Фундаментальное решение системы уравнений – Однородные системы линейных алгебраических уравнений. Фундаментальная система решений. Первая часть.

📝Фундаментальная система решений

Чтобы понять, что такое фундаментальная система решений вы можете посмотреть видео-урок для этого же примера кликнув здесь. Теперь перейдем собственно к описанию всей необходимой работы. Это поможет вам более детально разобраться в сути данного вопроса.

Как найти фундаментальную систему решений линейного уравнения?

Возьмём для примера такую систему линейных уравнений:

Найдём решение этой линейной системы уравнений методом Гаусса. Для начала нам надо выписать матрицу коэффициентов системы.

Преобразуем эту матрицу к треугольной. Первую строку переписываем без изменений. И все элементы, что стоят под $a_{11}$, надо сделать нулями. Что бы сделать ноль в место элемента $a_{21}$, надо от второй строки вычесть первую, и разность записать во второй строке. Что бы сделать ноль в место элемента $a_{31}$, надо от третьей строки вычесть первую и разность записать в третьей строке. Что бы сделать ноль в место элемента $a_{41}$, надо от четвёртой строки вычесть первую умноженную на 2 и разность записать в четвёртой строке. Что бы сделать ноль в место элемента $a_{31}$, надо от пятой строки вычесть первую умноженную на 2 и разность записать в пятой строке.

Первую и вторую строку переписываем без изменений. И все элементы, что стоят под $a_{22}$, надо сделать нулями. Что бы сделать ноль в место элемента $a_{32}$, надо от третьей строки вычесть вторую умноженную на 2 и разность записать в третьей строке. Что бы сделать ноль в место элемента $a_{42}$, надо от четвёртой строки вычесть вторую умноженную на 2 и разность записать в четвёртой строке. Что бы сделать ноль в место элемента $a_{52}$, надо от пятой строки вычесть вторую умноженную на 3 и разность записать в пятой строке.

Видим, что последние три строки – одинаковые, поэтому если от четвёртой и пятой вычесть третью, то они станут нулевыми.

По этой матрице записываем новую систему уравнений.

Видим, что линейно независимых уравнений у нас, только три, а неизвестных пять, поэтому фундаментальная система решений будет состоять из двух векторов . Значит, нам надо перенести две последние неизвестные вправо.

Теперь, начинаем выражать те неизвестные, что стоят в левой части через те, что стоят в правой части. Начинаем с последнего уравнения, сначала выразим $x_3$, потом полученный результат подставим во второе уравнение и выразим $x_2$, а потом в первое уравнение и тут выразим $x_1$. Таким образом мы все неизвестные, что стоят в левой части, выразили через неизвестные, что стоят в правой части.

После чего вы вместо $x_4$ и $x_5$, можем подставлять любые числа и находить $x_1$, $x_2$ и $x_3$. Каждая такая пятёрка чисел будет корнями нашей изначальной системы уравнений. Что бы найти векторы, что входят в ФСР нам надо вместо $x_4$ подставить 1, а вместо $x_5$ подставить 0, найти $x_1$, $x_2$ и $x_3$, а потом наоборот $x_4=0$ и $x_5=1$.

Какие именно векторы создают фундаментальную систему решений данной системы уравнений?

Для лучшего понимания хода роботы можете посмотреть видео-урок по данном задании.

Материалы по теме:

Поделиться с друзьями:

Загрузка…

matemonline.com

Фундаментальная система решений

Рассмотрим систему однородных линейных алгебраических уравнений.

(1)

Выпишем матрицу A

Определение 1.

Минор матрицы называется базисным , если он неравен 0, и окаймляющие его миноры либо все равны 0, либо совсем отсутствуют.

Теорема о базисном миноре.

Столбцы матрицы, пересекающие главный минор линейно независимы; Всякий столбец через них линейно выражается.

Определение 2.

Всякая максимальная линейно независимая система решений однородной системы уравнений (1), называется фундаментальной системой решений (ФСР).

Теорема:

Если ранг r , матрицы из коэффициентов системы линейных однородных уравнений (1), меньше m, то всякая ФСР системы (1) состоит из n-r решений.

Пример №1.

Дана однородная система линейных алгебраических уравнений

.

Найти ФСР и общее решение системы.

1.Составим матрицу системы.

2. Легко показать, что ранг матрицы A=2, значит ФСР состоит из трех решений (5-2=3).

3. В матрице A возьмем базисный минор (минор второго порядка):

.

4. Отбрасываем последние уравнения системы , а неизвестные ,

считаем «свободными» и переносим их в правую часть уравнений.

Получим:

. (2)

5. Ищем первое базисное решение X , для этого положим , тогда получим систему:

(3)

Определителем матрицы системы является базисный минор, он отличен от 0, значит система (3) имеет единственное решение: .

Таким образом

= .

6. Полагая в системе (2), находимто есть, вторым базисным решением является столбец:

.

7. Полагая: , получаем —

.

8. Итак, ФСР получена; построенная таким образом ФСР называется нормальной.

9. Столбцы образующие ФСР линейно независимы, так как свободные неизвестные были выброшены так, что выделенный минор третьего порядка отличен от 0;

10.Теперь выпишем общее решение исходной однородной системы линейных алгебраических уравнений.

,

.

Неоднородная система линейных алгебраических уравнений

(1)

Общее решение неоднородной системы линейных алгебраических уравнений (1) имеет вид:

(2)

где – какое-либо решение системы (1).

общее решение соответствующей однородной системы, для которой – ФСР.

Пример №2.

Дана неоднородная система линейных алгебраических уравнений:

Доказать, что это система совместна и найти ее общее решение.

Решение:

1. Легко показать, что rang Ᾱ = rang A

2. Рассмотрим соответствующую однородную систему уравнений, эта система из примера №1. Её ФСР и общее решение найдены. Выделим в матрицу Ᾱ базисный минор, стоящий на пересечении первых двух строк со вторым и третьим столбцами. Тогда последовательность уравнений системы есть следствие двух первых уравнений системы, а неизвестные можно считать «свободными», поэтому исходная система эквивалентна системе:

Решив её, находим единственное решение:

Найдено частное решение данной неоднородной системы.

.

Общее решение исходной неоднородной системы получим с помощью формулы (2).

=

или

Это решение можно было бы получить методом исключения неизвестных. ФСР определяется неоднозначно, но число элементов в ФСР всегда равно .

studfiles.net

Однородные СЛАУ. Фундаментальная система решений

Задание. Найти общее решение и ФСР однородной системы

Решение. Приведем систему к ступенчатому виду с помощью метода Гаусса. Для этого записываем матрицу системы (в данном случае, так как система однородная, то ее правые части равны нулю, в этом случае столбец свободных коэффициентов можно не выписывать, так как при любых элементарных преобразованиях в правых частях будут получаться нули):

с помощью элементарных преобразований приводим данную матрицу к ступенчатому виду. От второй строки отнимаем первую, от третьей — четыре первых, от четвертой — две первых:

Обнуляем элементы второго столбца, стоящие под главной диагональю, для этого от третьей строки отнимаем три вторых, к четвертой прибавляем вторую:

От четвертой строки отнимем третьей и третью строку умножим на :

Нулевые строки можно далее не рассматривать, тогда получаем, что

Далее делаем нули над главной диагональю, для этого от первой строки отнимаем третью, а ко второй строке прибавляем третью:

то есть получаем систему, соответствующую данной матрице:

Или, выразив одни переменные через другие, будем иметь:

Здесь — независимые (или свободные) переменные (это те переменные, через которые мы выражаем остальные переменные), — зависимые (связанные) переменные (то есть те, которые выражаются через свободные). Количество свободных переменных равно разности общего количества переменных (в рассматриваемом примере , так как система зависит от пяти переменных) и ранга матрицы (в этом случае получили, что — количество ненулевых строк после приведения матрицы к ступенчатому виду):

Так как ранг матрицы , а количество неизвестных системы , то тогда количество решений в ФСР (для проверки, это число должно равняться количеству свободных переменных).

Для нахождения ФСР составляем таблицу, количество столбцов которой соответствует количеству неизвестных (то есть для рассматриваемого примера равно 5), а количество строк равно количеству решений ФСР (то есть имеем две строки). В заголовке таблицы выписываются переменные, свободные переменные отмечаются стрелкой. Далее свободным переменным придаются любые, одновременно не равные нулю значений и из зависимости между свободными и связанными переменными находятся значения остальных переменных. Для рассматриваемой задачи эта зависимость имеет вид:

Тогда придавая в первом случае, например, независимым переменным значения , получаем, что . Полученные значения записываем в первую строку таблицы. Аналогично, беря , , будем иметь, что , что и определяет второе решение ФСР. В итоге получаем следующую таблицу:

Эти две строчки и есть фундаментальным решением заданной однородной СЛАУ. Частное решение системы:

Общее решение является линейной комбинацией частных решений:

где коэффициенты не равны нулю одновременно. Или запишем общее решение в таком виде:

  

Придавая константам определенные значения и подставляя их в общее решение, можно будет находить частные решения однородной СЛАУ.

www.webmath.ru

28. Фундаментальная система решений ослу

Фундаментальной системой решений однородной системы из p линейных алгебраических уравнений с n

неизвестными переменными называют совокупность (n – r) линейно независимых решений этой системы, где r – порядок базисного минора основной матрицы системы. Если обозначить линейно независимые решения однородной СЛАУ как X⁽¹⁾, X⁽²⁾, …, X^(n-r) (X⁽¹⁾, X⁽²⁾, …, X^(n-r) – это матрицы столбцы размерности n на 1), то общее решение этой однородной системы представляется в виде линейной комбинации векторов фундаментальной системы решений с произвольными постоянными коэффициентами С₁, С₂, …, С_(n-r), то есть, . Что обозначает термин общее решение однородной системы линейных алгебраических уравнений (орослау)? Смысл прост: формула задает все возможные решения исходной СЛАУ, другими словами, взяв любой набор значений произвольных постоянных С₁, С₂, …, С_(n-r), по формуле мы получим одно из решений исходной однородной СЛАУ. Таким образом, если мы найдем фундаментальную систему решений, то мы сможем задать все решения этой однородной СЛАУ как . Покажем процесс построения фундаментальной системы решений однородной СЛАУ. Выбираем базисный минор исходной системы линейных уравнений, исключаем все остальные уравнения из системы и переносим в правые части уравнений системы с противоположными знаками все слагаемые, содержащие свободные неизвестные переменные. Придадим свободным неизвестным переменным значения1, 0, 0, …, 0 и вычислим основные неизвестные, решив полученную элементарную систему линейных уравнений любым способом, например, методом Крамера. Так будет получено X⁽¹⁾ — первое решение фундаментальной системы. Если придать свободным неизвестным значения 0, 1, 0, 0, …, 0 и вычислить при этом основные неизвестные, то получим X⁽²⁾. И так далее. Если свободным неизвестным переменным придадим значения0, 0, …, 0, 1 и вычислим основные неизвестные, то получим X^(n-r). Так будет построена фундаментальная система решений однородной СЛАУ и может быть записано ее общее решение в виде . Для неоднородных систем линейных алгебраических уравнений общее решение представляется в виде , где — общее решение соответствующей однородной системы, а — частное решение исходной неоднородной СЛАУ, которое мы получаем, придав свободным неизвестным значения 0, 0, …, 0 и вычислив значения основных неизвестных. Разберем на примерах.  Пример. Найдите фундаментальную систему решений и общее решение однородной системы линейных алгебраических уравнений . Решение. Ранг основной матрицы однородных систем линейных уравнений всегда равен рангу расширенной матрицы. Найдем ранг основной матрицы методом окаймляющих миноров. В качестве ненулевого минора первого порядка возьмем элемент a_{1 1} = 9 основной матрицы системы. Найдем окаймляющий ненулевой минор второго порядка:   Минор второго порядка, отличный от нуля, найден. Переберем окаймляющие его миноры третьего порядка в поисках ненулевого:   Все окаймляющие миноры третьего порядка равны нулю, следовательно, ранг основной и расширенной матрицы равен двум. Базисным минором возьмем . Отметим для наглядности элементы системы, которые его образуют:   Третье уравнение исходной СЛАУ не участвует в образовании базисного минора, поэтому, может быть исключено:   Оставляем в правых частях уравнений слагаемые, содержащие основные неизвестные, а в правые части переносим слагаемые со свободными неизвестными:   Построим фундаментальную систему решений исходной однородной системы линейных уравнений. Фундаментальная система решений данной СЛАУ состоит из двух решений, так как исходная СЛАУ содержит четыре неизвестных переменных, а порядок ее базисного минора равен двум. Для нахождения X⁽¹⁾ придадим свободным неизвестным переменным значения x₂ = 1, x₄ = 0, тогда основные неизвестные найдем из системы уравнений . Решим ее методом Крамера:  Таким образом, . Теперь построим X⁽²⁾. Для этого придадим свободным неизвестным переменным значения x₂ = 0, x₄ = 1, тогда основные неизвестные найдем из системы линейных уравнений . Опять воспользуемся методом Крамера:  Получаем . Так мы получили два вектора фундаментальной системы решений и , теперь мы можем записать общее решение однородной системы линейных алгебраических уравнений: , где C₁ и C₂ – произвольные числа.

studfiles.net

Фундаментальная система решений — это… Что такое Фундаментальная система решений?

Фундаментальная система решений (ФСР) представляет собой набор линейно независимых решений однородной системы уравнений.

Однородные системы

Однородной системой линейных уравнений называется система вида:

Нулевое решение системы (1) называется тривиальным решением.

Однородные системы всегда совместны, т.к. всегда существует тривиальное решение.

Если существует любое ненулевое решение системы, то оно называется нетривиальным.

Решения однородной системы обладают свойством линейности:

Теорема (о линейном решении однородных систем). Пусть — решения однородной системы (1), — произвольные константы. Тогда также является решением рассматриваемой системы.

Сформулируем теорему, которая позволит дать основное определение:

Пусть дана однородная система (1), тогда набор векторов размера называется фундаментальной системой решений (ФСР) (1), если:

Пример

Решим систему

Перепишем её в матричном виде:

Путём элементарных преобразований над строками приведём её основную матрицу к ступенчатому виду:

Таким образом ранг системы (ранг её основной матрицы) равен двум. Это значит, что существует линейно независимых решения системы.

Перепишем полученную систему в виде уравнений:

Возьмём и в качестве главных переменных. Тогда:

Подставим по очереди единицы в качестве одной из свободных переменных: и .

Тогда общее решение рассматриваемой системы может быть записано так:

,

а вектора составляют фундаментальную систему решений.

Неоднородные системы

Неоднородной системой линейных уравнений называется система вида:

— её расширенная матрица.

Пример

Решим систему

Преобразуем её к

Тогда переменные и обязательно будут главными, возьмём также в качестве главной.

Заметим, что является частным решением.

Составим однородную систему:

Тогда, подставив единицу в качестве свободной переменной , получим ФСР однородной системы:

Общее решение системы может быть записано так:

Литература

Ильин В. А., Позняк Э. Г. Линейная алгебра: Учебник для вузов. — 6-е изд., стер. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 280 с.

См. также

Wikimedia Foundation. 2010.

dic.academic.ru

Фундаментальная система решений линейного однородного уравнения

 Определение. Любые линейно независимых решений линейного однородного дифференциального уравнения-ного порядка называетсяфундаментальной системой решений этого уравнения.

Из предыдущих теорем сразу следует еще одна важная теорема.

Теорема 7. Решения уравнения (2) образуют фундаментальную систему решений этого уравнения тогда и только тогда, когда их определитель Вронскогоотличен от 0 хотя бы в одной точке.

Доказательство. Равносильная переформулировка утверждения теоремы – решения линейно зависимы тогда и только тогда, когдана. Но это утверждение сразу следует из теорем 5 и 6.

Теорема 8. Для любого линейного однородного дифференциального уравнения (2) существует фундаментальная система его решений.

Доказательство. Построим такую фундаментальную систему решений. Для этого возьмемпроизвольную точку и поставимразличных задач Коши:.

По теореме 1 о существовании и единственности у каждой из этих задач имеется решение, и мы обозначим — решение 1-й задачи,- решение 2-й задачи, …,- решение-ной задачи. Мы получили- решения уравнения (2). Найдемдля этих функций:. Следовательно, по теореме 7, функцииобразуют искомую фундаментальную систему решений уравнения (2).

Теорема 9. Пусть — фундаментальная система решений уравнения (2). Тогда для любого решенияэтого уравнения существуют постоянныетакие, что.

Доказательство. Возьмем произвольную точку и рассмотрим систему уравнений относительно неизвестных:(11). Определитель этой системыне равен 0, т.к.- фундаментальная система решений. Поэтому у нее существует (и притом единственное) решение. Рассмотрим теперь функцию. По теореме 2 она является решением уравнения (2). Ввиду равенств (11) значения этой функции и ее производных до порядкавключительно в точкесовпадают со значениямии ее последовательных производных в точке. По теореме 1 оединственности решения задачи Коши ,.

Замечание. Теоремы 8 и 9 означают, что размерность векторного пространства решений уравнения (2) равна , а любая фундаментальная система решений представляет собой базис этого пространства

значениями и ее последовательных производных в точке. По теореме 1 оединственности решения задачи Коши ,.

Замечание. Теоремы 8 и 9 означают, что размерность векторного пространства решений уравнения (2) равна , а любая фундаментальная система решений представляет собой базис этого пространства

Билет №15

Структура общего решения неоднородной системы

Любые n – r линейно независимых решений системы называются ее фундаментальной системой решений.

частное решение

Билет №16

Линейный оператор в (В линейном пространстве). Матрица линейного пространства

Линейные операторы. Матрица линейного оператора. Примеры линейных операторов.

Определение. Если каждому элементу ставится в соответствие единственный элемент, то говорят, что в пространствеRⁿ задан оператор, действующий в пространстве Rⁿ.

Результат действия оператора A на элемент обозначают.

Если элементы исвязаны соотношением, тоназываютобразом элемента ; элемент—прообразом элемента .

Множество элементов пространства Rⁿ, для которых определено действие оператора A, называют областью определения оператора A и обозначают D(A).

Множество элементов пространства Rⁿ, которые являются образами элементов из области определения D(A) оператора A, называют образом оператора A и обозначают Im(A). Если , то.

Ядром оператора называется множество элементов пространства Rⁿ, образом которых является нуле

нулевой элемент. Ядро оператора обозначают Ker(A): .

Определение. Оператор A, действующий в пространстве Rⁿ называется линейным оператором, если для любых изRⁿ и для любого числа α справедливо:

и .

Определение. Матрица, столбцами которой являются координаты образов соответствующих базисных векторов некоторого базиса в Rⁿ —

называется матрицей линейного оператора

Билет №17

Действия с линейными операторами и их матрицами

Рассмотрим линейный оператор , действующий в конечномерном линейном пространстве. Доказано, что образлинейного операторалинейное пространство. Размерность образа линейного оператора называетсярангом оператора, обозначается .

Ядром линейного оператора называется множество элементов из , образом которых является нулевой элемент. Ядро оператора обозначают:. Ядро линейного операторалинейное пространство; размерность ядра линейного оператора называетсядефектом оператора, обозначается :.

Для линейного оператора, действующего в n-мерном линейном пространстве , справедливы следующие утверждения:

сумма ранга и дефекта оператора равно размерности пространства, в котором действует оператор: ;

ранг оператора равен рангу его матрицы;

ядро оператора совпадает с множеством  решений линейной однородной системы с матрицей , размерность пространства решений этой системы равна дефекту оператора, а ее фундаментальная система решений образует базис в ядре оператора;

столбцы, входящие в базисный минор матрицы оператора образуют базис в образе оператора.

Сформулированные утверждения позволяют описать структуру образа и ядра линейного оператора, заданного матрицей, используя язык матричных преобразований и общей теории линейных систем.

Билет №18

Преобразование координат вектора и матрицы линейного оператора. Их свойства и вычисления.

Пусть в -мерном линейном пространствевыбран базис, который мы будем для удобства называть «старый» и другой базис, который мы будем называть «новый». Возьмем призвольный векториз. Его координатный столбец в старом базисе обозначим, а в новом —. Нам нужно выяснить, как связаны друг с другом координаты в старом и в новом базисе. Для этого нам сначала нужно «связать» друг с другом старый и новый базисы. Запишем разложения новых базисных векторов по старому базису

Составим матрицу, столбцами которой служат координатные столбцы векторов нового базиса

Эта матрица называется матрицей перехода от старого базиса к новому.

studfiles.net

29. Неоднородные системы линейных уравнений. Свойства их решений. Построение общего решения нслу.

Структура общего решения неоднородной системы уравнений

Ранее была выведена формула (5.11) общего решения системы линейных уравнений. Получим другую форму записи, отражающую структуру множества решений.

Рассмотрим неоднородную систему и соответствующую ей однородную систему. Между решениями этих систем имеются связи, выражающиеся следующими свойствами.

Свойства решений неоднородной системы уравнений

1. Разность двух решений инеоднородной системы есть решение однородной системы.

Действительно, из равенств иследует, что.

2. Пусть — решение неоднородной системы. Тогда любое решениенеоднородной системы можно представить в виде

, где — решение однородной системы.

В самом деле, для любого решения неоднородной системы разностьпо свойству 1 является решением однородной системы, т.е.— решение однородной системы.

Теорема 5.4 о структуре общего решения неоднородной системы.

Пусть — решение неоднородной системы, а— фундаментальная система решений соответствующей однородной системы уравнений. Тогда столбец

при любых значениях [i]произвольных постоянных является решением неоднородной системы, и, наоборот, для каждого решенияэтой системы найдутся такие значения произвольных постоянных, при которых это решениеудовлетворяет равенству (5.15).[/i]

Говорят, что общее решение неоднородной системы есть сумма частного решения неоднородной системы и общего решения соответствующей однородной системы.

Доказательство теоремы вытекает из свойств 1, 2 и теоремы 5.3.

Алгоритм решения неоднородной системы уравнений

1-5. Выполнить первые 5 пунктов метода Гаусса решения системы уравнений и получить формулу общего решения неоднородной системы вида (5.11).

6. Найти частное решение неоднородной системы, положив в (5.11) все свободные переменные равными нулю.

7. Записав формулы (5.13) общего решения соответствующей однородной системы, составить фундаментальную систему ее решений. Для этого подставить в (5.13) последовательностандартных наборов значений свободных переменных, в которых все переменные равны нулю, за исключением одной, равной единице.

8. Записать общее решение неоднородной системы по формуле (5.15).

Замечания 5.4

1. Используя фундаментальную матрицу однородной системы, решение неоднородной системыможно представить в виде

где — частное решение неоднородной системы, а— столбец произвольных постоянных.

2. Если базисный минор матрицы расположен в левом верхнем углу (в первыхстроках и первыхстолбцах), то упрощенный вид расширенной матрицы (5.9) неоднородной системы можно представить в виде блочной матрицы

Тогда блочная матрица оказывается фундаментальной (см. п.3 замечаний 5.3), а столбецявляется частным решением неоднородной системы (в этом можно убедиться, подставляя в (5.11) нулевой набор свободных переменных). Используя блочные матрицы, общее решение (5 15) неоднородной системы можно представить в виде

где — столбец произвольных постоянных. Полученную формулу можно считатьвторым способом решения неоднородной системы.

Пример 5.5. Найти структуру (5.15) общего решения неоднородной системы

Решение. 1-5. Первые 5 пунктов метода Гаусса выполнены при решении примера 5.3, где получены формулы общего решения неоднородной системы:

Переменные — базисные, а— свободные.

6. Полагая , получаем частное решение неоднородной системы.

7. Находим фундаментальную систему решений однородной системы (см. пример 5.4):

8. Записываем по формуле (5.15) общее решение неоднородной системы

Искомая структура множества решений найдена

Получим формулу общего решения вторым способом, используя п.2 замечаний 5.4. При решении примера 5.3 расширенная матрица системы была приведена к упрощенному виду. Разбиваем ее на блоки:

Записываем частное решение неоднородной системы

и составляем фундаментальную матрицу:

По формуле (5.16) получаем общее решение неоднородной системы, которое преобразуем к виду (5.15):

которое совпадает с ранее полученным.

studfiles.net