Деление степеней с одинаковыми основаниями. Видеоурок. Алгебра 7 Класс
На этом уроке мы изучим деление степеней с одинаковыми основаниями. Вначале вспомним определение степени и теорему об умножении степеней с одинаковыми основаниями. Далее мы сформулируем теорему о делении степеней с одинаковыми основаниями, решим разъясняющие задачи и докажем теорему в общем случае. Затем мы применим теорему для решения различных задач, а также решим типичные задачи с использованием обеих теорем.
Тема: Степень с натуральным показателем и ее свойства
Урок: Деление степеней с одинаковыми основаниями (формула )
Основные определения:
Здесь a — основание степени,
n — показатель степени,
— n-ая степень числа.
Теорема 1. Для любого числа а и любых натуральных n и k справедливо равенство:
При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются, основание остается неизменным.
Теорема 2. Для любого числа а и любых натуральных n и k, таких, что n > k справедливо равенство:
При делении степеней с одинаковыми основаниями показатели отнимаются, а основание остается неизменным.
Разъясняющие задачи
1)
2)
Вывод: частные случаи подтвердили правильность теоремы №2. Докажем ее в общем случае, то есть для любого а и любых натуральных n и k таких, что n > k.
Доказательство теоремы 2.
Первый способ.
Воспользуемся теоремой 1. Применим ее для степеней и .
. Разделим обе части на .
Второй способ.
Доказательство основано на определении степени
Сократим k сомножителей.
То есть для любого а и любых натуральных n и k таких, что n > k.
Пример 1: Вычислить.
Для решения следующих примеров воспользуемся теоремой 2.
а)
б)
Пример 2: Упростить.
а)
б)
в)
Пример 3: Решить уравнение.
а)
б)
Пример 4: Вычислить:
Для решения следующих примеров будем пользоваться обеими теоремами.
а) =6 или быстрее =6
б) ==81 или быстрее =81
в) == или быстрее
Пример 5: Упростить:
а) = или быстрее
б)
в) или быстрее
Список рекомендованной литературы
1. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 7. 6 издание. М.: Просвещение. 2010 г.
2. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебра 7. М.: ВЕНТАНА-ГРАФ
3. Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е. и др. Алгебра 7 .М.: Просвещение. 2006 г.
Рекомендованные ссылки на ресурсы интернет
1. Школьный помощник (Источник).
2. Testent.ru (Источник).
Рекомендованное домашнее задание
Вычислить:
а) б)
Упростить:
а) б) в)
Решить уравнение:
а) б)
Вычислить:
а) б) в)
Упростить:
а) б) в)
interneturok.ru
| 1. | Возведение произведения в степень Сложность: лёгкое | 1 |
| 2. |
Произведение степеней, отрицательный одночлен в чётной степени
Сложность: лёгкое |
2 |
| 3. |
Произведение трёх степеней
Сложность: лёгкое |
3 |
| 4. |
Степень произведения
Сложность: лёгкое |
2 |
| 5. |
Степень трёх множителей
Сложность: лёгкое |
|
| 6. |
Неизвестное основание (нечётная степень)
Сложность: лёгкое |
2 |
| 7. |
Куб трёх множителей
Сложность: лёгкое |
3,5 |
| 8. |
Степень дроби
Сложность: лёгкое | 1 |
| 9. |
Отрицательная дробь в чётной или нечётной степени
Сложность: лёгкое |
2 |
| 10. |
Возведение дроби в степень
Сложность: среднее |
1 |
| 11. |
Дробь в квадрате
Сложность: среднее |
4 |
| 12. |
Неизвестное основание квадрата одночлена (обыкновенная дробь)
Сложность: среднее |
4 |
| 13. |
Квадрат трёх множителей
Сложность: среднее |
5 |
| 14. |
Возведение в степень, дробь в степени (отрицательный числитель)
Сложность: среднее |
5 |
| 15. |
Дробь в степени
Сложность: среднее |
2 |
| 16. |
Значение выражения (произведение степеней с одинаковыми показателями)
Сложность: среднее |
2 |
| 17. |
Вычисление значения дроби
Сложность: среднее |
4 |
| 18. |
Произведение трёх дробей с одинаковыми показателями степеней
Сложность: сложное |
6 |
| 19. |
Уравнение (свойства степеней)
Сложность: сложное |
6 |
| 20. |
Уравнение (свойства степеней с натуральным показателем)
Сложность: сложное |
5 |
| 21. |
Уравнение (обыкновенная дробь)
Сложность: сложное |
6 |
www.yaklass.ru
Деление степеней с одинаковыми основаниями
Пусть надо a9 ÷ a3; здесь, согласно смыслу деления, дано произведение = a9 и дан один множитель = a3. Надо найти другой множитель. Напишем данное произведение (a9) подробнее
a · a · a · a · a · a · a · a · a
и отделим, например, подчеркивая, данный множитель, т. е. a3 или a · a · a. Тогда мы увидим, каков другой множитель, а именно осталось неподчеркнутым
a · a · a · a · a · a,
что = a6. Итак,
a9 ÷ a3 = a6.
Пусть надо b47 ÷ b18. Данное произведение есть b47 или такое произведение, где b повторяется множителем 47 раз; отделим один данный множитель, b18, или произведение, где b повторяется 18 раз множителем. Тогда мы сообразим, что искомым множителем является произведение, где b повторяется 29 раз множителем, т. е. b29. Итак, b47 ÷ b18 = b29.
Также
x15 ÷ x5 = x10
(a + b)7 ÷ (a + b) = (a + b)6
323 ÷ 320 = 33 = 27 и т. д.
Вообще
am ÷ an = am-n (если m > n)
или словами: при делении степеней с одинаковыми основаниями основание степени остается без изменения, а показатель делителя вычитается из показателя делимого (если показатель делимого больше показателя делителя).
Пусть теперь надо
20a5b4c2d ÷ 5a3b3c2.
Здесь дано произведение (20a5b4c2d) и один множитель 5a3b3c2; надо найти другой множитель. У произведения коэффициент (+20), он получился от умножения коэффициента данного множителя (+5) на коэффициент искомого множителя. Чтобы найти этот коэффициент, надо (+20) ÷ (+5), получим +4. В данном произведении a взято множителем 5 раз, в данном множителе a входит множителем 3 раза. Поэтому в искомом множителе a должно входить множителем 2 раза, т. е. в искомом множителе должно быть a2. В данном произведении b берется множителем 4 раза, а в данном множителе – 3 раза; следовательно, в искомом множителе b должно входить множителем лишь 1 раз. В данном произведении имеем c2 (c берется множителем 2 раза) и в данном множителе имеем c2. Поэтому в искомом множителе c не должно вовсе входить. В данном произведении имеется множитель d, а в данном множителе d вовсе нет; поэтому d должно иметься в искомом множителе. Итак,
20a5b4c2d ÷ 5a3b3c2 = 4a2bd.
Еще примеры:
В предыдущем встречались деления, вроде c2 ÷ c2; a ÷ a; b3 ÷ b3; и т. д. Здесь уместно заметить, что частное от деления какого-либо числа на самое себя всегда равно 1.
maths-public.ru
| 1. | Возведение произведения в степень | 2 вид — интерпретация | лёгкое | 1 Б. | Свойства степеней, возведение произведения в степень. |
| 2. | Произведение степеней, отрицательный одночлен в чётной степени | 1 вид — рецептивный | лёгкое | 2 Б. | Представление выражения в виде произведения степеней. |
| 3. | Произведение трёх степеней | 1 вид — рецептивный | лёгкое | 3 Б. | Представление степени в виде произведения степеней. |
| 4. | Степень произведения | 1 вид — рецептивный | лёгкое | 2 Б. | Представление выражения в виде степени произведения. |
| 5. | Степень трёх множителей | 1 вид — рецептивный | лёгкое | 1 Б. | Представление выражения в виде степени произведения. |
| 6. | Неизвестное основание (нечётная степень) | 2 вид — интерпретация | лёгкое | 2 Б. | Нахождение одночлена, находящегося в скобках (равенство степени и произведения). |
| 7. | Куб трёх множителей | 2 вид — интерпретация | лёгкое | 3,5 Б. | Запись выражения в виде степени с показателем \(3\). |
| 8. | Степень дроби | 1 вид — рецептивный | лёгкое | 1 Б. | Представление дроби в виде степени дроби. |
| 9. | Отрицательная дробь в чётной или нечётной степени | 2 вид — интерпретация | лёгкое | 2 Б. | Возведение дроби в степень. |
| 10. | Возведение дроби в степень | 2 вид — интерпретация | среднее | 1 Б. | Использование правила возведения дроби в степень. |
| 11. | Дробь в квадрате | 2 вид — интерпретация | среднее | 4 Б. | Возведение дроби во вторую степень. |
| 12. | Неизвестное основание квадрата одночлена (обыкновенная дробь) | 2 вид — интерпретация | среднее | 4 Б. | Нахождение одночлена, находящегося в скобках (равенство степени и произведения обыкновенной дроби на степень). |
| 13. | Квадрат трёх множителей | 2 вид — интерпретация | среднее | 5 Б. | Запись выражения в виде степени с показателем \(2\). |
| 14. | Возведение в степень, дробь в степени (отрицательный числитель) | 2 вид — интерпретация | среднее | 5 Б. | Возведение в степень дроби. |
| 15. | Дробь в степени | 2 вид — интерпретация | среднее | 2 Б. | Представление дроби в виде степени. |
| 16. | Значение выражения (произведение степеней с одинаковыми показателями) | 2 вид — интерпретация | среднее | 2 Б. | Вычисление значения выражения. |
| 17. | Вычисление значения дроби | 2 вид — интерпретация | среднее | 4 Б. | Вычисление значения дроби. |
| 18. | Произведение трёх дробей с одинаковыми показателями степеней | 2 вид — интерпретация | сложное | 6 Б. | Вычисление значения выражения. |
| 19. | Уравнение (свойства степеней) | 2 вид — интерпретация | сложное | 6 Б. | Решение уравнения. |
| 20. | Уравнение (свойства степеней с натуральным показателем) | 2 вид — интерпретация | сложное | 5 Б. | Решение уравнения. |
| 21. | Уравнение (обыкновенная дробь) | 2 вид — интерпретация | сложное | 6 Б. | Решение уравнения. |
www.yaklass.ru
Умножение и деление степеней.
Умножение и деление степеней.
Цели урока:
Образовательные: отработать умения применять имеющиеся у учащихся знания по умножению и делению степеней с одинаковыми основаниями.
Развивающие: развитие зрительной памяти, математически грамотной речи, логического мышления, сознательного восприятия учебного материала.
Воспитательные: воспитание познавательного интереса, аккуратности, культуры поведения, чувства ответственности.
Тип урока: — обобщающий урок по теме.
Ход урока
I. Организационный момент.
Здравствуйте, ребята. Мы с вами продолжаем изучать тему “Умножение и деление степеней с натуральным показателем”. Цель нашего урока закрепить правила, изученные на прошлом уроке и научиться решать более сложные задачи по данной теме.
Послушайте одну притчу.
Шел мудрец, а навстречу ему три человека, которые везли под горячим солнцем тележки с камнями для строительства. Мудрец остановился и задал каждому по вопросу. У первого спросил: “ Что ты делал целый день”. И тот с ухмылкой ответил, что целый день возил проклятые камни. У второго мудрец спросил: “А что ты делал целый день”, и тот ответил: “А я добросовестно выполнял свою работу”. А третий улыбнулся, его лицо засветилось радостью и удовольствием: “А я принимал участие в строительстве храма!”
— Ребята! Я желаю вам, чтобы каждый из вас на уроке принял участие “в строительстве храма”.
– Сегодня мы продолжим работать со степенями.
— Для успешной работы выполним следующие задания.
II. Актуализация знаний
1. Устная работа.
Представьте 64 в виде степени с основанием 2; -2; -8. Куб какого числа равен 64? Существует ли еще какой-нибудь способ представления 64 в виде степени с натуральным показателем? Если да, то назовите его.
1.Упростите выражение:
а6∙а7; у17:у5; х2∙х8:х; (b+1)3∙(b+1)4 ;
2.Представьте в виде степени с основанием 4
1; 4; 16; 256
Вычислить значение выражения:
-1∙ 32, (-1 ∙ 3)2 1∙(-3)2, — (2 ∙ 3)2, 12 ∙ (-3)2
4.Замените степенью с основанием так, чтобы выполнялось равенство:
: : а5
2. Работа по карточкам. (2 ученика)
1. Упростите выражение:
а) а26 : а12 : а3; б) а7* а2 * а3
в) у30 : у12 : у6; г) в12 * в* в* в5
2. Вычислите значение выражения:
а) 22 * 2 * 22; б) 512 : 57 : 53
в) (-4)2 г)
3. Фронтальный опрос.
а) Сформулируйте определение степени числа с натуральным показателем.
б) Каким числом ( положительным или отрицательным ) является:
1) степень положительного числа?
2) степень отрицательного числа?
3) степень отрицательного числа с нечетным показателем?
в) Сформулируйте правило умножения степеней с одинаковыми основаниями.
г) Сформулируйте правило деления степеней с одинаковыми основаниями.
д) Чему равна степень с нулевым показателем?
III. Проверка домашнего задания.
№ 412.
а) 32 ⋅ 35 = 37 = 2187; б) 81 ⋅ 36 = 34 ⋅ 36 = 310 = 59049;
в) 9 ⋅ 2187 = 32 ⋅ 37 = 39 = 19683; г) 27 ⋅ 243 = 33 ⋅ 35 = 38 = 6561.
№ 415.
а) p10 : p6 = p4; б) a8 : a4 = a4; в) x15 : x4 = x11; г) y9 : y= y8;
д) 1016 : 1012 = 104; е) 2,316 : 2,37 = 2,39.
IV. Формирование умений и навыков.
№ 418
№ 420 (по вариантам , 2 ученика решают у доски)
1 вариант
а) 3×0 = 3 ⋅ 1 = 3;
в) 10a2b0 = 10a2 = 10 ⋅ (–3)2 = 10 ⋅ 9 = 90;
2 вариант
б) –2,5y0 = –2,5 ⋅ 1 = –2,5;
г) 27a0c3 = 27c3 = 27⋅
Физкульминутка.
Сравнить значение выражения с нулем(если больше нуля – наклон головы вперед, если меньше- поворот вправо и влево) :
( — 5)7; (-6)18; (- 4)11. (-4)8
(- 5)18∙ (- 5)6; -( — 4)8
< 0 > 0
> 0 < 0
< 0 > 0
Выполняя задание вычеркните буквы, соответствующие ответам. Упростите выражение:
АОВСТЛКРИЧГНМО
1. С4∙С3 5. С2 ∙С3 ∙ С5
2. С5 ∙С3 6. С6∙ С5: С10
3. С11: С6 7. С10 ∙С2 ∙С3
4. С5 ∙С5 : С
Шифр: А- С7 В- С 8 Г — С И — С 30 К — С9 М – С15 Н — С13 О- С 12
Р- С10 С- С5 Т- С8 Ч- С3
ОТВЕТ: ОТЛИЧНО!
№5, 8 (С-20 дидактический материал стр. 27)
Задание: Заполните свободные клетки квадрата так, чтобы произведение выражений каждого столбца, каждой строки и диагонали равнялось х12
Х2
Х3
Х4
Дополнительная часть. Каждое задание оценивается отдельно.
V. Самостоятельная работа. ( Тестирование)
Тест по теме: «Степень с натуральным показателем».
В. – 1
№ 1. Представьте выражение к 7к5 в виде степени
1) к5 2) к12 3) к13
№ 2 Вычислите значение выражения 23⋅ 24
1) 27 2) 128 3) 126.
№ 3. Представьте в виде степени 580 : 540
1) 5² 2) 140 3) 5.40
№ 4. Запишите в виде степени выражение 313 ⋅ 1913
1) 5713 2) 57 26 3) 2213
№ 5. Выполните действие со степенями 35 ⋅313 : 316
infourok.ru
Умножение и деление степеней
Вопросы занятия:
· познакомиться с правилами умножения и деления степеней с одинаковыми основаниями.
Материал урока
На прошлом уроке мы с вами ввели понятие степени с натуральным показателем.
Например,
Определение.
Также вспомним, что:
Например,
Сейчас мы выясним, как умножать и делить степени с натуральным показателем.
Преобразуем выражение:
Вообще, для любого числа а и натуральных чисел m и n верно равенство:
Таким образом, можно сформулировать правило.
При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание остаётся прежним, а показатели степеней складываются.
Например,
Теперь давайте рассмотрим выражение:
То есть, мы получили, что частное двух степеней с одинаковыми основаниями равно степени с тем же основанием и показателем, равным разности показателей делимого и делителя.
Вообще,
Сформулируем правило деления степеней.
При делении степеней с одинаковыми основаниями основание остаётся прежним, а из показателя степени делимого вычитается показатель степени делителя.
Например,
Также, следует знать, что
Для закрепления нового материала выполним несколько упражнений.
Пример.
Пример.
videouroki.net