Формула суммы чисел от 1 до n – Сумма чисел от 1 до N, формула?

Содержание

Как сложить целые числа от 1 до N Как? Так!

Содержимое:

1 метода:

Целые числа – это числа, не содержащие дробную или десятичную часть. Если в задаче требуется сложить определенное количество целых чисел от 1 до заданного значения N, то их не нужно складывать вручную. Вместо этого воспользуйтесь формулой (N(N+1))/2, где N — наибольшее число ряда.

Шаги

1 Определите наибольшее целое число (N). Суммируя целые числа от 1 до любого заданного числа N, вы должны определить значение N (N не может быть десятичным числом или дробью или отрицательным числом).
- Пример. Найдите сумму всех целых чисел от 1 до 100. В этом случае N=100, так как это наибольшее (и конечное) число данного вам числового ряда.
2 Умножьте N на (N +1) и разделите результат умножения на 2. Когда вы определили целое значение N, подставьте его в формулу (N(N+1))/2 и вы найдете сумму всех целых чисел от 1 до N.
- Пример. Подставьте N=100 и получите (100(100+1))/2.
3 Запишите ответ. Окончательный ответ есть сумма всех целых чисел от 1 до данного N.
- Пример.
  - (100(100+1))/2 =
  - (100(101))/2 =
  - (10100)/2 = 5050
  - Сумма всех целых чисел от 1 до 100 равна 5050.
4 Вывод формулы (N(N+1))/2. Еще раз рассмотрим вышеописанный пример. Мысленно разделите ряд 1 + 2 + 3 + 4 + … + 99 + 100 на два ряда — первый от 1 до 50, а второй от 51 до 100. Если вы сложите первое число (1) первого ряда и последнее число (100) второго ряда, то вы получите 101. Вы также получите 101, если сложите 2 и 99, 3 и 98, 4 и 97, и так далее. Если каждое число первой группы сложить с соответствующим числом второй группы, то в итоге мы получим 50 чисел, каждое из которых равно 101. Поэтому 50*101 = 5050 — сумма чисел от 1 до 100. Обратите внимание, что 50 = 100/2 и 101 = 100 + 1. На самом деле это справедливо для суммы любых положительных целых чисел: их суммирование можно разбить на два этапа с двумя рядами чисел, причем соответствующие числа в каждом ряду могут быть сложены друг с другом, а результат сложения будет одинаковым.
- Можно сказать, что сумма целых чисел от 1 до N равна (N/2)(N+1). Упрощенная запись этой формулы есть формула (N(N+1))/2.

Вычисление суммы чисел, расположенных между двумя числами, посредством суммы от 1 до N

1 Определите вариант суммирования (включительно или нет). Часто в задачах вместо того, чтобы найти сумму чисел от 1 до заданного числа N, просят найти сумму целых чисел от N₁ до N₂, где N₂ > N₁ и оба числа > 1. Вычислить такую сумму довольно просто, но, прежде чем приступать к вычислениям, вы должны определить, включаются ли данные числа в N₁ и N₂ в конечную сумму или нет.
2 Чтобы найти сумму целых чисел между двумя числами N₁ and N₂, отдельно найдите сумму до N₁, отдельно найдите сумму до N₂ и вычтите их друг из друга (вычтите сумму до меньшего значения N из суммы до большего значения N). При этом важно знать, суммировать ли включительно или нет. При суммировании включительно вы должны вычесть 1 из данного значения N₁; в противном случае вы должны вычесть 1 из данного значения N₂.
- Пример. Найдем сумму («включительно») целых чисел от N₁ = 75 до N₂ = 100. Другими словами, мы должны найти 75 + 76 + 77 + … + 99 + 100. Чтобы решить задачу, мы должны найти сумму целых чисел от 1 до N₁-1, а затем вычесть ее от суммы чисел от 1 до N₂ (запомните: при суммировании включительно мы вычитаем 1 из N₁):
  - (N₂(N₂ + 1))/2 — ((N₁-1)((N₁-1) + 1))/2 =
  - (100(100 + 1))/2 — (74(74 + 1))/2 =
  - 5050 — (74(75))/2 =
  - 5050 — 5550/2 =
  - 5050 — 2775 = 2275. Сумма чисел от 75 до 100 («включительно») равна 2275.
- Теперь найдем сумму чисел без включения данных чисел (другими словами, мы должны найти 76 + 77 + … + 99). В этом случае мы вычитаем 1 из N₂:
  - ((N₂-1)((N₂-1) + 1))/2 — (N₁(N₁ + 1))/2 =
  - (99(99 +1))/2 — (75(75 + 1))/2 =
  - (99(100))/2 — (75(76))/2 =
  - 9900/2 — 5700/2 =
  - 4950 — 2850 = 2100. Сумма чисел от 75 до 100 (без включения этих чисел) равна 2100.
3 Уясните процесс. Представьте себе сумму целых чисел от 1 до 100 как 1 + 2 + 3 +… + 98 + 99 + 100 и сумму целых чисел от 1 до 75 как 1 + 2 + 3 + … + 73 + 74 + 75. Сумма целых чисел от 75 до 100 («включительно») есть вычисление: 75 + 76 + 77 + … + 99 + 100. Сумма чисел от 1 до 75 и сумма чисел от 1 до 100 равны до числа 75, но сумма чисел от 1 до 100 после числа 75 продолжается: … + 76 + 77 + … + 99 + 100. Таким образом, вычитая сумму чисел от 1 до 75 из суммы чисел от 1 до 100 мы «изолируем» сумму целых чисел от 75 до 100.
- Если мы суммируем включительно, мы должны использовать сумму от 1 до 74, а не на сумму от 1 до 75, чтобы включить число 75 в конечную сумму.
- Аналогично, если мы суммируем без включения данных чисел, мы должны использовать сумму от 1 до 99, а не на сумму от 1 до 100, чтобы исключить число 100 из конечной суммы. Мы можем использовать сумму от 1 до 75, так как ее вычитание из суммы от 1 до 99 исключает число 75 из конечной суммы.

Советы

В результате вычисления суммы всегда получается целое число, потому что либо N, либо N +1 – четное число, которое делится на 2 без остатка.
Сумма[a до b] = Сумма[1 до b] – Сумма[1 до a-1].
Другими словами: Сумма[1 до n] = n(n+1)/2

Предупреждения

Хотя распространить этот метод на отрицательные числа не очень сложно, в данной статье рассматриваются только любые положительные целые числа N, где N больше или равно 1.

Прислал: Сорокина Лидия . 2017-11-12 10:30:08

kak-otvet.imysite.ru

сумма чисел от 1 до 100

арифметическая прогрессия. а (1) = 1 а (n) = 100 S = (а (1)+а (n))/2 * n считайте

Нужно цифры складывать парами 1+99, 2+98 3+97 и т. д. В сумме в каждой паре будет 100 и таких пар будет 49. Умножаем на 100 получаем 4900. Прибавляем 50 и 100 получается в сумме 5050

Это вычисление Арифметической суммы чисел S =( A1 + A 100 ) / 2 * 100 S = ( 1 + 100 ) / 2 * 100 = 5050

Есть формула n(n+1)/2 N-это число до которого ты хочешь найти сумму в твоем случае это 100 на 101 и делить на 2.Что равно 5050

touch.otvet.mail.ru

сумма чисел от 1 до n

сумма натуральных чисел от 1 до n

В разделе Домашние задания

на вопрос помогите пожалуйста!! вычислите сумму натуральных чисел от 1+2+3+4+…+97+98+99+100. заданный автором Малосольный лучший ответ это Выдающегося немецкого математика Карла Фридриха Гаусса (1777-1855) современники называли «королём математики» .
Ещё в раннем детстве он проявлял незаурядные математические способности. В возрасте трех лет Гаусс уже исправлял счета отца.
Рассказывают, что в начальной школе, где учился Гаусс (6 лет) , учитель, чтобы занять класс на продолжительное время самостоятельной работой, дал задание ученикам — вычислить сумму всех натуральных чисел от 1 до 100. Маленький Гаусс ответил на вопрос почти мгновенно, чем невероятно удивил всех и, прежде всего, учителя.
Давайте попробуем устно решить задачу о нахождении суммы указанных выше чисел. Для начала возьмём сумму чисел от 1 до 10: 1 +2 + 3 + 4 + 5 + 6 + +7 + 8 + 9 + 10.
Гаусс обнаружил, что 1 + 10 = 11, и 2 + 9 = 11, и так далее. Он определил, что при сложений натуральных чисел от 1 до 10 получается 5 таких пар, и что 5 раз по 11 равно 55.
Гаусс увидел, что сложение чисел всего ряда следует проводить попарно, и составил алгоритм быстрого сложения чисел от 1 до 100.
1 2 3 4 5 6 7 8 …49 50 51 52 …94 95 96 97 98 99 100
1. Необходимо подсчитать количество пар чисел в последовательности от 1 до 100. Получаем 50 пар.
2. Складываем первое и последнее числа всей последовательности. В нашем случае это 1 и 100. Получаем 101.
3. Умножаем количество пар чисел в последовательности на полученную в пункте 2 сумму. Получаем 5050.
Таким образом, сумма натуральных чисел от 1 до 100 равна 5050.
Простая формула: сумма чисел от 1 до n = n * (n+1) : 2. Вместо n подставляйте последнее число и вычисляйте.
Проверьте! Это работает!

Ответ от 22 ответа[гуру]

Привет! Вот подборка тем с ответами на Ваш вопрос: помогите пожалуйста!! вычислите сумму натуральных чисел от 1+2+3+4+…+97+98+99+100.

Ответ от Ђаня Фертикова[новичек]
5050

Ответ от Невролог[активный]
5050

Ответ от Павел соломенников[новичек]
5050

Ответ от Добросить[новичек]
5050

Ответ от Ђигр Тихомирова[активный]
5050

Ответ от Изольда Кшыштопоповжецкая[активный]
это арифметическая пргрессия. а1=1 а100=100. п=100
сумма чисел=(1+100)/2*100=50,5*100=5050

Ответ от Мария дубровина[новичек]
5050

Ответ от Ѐавил Бадиров[новичек]
5050

Ответ от Дмитрий[активный]
5050

Ответ от Евгений Саяпов[активный]
5050

Ответ от 2 ответа[гуру]

Привет! Вот еще темы с нужными ответами:

Арифметическая прогрессия на Википедии
Посмотрите статью на википедии про Арифметическая прогрессия

Натуральный ряд на Википедии
Посмотрите статью на википедии про Натуральный ряд

Ответить на вопрос:

22oa.ru

помогите пожалуйста!! вычислите сумму натуральных чисел от 1+2+3+4+…+97+98+99+100.

Выдающегося немецкого математика Карла Фридриха Гаусса (1777-1855) современники называли «королём математики» . Ещё в раннем детстве он проявлял незаурядные математические способности. В возрасте трех лет Гаусс уже исправлял счета отца. Рассказывают, что в начальной школе, где учился Гаусс (6 лет) , учитель, чтобы занять класс на продолжительное время самостоятельной работой, дал задание ученикам — вычислить сумму всех натуральных чисел от 1 до 100. Маленький Гаусс ответил на вопрос почти мгновенно, чем невероятно удивил всех и, прежде всего, учителя. Давайте попробуем устно решить задачу о нахождении суммы указанных выше чисел. Для начала возьмём сумму чисел от 1 до 10: 1 +2 + 3 + 4 + 5 + 6 + +7 + 8 + 9 + 10. Гаусс обнаружил, что 1 + 10 = 11, и 2 + 9 = 11, и так далее. Он определил, что при сложений натуральных чисел от 1 до 10 получается 5 таких пар, и что 5 раз по 11 равно 55. Гаусс увидел, что сложение чисел всего ряда следует проводить попарно, и составил алгоритм быстрого сложения чисел от 1 до 100. 1 2 3 4 5 6 7 8 …49 50 51 52 …94 95 96 97 98 99 100 1. Необходимо подсчитать количество пар чисел в последовательности от 1 до 100. Получаем 50 пар. 2. Складываем первое и последнее числа всей последовательности. В нашем случае это 1 и 100. Получаем 101. 3. Умножаем количество пар чисел в последовательности на полученную в пункте 2 сумму. Получаем 5050. Таким образом, сумма натуральных чисел от 1 до 100 равна 5050. Простая формула: сумма чисел от 1 до n = n * (n+1) : 2. Вместо n подставляйте последнее число и вычисляйте. Проверьте! Это работает!

это арифметическая пргрессия. а1=1 а100=100. п=100 сумма чисел=(1+100)/2*100=50,5*100=5050

Да! 200 раз написать одно и то же число — просто гениально! Она с первого раза не поняла!