Как найти матрицу а 1 – ?

Задания к контрольной работе по дисциплине «Линейная алгебра»

1. Общие указания. Контрольная работа должна быть выполнена в отдельной тетради в клетку с полями для пометок. Текст работы пишется разборчиво от руки чернилами одного цвета. При выполнении заданий необходимо полностью привести их условие. Задания, в которых даны лишь ответы без решений, будут считаться нерешенными. Контрольные работы другого варианта не засчитываются. Работа должна быть выполнена аккуратно, чисто, без помарок.

Контрольная работа должна быть выполнена, оформлена и сдана студентом для проверки до начала сессии.

Каждый студент выполняет свой вариант контрольной работы. Номер варианта определяется последней цифрой зачетной книжки или студенческого билета. Если последней цифрой является ноль, то выполняется десятый вариант.

2. Варианты заданий.

Задание 1

Найти произведение матриц А и В:

, .

Решение:

Так как сомножители имеют размеры и , то их произведение определено и имеет размеры . Следовательно,

Варианты задания 1

Найти произведение матриц А и В:

,

.

Вариант	k1	k2	k3
1	-5	7	-3
2	2	5	-3
3	-2	3	1
4	4	3	-3
5	2	3	-2
6	4	-4	-3
7	-1	-2	3
8	2	-4	1
9	3	-5	2
10	5	2	-3

Задание 2

Дана матрица А. Найти матрицу А^-1 и установить, что АА^-1=Е.

Решение:

, где

Для нахождения матрицы А^-1 необходимо, прежде всего, вычислить определитель матрицы А и убедиться в том, что она существует. Для этого воспользуемся методом Саррюса.

Вычислим алгебраические дополнения к каждому элементу матрицы по формуле:

_{Подставим найденные значения в исходную формулу для вычисления А}^-1_.

_.

_{Выполним проверку:}

Проверка подтвердила правильность найденной нами матрицы.

Варианты задания 2

Дана матрица А. Найти матрицу А^-1 и установить, что АА^-1=Е.

Вариант	МатрицаА	Вариант	МатрицаА
1		6
2		7
3		8
4		9
5		10

Задание 3

Найти решение системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) одним из предложенных методов:

Сделать проверку решения.

Решение:

Выпишем матрицу коэффициентов системы

1. Решим систему методом Крамера.

Сначала рассмотрим условие совместимости, т.е.

Следовательно система совместна, т.е. имеет единственное решение.

где— получается из определителя заменой i-го столбца столбцом свободных элементов.

где — точка пересечения прямых системы.

ИтакСделаем проверку, подставив найденное решение в каждое уравнение системы.

Проверка:

;.

Итак, мы видим, что после подстановки в систему каждое уравнение обратилось в числовое тождество. Следовательно, решение системы найдено верно.

2. Решим систему методом обратной матрицы.

Запишем систему в матричном виде:

,,.

; . Найдем обратную матрицуА^-1.

, где

Определитель найден в решении системы методом Крамера:

Для нахождения матрицы А^-1 осталось вычислить алгебраические дополнения к каждому элементу матрицы по формуле:

_{Подставим найденные значения в исходную формулу для вычисления А}^-1_.

_.

_{Выполним проверку:}

Проверка подтвердила правильность найденной нами матрицы.

Найдем матрицу-столбец неизвестных:

.

Ответ совпадает с решением, найденным методом Крамера, поэтому проверку делать не будем.

3. Решим систему методом Гаусса.

Поскольку элементарные преобразования системы аналогичны элементарным преобразованиям матрицы, для решения системы выпишем расширенную матрицу системы:

.

Приведем расширенную матрицу системы к эквивалентной матрице системы в ступенчатом виде.

— по теореме Кронекера-Капелли система имеет решение, если ранг расширенной матрицы равен рангу приведенной матрицы.

Найденный ответ совпадает с ответами, найденными предыдущими методами. Делать проверку нет необходимости, т.к. она сделана ранее.

studfiles.net

Обратная матрица онлайн

Для любой невырожденной квадратной матрицы (т.е. такой определитель которой отличен от нуля), существует обратная матрица, такая, что её произведение на исходную матрицу равно единичной:

A∙A⁻¹ = A⁻¹∙A = E

Наш калькулятор поддерживает два различных способа вычисления обратной матрицы: по методу Гаусса-Жордана и при помощи построения алгебраических дополнений к исходной матрице.

Для нахождения обратной матрицы по методу Гаусса-Жордана, к исходной матрице справа дописывают единичную матрицу:

( A | E )

Затем, с помощью элементарных преобразований приводят исходную матрицу к единичной, выполняя теже самые операции и над единичной матрицей, записанной справа. В результате таких действий исходная матрица приводится к единичной, а единичная к обратной:

( A | E) → ( E | A⁻¹)

Метод довольно простой, удобный и не очень трудоемкий.

Для нахождения обратной матрицы при помощи метода алгебраических дополнений используют следующую формулу:

где | A | — определитель матрицы A,
A_{i j} — алгебраическое дополнение элемента a_{i j} матрицы A.

По определению:

A_{i j} = (-1) ^i+j M_{i j}

где M_{i j} — минор элемента a_{i j} матрицы A.

По определению — минор элемента a_{i j} матрицы A — это определитель, полученный путем вычеркивания i строки, j столбца матрицы A.

Таким образом, метод алгебраических дополнений для вычисления обратной матрицы порядка n является достаточно трудоемким, поскольку помимо определителя исходной матрицы, нужно вычислить n² определителей n-1 порядка.

www.mathforyou.net

Обратная матрица с помощью алгебраических дополнений

Для того что бы найти обратную матрицу можно использовать два метода: с помощью алгебраических дополнений (метод присоединённой (союзной) матрицы) или элементарных преобразований (метод Жордано-Гаусса). Рассмотрим как найти обратную матрицу с помощью алгебраических дополнений.

Обратной матрицей называется матрицы A^-1 при умножении на исходную матрицу A получается единичная матрица E.

A·A^-1 = A^-1 · A = E

Алгоритм нахождения обратной матрицы с помощью алгебраических дополнений:

1. Найти определитель (детерминант) матрицы A. Если определитель ≠ 0, то обратная матрица существует. Если определитель = 0, то обратная матрица не существует.
2. Найти матрицу миноров M.
3. Из матрицы M найти матрицу алгебраических дополнений C^*.
4. Транспонировать матрицу (поменяем местами строки со столбцами) C^*, получить матрицу C^*T.
5. По формуле найти обратную матрицу.
   

Пример

Рассмотрим данный метод на примере. Дана матрицы 3х3:

Найдем определитель (детерминант) матрицы, detA = 12 обратная матрица существует.

Найдем минор M₁₁ и алгебраическое дополнение A₁₁. В матрице А вычеркиваем строку 1 и столбец 1.

Найдем минор M₁₂ и алгебраическое дополнение A₁₂. В матрице А вычеркиваем строку 1 и столбец 2.

Остальные миноры и алгебраические дополнения находятся аналогично. В итоге получаем матрицу C^*.

Найдем транспонированную союзную матрицу алгебраических дополнений C^*T.

Найдем обратную матрицу. Ответ:

www.mozgan.ru

1.3.3. Обратная матрица | Решение задач по математике и другим предметам

Пусть А – квадратная матрица порядка П. Матрица А-1 называется Обратной к матрице А, если

Из того, что матрица А-1 может быть умножена на А как справа, так и слева, вытекает, что А-1 – тоже квадратная матрица порядка П.

Упражнение 1. Доказать, что (А-1)-1 = А.

Решение.

Пусть В = А-1. Тогда, поскольку по определению обратной матрицы

АВ = ВА = Е, матрица А является обратной для матрицы В, то есть

(А-1)-1 = А.

Из теоремы 3.1 следует, что |A||A-1| = |E| = 1. Таким образом, если у матрицы А существует обратная, то |A| ≠ 0 (такие матрицы называются Невырожден-ными) и

|A-1| = |A|-1.

Теорема 3.2 (о фальшивом разложении). Для любой квадратной матрицы А = ||Aij|| Порядка п справедливы равенства

Доказательство.

В случае I = J эти формулы вытекают из формул (5) темы «Определители». Докажем равенство (1) при I ≠ J. Пусть для определенности I < J. Рассмотрим определитель матрицы, которая получена из А заменой J-ой строки на I-ую. По следствию 2.1 определитель такой матрицы равен нулю. Тем не менее напишем его разложение по J-ой строке:

Остается заметить, что алгебраические дополнения Bjk совпадают с Ajk. Аналогично доказывается равенство (2) при I ≠ J (здесь вместо строк надо рассматривать столбцы и разлагать нулевой определитель по столбцу).

Для квадратной матрицы А = ||Aij|| порядка П присоединенной называется матрица

Пример 2. Найдем для матрицы

Присоединенную. Имеем

Из теоремы 3.2 непосредственно вытекает

Следствие 3.1.

Теорема 3.3 (об обратной матрице). Для любой невырожденной матрицы А обратная матрица единственна и имеет вид

Доказательство.

В силу следствия 3.1 имеем:

Тем самым матрица, определенная равенством (3.3), действительно является обратной. Докажем единственность обратной матрицы. Предположим, что нашлись две обратные матрицы А1-1 и А2-1. Тогда, умножив равенство

АА1-1 = Е

Слева на А2-1, получим:

Отсюда, в силу того, что А2-1А = Е, вытекает равенство

А1-1 = А2-1.

Пример 3. Найдем обратную матрицу для

Для нахождения присоединенной матрицы найдем сначала все алгебраические дополнения:

Следовательно (напомним, что алгебраические дополнения для элементов строк в присоединенной матрице надо расположить в соответствующем столбце),

Поскольку |A| = 1· A11 + 0· A12 + 1· A13 = — 9, получаем:

Упражнение 2. Найти обратную матрицу для

Решение.

Проверим невырожденность матрицы А:

Следовательно, обратная матрица существует. Вычислим алгебраические дополнения к элементам матрицы А:

Построим присоединенную матрицу:

Используя теорему 3.3, находим обратную матрицу:

Упражнение 3. Доказать, что (АВ)-1 = В-1А-1.

Решение.

Пусть С = В-1А-1. Тогда, применяя свойство 1 произведения матриц, понятие единичной матрицы (лекция 1) и определение обратной матрицы, получим:

Следовательно, матрица С = В-1А-1 удовлетворяет определению обратной матрицы для матрицы АВ. Значит, (АВ)-1 = В-1А-1.

< Предыдущая		Следующая >

matica.org.ua