Как решить квадратное уравнение через дискриминант
Понятие квадратного уравнения.
Рассмотрим задачу. Основание прямоугольника больше высоты на 10 см., а его площадь равна 24 см². Найти высоту прямоугольника. Пусть х сантиметров — высота прямоугольника, тогда его основание равно (х +10) см. Площадь этого прямоугольника равна х (х + 10) см². По условию задачи х (х + 10) = 24. Раскрывая скобки и перенося число 24 с противоположным знаком в левую часть уравнения, получаем: х² + 10х -24 = 0. При решении этой задачи было получено уравнение, которое называют квадратным.
Квадратным уравнением называется уравнение вида
ax²+bx+c=0
где a, b, c — заданные числа, причем а ≠ 0, а х — неизвестное.
Коэффициенты a, b, c квадратного уравнения обычно называют так: a
Решение квадратных уравнений
Полные квадратные уравнения. Первым делом надо заданное уравнение привести к стандартному виду ax²+ bx + c = 0. Вернемся к нашей задаче, в которой уравнение может быть записано как х (х + 10) = 24 приведем его к стандартному виду, раскроем скобки х² + 10х — 24 = 0, решим это уравнение с помощью формулы корней квадратного уравнения общего вида.
Выражение под знаком корня в этой формуле называется дискриминант D = b² — 4ac
Если D>0, то квадратное уравнение имеет два различных корня, которые можно найти по формуле корней квадратного уравнения.
Если D=0, то квадратное уравнение имеет один корень.
Если D<0, то квадратное уравнение не имеет действительных корней, т. е. не имеет решения.
Подставим значения в нашу формулу а = 1, b = 10, c = -24.
получаем D>0, следовательно у нас получится два корня.
Рассмотрим пример где D=0, при этом условии должен получится один корень.
25x² — 30x + 9 = 0
Рассмотрим пример где D<0, при этом условии решения не должно быть.
2x² + 3x + 4 = 0
Число, стоящее под знаком корня (дискриминант) отрицательное, ответ запишем так: уравнение не имеет действительных корней.
Решение неполных квадратных уравнений
Квадратное уравнение ax² + bx + c = 0 называют неполным, если хотя бы один из коэффициентов b или c равен нулю. Неполное квадратное уравнение, есть уравнение одного из следующих видов:
ax
ax² + c = 0, c ≠ 0,
ax² + bx = 0, b ≠ 0.
Рассмотрим несколько примеров, решим уравнение
5x² =0
Разделив обе части уравнения на 5, получим уравнение х² = 0, в ответе будет один корень х = 0.
Рассмотрим уравнение вида
3х² — 27 = 0
Разделив обе части на 3, получим уравнение х² — 9 = 0, или его можно записать х² = 9, в ответе будет два корня х = 3 и х = -3.
Рассмотрим уравнение вида
2х² + 7 = 0
Разделив обе части на 2, получим уравнение х² = -7/2. Это уравнение действительных корней не имеет, так как х² ≥ 0 для любого действительного числа х.
Рассмотрим уравнение вида
3 х² + 5х = 0
Разложив левую часть уравнения на множители, получим х (3х + 5) = 0, в ответе будет два корня х = 0, х =-5/3.
Самое главное при решении квадратных уравнений, привести квадратное уравнение к стандартному виду, выучить наизусть формулу корней квадратного уравнения общего вида и не запутаться в знаках.
Автор публикации
0 Комментарии: 3Публикации: 81Регистрация: 04-09-2015prostoi-sovet.ru
Дискриминант квадратного уравнения
Квадратное уравнение это уравнение которое выглядит как ax2 + dx + c = 0. В нем значение а,в и с любые числа, при этом а не равно нулю.
Все квадратные уравнения разделяются на несколько видов, а именно:
-Уравнения в которых только один корень.
-Уравнения с двумя разными корнями.
-Уравнения в которых корней нет совсем.
Это и различает линейные уравнения в которых корень всегда единый, от квадратных. Для того что бы понять какое количество корней в выражении и нужен Дискриминант квадратного уравнения.
Допустим наше уравнение ax2 + dx + c =0. Значит дискриминант квадратного уравнения —
D = b2 — 4 ac
И это нужно запомнить навсегда. С помощью этого уравнения мы и определяем количество корней в квадратном уравнении. И делаем мы это следующим образом:
— Когда D меньше нуля, в уравнении нет корней.
— Когда D равно нулю, имеется только один корень.
— Когда D больше нуля, соответственно, в уравнении два корня.
Запомните что дискриминант показывает сколько корней в уравнении, не меняя знаков.
Рассмотрим для наглядности:
Нужно выяснить какое количество корней в данном квадратном уравнении.
1) х2 — 8х + 12 = 0
2 )5х2 + 3х + 7 = 0
3) х2-6х + 9 = 0
Вписываем значения в первое уравнение, находим дискриминант.
а = 1, b = -8, c = 12
D = (-8)2 — 4 * 1 * 12 = 64 — 48 = 16
Дискриминант со знаком плюс, значит в данном равенстве два корня.
Делаем тоже самое со вторым уравнением
a = 1, b = 3, c = 7
D = 32 — 4 * 5 * 7 = 9 — 140 = — 131
Значение минусовое, значит корней в данном равенстве нет.
Следующее уравнение разложим по аналогии.
а = 1, b = -6, с = 9
D = (-6)2— 4 * 1 * 9 = 36 — 36 = 0
как следствие имеем один корень в уравнении.
Важно что в каждом уравнении мы выписывали коэффициенты. Конечно это не много длительный процесс, но это помогло нам не запутаться и предотвратило появление ошибок. Если очень часто решать подобные уравнения, то вычисления сможете производить мысленно и заранее знать сколько у уравнения корней.
Рассмотрим еще один пример:
1) х2 — 2х — 3 = 0
2) 15 — 2х — х2 = 0
3) х2 + 12х + 36 = 0
Раскладываем первое
а = 1, b = -2, с = -3
D =(-2) 2 — 4 * 1 * (-3) = 16, что больше нуля, значит два корня, выведем их
х1 = 2+?16/2 * 1 = 3, х2 = 2-?16/2 * 1 = -1.
Раскладываем второе
а = -1, b = -2, с = 15
D = (-2)2 — 4 * 4 * (-1) * 15 = 64, что больше нуля и так же имеет два корня. Выведем их:
х1 = 2+?64/2 * (-1) = -5, х2 = 2-?64/2 *(-1) = 3.
Раскладываем третье
а = 1, b = 12, с = 36
D = 12 2 — 4 * 1 * 36 =0, что равно нулю и имеет один корень
Решать данные уравнения не сложно.
Если нам дано неполное квадратное уравнение. Такое как
1х2 + 9х = 0
2х2 — 16 = 0
Данные уравнения отличаются от тех что были выше, так как оно не полное, в нем нет третьего значения. Но не смотря на это оно проще чем полное квадратное уравнение и в нем дискриминант искать не нужно.
Что делать когда срочно нужна дипломная работа или реферат, а времени на его написание нет? Всё это и многое другое можно заказать на сайте Deeplom.by (http://deeplom.by/) и получить высший балл.
Если материал был полезен, вы можете отправить донат или поделиться данным материалом в социальных сетях:
reshit.ru
Решение квадратных уравнений через дискриминант
Любое квадратное уравнение можно представить как
ax2 + bx + c = 0, где a, b, c — это любые числа и a ≠ 0
Чтобы проверить количество решений этого уравнения используется специальное выражение — дискриминант, которые обозначается, как D.
D = b2 — 4ac
И более того, через дискриминант легко искать решение квадратных уравнений.
1. Если D > 0, то в уравнении есть 2 корня:
x1, 2 =
Например, уравнение:
x2 — x — 2 = 0
Коэффициенты здесь:
a = 1, b = -1, с = -2
Смотрим дискриминант:
D = b2 — 4ac = (-1)2 + 4*1*2 = 1 + 8 = 9
Он явно больше нуля, поэтому в этом уравнении два корня. Вычислим их из полученного дискриминанта:
x1, 2 = = = 2; -1
2. Если D = 0, то в уравнении единственный корень
x =
3. Если D < 0, то в уравнении нет корней.
Редактировать этот урок и/или добавить задание и получать деньги постоянно* Добавить свой урок и/или задания и получать деньги постоянноДобавить новость и получить деньги
Добавить анкету репетитора и получать бесплатно заявки на обучение от учеников
uchilegko.info
примеры решений. Как решать квадратные уравнения через дискриминант
Квадратные уравнения часто появляются во время решения различных задач физики и математики. В данной статье мы рассмотрим, как решать эти равенства универсальным способом «через дискриминант». Примеры использования полученных знаний также даются в статье.
О каких уравнениях пойдет речь?
На рисунке ниже изображена формула, в которой x — неизвестная переменная, а латинские символы a, b, c представляют собой некоторые известные числа.
Каждый из этих символов называется коэффициентом. Как можно заметить, число «a» стоит перед переменной x, возведенной в квадрат. Это максимальная степень представленного выражения, поэтому оно называется квадратным уравнением. Часто используют другое его название: уравнение второго порядка. Само значение a — это квадратный коэффициент (стоящий при переменной в квадрате), b — это линейный коэффициент (он находится рядом с переменной, возведенной в первую степень), наконец, число c — свободный член.
Отметим, что вид уравнения, который изображен на рисунке выше, является общим классическим квадратным выражением. Помимо него существуют другие уравнения второго порядка, в которых коэффициенты b, c могут быть нулевыми.
Когда ставят задачу решить рассматриваемое равенство, то это означает, что такие значения переменной x нужно найти, которые бы ему удовлетворяли. Здесь первым делом нужно запомнить следующую вещь: поскольку максимальная степень икса — это 2, то данный тип выражений не может иметь больше, чем 2 решения. Это означает, что если при решении уравнения были найдены 2 значения x, которые ему удовлетворяют, то можно быть уверенным, что не существует никакого 3-го числа, подставляя которое вместо x, равенство также бы являлось истиной. Решения уравнения в математике называют его корнями.
Способы решения уравнений второго порядка
Решения уравнений этого типа требует знания некоторой теории о них. В школьном курсе алгебры рассматривают 4 различных метода решения. Перечислим их:
- с помощью факторизации;
- используя формулу для полного квадрата;
- применяя график соответствующей квадратичной функции;
- используя уравнение дискриминанта.
Плюс первого метода заключается в его простоте, однако, он не для всех уравнений может применяться. Второй способ является универсальным, однако несколько громоздким. Третий метод отличается своей наглядностью, но он не всегда удобен и применим. И, наконец, использование уравнения дискриминанта — это универсальный и достаточно простой способ нахождения корней абсолютно любого уравнения второго порядка. Поэтому в статье рассмотрим только его.
Формула для получения корней уравнения
Обратимся к общему виду квадратного уравнения. Запишем его: a*x²+ b*x + c =0. Перед тем как пользоваться способом его решения «через дискриминант», следует приводить равенство всегда к записанному виду. То есть оно должно состоять из трех слагаемых (или меньше, если b или c равен 0).
Например, если имеется выражение: x²-9*x+8 = -5*x+7*x², то сначала следует перенести все его члены в одну сторону равенства и сложить слагаемые, содержащие переменную x в одинаковых степенях.
В данном случае эта операция приведет к следующему выражению: -6*x²-4*x+8=0, которое эквивалентно уравнению 6*x²+4*x-8=0 (здесь левую и правую части равенства мы умножили на -1).
Как только усвоен описанный выше шаг, далее, следует научиться различать коэффициенты. Здесь все просто: при x² всегда стоит a, при x1 находится b, свободный член c представляет собой не связанное с x число.
В примере выше a = 6, b=4, c=-8. Заметим, что все члены рассматриваемого равенства всегда суммируются между собой, поэтому если появляется знак «-«, то это означает, что отрицательным является соответствующий коэффициент, как число c в данном случае.
Разобрав этот момент, перейдем теперь к самой формуле, которая дает возможность получения корней квадратного уравнения. Она имеет вид, который представлен на фото ниже.
Как видно из этого выражения, оно позволяет получать два корня (следует обратить внимание на знак «±»). Для этого в него достаточно подставить коэффициенты b, c, и a.
Понятие о дискриминанте
В предыдущем пункте была приведена формула, которая позволяет быстро решить любое уравнение второго порядка. В ней подкоренное выражение называют дискриминантом, то есть D = b²-4*a*c.
Почему эту часть формулы выделяют, и она даже имеет собственное название? Дело в том, что дискриминант связывает в единое выражение все три коэффициента уравнения. Последний факт означает, что он полностью несет информацию о корнях, которую можно выразить следующим списком:
- D>0: равенство имеет 2 различных решения, причем оба они представляют собой действительные числа.
- D
- D=0: у уравнения всего один корень, и он является действительным числом.
Далее в статье приведены примеры с дискриминантом квадратных уравнений и дано их решение.
Задача на определение дискриминанта
Приведем простой пример, как найти дискриминант. Пусть дано такое равенство: 2*x² — 4+5*x-9*x² = 3*x-5*x²+7.
Приведем его к стандартному виду, получаем: (2*x²-9*x²+5*x²) + (5*x-3*x) + (- 4-7) = 0, откуда приходим к равенству: -2*x²+2*x-11 = 0. Здесь a=-2, b=2, c=-11.
Теперь можно воспользоваться названной формулой для дискриминанта: D = 2² — 4*(-2)*(-11) = -84. Полученное число является ответом на поставленную задачу. Поскольку в примере дискриминант меньше нуля, то можно сказать, что данное квадратное уравнение не имеет действительных корней. Его решением будут только числа комплексного типа.
Пример неравенства через дискриминант
Решим задачи несколько иного типа: дано равенство -3*x²-6*x+c = 0. Необходимо найти такие значения c, для которых D>0.
В данном случае известно лишь 2 из 3 коэффициентов, поэтому рассчитать точное значение дискриминанта не получится, однако известно, что он является положительным. Последний факт используем при составлении неравенства: D= (-6)²-4*(-3)*c>0 => 36+12*c>0. Решение полученного неравенства приводит к результату: c>-3.
Проверим полученное число. Для этого вычислим D для 2 случаев: c=-2 и c=-4. Число -2 удовлетворяет полученному результату (-2>-3), соответствующий дискриминант будет иметь значение: D = 12>0. В свою очередь, число -4 не удовлетворяет неравенству (-4
Таким образом, любые числа c, которые больше -3, будут удовлетворять условию.
Пример решения уравнения
Приведем задачу, которая заключается не только в нахождении дискриминанта, но и в решении уравнения. Необходимо найти корни для равенства -2*x²+7-9*x = 0.
В этом примере дискриминант равен следующему значению: D = 81-4*(-2)*7= 137. Тогда корни уравнения определятся так: x = (9±√137)/(-4). Это точные значения корней, если вычислить приближенно корень, тогда получатся числа: x = -5,176 и x = 0,676.
Геометрическая задача
Решим задачу, которая потребует не только умения вычислять дискриминант, но и применения навыков абстрактного мышления и знания, как составлять квадратные уравнения.
У Боба было пуховое одеяло размером 5 x 4 метра. Мальчик захотел пришить к нему по всему периметру сплошную полосу из красивой ткани. Какой толщины будет эта полоса, если известно, что у Боба имеется 10 м² ткани.
Пусть полоса будет иметь толщину x м, тогда площадь ткани по длинной стороне одеяла составит (5+2*x)*x, а поскольку длинных сторон 2, то имеем: 2*x*(5+2*x). По короткой стороне площадь пришитой ткани составит 4*x, так как этих сторон 2, то получаем значение 8*x. Отметим, что к длинной стороне было добавлено значение 2*x, поскольку длина одеяла увеличилась на это число. Общая пришитая к одеялу площадь ткани равна 10 м². Поэтому получаем равенство: 2*x*(5+2*x) + 8*x = 10 => 4*x²+18*x-10 = 0.
Для этого примера дискриминант равен: D = 18²-4*4*(-10) = 484. Его корень равен 22. Воспользовавшись формулой, находим искомые корни: x = (-18±22)/(2*4) = (-5; 0,5). Очевидно, что из двух корней подходит по условию задачи только число 0,5.
Таким образом, полоса из ткани, которую пришьет Боб к своему одеялу, будет иметь ширину 50 см.
www.nastroy.net
Квадратное уравнение. Решение квадратных уравнений. Дискриминант. Формула дискриминанта. ( Дискриминат на 4 и на 1). Теорема Виета. 3 способа.
Решение квадратных уравнений. Дискриминант. Формула дискриминанта. Теорема Виета.
Квадратным уравнением называется уравнение вида:,
гдеx — переменная,
a,b,c — постоянные (числовые) коэффициенты.
В общем случае решение квадратных уравнений сводится к нахождению дискриминанта
| Формула дискриминанта: | . |
- D>0 — уравнение имеет 2 различных вещественных корня
- D=0 — уравнение имеет 2 совпадающих вещественных корня
- D<0 — уравнение имеет 2 мнимых корня (для непродвинутых пользователей — корней не имеет)
В общем случае корни уравнения равны:
.
Очевидно, в случае с нулевым дискриминантом, оба корня равны.
Если коэффициент при х четный, то имеет смысл вычислять не дискриминант, а четверть дискриминанта:В таком случае корни уравнения вычисляются по формуле:
Теорема Виета.
Приведенным квадратным уравнением называется уравнение вида,
то есть квадратное уравнение с единичным коэффициентом при старшем члене.
В этом случае целесообразно применять теорему Виета, которая позволяет получить относительно корней уравнения следующую систему уравнений:
.
Следует заметить, что любое квадратное уравнение может стать приведенным, если его поделить на коэффициент при старшем члене, то есть при х2dpva.ru
Квадратные уравнения. Решение квадратных уравнений. Дискриминант. Формула дискриминанта. ( Дискриминат на 4 и на 1). Теорема Виета. 3 способа.
Квадратным уравнением называется уравнение вида:,
гдеx — переменная,
a,b,c — постоянные (числовые) коэффициенты.
В общем случае решение квадратных уравнений сводится к нахождению дискриминанта
| Формула дискриминанта: | . |
- D>0 — уравнение имеет 2 различных вещественных корня
- D=0 — уравнение имеет 2 совпадающих вещественных корня
- D<0 — уравнение имеет 2 мнимых корня (для непродвинутых пользователей — корней не имеет)
В общем случае корни уравнения равны:
.
Очевидно, в случае с нулевым дискриминантом, оба корня равны.
Если коэффициент при х четный, то имеет смысл вычислять не дискриминант, а четверть дискриминанта:В таком случае корни уравнения вычисляются по формуле:
Теорема Виета.
Приведенным квадратным уравнением называется уравнение вида,
то есть квадратное уравнение с единичным коэффициентом при старшем члене.
В этом случае целесообразно применять теорему Виета, которая позволяет получить относительно корней уравнения следующую систему уравнений:
&nb
dpva.ru
Квадратные уравнения
Квадратные уравнения
Квадратные уравнения
Уравнение вида
ax2 + bx + c = 0
называется квадратным. В нём a, b, c – числа и «а» не равно нулю. Числа a, b называются коэффициентами, а число «с» называется свободным членом.
Дискриминант
Пусть дано квадратное уравнение:
ax2 + bx + c = 0
Дискриминант – это число, определяемое так:
D = b2 – 4ac
Имеются три случая:
- Если дискриминант больше нуля, то квадратное уравнение имеет два различных корня, эти корни вычисляют по формулам:
и - Если дискриминант равен нулю, то квадратное уравнение имеет единственный корень, который вычисляется по формуле:
иногда говорят, что в этом случае квадратное уравнение имеет два одинаковых корня - Если дискриминант меньше нуля, то квадратное уравнение не имеет действительных корней.
Приведенное квадратное уравнение
Если коэффициент «a» в квадратном уравнении ax2 + bx + c = 0 равен единице, такое квадратное уравнение называется приведенным. Обычно приведенное квадратное уравнение записывают в виде:
x2 + px + q = 0
Дискриминант приведенного квадратного уравнения:
D = b2 – 4ac = p2 – 4q
Если дискриминант больше нуля, то корни квадратного уравнения находим по формуле:
Если дискриминант равен нулю, то корни квадратного уравнения находим по формуле:
Если дискриминант меньше нуля, то квадратное уравнение не имеет действительных корней.
Неполное квадратное уравнение
Если в квадратном уравнении ax2 + bx + c = 0 коэффициент «b» или свободный член «c» равны нулю, то такое квадратное уравнение называется неполным.
Находить корни такого уравнения можно по тем же формулам, что и для обычного квадратного уравнения.
www.sbp-program.ru