множитель 5a3b3c2; надо найти другой множитель. У произведения коэффициент (+20), он получился от умножения коэффициента данного множителя (+5) на коэффициент искомого множителя. Чтобы найти этот коэффициент, надо (+20) ÷ (+5), получим +4. В данном произведении a взято множителем 5 раз, в данном множителе a входит множителем 3 раза. Поэтому в искомом множителе a должно входить множителем 2 раза, т. е. в искомом множителе должно быть a2. В данном произведении b берется множителем 4 раза, а в данном множителе – 3 раза; следовательно, в искомом множителе b должно входить множителем лишь 1 раз. В данном произведении имеем c2 (c берется множителем 2 раза) и в данном множителе имеем c2. Поэтому в искомом множителе c не должно вовсе входить. В данном произведении имеется множитель d, а в данном множителе d вовсе нет; поэтому d должно иметься в искомом множителе. Итак,

20a5b4c2d ÷ 5a3b3c2 = 4a2bd.

Еще примеры:

В предыдущем встречались деления, вроде c2 ÷ c2; a ÷ a; b3 ÷ b3; и т. д. Здесь уместно заметить, что частное от деления какого-либо числа на самое себя всегда равно 1.

maths-public.ru

Умножение и деление степеней с одинаковым показателем

1. Возведение произведения в степень 2 вид — интерпретация лёгкое 1 Б. Свойства степеней, возведение произведения в степень.
2. Произведение степеней, отрицательный одночлен в чётной степени 1 вид — рецептивный лёгкое 2 Б. Представление выражения в виде произведения степеней.
3. Произведение трёх степеней 1 вид — рецептивный лёгкое 3 Б. Представление степени в виде произведения степеней.
4. Степень произведения 1 вид — рецептивный лёгкое 2 Б. Представление выражения в виде степени произведения.
5. Степень трёх множителей 1 вид — рецептивный лёгкое 1 Б. Представление выражения в виде степени произведения.
6. Неизвестное основание (нечётная степень) 2 вид — интерпретация лёгкое 2 Б. Нахождение одночлена, находящегося в скобках (равенство степени и произведения).
7. Куб трёх множителей 2 вид — интерпретация лёгкое 3,5 Б. Запись выражения в виде степени с показателем \(3\).
8. Степень дроби 1 вид — рецептивный лёгкое 1 Б. Представление дроби в виде степени дроби.
9. Отрицательная дробь в чётной или нечётной степени 2 вид — интерпретация лёгкое 2 Б. Возведение дроби в степень.
10. Возведение дроби в степень 2 вид — интерпретация среднее 1 Б. Использование правила возведения дроби в степень.
11. Дробь в квадрате 2 вид — интерпретация среднее 4 Б. Возведение дроби во вторую степень.
12. Неизвестное основание квадрата одночлена (обыкновенная дробь) 2 вид — интерпретация среднее 4 Б. Нахождение одночлена, находящегося в скобках (равенство степени и произведения обыкновенной дроби на степень).
13. Квадрат трёх множителей 2 вид — интерпретация среднее 5 Б. Запись выражения в виде степени с показателем \(2\).
14. Возведение в степень, дробь в степени (отрицательный числитель) 2 вид — интерпретация среднее 5 Б. Возведение в степень дроби.
15. Дробь в степени 2 вид — интерпретация среднее 2 Б. Представление дроби в виде степени.
16. Значение выражения (произведение степеней с одинаковыми показателями) 2 вид — интерпретация среднее 2 Б. Вычисление значения выражения.
17. Вычисление значения дроби 2 вид — интерпретация среднее 4 Б. Вычисление значения дроби.
18. Произведение трёх дробей с одинаковыми показателями степеней 2 вид — интерпретация сложное 6 Б. Вычисление значения выражения.
19. Уравнение (свойства степеней) 2 вид — интерпретация сложное 6 Б. Решение уравнения.
20. Уравнение (свойства степеней с натуральным показателем) 2 вид — интерпретация сложное 5 Б. Решение уравнения.
21. Уравнение (обыкновенная дробь) 2 вид — интерпретация сложное 6 Б. Решение уравнения.

www.yaklass.ru

Умножение и деление степеней.

Умножение и деление степеней.

 

Цели урока:

Образовательные: отработать умения применять имеющиеся у учащихся знания по умножению и делению степеней с одинаковыми основаниями.

Развивающие:  развитие зрительной памяти, математически грамотной речи, логического мышления, сознательного восприятия учебного материала.

Воспитательные: воспитание познавательного интереса, аккуратности, культуры поведения, чувства ответственности.

 

Тип урока: — обобщающий урок по теме.

Ход урока

I. Организационный момент.

Здравствуйте, ребята. Мы с вами продолжаем изучать тему “Умножение и деление степеней с натуральным показателем”. Цель нашего урока закрепить правила, изученные на прошлом уроке и научиться решать более сложные задачи по данной теме.

Послушайте одну притчу.

Шел мудрец, а навстречу ему три человека, которые везли под горячим солнцем тележки с камнями для строительства. Мудрец остановился и задал каждому по вопросу. У первого спросил: “ Что ты делал целый день”. И тот с ухмылкой ответил, что целый день возил проклятые камни. У второго мудрец спросил: “А что ты делал целый день”, и тот ответил: “А я добросовестно выполнял свою работу”. А третий улыбнулся, его лицо засветилось радостью и удовольствием: “А я принимал участие в строительстве храма!”

— Ребята! Я желаю вам, чтобы каждый из вас на уроке принял участие “в строительстве храма”.

– Сегодня мы продолжим работать со степенями.

— Для успешной работы выполним следующие задания.

II. Актуализация знаний

1. Устная работа.

Представьте 64 в виде степени с основанием 2; -2; -8. Куб какого числа равен 64? Существует ли еще какой-нибудь способ представления 64 в виде степени с натуральным показателем? Если да, то назовите его.

 

 

1.Упростите выражение:

     а6∙а7;        у17:у5;        х2∙х8:х;           (b+1)3∙(b+1)4 ;

2.Представьте в виде степени с основанием 4

                       1;  4;  16;   256

Вычислить значение выражения:

 -1∙ 32,       (-1 ∙ 3)2        1∙(-3)2,     — (2 ∙ 3)2,      12 ∙ (-3)2

4.Замените  степенью с основанием  так, чтобы выполнялось равенство: 

                                    :                    : а5

 

2. Работа по карточкам. (2 ученика)

1. Упростите выражение:  

а)  а26 : а12 : а3;                   б)  а7* а2 * а3

в)  у30 : у12 : у6;                    г)   в12 * в* в* в5

2. Вычислите  значение выражения:

а)  22 * 2 * 22;                           б)   512 : 57 : 53

в)   (-4)2                                       г)       

3. Фронтальный опрос.

 а) Сформулируйте определение степени числа с натуральным показателем.

 б) Каким числом ( положительным или отрицательным ) является:

                    1) степень положительного числа?

                    2) степень отрицательного числа?

                    3) степень отрицательного числа с нечетным показателем?

  в) Сформулируйте правило умножения степеней с одинаковыми основаниями.

  г) Сформулируйте правило деления степеней с одинаковыми основаниями.

  д) Чему равна степень с нулевым показателем?

        

III. Проверка домашнего задания.

№ 412.

а) 32 ⋅ 35 = 37 = 2187;                                    б) 81 ⋅ 36 = 34 ⋅ 36 = 310 = 59049;

в) 9 ⋅ 2187 = 32 ⋅ 37 = 39 = 19683;                г) 27 ⋅ 243 = 33 ⋅ 35 = 38 = 6561.

№ 415.

а) p10 : p6 = p4;          б) a8 : a4 = a4;         в) x15 : x4 = x11;         г) y9 : y= y8;

д) 1016 : 1012 = 104;       е) 2,316 : 2,37 = 2,39.

 

IV. Формирование умений и навыков.

 

№ 418

 

 

№ 420 (по вариантам , 2 ученика решают у доски)

1 вариант

а) 3×0 = 3 ⋅ 1 = 3;                                         

в) 10a2b0 = 10a2 = 10 ⋅ (–3)2 = 10 ⋅ 9 = 90;

2 вариант

б) –2,5y0 = –2,5 ⋅ 1 = –2,5;

г)  27a0c3 = 27c3 = 27⋅

 

Физкульминутка.

Сравнить значение выражения с нулем(если больше нуля – наклон головы вперед, если меньше- поворот вправо и влево) :

    ( — 5)7;              (-6)18;              (- 4)11. (-4)8       

     (- 5)18∙ (- 5)6;              -( — 4)8

  < 0       > 0

 > 0        <  0

   <  0         > 0

 

Выполняя задание вычеркните буквы, соответствующие ответам. Упростите выражение:

АОВСТЛКРИЧГНМО

 

1.    С4∙С3                  5.   С2 ∙С3  ∙ С5

2.   С5 ∙С3                  6.    С6∙ С5:  С10

3.   С11: С6                 7.     С10 ∙С2 ∙С3

4.    С5 ∙С5 : С

Шифр: А-  С7        В- С 8     Г —  С     И —  С 30     К —  С9       М – С15       Н — С13      О- С 12  

  Р- С10         С- С5         Т- С8      Ч- С3

ОТВЕТ:  ОТЛИЧНО!

 

№5, 8  (С-20  дидактический материал стр. 27)

Задание: Заполните свободные клетки квадрата так, чтобы произведение выражений каждого столбца, каждой строки и диагонали равнялось х12

Х2

 

Х3

 

Х4

 

 

 

 

Дополнительная часть. Каждое задание оценивается  отдельно.

V. Самостоятельная работа. ( Тестирование)

 

Тест по теме: «Степень с натуральным показателем».

                                                               В. – 1

№ 1.    Представьте выражение к 7к5      в виде            степени

            1) к5          2) к12            3) к13

№ 2     Вычислите значение выражения 23⋅ 24

            1) 27   2) 128           3) 126.

№ 3.   Представьте в виде степени 580  : 540 

1) 5²               2) 140              3)   5.40

№ 4. Запишите в виде степени выражение 313  ⋅ 1913 

            1) 5713               2)  57 26    3) 2213

№ 5. Выполните действие со степенями 35 ⋅313 : 316

           

infourok.ru

Умножение и деление степеней

Вопросы занятия:

·  познакомиться с правилами умножения и деления степеней с одинаковыми основаниями.

Материал урока

На прошлом уроке мы с вами ввели понятие степени с натуральным показателем.

Например,

Определение.

Также вспомним, что:

Например,

Сейчас мы выясним, как умножать и делить степени с натуральным показателем.

Преобразуем выражение:

Вообще, для любого числа а и натуральных чисел m и n верно равенство:

Таким образом, можно сформулировать правило.

При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание остаётся прежним, а показатели степеней складываются.

Например,

Теперь давайте рассмотрим выражение:

То есть, мы получили, что частное двух степеней с одинаковыми основаниями равно степени с тем же основанием и показателем, равным разности показателей делимого и делителя.

Вообще,

Сформулируем правило деления степеней.

При делении степеней с одинаковыми основаниями основание остаётся прежним, а из показателя степени делимого вычитается показатель степени делителя.

Например,

Также, следует знать, что

Для закрепления нового материала выполним несколько упражнений.

Пример.

Пример.

videouroki.net

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *