Формула разность синуса и косинуса – Сумма и разность синусов (sin) и косинусов (cos): вывод формул, примеры, объяснение

Содержание

Сумма и разность синусов и косинусов формулы – тригонометрия

Формулы суммы и разности синусов (sin) и косинусов (cos) часто применяются при решении различных задач по тригонометрии. В первую очередь эти формулы используются при преобразовании тригонометрических числовых и буквенных выражений. Любую из этих формул можно вывести из формул преобразования произведения тригонометрических функций в сумму.

Запомнить эти формулы просто: когда мы имеем дело с синусами, в произведении находятся разные тригонометрические функции (при сложении синус и косинус, при вычитании косинус и синус), а в формулах с косинусами в произведении находятся одинаковые тригонометрические функции (при сложении косинусы, при вычитании синусы).

Аргументы у функций везде одинаковые: у первого множителя полусумма углов, у второго множителя полуразность углов. Отличается лишь формула разности косинусов: в ней у второго множителя в полуразности углы меняются местами. Это было сделано, чтобы избавиться от знака минуса перед формулой.

Формула суммы синусов

Сумма синусов углов α и β равна удвоенному произведению синуса полусуммы этих углов на косинус их полуразности.

sinα + sinβ = 2 ⋅ sin((α + β) / 2) ⋅ cos((α – β) / 2)

Формула суммы косинусов

Сумма косинусов углов α и β равна удвоенному произведению косинуса полусуммы этих углов на косинус их полуразности.

cosα + cosβ = 2 ⋅ cos((α + β) / 2) ⋅ cos((α – β) / 2)

Формула разности синусов

Разность синусов углов α и β равна удвоенному произведению косинуса полусуммы этих углов на синус их полуразности.

sinα – sinβ = 2 ⋅ cos((α + β) / 2) ⋅ sin((α – β) / 2)

Формула разности косинусов

Разность косинусов углов α и β равна удвоенному произведению синуса полусуммы этих углов на синус полуразности β – α.

cosα – cosβ = 2 ⋅ sin((α + β) / 2) ⋅ sin((β – α) / 2)

worksbase.ru

Формулы синуса и косинуса суммы и разности аргументов — урок. Алгебра, 10 класс.

Перед тем как начать подробное ознакомление с формулами преобразования тригонометрических выражений, поясним, для чего вообще нужны преобразования тригонометрических выражений.

Дело в том, что очень часто тригонометрические выражения даже самого «устрашающего» вида после несложных преобразований довольно легко приводятся к выражениям с табличным значением аргумента — таким, например, как: 30°(π6),45°(π4),60°(π3)… или к таким выражениям, решение которых найти гораздо проще, чем решение исходного тригонометрического выражения.

В этом и заключается основная цель преобразования тригонометрических выражений — привести заданное выражение к такому виду, чтобы найти его решение было проще.

А средством для достижения этой цели — её «инструментом» — и являются формулы преобразования тригонометрических выражений,

знакомство с которыми мы начнём с изучения наиболее важных из них — формул синуса и косинуса суммы аргументов.

Именно эти формулы считаются основными и наиболее важными формулами преобразования тригонометрических выражений, поскольку из этих формул без особого труда выводятся практически все формулы тригонометрии.

Доказательство самих формул синуса и косинуса суммы аргументов технически довольно сложно, и оно не входит в базовый курс обучения.

Примечание. Для краткости и упрощения в дальнейшем исключим слово «аргументов» из названий формул — это общепринятая практика — и, говоря о формулах синуса или косинуса суммы (разности), будем понимать, что это формулы синуса или косинуса суммы (разности) аргументов этих функций.

Формула синуса суммы: sin(x+y)=sinx⋅cosy+cosx⋅siny. (1)

Формула косинуса суммы: cos(x+y)=cosx⋅cosy−sinx⋅siny. (2)

Рассмотрим теперь выражение sin(x−y) в таком виде: sin(x+(−y)) — и воспользуемся формулой синуса суммы (1): sin(x+(−y))=sinx⋅cos(−y)+cosx⋅sin(−y).

Теперь вспомним о свойстве чётности функции косинус: cos(−y)=cosy —

и свойстве нечётности функции синус: sin(−y)=−siny.

Тогда:

sin(x+(−y))=sinx⋅cos(−y)+cosx⋅sin(−y)=sinx⋅cosy−cosx⋅siny.

Формула синуса разности: sin(x−y)=sinx⋅cosy−cosx⋅siny. (3)

Аналогично, представив cos(x−y) в виде cos(x+(−y)), воспользуемся формулой косинуса суммы (2),

и свойствами чётности функции косинус cos(−y)=cosy,

и нечётности функции синус sin(−y)=−siny.

Тогда получим:

cos(x+(−y))=cosx⋅cos(−y)−sinx⋅sin(−y)=cosx⋅cosy+sinx⋅siny.

Формула косинуса разности: cos(x−y)=cosx⋅cosy+sinx⋅siny. (4)

www.yaklass.ru

Формулы приведения, сумма, разность синусов и косинусов

Формулы приведения

Формулы приведения дают возможность находить значения тригонометрических функций для любых углов (а не только острых). С их помощью можно совершать преобразования, упрощающие вид тригонометрических выражений.

Рисунок 1.

Кроме формул приведения при решении задач используются следующие основные формулы.

1) Формулы одного угла:

2) Выражение одних тригонометрических функций через другие:

Замечание

В этих формулах перед знаком радикала должен быть поставлен знак $»+»$ или $»-«$ в зависимости от того, в какой четверти находится угол.

Сумма и разность синусов, сумма и разность косинусов

Формулы суммы и разности функций:

Кроме формул суммы и разности функций, при решении задач бывают полезны формулы произведения функций:

Основные соотношения между элементами косоугольных треугольников

Обозначения:

$a$, $b$, $c$ — стороны треугольника;

$A$, $B$, $C$ — противолежащие перечисленным сторонам углы;

$p=\frac{a+b+c}{2} $ — полупериметр;

$S$ — площадь;

$R$ — радиус описанной окружности;

$r$ — радиус вписанной окружности.

Основные соотношения:

1) $\frac{a}{\sin A} =\frac{b}{\sin B} =\frac{c}{\sin C} =2\cdot R$ — теорема синусов;

2) $a^{2} =b^{2} +c^{2} -2\cdot b\cdot c\cdot \cos A$ — теорема косинусов;

3) $\frac{a+b}{a-b} =\frac{tg\frac{A+B}{2} }{tg\frac{A-B}{2} } $ — теорема тангенсов;

4) $S=\frac{1}{2} \cdot a\cdot b\cdot \sin C=\sqrt{p\cdot \left(p-a\right)\cdot \left(p-b\right)\cdot \left(p-c\right)} =r\cdot p=\frac{a\cdot b\cdot c}{4\cdot R} $ — формулы площади.

Решение косоугольных треугольников

Решение косоугольных треугольников предполагает определение всех его элементов: сторон и углов.

Пример 1

Даны три стороны $a$, $b$, $c$:

1) в треугольнике для вычисления углов можно применять только теорему косинусов, так как только главное значение арккосинуса находится в пределах $0\le \arccos x\le +\pi $, соответствующих треугольнику;

2) находим угол $A$, применив теорему косинусов $\cos A=\frac{b^{2} +c^{2} -a^{2} }{2\cdot b\cdot c} $, а затем обратную тригонометрическую функцию $A=\arccos \left(\cos A\right)$;

3) находим угол $B$, применив теорему косинусов $\cos B=\frac{a^{2} +c^{2} -b^{2} }{2\cdot a\cdot c} $, а затем обратную тригонометрическую функцию $B=\arccos \left(\cos B\right)$;

4) находим угол $C$ по формуле $C=180{}^\circ -\left(A+B\right)$.

Пример 2

Даны две стороны $a$, $b$ и угол $C$ между ними:

1) находим сторону $c$ по теореме косинусов $c^{2} =a^{2} +b^{2} -2\cdot a\cdot b\cdot \cos C$;

3) находим угол $B$ по формуле $B=180{}^\circ -\left(A+C\right)$.

Пример 3

Даны два угла $A$, $B$ и сторона $c$:

1) находим угол $C$ по формуле $C=180{}^\circ -\left(A+B\right)$;

2) находим сторону $a$ по теореме синусов $a=\frac{c\cdot \sin A}{\sin C} $;

3) находим сторону $b$ по теореме синусов $b=\frac{c\cdot \sin B}{\sin C} $.

Пример 4

Даны стороны $a$, $b$ и угол $B$, противолежащий стороне $b$:

1) записываем теорему косинусов $b^{2} =a^{2} +c^{2} -2\cdot a\cdot c\cdot \cos B$, используя заданные величины; отсюда получаем квадратное уравнение $c^{2} -\left(2\cdot a\cdot \cos B\right)\cdot c+\left(a^{2} -b^{2} \right)=0$ относительно стороны $c$;

2) решив полученное квадратное уравнение, теоретически можем получить один из трех случаев — два положительных значения для стороны $c$, одно положительное значение для стороны $c$, отсутствие положительных значений для стороны $c$; соответственно и задача будет иметь два, одно или нуль решений;

3) используя конкретное положительное значение стороны $c$, находим угол $A$, применив теорему косинусов $\cos A=\frac{b^{2} +c^{2} -a^{2} }{2\cdot b\cdot c} $, а затем обратную тригонометрическую функцию $A=\arccos \left(\cos A\right)$;