Построить график производной – Построение графиков функций с помощью производной

Построить график функции без применения производной

Построим схему графика функции вблизи точки разрыва:

Задание 2. Построить график функции без применения производной

Решение:

1. Область определения функции ,

— не существует, значит — точка разрыва.

2. Найдём односторонние пределы функции:

Вычислим левосторонний предел в точке:

Вычислим правосторонний предел в точке:

Значит, точка — точка разрыва II рода.

3. Найдём пределы функции на бесконечности:

Строим график функции по результатам исследования:

Методические указания и пример типового расчёта

задания №32 «Математического тренинга» по теме

«Исследование функции на экстремум по второй производной»

Если в критической точке (в которой производная или не существует) вторая производная функции положительна, то в этой критической точке будет точка минимума (Рис.1), а если в критической точке вторая производная отрицательна, то в этой точке будет точка максимума (Рис.2).

Рис.1 Рис.2

Правило исследования функции на экстремум по второй производной:

1. Найти производную .

2. Найти критические точки функции, решив уравнение

3. Найти производную .

4. Вычислить в найденных критических точках значение производной.

5. По знаку производной сделать вывод о том, является ли критическая точка точкой максимума или точкой минимума.

6. Вычислить в найденной точке экстремума сам экстремум функции.

Примечание:

Если в критической точке вторая производная оказалась равна нулю, то это неопределённый случай, и тогда исследовать на экстремум придётся по первой производной.

Пример 1. Исследовать функцию на экстремум по второй производной.

Решение:

1. Найдём первую производную: ;

2. Найдём критические точки функции: , тогда получим уравнение

,

,

,

, — критические точки функции;

3. Найдём вторую производную: ;

4. Определим знак второй производной в найденных критических точках:

, значит, точка — точка max,

, значит, точка — точка min;

5. Вычислим значение экстремума функции в точках экстремума:

;

Ответ: при ,

при .

Методические указания и примеры типового расчёта

задания №34 «Математического тренинга» по теме

«Исследование функции по первой и второй производной

и построение графика функции»

Пример 1. Исследовать функцию по первой и второй производной и построить её график:

Решение:

1. Область определения функции ;

matematiku5.ru

Построить графики функций с помощью производной первого порядка

Работа добавлена на сайт samzan.ru: 2015-07-05 Заказать написание уникльной работы

Загрузка…


Задача 1. Построить графики функций с помощью производной первого порядка.

1) .

2) Функция ни четная, ни нечетная.

3) .

При ,

(0;0)- точка минимума,

(2;0)- точка минимума,

(1;1)- точка максимума.

Задача 2. Построить графики функций с помощью производной первого порядка.

1) .

2) Функция ни четная, ни нечетная.

3)

При , ; не существует в точках  и .

(-1;2)- точка максимума.

Задача 3. Найти наибольшее и наименьшее значения функций на заданных отрезках.

ОДЗ .

При , ;

не существует при .

Задача 4. При подготовке к экзамену студент за  дней изучает часть курса, а забывает  часть. Сколько дней нужно затратить на подготовку, чтобы была изучена максимальная часть курса?

k=1/2,

      не удовлетворяет условию задачи.

      

Точка  является точкой минимума.

Ответ: 4 дня.

Задача 5. Исследовать поведение функций в окрестностях заданных точек с помощью производных высших порядков.

Т.к. то в точке функция имеет максимум.

Задача 6. Найти асимптоты и построить графики функций.

1) .

2) Функция ни четная, ни нечетная.

3)

а) ,

-вертикальная асимптота.

б)

.

Следовательно, — наклонная асимптота.

4)

не существует при

5) Найдем точки пересечения с осями:

При .

При .

Задача 7. Провести полное исследование функций и построить их график.

1) .

2) Функция ни четная, ни нечетная.

3)

а) ,

-вертикальная асимптота.

б)

.

Следовательно, — наклонная асимптота.

4)

при  

не существует при

-точка максимума функции.

-точка минимума функции.

5)

не существует при

6) Найдем точки пересечения с осями:

При .

При квадратное уравнение не имеет корней, следовательно график не пересекается с осью

Задача 8. Провести полное исследование функций и построить их графики.

1) .

2) Функция ни четная, ни нечетная.

3)

а) ,

-вертикальная асимптота.

б)

.

Следовательно, — горизонтальная асимптота.

4)

при  ,

не существует при

-точка минимума функции.

5)

не существует при

6) Найдем точки пересечения с осями:

При .

При квадратное уравнение не имеет корней, следовательно график не пересекается с осью

Задача 9. Провести полное исследование функций и построить их графики.

1)

2) Функция ни четная, ни нечетная.

3)

а) вертикальных асимптот нет.

б)

.

Следовательно, — наклонная асимптота.

4)

при  ,

не существует при

-точка минимума функции,

— точка максимума функции.

5)

при  ,

не существует при

6) Найдем точки пересечения с осями:

При .

При

Задача 10. Провести полное исследование функций и построить их графики.

1)

2) Функция ни четная, ни нечетная.

3)

а) вертикальных асимптот нет.

б) наклонных асимптот нет.

4) функция является периодической

5)

,тогда 

                   .

6) 

 

при  ,

Прифункция вогнута, т.к. .

Прифункция выпукла, т.к. .

Точки перегиба:

.

samzan.ru

Подскажите пожалуйста как по графику функции построить эскизы графиков первой и второй производной? (9 задание)

Графическое построение первой производной — довольно простое по своей сути (у меня нет возможности вставить рисунок, поэтому объясняю словесно) 1) проведите прямую х = 1 (она проходит через координату х=1 параллельно оси ОУ) 2) берете произвольную точку А (m ; n) на имеющемся графике 3) к выбранной точке А (m ; n) — проводите касательную y = f(A) 4) через начало координат О(0;0) проводите прямую t, параллельную данной касательной y = f(A) 5) отмечаете на вертикальной прямой х = 1 точку С(1; к) пересечения прямой t c вертикальной прямой x = 1 6) из полученной точки С(1; к) проводите горизонтальную линию связи, параллельную оси ОХ 7) из точки А (m ; n) проводите вертикальную линию связи, параллельную оси ОУ 8) на пересечении полученных вертикальной и горизонтальных связей — отмечаете точку В(m ;к) 9) подобную операцию повторите для наиблее характерных участков имеющегося графика! в результате — получите график первой производной от данной кривой.. 10) чтобы построить график второй производной, необходимо проделать аналогичные опрерации на основе поcтроенного графика первой производной! ————————————————————————————— ПРИМЕЧАНИЕ: а) данный графический метод основан на том факте, что производная от прямой вида у = кх + b — равняется величине «к» б) в свою очередь, величина «к» — есть тангенс угла наклона данной прямой у = кх + b к оси абсцисс ОХ в) натуральная величина «к» (которая есть тангенс угла наклона к оси ОХ) находится по теореме: катет прямоугольного треугольника равен другому катету, умноженному на тангенс противоположного угла, что и реализуется в пунктах 3) — 6), поскольку горизонтальный катет полученного прямоугольного треугольника [построенного на основе прямой х=1, прямой y = 0, точки С(1; к) и точки О(0;0) начала координат] всегда равен 1, т.к. была проведена изначально вертикальная прямая х = 1

touch.otvet.mail.ru

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.