Фсу формулы сокращенного умножения примеры с решениями – Формулы сокращенного умножения. Подробная теория с примерами.

Формулы сокращенного умножения. Примеры.

data-ad-client=»ca-pub-8602906481123293″
data-ad-slot=»2890988705″>

1)    Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения плюс удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.

       (a+b)² = a²+2ab+b² 

  a) (x + 2y)² = x² + 2 ·x·2y + (2y)² = x² + 4xy + 4y²

б) (2k + 3n)² = (2k)² + 2·2k·3n + (3n)² = 4k² + 12kn + 9n²

2)    Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.

        (a-b)² = a²

-2ab+b²

 а)   (2a – c)² = (2a)²-2·2a·c + c² = 4a² – 4ac + c²

б)   (3a – 5b)² = (3a)²-2·3a·5b + (5b)² = 9a² – 30ab + 25b²

3)    Разность квадратов двух выражений равна произведению разности самих выражений на их сумму.

         a²–b² = (a–b)(a+b)

a)      9x² – 16y² = (3x)² – (4y)² = (3x – 4y)(3x + 4y)

б)  (6k – 5n)( 6k + 5n) = (6k)² – (5n)² = 36k² – 25n²

4)  Куб суммы двух выражений равен кубу первого выражения плюс утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго плюс куб второго выражения.

        (a+b)³ = a³+3a²b+3ab²+b³

a)  (m + 2n)³ = m³ + 3·m²·2n + 3·m·(2n)² + (2n)³ = m³ + 6m²n + 12mn² + 8n³

б)  (3x + 2y)³ = (3x)³ + 3·(3x)²·2y + 3·3x·(2y)² + (2y)³ = 27x³ + 54x²y + 36xy² + 8y³

5)  Куб разности двух выражений равен кубу первого выражения минус утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго минус куб второго выражения.

(a-b)³ = a³-3a²b+3ab²-b³

а)  (2x – y)³ = (2x)³-3·(2x)²·y + 3·2x·y² – y³ = 8x³ – 12x²y + 6xy² – y³

б)  (x – 3n)³ = x³-3·x²·3n + 3·x·(3n)² – (3n)³ = x

3 – 9x²n + 27xn² – 27n³

6)  Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы самих выражений на неполный квадрат их разности.

a³+b³ = (a+b)(a²–ab+b²)

a)      125 + 8x³ = 5³ + (2x)³ = (5 + 2x)(5² — 5·2x + (2x)²) = (5 + 2x)(25 – 10x + 4x²)

б)  (1 + 3m)(1 – 3m + 9m²) = 1³ + (3m)³ = 1 + 27m³

7)  Разность кубов двух выражений равна произведению разности самих выражений на неполный квадрат их суммы.

 a³-b³ = (a-b)(a²+ab+b²)

а) 64с³ – 8 = (4с)³ – 2³ = (4с – 2)((4с)² + 4с·2 + 2²) = (4с – 2)(16с² + 8с + 4)

б) (3a – 5b)(9a² + 15ab + 25b²) = (3a)³ – (5b)³ = 27a

3 – 125b³

Дорогие друзья! Карта сайта поможет вам выбрать нужную тему.

 

Запись имеет метки: Правила и формулы сокращенного умножения

www.mathematics-repetition.com

7 класс. Алгебра. Формулы сокращенного умножения. — Формулы сокращенного умножения.

Комментарии преподавателя

На данном уроке мы познакомимся с формулами квадрата суммы и квадрата разности и выведем их. Формулу квадрата суммы докажем геометрически. Кроме того, решим много различных примеров с применением этих формул.

 

Рас­смот­рим фор­му­лу квад­ра­та суммы:

.

Итак, мы вы­ве­ли фор­му­лу квад­ра­та суммы:

.

Сло­вес­но эта фор­му­ла вы­ра­жа­ет­ся так: квад­рат суммы равен квад­ра­ту пер­во­го числа плюс удво­ен­ное про­из­ве­де­ние пер­во­го числа на вто­рое плюс квад­рат вто­ро­го числа.

Дан­ную фор­му­лу легко пред­ста­вить гео­мет­ри­че­ски.

Рас­смот­рим квад­рат со сто­ро­ной :

 – пло­щадь квад­ра­та.

С дру­гой сто­ро­ны, этот же квад­рат можно пред­ста­вить иначе, раз­бив сто­ро­ну на а и b (рис. 1).

Рис. 1. Квад­рат

Тогда пло­щадь квад­ра­та можно пред­ста­вить в виде суммы пло­ща­дей:

.

По­сколь­ку квад­ра­ты были оди­на­ко­вы, то их пло­ща­ди равны, зна­чит:

 .

Итак, мы до­ка­за­ли гео­мет­ри­че­ски фор­му­лу квад­ра­та суммы.

Рас­смот­рим при­ме­ры:

При­мер 1:

.

Ком­мен­та­рий: при­мер решен с при­ме­не­ни­ем фор­му­лы квад­ра­та суммы.

При­мер 2:

.

При­мер 3:

+1.

Вы­ве­дем фор­му­лу квад­ра­та раз­но­сти:

.

Итак, мы вы­ве­ли фор­му­лу квад­ра­та раз­но­сти:

.

Сло­вес­но эта фор­му­ла вы­ра­жа­ет­ся так: квад­рат раз­но­сти равен квад­ра­ту пер­во­го числа минус удво­ен­ное про­из­ве­де­ние пер­во­го числа на вто­рое плюс квад­рат вто­ро­го числа.

Рас­смот­рим при­ме­ры:

При­мер 4:

.

При­мер 5:

.

При­мер 6:

.

Фор­му­лы квад­ра­та суммы и квад­ра­та раз­но­сти могут ра­бо­тать как слева на­пра­во, так и спра­ва на­ле­во. При ис­поль­зо­ва­нии слева на­пра­во это будут фор­му­лы со­кра­щен­но­го умно­же­ния, они при­ме­ня­ют­ся при вы­чис­ле­нии и пре­об­ра­зо­ва­нии при­ме­ров. А при ис­поль­зо­ва­нии спра­ва на­ле­во – фор­му­лы раз­ло­же­ния на мно­жи­те­ли.

Рас­смот­рим при­ме­ры, в ко­то­рых нужно раз­ло­жить за­дан­ный мно­го­член на мно­жи­те­ли, при­ме­няя фор­му­лы квад­ра­та суммы и квад­ра­та раз­но­сти. Для этого нужно очень вни­ма­тель­но по­смот­реть на мно­го­член и опре­де­лить, как имен­но его пра­виль­но раз­ло­жить.

При­мер 7:

.

Ком­мен­та­рий: для того, чтобы раз­ло­жить мно­го­член на мно­жи­те­ли, нужно опре­де­лить, что пред­став­ле­но в дан­ном вы­ра­же­нии. Итак, мы видим квад­рат  и квад­рат еди­ни­цы. Те­перь нужно найти удво­ен­ное про­из­ве­де­ние – это . Итак, все необ­хо­ди­мые эле­мен­ты есть, нужно толь­ко опре­де­лить, это квад­рат суммы или раз­но­сти. Перед удво­ен­ным про­из­ве­де­ни­ем стоит знак плюс, зна­чит, перед нами квад­рат суммы.

При­мер 8:

.

При­мер 9:

.

Ком­мен­та­рий: для ре­ше­ния дан­но­го при­ме­ра нужно вы­не­сти минус за скоб­ки, чтобы можно было уви­деть нуж­ную нам фор­му­лу.

Пе­рей­дем к ре­ше­нию урав­не­ний:

При­мер 10:

;

;

;

www.kursoteka.ru

Формулы сокращённого умножения в задачах повышенной сложности. Ч.2

Вспомним, какие задачи можно решать с помощью формул сокращенного умножения. Конечно, в первую очередь – это упрощение умножения многочленов. Вторая задача – разложение многочлена на множители. Формулы сокращенного умножения справедливы для любых значений  и , поэтому усложнение задачи во многом определяется именно усложнением выражений  и . Рассмотрим пример.

Пример 1 – решить уравнение:

;

;

 или  или

Рассмотрим первое из полученных уравнений:

; . Данное уравнение не имеет решений, поскольку квадрат любого выражения есть число положительное, а справа стоит число отрицательное.

Рассмотрим второе уравнение:

;

Третье уравнение:

;

Ответ:  или .

Комментарий: для решения данного уравнения нужно сначала разложить левую часть на множители, для этого нужно использовать формулу разно

interneturok.ru

Самостоятельный работы 7кл «Формулы сокращенного умножения».

Класс________ Фамилия________________ Имя______________

Самостоятельная работа

. «Формулы сокращенного умножения».

Вариант 1

1. (х + 1)² = _______________________________________

2. (7 – а)² = _______________________________________

3. (х — 1)(х + 1) = __________________________________

4. 4 – 36а² = ______________________________________

5. а³ + 8 = ________________________________________

6. 216 – m³ = ______________________________________

7. (х² – 2)³ = _______________________________________________________

8. (2х + р)³ = _______________________________________________________

Класс________ Фамилия________________ Имя______________

Самостоятельная работа. «Формулы сокращенного умножения».

Вариант 2

1. (2х + 1)

   2 = _______________________________________

2. (7 – 2а)² = _______________________________________

3. (х — 2)(х + 2) = ____________________________________

4. 100 – а² = ________________________________________

5. 27а³ + 1 = ________________________________________

6. 64 – m³ = ________________________________________

7. (х² – а)³ = ________________________________________________________

8. ( х + 2р)³ = _______________________________________________________

Класс________ Фамилия________________ Имя______________

Самостоятельная работа. «Формулы сокращенного умножения».

Вариант 3

1. (х + 3)² = ________________________________________

2. (5 – а)² = _________________________________________

3. (х — 4)(х + 4) = ____________________________________

4. d² – 9а² = _________________________________________

5. 64а³ + 1 = ________________________________________

6. 1000 – m³ = _______________________________________

7. (2х² – 1)³ = _____________________________________________________

8. ( k + 2р)³ = _____________________________________________________

Класс________ Фамилия________________ Имя______________

Самостоятельная работа. «Формулы сокращенного умножения».

Вариант 4

1. (3х + 7)² = _______________________________________

2. (9 – 2а)² = _______________________________________

3. (х — 3)(х + 3) = ____________________________________

4. 4 – 81а² = ________________________________________

5. а³ + 125 = ________________________________________

6. 1 – m³ = _________________________________________

7. (aх² – 2)³ = ______________________________________________________

8. ( х +3 р)³ = ______________________________________________________

Класс________ Фамилия________________ Имя______________

Самостоятельная работа. «Формулы сокращенного умножения».

Вариант 5

1. (х + 8)² = _______________________________________

2. (3 – 4а)² = _______________________________________

3. (х — 6)(х + 6) = __________________________________

4. 144 – 25а² = ______________________________________

5. а³ + 343 = ________________________________________

6. 1 – 27m³ = ______________________________________

7. (х² – ad)³ = _______________________________________________________

8. (2х + р²)³ = _______________________________________________________

Класс________ Фамилия________________ Имя______________

Самостоятельная работа. «Формулы сокращенного умножения».

Вариант 6

1. (2х + 10)² = _______________________________________

2. (3 – 2а)² = _______________________________________

3. (х — 9)(х + 9) = ____________________________________

4. 100 – 64а² = ________________________________________

5. 0,008а³ + 1 = ________________________________________

6. 343 – m³ = ________________________________________

7. (х² – 2а)³ = ________________________________________________________

8. ( х² + 2р)³ = _______________________________________________________

Класс________ Фамилия________________ Имя______________

Самостоятельная работа. «Формулы сокращенного умножения».

Вариант 7

1. (4х + 6)² = ________________________________________

2. (5 –7 а)² = _________________________________________

3. (х — 10)(х + 10) = ____________________________________

4. 225d² – 9а² = _________________________________________

5. 64а³ + 27 = ________________________________________

6. 0,001 – m³ = _______________________________________

7. ( х² – 3)³ = _____________________________________________________

8. ( х + 4)³ = _____________________________________________________

Класс________ Фамилия________________ Имя______________

Самостоятельная работа. «Формулы сокращенного умножения».

Вариант 8

1. (3х + 5)² = _______________________________________

2. (2 – 7а)² = _______________________________________

3. (х — 12)(х + 12) = ____________________________________

4. 9 – а² = ________________________________________

5. 8а³ + 125 = ________________________________________

6. 1 – 64m³ = _________________________________________

7. (aх² – 1)³ = ______________________________________________________

8. ( х² +3 р)³ = ______________________________________________________

Класс________ Фамилия________________ Имя______________

Самостоятельная работа. «Формулы сокращенного умножения».

Вариант 9

1. (3х + 4)² = _______________________________________

2. (3d – 4а)² = _______________________________________

3. (2х — 6)(2х + 6) = __________________________________

4. 121 – 25а² = ______________________________________

5. а³ + 1000 = ________________________________________

6. 8 – 27m³ = ______________________________________

7. (2х² – ad)³ = _______________________________________________________

8. (2х³ + р²)³ = _______________________________________________________

Класс________ Фамилия________________ Имя______________

Самостоятельная работа. «Формулы сокращенного умножения».

Вариант 10

1. (2х + 5)² = _______________________________________

2. (3n – 2а)² = _______________________________________

3. (х — 9)(х + 9) = ____________________________________

4. 25 – 64а² = ________________________________________

5. 0,027а³ + 1 = ________________________________________

6. 216 – m³ = ________________________________________

7. (nх² – 2а)³ = ________________________________________________________

8. ( d² + 5р)³ = _______________________________________________________

Класс________ Фамилия________________ Имя______________

Самостоятельная работа. «Формулы сокращенного умножения».

Вариант 11

1. (3х + 2)² = ________________________________________

2. (5m –7 а)² = _________________________________________

3. (х — 10)(х + 10) = ____________________________________

4. 49d² – 9а² = _________________________________________

5. 64а³ + 125 = ________________________________________

6. 0,001a⁶ – m³ = _______________________________________

7. ( х² – 3d)³ = _____________________________________________________

8. ( х + 4d)³ = _____________________________________________________

Класс________ Фамилия________________ Имя______________

Самостоятельная работа. «Формулы сокращенного умножения».

Вариант 12

1. (3х + 1)² = _______________________________________

2. (2c – 7а)² = _______________________________________

3. (х — 12)(х + 12) = ____________________________________

4. 36 – а² = ________________________________________

5. 8а³ + 729 = ________________________________________

6. 1 – 27m³ = _________________________________________

7. (aх² – 3)³ = ______________________________________________________

8. ( х² +4р)³ = ______________________________________________________

infourok.ru

Тренажер по теме : «Формулы сокращенного умножения»

Тренажер №1 по теме : «Формулы сокращенного умножения»

№	Задание	Вариант 1	Вариант 2	Вариант 3	Вариант 4	Вариант 5
1	Раскрыть скобки	(a + 2)2	(x + 4)2	(7 + x)2	(2y + 3)2	(5x + 4y)2
2	Раскрыть скобки	( x — 3)2	( a — 5)2	( 8 — x)2	( 3a — 1)2	(8a – 5b)2
3	Представить в виде квадрата суммы	a2+ 4ab + 4b2	a2+ 8a + 16	25b2+ 10bc + c2	16a2+24ab + 9b2	9x2+ 42xy + 49y2
4	Представить в виде квадрата разности	9m2— 6mn +n2	m2— 12m + 36	4z2— 20z + 25	36a2— 24ab +4b2	64x2— 48xy +9y2
5	Разложите на множители	25a2 – 9b2	16a2 – 64b2	49x2 – 0,25	81a6 – 25b8	121x2 – 0,16y4
6	Выполните умножение	(2 – 3x)(2 + 3x)	(5x + 1)(5x – 1)	(7x – 3)(7x + 3)	(4b + 5a)(5a – 4b)	(2n – 3m)(3m +2n)
7	Представьте в виде произведения многочленов	m3+n3	a3+1	8x3+64	27m3+ 8n3	125x3+ 216y3
8	Представьте в виде произведения многочленов	t3 — 64	a3 — 8	27x3 — 125	64m3 – p3	27a3 – 64b3
9	Раскройте скобки	(a + 4)3	(1 +a)3	(x + 3)3	(2a + 1)3	(4x + 2y)3
10	Раскройте скобки	(b — 5)3	(p — 2)3	(4 — b)3	(2x — 3)3	(5a – 3b)3

Тренажер №2 по теме : « Формулы сокращенного умножения»

№	Задание	Вариант 1	Вариант 2	Вариант 3	Вариант 4	Вариант 5
1	Преобразуйте выражение в многочлен	5(4x – 1)2	2a(4 – a)2	(y + 7)23	x2(x + 2)2	x2(x + 2)2
2	Преобразуйте выражение в многочлен	x(x + 2)(x — 2)	7(2a – 5)(2a +5 )	(a3 – 3)(a3 +3 )4	(8 – 3x2)(8 + 3x)2x	(3m – 9)(3m + 9)4m2
3	Преобразуйте выражение в многочлен	(2p – 3)(2p + 3) — 11	(4m – 3)(4m + 3) — 2m	4x2— (5x – 2)(5x + 2)	(c2 – 2b)(c2 + 4b)+4c2	25 — (9 – n)(9 + n)
4	Разложите многочлен на множители	25 — (2a +3)2	(4x — 1)2 — 36	49 — (3x -4)2	(3m+5)2 — 64	(7a — 3)2 — 100
5	Разложите многочлен на множители	(2 — x)2 — (3x +5)2	(5 + x)2 — (7 — x)2	(7 +5m)2 — (3m -2)2	(3x — 1)2 — (4 – 2x)2	(a — 2b)2 — (2b + a )2
6	Сократить дробь
7	Сократить дробь
8	Сократить дробь
9	Сократить дробь

Тренажер №3 по теме : « Формулы сокращенного умножения»

№	Задание	Вариант 1	Вариант 2	Вариант 3	Вариант 4	Вариант 5
1	Вычислить, используя формулу квадрата суммы	422	532	612	742	832
2	Вычислить, используя формулу квадрата разности	992	672	482	562	782
3	Вычислить, применив формулу квадрата суммы и квадрата разности:	52 + 2 5 3 + 32	72 — 2 7 3 + 32	42+ 2 4 6 + 62	32— 48 + 82	62+ 108+ 92
4	Вычислить, используя разложение на множители	472 — 372	1262 — 742	532 — 632	472 — 332	792 — 612
5	Вычислить, используя разложение на множители	3,12 – 0,12	2,72 – 0,72	5,82 – 3,82	6,42 – 3,62	8,22 – 1,82
6	Разложите многочлен на множители	3842	56 64	81 99	8179	56 44
7	Разложите многочлен на множители	22 18	37 43	54 46	2713	61 59
8	Вычислить
9	Вычислить

videouroki.net

Формулы сокращенного умножения

Формулы для возведения двучлена в $n$-ю степень

Если вспомнить уроки алгебры и математики, то для упрощения вычислений и преобразований различных выражений можно пользоваться заранее выведенными формулами. Одними из таких формул являются формулы возведения двучлена в $n-ю$ степень.

Данные формулы можно вывести с помощью бинома Ньютона.

Формула бинома Ньютона для натуральных чисел имеет следующий вид:

${(a+b)}^n=C^0_na^n+C^1_na^{n-1}b+C^2_na^{n-2}b^2+\dots +C^{n-1}_nab^{n-1}+C^n_nb^n$

Здесь $C^0_n,\ C^1_n,\dots ,C^{n-1}_n,C^n_n$ — коэффициенты Бинома Ньютона.

Коэффициенты разложения Бинома Ньютона можно находить с помощью треугольника Паскаля.

Треугольник Паскаля имеет следующую структуру (таблица 1).

Рисунок 1. Структура треугольника Паскаля. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Значения коэффициентов треугольника паскаля приведены в следующей таблице:

Рисунок 2. Коэффициенты треугольника Паскаля. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Формулы для вычисления квадратов и кубов суммы и разности

Используя Бином Ньютона можно легко найти формулы для вычисления квадратов и кубов суммы и разности. Получим следующие формулы сокращенного сложения (далее – формулы ФСУ):

Квадрат суммы:

${(a+b)}^2=a^2+2ab+b^2$

Квадрат разности:

${(a-b)}^2=a^2-2ab+b^2$

Куб суммы:

${(a+b)}^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$

Куб разности:

${(a-b)}^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$

Используя полученные ФСУ, можно выводить также формулы кубов и квадратов трехчленов и многочленов с 4-мя и выше количеством членов. Приведем пример такого вывода. Найдем квадрат суммы трехчлена:

${(a+b+c)}^2$

Для этого сделаем следующую замену. Пусть $a+b=t$, тогда

${(a+b+c)}^2={(t+c)}^2$

Воспользуемся ФСУ квадрата суммы:

${(t+c)}^2=t^2+2tc+c^2$

Вернемся к замене:

${(a+b)}^2+2(a+b)c+c^2$

Вновь воспользуемся формулой a2 b2 сумма квадратов:

${(a+b)}^2+2\left(a+b\right)c+c^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$

Другие формулы сокращенного умножения

Представим еще несколько формул сокращенного умножения.

1. Разность квадратов двух выражений равна произведению их разность на их сумму:

   $\left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^2-ab+ab-b^2=a^2-b^2$

2. Сумма кубов двух выражений а3+b3 равна произведению разности этих выражений на неполный квадрат их суммы:

   $\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)=a^3+a^2b+ab^2-a^2b-ab^2-b^3=a^3-b^3$

3. Разность кубов двух выражений равна произведению суммы этих выражений на неполный квадрат их разности:

   $\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)=a^3-a^2b+ab^2+a^2b-ab^2+b^3=a^3+b^3$

Примеры задач на применение формул сокр. умножения

Пример 1

Упростить уравнение:

а) ${(x+8)}^2-2\left(x+8\right)\left(x-2\right){+(x-2)}^2$

б) ${(y+7)}^2-2\left(y+1\right)\left(y-1\right){+(y-7)}^2$

в) $\left(a+5\right)\left(a^2-5a+25\right)-a(a^2+3)$

г) $\left(2b-1\right)\left({4b}^2+2b+1\right)-b\left(b-1\right)(b+1)$

Решение:

а) ${(x+8)}^2-2\left(x+8\right)\left(x-2\right){+(x-2)}^2$

Воспользуемся формулой квадрата разности:

${(x+8)}^2-2\left(x+8\right)\left(x-2\right){+(x-2)}^2=$

${=(x+8-x+2)}^2={10}^2=100$

б) ${(y+7)}^2-2\left(y+1\right)\left(y-1\right){+(y-7)}^2$

Воспользуется формулами квадрата суммы и разности, и разности квадратов:

${(y+7)}^2-2\left(y+1\right)\left(y-1\right){+(y-7)}^2=$

$=y^2+14y+49-2y^2+2+y^2-14y+49=100$

в) $\left(a+5\right)\left(a^2-5a+25\right)-a(a^2+3)$

Воспользуемся формулой суммы кубов а3+b3:

$\left(a+5\right)\left(a^2-5a+25\right)-a\left(a^2+3\right)=$

$=a^3+125-a^3-3a=125-3a$

г) $\left(2b-1\right)\left({4b}^2+2b+1\right)-b\left(b-1\right)(b+1)$

Воспользуемся формулой разности кубов и разности квадратов:

$\left(2b-1\right)\left({4b}^2+2b+1\right)-b\left(b-1\right)\left(b+1\right)=$

$={8b}^3-1-b^3+1={7b}^3$

spravochnick.ru

Урок алгебры в 7-м классе для дистанционного обучения детей с ограниченными возможностями «Формулы сокращенного умножения»

Разделы: Математика

---

Цель: научиться применять формулы сокращенного умножения при решении примеров, повторить материал.

План:

1. Ключевые слова.
2. Доказательство формулы суммы кубов.
3. Примеры.
4. Повторение.
5. Примеры с объяснением
6. Домашнее задание.

Ключевые слова: квадрат суммы, квадрат разности, куб суммы, куб разности, разность квадратов, сумма кубов, разность кубов.

Квадрат суммы

двух величин равен квадрату первой плюс удвоенное произведение первой на вторую плюс квадрат второй (a+b)²=a²+2ab+ b²

Квадрат разности двух величин равен квадрату первой минус удвоенное произведение первой на вторую плюс квадрат второй. (a-b)²=a²-2ab+b²

Произведение суммы двух величин на их разность равно разности их квадратов. (a+b)(a-b)=a²-b²

Куб суммы двух величин равен кубу первой плюс утроенное произведение квадрата первой на вторую плюс утроенное произведение первой на квадрат второй плюс куб второй. (a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³

Куб разности двух величин равен кубу первой минус утроенное произведение квадрата первой на вторую плюс утроенное произведение первой на квадрат второй минус куб второй. (a-b)³=a³-3a²b+3ab²-b³

Произведение суммы двух величин на неполный квадрат разности равно сумме их кубов. ( a+b)(a²-ab+b²)=a³+b³

Произведение разности двух величин на неполный квадрат суммы равно разности их кубов. (a-b)(a²+ab+b²)=a³- b³

Очень часто приведение многочлена к стандартному виду можно осуществить путём применения формул сокращённого умножения . Все они доказываются непосредственным раскрытием скобок и приведением подобных слагаемых. Формулы сокращённого умножения нужно знать наизусть.

Пример. Докажите формулу a ³  +  b ³  = ( a  +  b )( a ²  –  ab  +  b ² ). 

Решение. Имеем ( a  +  b )( a ²  –   ab  +  b ² ) =  a ³  –  a ² b  +  ab ²  +  ba ²  –  ab ²  –  b ³. Приводя подобные слагаемые, мы видим, что ( a  +  b )( a ²  –  ab  +   b ² ) =  a ³  +  b ³, что и доказывает нужную формулу.

Пример.  Упростите выражение (2 x ³  – 5 z )(2 x ³  + 5 z ).

Решение. Воспользуемся формулой разности квадратов, получим: (2 x ³  – 5 z )(2 x ³  + 5 z ) = (2 x ³ ) ²  – (5 z ) ²  = 4 x ⁶  – 25 z ².

Ответ.  4 x ⁶  – 25 z ².

Разложить многочлен на множители значит представить его в виде произведения более простых многочленов.

Немного теории.

Существует несколько способов разложения:

Вынесение общего множителя за скобки

Алгоритм отыскания общего множителя нескольких одночленов

Найти наибольший общий делитель коэффициентов всех одночленов, входящих в многочлен, — он и будет общим числовым множителем (разумеется, это относится только к случаю целочисленных коэффициентов).

Найти переменные, которые входят в каждый член многочлена, и выбрать для каждой из них наименьший (из имеющихся) показатель степени.

Произведение коэффициента, найденного на первом шаге, является общим множителем, который целесообразно вынести за скобки.

Найти наибольший общий делитель коэффициентов всех одночленов, входящих в многочлен, — он и будет общим числовым множителем (разумеется, это относится только к случаю целочисленных коэффициентов).

Найти переменные, которые входят в каждый член многочлена, и выбрать для каждой из них наименьший (из имеющихся) показатель степени.

Произведение коэффициента, найденного на первом шаге, является общим множителем, который целесообразно вынести за скобки.

Найти наибольший общий делитель коэффициентов всех одночленов, входящих в многочлен, — он и будет общим числовым множителем (разумеется, это относится только к случаю целочисленных коэффициентов).

Найти переменные, которые входят в каждый член многочлена, и выбрать для каждой из них наименьший (из имеющихся) показатель степени.

Произведение коэффициента, найденного на первом шаге, является общим множителем, который целесообразно вынести за скобки.

Найти наибольший общий делитель коэффициентов всех одночленов, входящих в многочлен, — он и будет общим числовым множителем (разумеется, это относится только к случаю целочисленных коэффициентов).

Найти переменные, которые входят в каждый член многочлена, и выбрать для каждой из них наименьший (из имеющихся) показатель степени.

Произведение коэффициента, найденного на первом шаге, является общим множителем, который целесообразно вынести за скобки.

Способ группировки

Алгоритм разложение многочлена на множители способом группировки

1. Сгруппировать его члены так, чтобы слагаемые в каждой группе имели общий множитель.
2. Вынести в каждой группе общий множитель в виде одночлена за скобки.
3. Вынести в каждой новой группе общий множитель (в виде многочлена) за скобки

Разложение многочлена на множители с помощью комбинации различных приемов

В математике не так часто бывает, чтобы при решении примера применялся только один прием, чаще встречаются комбинированные примеры, где сначала используется один прием, затем другой и т.д. Чтобы успешно решать такие примеры, мало знать сами приемы, надо еще уметь выработать план их последовательного применения. Иными словами, здесь нужны не только знания, но и опыт. Вот такие комбинированные примеры мы и рассмотрим.

Пример 1

Разложить на множители многочлен 36a6b3-96a4b4+64a2b5

Сначала займемся вынесением общего множителя за скобки. Рассмотрим коэффициенты 36, 96, 64. Все они делятся на 4.

НОД(36,96,64)=4. Во все члены многочлена входит переменная a (соответственно a6, a4, a2), поэтому за скобки можно вынести a2. Во все члены многочлена входит переменная b (соответственно b3, b4, b5) – за скобки можно вынести b3.

Итак, за скобки вынесем 4a2b3.

36a6b3-96a4b4+64a2b5=4a2b3(9a4-24a2b+16b2).

2) Рассмотрим трехчлен в скобках: 9a4-24a2b+16b2. Выясним, не является ли он полным квадратом. Имеем:

9a⁴ — 24a2b + 16b² = (3a²)² — 2·3a²·4b + (4b)².

Все условия полного квадрата соблюдены, следовательно,

9a⁴ — 24a²b + 16b² = (3a²-4b)².

3) Комбинируя два приема (вынесение общего множителя за скобки и использование формул сокращенного умножения), получаем окончательный результат:

36a⁶b³-96a⁴b⁴+64a²b⁵= 4a²b³(3a²-4b)².

Пример 1

Разложить на множители многочлен 36a⁶b³-96a⁴b⁴+64a²b⁵

Решение (краткая запись)

36a⁶b³-96a⁴b⁴+64a²b⁵=4a²b³(9a⁴-24a²b+16b²) =4a²b³ (3a²-4b)²

Комбинируем два приема:

• вынесение общего множителя за скобки;
• использование формул сокращенного умножения.

Пример 2

Разложить на множители многочлен a² — с² + b² + 2ab

Решение:

Комбинируем два приема:

• группировку;
• использование формул сокращенного умножения

Пример 3

Разложить на множители многочлен y³ – 3y² + 6y – 8

Попробуйте его решить

Комбинируйте три приема:

• группировку;
• формулы сокращенного умножения;
• вынесение общего множителя за скобки.

Решение:

y³ – 3y² + 6y – 8=(y³-8)-(3y²-6y) = (y-2)(y²+2y+4)-3y(y-2) = (y-2)(y²+2y+4-3y)=(y-2)(y2-y+4).

Комбинирование различных приемов

Порядок применения различных методов при разложении многочлена на множители

Попробовать разложить многочлен на множители по формулам сокращенного умножения.

“Вынести общий множитель за скобку (если он есть).

Увидеть” и попробовать выделить полный квадрат.

Попытаться применить способ группировки (если предыдущие способы не привели к цели).

За страницами учебника алгебры

Квадратное уравнение – это уравнение вида: ax²+bx+c=0 (где a=0)

Многочлен вида: ax²+bx+с – квадратный трёхчлен.

Коэффициенты: a, b, с (где с – свободный член)

Задание 1. Разложить на множители x²+5x-6, используя метод предварительного преобразования.

Внимание! Делители свободного члена.

Задание 2.

Разложить на множители x³+2x²-5x-6, используя метод предварительного преобразования.

Внимание! Делители свободного члена.

Пример 4

Разложить на множители n³+3n²+2n

Сначала воспользуемся тем, что n можно вынести за скобки: n(n²+3n+2). Теперь к трехчлену n²+3n+2 применим способ группировки, предварительно представив 3n в виде 2n+n. Получим:

n²+3n+2=n²+2n+n+2=(n²+2n)+(n+2)=n(n+2)+(n+2)=(n+2)(n+1).

Окончательно получаем:

n²+3n+2=n(n+1)(n+2).

Задание: самостоятельно попробуйте сделать краткую запись примера

Метод выделения полного квадрата

Пример разложить на множители квадратный трехчлен х²-6x+5

Первый способ.

Используем предварительное преобразование, обращая внимание на свободный член +5. Делители 5: +1,-1,+5,-5.

Представим –6x=–x+(-5x), а затем применим способ группировки:

x²-6x+5=x²-5x+5=(x²-x)+(-5x+5)=x(x-1)-5(x-1)=(x-1)(x-5).

Второй способ.

Применим метод выделения полного квадрата, для этого обратим внимание на удвоенное произведение 6х=2*х*3.

Значит полный квадрат будет справедлив для двух выражений х и 3.

x²-6x+5=(x²-2·x·³+32)-32+5 = (x²-6x+9)-9+5 = (x²-6x+9)-4 = (x-3)²-22=(x-3-2)(x-3+2) = (x-5)(x-1)

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

Мы научились использовать комбинацию различных приемов при разложение многочлена на множители. Попытались выработать план применения на практике.

При разложении многочлена на множители мы использовали следующие способы:

• вынесение общего множителя за скобки;
• группировка, в том числе с использованием предварительного преобразования;
• использование формул сокращенного умножения;
• выделение полного квадрата;
• комбинирование различных приемов.

Домашнее задание. № 645, 654, 648(в,г).

19.05.2009

xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai

No related posts.