Изменение порядка интегрирования – Изменить порядок интегрирования в двойном интеграле

Изменить порядок интегрирования в двойном интеграле

Разберемся как можно изменить порядок интегрирования в двойном интеграле на конкретном примере. Так должно быть гораздо понятнее, чем изучать скучную теорию.
Рассмотрим следующий интеграл:

   

 
Решение.
Пределы интегрирования нам известны, поэтому можем найти границы области интегрирования, которую принято обозначать буквой D.
Итак, область интегрирования D:

   

   

   

   

Построим эти области на координатной плоскости:

Область D располагается между прямыми х = 0 и х = 1 и ограничена сверху и снизу ветвями параболы . На рисунке эта область заштрихована.
Новые пределы интегрирования должны быть изменены так, чтобы внешний интеграл был от у, а внутренний — от х.
Рассмотрим область интегрирования D на рисунке.
Если ее спроецировать на ось Оу, то ее границами будут точки —2 и 2. Эти точки — пределы внешнего интегрирования.

Слева область D ограничена кривой . Но эту функцию нужно выразить относительно переменной х. Получим .
Справа область D ограничена прямой х = 1.
Запишем двойной интеграл с изменением порядка интегрирования:

   

Таким образом, самое главное в изменении порядка интегрирования — это правильно найти новые его пределы.
 

ru.solverbook.com

Изменение порядка интегрирования в двойном интеграле

Если область D является простой , то для вычисления двойного интеграла применимы обе формулы (1.5) и (1.6) .Следовательно :

 

.

 

Это равенство показывает , что повторное интегрирование не зависит от порядка интегрирования .

Этим обстоятельством часто пользуются при вычислении двойных интегралов , выбирая ту из двух формул , которая приводит к более простым выкладкам .

Пример 6.8.4.

Изменить порядок интегрирования в следующем интеграле :

 

.

 

Решение

Область интегрирования непосредственно не дана . Мы должны выяснить её вид по пределам повторных интегралов .Итак , по пределам повторных интегралов восстановим область D интегрирования .

Так как внутренний интеграл берётся по х , то пределы внутреннего интеграла показывают , какими линиями область D ограничена слева и справа .

Уравнения этих линий : Û (х –1)2 + у2 = 1; х =2 ; х= у

 

Приступим к изменению порядка интегрирования :

 

 

Этот пример показывает , как важно с самого начала продумать порядок интегрирования , т.е. предварительно следует посмотреть , для какой переменной лучше выбрать постоянные пределы интегрирования и выбрать тот способ . при котором двойной интеграл будет представлен меньшим числом повторного интеграла .

Пример 6.8.4. – Изменить порядок интегрирования в интеграле

 

 

y =ex ,

y = 2 ,Ûex = 2 Þx = ln 2 .

 

 

Пример 6.8.5.Вычислить по области D , ограниченной линиями :

 

 

 


Похожие статьи:

poznayka.org

поменять порядок интегрирования | VseSdam.ru

Разделы

  • Журналистика
    • Рефераты по журналистике
  • История
    • Рефераты по истории
  • Литература
    • Рефераты по литературе
  • Математика
    • Системы линейных алгебраических уравнений
    • Векторная алгебра
    • Область определения функции одной переменной
    • Непрерывность функции одной переменной
    • Аналитическая геометрия в пространстве
      • Прямая и плоскость в пространстве
      • Поверхности
    • Матрицы и определители
      • Матрицы и действия с ними
      • Обратная матрица
      • Вычисление определителей
      • Собственные числа и собственные векторы
      • Ранг матрицы
      • Матричные уравнения
    • Аналитическая геометрия на плоскости
      • Прямая линия на плоскости
      • Кривые второго порядка
      • Геометрическое место точек
      • Полярная система координат
    • Пределы функций одной переменной
      • Отношение двух многочленов
      • Пределы с иррациональностями
      • Первый замечательный предел
      • Второй замечательный предел
      • Эквивалентные бесконечно малые функции
    • Производная функции одной переменной
      • Производные функций, заданных в явном виде
      • Производные неявно заданных функций
      • Производные параметрически заданных функций
      • Логарифмическое дифференцирование
      • Производные высших порядков
    • Применение производной функции одной переменной
      • Убывание и возрастание функций
      • Выпуклость и вогнутость функций
      • Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке
      • Задачи на наибольшее и наименьшее значения функций
      • Уравнения касательной и нормали
      • Приближенные вычисления с помощью дифференциала
      • Полное исследование функции и построение графика
    • Функции многих переменных
      • Область определения функций двух переменных
      • Частные производные функции многих переменных
      • Полная производная
      • Локальный экстремум функции двух переменных
      • Условный экстремум функции двух переменных
      • Полный дифференциал
      • Приближенные вычисления с помощью полного дифференциала
      • Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных в замкнутой области
      • Касательная плоскость и нормаль к поверхности
      • Пределы функций нескольких переменных
      • Линии и поверхности уровня
    • Неопределенные интегралы
      • Интегрирование по таблице
      • Интегрирование по частям
      • Интегрирование рациональных дробей
      • Интегрирование подстановкой
    • Определенные интегралы
      • Вычисление определенных интегралов
      • Нахождение площадей плоских фигур
      • Вычисление длины линии
      • Вычисление объемов тел вращения
      • Несобственные интегралы
    • Дифференциальные уравнения
      • Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
      • Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
      • Однородные дифференциальные уравнения первого порядка
      • Понижение порядка дифференциальных уравнений
      • Линейные дифференциальные уравнения высших порядков
      • Метод вариации производных постоянных (метод Лагранжа)
      • Системы дифференциальных уравнений
    • Числовые ряды
      • Нахождение сумм числовых рядов
      • Исследование сходимости знакопостоянных числовых рядов с помощью достаточных признаков сходимости (признаки сравнения, Д’Аламбера и Коши)
      • Знакочередующиеся и знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость.
      • Приближенное вычисление суммы ряда.
    • Функциональные ряды
      • Область сходимости степенных рядов
      • Разложение функций в ряд Тейлора (Маклорена)
      • Вычисление интегралов с помощью рядов
      • Приближенное решение дифференциальных уравнений
      • Ряды Фурье
      • Область сходимости функциональных рядов
    • Криволинейные интегралы
      • Криволинейные интегралы второго рода (по координатам)
      • Криволинейные интегралы первого рода (по длине дуги)
    • Кратные интегралы
      • Двойные интегралы в прямоугольной декартовой системе координат
      • Двойные интегралы в полярной системе координат
      • Тройные интегралы в прямоугольной декартовой системе координат
      • Тройные интегралы в цилиндрической системе координат
      • Тройные интегралы в сферической системе координат
    • Теория поля
      • Потенциал
      • Поток и циркуляция
      • Производная по направлению и градиент
    • Отдельные разделы
      • Метод наименьших квадратов
    • Вспомогательные материалы
‘; collapsItems[‘collapsCat-5:2’] = ‘
  • Рефераты по журналистике
‘; collapsItems[‘collapsCat-224:2’] = ‘
    ‘; collapsItems[‘collapsCat-6:2’] = ‘
    • Рефераты по истории
    ‘; collapsItems[‘collapsCat-226:2’] = ‘
      ‘; collapsItems[‘collapsCat-7:2’] = ‘
      • Рефераты по литературе
      ‘; collapsItems[‘collapsCat-17:2’] = ‘
        ‘; collapsItems[‘collapsCat-145:2’] = ‘
          ‘; collapsItems[‘collapsCat-26:2’] = ‘
            ‘; collapsItems[‘collapsCat-33:2’] = ‘
              ‘; collapsItems[‘collapsCat-24:2’] = ‘
                ‘; collapsItems[‘collapsCat-25:2’] = ‘
                  ‘; collapsItems[‘collapsCat-9:2’] = ‘
                • Прямая и плоскость в пространстве
                • Поверхности
                • ‘; collapsItems[‘collapsCat-11:2’] = ‘
                    ‘; collapsItems[‘collapsCat-12:2’] = ‘
                      ‘; collapsItems[‘collapsCat-15:2’] = ‘
                        ‘; collapsItems[‘collapsCat-16:2’] = ‘
                          ‘; collapsItems[‘collapsCat-13:2’] = ‘
                            ‘; collapsItems[‘collapsCat-14:2’] = ‘
                              ‘; collapsItems[‘collapsCat-10:2’] = ‘
                            • Матрицы и действия с ними
                            • Обратная матрица
                            • Вычисление определителей
                            • Собственные числа и собственные векторы
                            • Ранг матрицы
                            • Матричные уравнения
                            • ‘; collapsItems[‘collapsCat-20:2’] = ‘
                                ‘; collapsItems[‘collapsCat-21:2’] = ‘
                                  ‘; collapsItems[‘collapsCat-23:2’] = ‘
                                    ‘; collapsItems[‘collapsCat-22:2’] = ‘
                                      ‘; collapsItems[‘collapsCat-19:2’] = ‘
                                    • Прямая линия на плоскости
                                    • Кривые второго порядка
                                    • Геометрическое место точек
                                    • Полярная система координат
                                    • ‘; collapsItems[‘collapsCat-28:2’] = ‘
                                        ‘; collapsItems[‘collapsCat-29:2’] = ‘
                                          ‘; collapsItems[‘collapsCat-30:2’] = ‘
                                            ‘; collapsItems[‘collapsCat-31:2’] = ‘
                                              ‘; collapsItems[‘collapsCat-32:2’] = ‘
                                                ‘; collapsItems[‘collapsCat-27:2’] = ‘
                                              • Отношение двух многочленов
                                              • Пределы с иррациональностями
                                              • Первый замечательный предел
                                              • Второй замечательный предел
                                              • Эквивалентные бесконечно малые функции
                                              • ‘; collapsItems[‘collapsCat-35:2’] = ‘
                                                  ‘; collapsItems[‘collapsCat-36:2’] = ‘
                                                    ‘; collapsItems[‘collapsCat-37:2’] = ‘
                                                      ‘; collapsItems[‘collapsCat-38:2’] = ‘
                                                        ‘; collapsItems[‘collapsCat-39:2’] = ‘
                                                          ‘; collapsItems[‘collapsCat-34:2’] = ‘
                                                        • Производные функций, заданных в явном виде
                                                        • Производные неявно заданных функций
                                                        • Производные параметрически заданных функций
                                                        • Логарифмическое дифференцирование
                                                        • Производные высших порядков
                                                        • ‘; collapsItems[‘collapsCat-41:2’] = ‘
                                                            ‘; collapsItems[‘collapsCat-42:2’] = ‘
                                                              ‘; collapsItems[‘collapsCat-43:2’] = ‘
                                                                ‘; collapsItems[‘collapsCat-44:2’] = ‘
                                                                  ‘; collapsItems[‘collapsCat-45:2’] = ‘
                                                                    ‘; collapsItems[‘collapsCat-46:2’] = ‘
                                                                      ‘; collapsItems[‘collapsCat-47:2’] = ‘
                                                                        ‘; collapsItems[‘collapsCat-40:2’] = ‘
                                                                      • Убывание и возрастание функций
                                                                      • Выпуклость и вогнутость функций
                                                                      • Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке
                                                                      • Задачи на наибольшее и наименьшее значения функций
                                                                      • Уравнения касательной и нормали
                                                                      • Приближенные вычисления с помощью дифференциала
                                                                      • Полное исследование функции и построение графика
                                                                      • ‘; collapsItems[‘collapsCat-49:2’] = ‘
                                                                          ‘; collapsItems[‘collapsCat-52:2’] = ‘
                                                                            ‘; collapsItems[‘collapsCat-53:2’] = ‘
                                                                              ‘; collapsItems[‘collapsCat-54:2’] = ‘
                                                                                ‘; collapsItems[‘collapsCat-55:2’] = ‘
                                                                                  ‘; collapsItems[‘collapsCat-56:2’] = ‘
                                                                                    ‘; collapsItems[‘collapsCat-57:2’] = ‘
                                                                                      ‘; collapsItems[‘collapsCat-58:2’] = ‘
                                                                                        ‘; collapsItems[‘collapsCat-59:2’] = ‘
                                                                                          ‘; collapsItems[‘collapsCat-50:2’] = ‘
                                                                                            ‘; collapsItems[‘collapsCat-51:2’] = ‘
                                                                                              ‘; collapsItems[‘collapsCat-48:2’] = ‘
                                                                                            • Область определения функций двух переменных
                                                                                            • Частные производные функции многих переменных
                                                                                            • Полная производная
                                                                                            • Локальный экстремум функции двух переменных
                                                                                            • Условный экстремум функции двух переменных
                                                                                            • Полный дифференциал
                                                                                            • Приближенные вычисления с помощью полного дифференциала
                                                                                            • Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных в замкнутой области
                                                                                            • Касательная плоскость и нормаль к поверхности
                                                                                            • Пределы функций нескольких переменных
                                                                                            • Линии и поверхности уровня
                                                                                            • ‘; collapsItems[‘collapsCat-62:2’] = ‘
                                                                                                ‘; collapsItems[‘collapsCat-63:2’] = ‘
                                                                                                  ‘; collapsItems[‘collapsCat-64:2’] = ‘
                                                                                                    ‘; collapsItems[‘collapsCat-65:2’] = ‘
                                                                                                      ‘; collapsItems[‘collapsCat-61:2’] = ‘
                                                                                                    • Интегрирование по таблице
                                                                                                    • Интегрирование по частям
                                                                                                    • Интегрирование рациональных дробей
                                                                                                    • Интегрирование подстановкой
                                                                                                    • ‘; collapsItems[‘collapsCat-67:2’] = ‘
                                                                                                        ‘; collapsItems[‘collapsCat-68:2’] = ‘
                                                                                                          ‘; collapsItems[‘collapsCat-69:2’] = ‘
                                                                                                            ‘; collapsItems[‘collapsCat-70:2’] = ‘
                                                                                                              ‘; collapsItems[‘collapsCat-71:2’] = ‘
                                                                                                                ‘; collapsItems[‘collapsCat-66:2’] = ‘
                                                                                                              • Вычисление определенных интегралов
                                                                                                              • Нахождение площадей плоских фигур
                                                                                                              • Вычисление длины линии
                                                                                                              • Вычисление объемов тел вращения
                                                                                                              • Несобственные интегралы
                                                                                                              • ‘; collapsItems[‘collapsCat-73:2’] = ‘
                                                                                                                  ‘; collapsItems[‘collapsCat-74:2’] = ‘
                                                                                                                    ‘; collapsItems[‘collapsCat-75:2’] = ‘
                                                                                                                      ‘; collapsItems[‘collapsCat-76:2’] = ‘
                                                                                                                        ‘; collapsItems[‘collapsCat-77:2’] = ‘
                                                                                                                          ‘; collapsItems[‘collapsCat-78:2’] = ‘
                                                                                                                            ‘; collapsItems[‘collapsCat-79:2’] = ‘
                                                                                                                              ‘; collapsItems[‘collapsCat-72:2’] = ‘
                                                                                                                            • Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
                                                                                                                            • Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
                                                                                                                            • Однородные дифференциальные уравнения первого порядка
                                                                                                                            • Понижение порядка дифференциальных уравнений
                                                                                                                            • Линейные дифференциальные уравнения высших порядков
                                                                                                                            • Метод вариации производных постоянных (метод Лагранжа)
                                                                                                                            • Системы дифференциальных уравнений
                                                                                                                            • ‘; collapsItems[‘collapsCat-81:2’] = ‘
                                                                                                                                ‘; collapsItems[‘collapsCat-82:2’] = ‘
                                                                                                                                  ‘; collapsItems[‘collapsCat-83:2’] = ‘
                                                                                                                                    ‘; collapsItems[‘collapsCat-84:2’] = ‘
                                                                                                                                      ‘; collapsItems[‘collapsCat-80:2’] = ‘
                                                                                                                                    • Нахождение сумм числовых рядов
                                                                                                                                    • Исследование сходимости знакопостоянных числовых рядов с помощью достаточных признаков сходимости (признаки сравнения, Д’Аламбера и Коши)
                                                                                                                                    • Знакочередующиеся и знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость.
                                                                                                                                    • Приближенное вычисление суммы ряда.
                                                                                                                                    • ‘; collapsItems[‘collapsCat-87:2’] = ‘

                                                                                                                                        vsesdam.ru

                                                                                                                                        12.1. Изменение порядка интегрирования

                                                                                                                                        Г л а ва 12 К Р А Т Н Ы Е ИНТЕГРАЛЫ

                                                                                                                                        При изучении темы КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ вы научитесь за­ писывать области (на плоскости и в пространстве) с помощью нера­ венств в декартовых, полярных, цилиндрических и сферических ко­ ординатах, расставлять пределы интегрирования и сводить кратные интегралы к повторным. Вы научитесь также решать задачи гео­ метрии и механики с использованием двойных и тройных интегралов (в декартовых, полярных, обобщенных полярных, цилиндрических и сферических координатах).

                                                                                                                                        С помощью пакета РЕШЕБНИК.ВМ вы можете решить неравен­ ства, вычислить полученные повторные интегралы, выполнить все численные расчеты и проверить правильность полученных вами ре­ зультатов.

                                                                                                                                        ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Изменить порядок интегрирования

                                                                                                                                        b

                                                                                                                                        Х2(у)

                                                                                                                                        d

                                                                                                                                        х^{у)

                                                                                                                                         

                                                                                                                                        I =

                                                                                                                                        dy / f{x,y)dx+

                                                                                                                                        dy

                                                                                                                                        /

                                                                                                                                        f{x,y)dx.

                                                                                                                                        a

                                                                                                                                        xi{y)

                                                                                                                                        с

                                                                                                                                        хз(у)

                                                                                                                                         

                                                                                                                                        ПЛАН РЕШЕНИЯ.

                                                                                                                                        1. Область интегрирования состоит из двух областей Di и JD2. Зададим их неравенствами

                                                                                                                                        п — /г

                                                                                                                                        ^

                                                                                                                                        ^ ^ 2 / ^ ^ ?

                                                                                                                                        1

                                                                                                                                        286

                                                                                                                                        Гл. 12. Кратные интегралы

                                                                                                                                        2. Решаем системы неравенств, определяющих области Di и D25 относительноу и получаем

                                                                                                                                        у\^Чх) < у < у^^\х),

                                                                                                                                        у[^\х) <у< 2/f (:г).

                                                                                                                                        3. Определяем границы изменения а:, решая неравенства

                                                                                                                                         

                                                                                                                                        y[‘\x)<yi’\x),

                                                                                                                                        y f \ x ) < y f ( x ) .

                                                                                                                                         

                                                                                                                                        Получаем h < х < mi

                                                                                                                                        VL I2 < х < т2.

                                                                                                                                         

                                                                                                                                        4. Области D\ иD2 можно представить в виде

                                                                                                                                         

                                                                                                                                        п

                                                                                                                                        \f

                                                                                                                                        \

                                                                                                                                        h<x<mi,

                                                                                                                                        \

                                                                                                                                        ^^= [^-^У)—у^^\х)<у<у^^\х)]^

                                                                                                                                        5.Записываем интегралы / с измененным порядком интегриро­

                                                                                                                                        вания:

                                                                                                                                         

                                                                                                                                         

                                                                                                                                        mi

                                                                                                                                         

                                                                                                                                        У2^Чх)

                                                                                                                                        т г

                                                                                                                                         

                                                                                                                                        У^^Ч^)

                                                                                                                                         

                                                                                                                                         

                                                                                                                                        I

                                                                                                                                        =

                                                                                                                                        dx

                                                                                                                                        /

                                                                                                                                        f{x,y)dy+

                                                                                                                                        dx

                                                                                                                                         

                                                                                                                                        f{x,y)dy.

                                                                                                                                         

                                                                                                                                         

                                                                                                                                        ^^

                                                                                                                                        у[‘Чх)

                                                                                                                                         

                                                                                                                                        ‘-

                                                                                                                                         

                                                                                                                                        yfHx)

                                                                                                                                         

                                                                                                                                        6.

                                                                                                                                        Если

                                                                                                                                        /i =

                                                                                                                                        /2

                                                                                                                                        = /,

                                                                                                                                        mi

                                                                                                                                        = 7712 =

                                                                                                                                        m

                                                                                                                                        и

                                                                                                                                        У2 (^)

                                                                                                                                        == У1 (^)^^^

                                                                                                                                        2/2 (^) ~ 2/1

                                                                                                                                        (^)? TO J можно представить одним интегралом

                                                                                                                                        I

                                                                                                                                        — 1

                                                                                                                                        dx

                                                                                                                                        /

                                                                                                                                        f{x,y)dy

                                                                                                                                        или I

                                                                                                                                        =

                                                                                                                                        dx

                                                                                                                                        /

                                                                                                                                        f{x,y)dy.

                                                                                                                                        Записываем ответ.

                                                                                                                                        ПРИМЕР. Изменить порядок интегрирования

                                                                                                                                        I =’ dy

                                                                                                                                        /(х, y)dx-^

                                                                                                                                        dy

                                                                                                                                        /

                                                                                                                                        /(ж, 2/) с^ж.

                                                                                                                                        12.1. Изменение порядка интегрирования

                                                                                                                                        287

                                                                                                                                        РЕШЕНИЕ.

                                                                                                                                        1.Область интегрирования состоит из двух областей Di и 1)2. Зададим их неравенствами

                                                                                                                                        2.Решаем системы неравенств, определяюш;их области Di и D2, относительноу и получаем

                                                                                                                                        а^^<У<1, 1 < У < \/2 — а:2 .

                                                                                                                                        3. Определяем границы изменения ж, решая неравенства ^2 < 1, 1 < \ / 2 — ж 2 .

                                                                                                                                        Учитывая, что х > О, в обоих случаях получаем О < х < 1.

                                                                                                                                        4.Области Di и £)2 можно представить в виде

                                                                                                                                        5.Записываем интегралы I с измененным порядком интегриро­

                                                                                                                                        вания:

                                                                                                                                        1

                                                                                                                                        1

                                                                                                                                         

                                                                                                                                        1

                                                                                                                                        л / 2 ^ ^ ^

                                                                                                                                        I =

                                                                                                                                        dx

                                                                                                                                        f{x,y)dy-\-

                                                                                                                                        dx

                                                                                                                                        f{x,y)dy.

                                                                                                                                        о

                                                                                                                                         

                                                                                                                                        x2

                                                                                                                                        0

                                                                                                                                        1

                                                                                                                                        6. Пользуясь линейностью и аддитивностью интегралов, получаем

                                                                                                                                        1

                                                                                                                                        (

                                                                                                                                        1

                                                                                                                                         

                                                                                                                                        >/2-х2

                                                                                                                                        «j

                                                                                                                                        1 \/2-х^

                                                                                                                                         

                                                                                                                                        1=

                                                                                                                                        dxl

                                                                                                                                        f{x,y)dy+

                                                                                                                                        / f{x,y)dy

                                                                                                                                        У =

                                                                                                                                        dx

                                                                                                                                        /

                                                                                                                                        f{x,y)dy.

                                                                                                                                         

                                                                                                                                         

                                                                                                                                        1

                                                                                                                                        yj JL — X»

                                                                                                                                         

                                                                                                                                         

                                                                                                                                         

                                                                                                                                         

                                                                                                                                         

                                                                                                                                        Ответ. I = dx / /(x,?/)(f{x,y)dy

                                                                                                                                        studfiles.net

                                                                                                                                        Кратные интегралы. Определение кратного интеграла. Двойные интегралы, страница 2

                                                                                                                                        Теорема 14.2. Если :1) функция f(x,y) интегрируема в правильной в направлении Ox области  , т.е. существует двойной интеграл  , 2) существует повторный интеграл , то

                                                                                                                                                                                        .                              (2.4)

                                                                                                                                                  Из вышеприведенных теорем следует, что при вычислении повторного интеграла можно изменять порядок интегрирования.

                                                                                                                                        Пример 4. Изменить порядок интегрирования в интеграле .

                                                                                                                                        Ñ Так как из (2.4) имеем , то правильная в направлении Ox область D ограничена линиями x=y, x=2y, y=0, y=1 (линия y =1 выродилась в точку)  (рис. 14.7). Эта область является правильной и в направлении Oy. Так как участок OABграницы состоит из отрезков прямых  и , то 
                                                                                                                                                                                      , где (см. (2.1)) ,

                                                                                                                                        . Итак, = =   =.#

                                                                                                                                        Пример 5. Вычислить  по области D, ограниченной линиями  и .

                                                                                                                                         Ñ Изобразим область D. Для отыскания точек пересечения парабол  и  решаем уравнение  , откуда имеем действительные корни  , . Таким образом, параболы пересекаются в точках ( рис. 14.8). Рассматривая D как правильную в направлении Oy (рис.14.8а), имеем (см.(2.1)) . По формуле (2.3)

                                                                                                                                                       Рис.14.8 а)                       

                                                                                                                                        =.

                                                                                                                                                  Если область D рассматривать как правильную в направлении Ox (рис.14.8б), то (см. (2.2)) . По формуле (2.4)

                                                                                                                                        =

                                                                                                                                         

                                                                                                                                         =. #

                                                                                                                                        Задачи для самостоятельного решения

                                                                                                                                        Изменить порядок интегрирования в следующих повторных интегралах:

                                                                                                                                        8. .             9. .

                                                                                                                                        10. .           11..

                                                                                                                                        Перейти от двойного интеграла   по конечной области D к повторному интегралу и расставить пределы интегрирования:

                                                                                                                                        12. Область D – параллелограмм со сторонами   .

                                                                                                                                        13. .     14. .

                                                                                                                                        15. — треугольник со сторонами .

                                                                                                                                        16. .

                                                                                                                                        17. — треугольник с вершинами .

                                                                                                                                        18. D – сегмент, ограниченный линиями .

                                                                                                                                        Вычислить двойные интегралы:

                                                                                                                                        19. .    20. — круг .

                                                                                                                                        21. — область, ограниченная линиями .

                                                                                                                                        22. — область, ограниченная линиями .

                                                                                                                                        23. — область, ограниченная линиями .

                                                                                                                                        24.- четверть круга , лежащая в первом квадранте.

                                                                                                                                        25. — область, ограниченная параболой  и прямой .

                                                                                                                                        26.  , если D ограничена осью абсцисс и первой аркой циклоиды ,  , .

                                                                                                                                        14.2.4.    Замена переменных в двойном интеграле.

                                                                                                                                                  Пусть функции  осуществляют взаимно однозначное непрерывно дифференцируемое отображение области P плоскости  на область S плоскости . Тогда существует обратное непрерывно дифференцируемое отображение ,  области S на область P, если якобиан преобразования

                                                                                                                                                                            =.

                                                                                                                                                  Величины u и v можно рассматривать как прямоугольные координаты для точек области P и в то же время как криволинейные координаты точек области S. Точки плоскости Oxy, для которых одна из координат u и v сохраняет постоянное значение, образуют координатную линию. Всего будет два семейства таких линий.

                                                                                                                                        Теорема 14.3. Пусть  есть дифференцируемое преобразование области P из плоскости  на область Sиз плоскости . Тогда справедливо равенство

                                                                                                                                                                                           (2.5)

                                                                                                                                        Замечание. Равенство (2.5) сохраняет справедливость, когда условие взаимно однозначного соответствия между областями S и P нарушается в отдельных точках или вдоль отдельных линий.

                                                                                                                                        Переход в двойном интеграле к полярным координатам

                                                                                                                                        Формулы  

                                                                                                                                                                                                                             (2.6)

                                                                                                                                        преобразуют полярные координаты  точки в декартовы координаты этой точки и переводят область  (или область ) на всю плоскость Oxy.

                                                                                                                                                  Обратное преобразование декартовых координат в полярные осуществляется по формулам:

                                                                                                                                        Фиксируя в последних формулах и, получим координатные линии из разных семейств: окружность с центром в точке и луч, исходящий из точки .

                                                                                                                                        Якобиан преобразования

                                                                                                                                        и формула (2.5) принимает вид:

                                                                                                                                                                                                    (2.7)

                                                                                                                                        Рекомендация.  К полярным координатам целесообразно переходить,  когда в подынтегральное выражение или в уравнения границы области интегрирования входит комбинация .

                                                                                                                                                  В некоторых случаях при вычислении двойного интеграла удобно перейти от декартовых координат к эллиптическим полярным координатам    по формулам

                                                                                                                                                                                       ,                                        (2.8)

                                                                                                                                        — постоянные, . Тогда

                                                                                                                                                                                      ,                                       (2.9)

                                                                                                                                        Пример 6. Записать в полярной системе координат область S , заданную в декартовой системе координат неравенством (круг радиуса R с центром в точке ).

                                                                                                                                        Ñ Перейдем от декартовых координат x, y  к полярным   по формулам ,  . Подставим x  и y в исходное неравенство, получим:  или  . На координату j дополнительных ограничений не накладывается, поэтому  (или ).  

                                                                                                                                                  В полярной системе координат круг записывается  неравенствами: . #

                                                                                                                                        vunivere.ru

                                                                                                                                        Изменить порядок интегрирования в двойном интеграле

                                                                                                                                        Изменить порядок интегрирования в двойном интеграле — примеры решения двойных интегралов.

                                                                                                                                        На данной странице Вы найдете примеры решения двойных интегралов. Многим, кто изучает курс высшей математики часто попадаются задачи в которых требуется изменить порядок интегрирования в двойном интеграле. Множество примеров решения таких задач приведено ниже.

                                                                                                                                        Если эти решения не помогут Вам в решении Вашего примера, то Вы можете заказать решение контрольной работы по высшей математике у нас.

                                                                                                                                        НЕ трогать!

                                                                                                                                                     Используются технологии uCoz

                                                                                                                                        integralzz.narod.ru

                                                                                                                                        Изменить порядок интегрирования

                                                                                                                                        Доброй ночи! Да, действительно, это не сложно сделать и Вы правильно подметили, что самое сложное в том, как изменить порядок интегрирования в повторном интеграле — определить какие шаги за какими следует делать.
                                                                                                                                        Давайте сначала разберёмся, что же такое интегрирование. Другими словами интегрирование — это процесс суммирования.
                                                                                                                                        А теперь к Вашему вопросу. Нам нужно определится, какие шаги и в какой последовательности следует делать.
                                                                                                                                        Схема решения такова:

                                                                                                                                        1. Следует определить подынтегральную функцию как функцию переменных и 
                                                                                                                                        2. Надо задать кривые, которые ограничивают область интегрирования в двух видах: выразить как функцию от  и, наоборот — , как функцию от 
                                                                                                                                        3. Построить на одном графике линии, которые ограничивают данную область интегрирования
                                                                                                                                        4. Графически следует определить координаты точек пересечения графиков функций, что называется пределами интегрирования.
                                                                                                                                        5. Потом находят точное значение координат точек, в которых пересекаются графики  и нужно сравнить полученные результаты.
                                                                                                                                        6. И напоследок, следует вычислить нужный интеграл, расставив пределы интегрирования

                                                                                                                                        Надеюсь, эта схема (алгоритм) действий в дальнейшем поможет Вам решать задания и Вы более не зададитесь вопросом, когда встретите задание о том, как изменить порядок интегрирования. Спасибо за то, что обращайтесь к нам. Нам приятно помогать людям разобраться, если они сами того хотят.
                                                                                                                                        Удачи Вам!

                                                                                                                                        ru.solverbook.com

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.