Уравнение касательной к графику функции
Пусть дана функция f, которая в некоторой точке x0 имеет конечную производную f (x0). Тогда прямая, проходящая через точку (x0; f (x0)), имеющая угловой коэффициент f ’(x0), называется касательной.
А что будет, если производная в точке x0 не существует? Возможны два варианта:
- Касательная к графику тоже не существует. Классический пример — функция y = |x| в точке (0; 0).
- Касательная становится вертикальной. Это верно, к примеру, для функции y = arcsin xв точке (1; π/2).
Уравнение касательной
Всякая невертикальная прямая задается уравнением вида y = kx + b,где k — угловой коэффициент. Касательная — не исключение, и чтобы составить ее уравнение в некоторой точке x0, достаточно знать значение функции и производной в этой точке.
Итак, пусть дана функция y = f (x), которая имеет производную y = f ’(x) на отрезке [a; b]. Тогда в любой точке x
y = f ’(x0) · (x − x0) + f (x0)
Здесь f ’(x0) — значение производной в точке x0,а f (x0) — значение самой функции.
Задача. Дана функция y = x3. Составить уравнение касательной к графику этой функции в точке x0 = 2.
Уравнение касательной: y = f ’(x0) · (x − x0) + f(x0).Точка x0 = 2 нам дана, а вот значения f (x0) и f ’(x0) придется вычислять.
Для начала найдем значение функции. Тут все легко: f (x0) = f (2) = 23 = 8;
Теперь найдем производную: f ’(x) = (x3)’ = 3x2;
Подставляем в производную x0 = 2: f ’(x 0) = f ’(2) = 3 · 22 = 12;
Итого получаем: y = 12 · (x − 2) + 8 = 12x − 24 + 8 = 12x − 16.
Это и есть уравнение касательной.
Задача. Составить уравнение касательной к графику функции f (x) = 2sin x + 5в точке x0 = π/2.
В этот раз не будем подробно расписывать каждое действие — укажем лишь ключевые шаги. Имеем:
f (x0) = f (π/2) = 2sin (π/2) + 5 = 2 + 5 = 7;
f ’(x) = (2sin x + 5)’ = 2cos x;
f ’(x0) = f ’(π/2) = 2cos (π/2) = 0;
Уравнение касательной:
y = 0 · (x − π/2) + 7 ⇒ y = 7
В последнем случае прямая оказалась горизонтальной, т.к. ее угловой коэффициент k = 0. Ничего страшного в этом нет — просто мы наткнулись на точку экстремума.
Смотрите также:
- Правила вычисления производных
- Вводный урок по вычислению производных степенной функции
- Пробный ЕГЭ-2011 по математике, вариант №6
- Иррациональные неравенства. Часть 1
- Задача B5: вычисление площади методом обводки
www.berdov.com
Уравнение касательной
В этой статье мы разберем все типы задач на нахождение уравнения касательной.
Вспомним геометрический смысл производной: если к графику функции в точке проведена касательная, то коэффициент наклона касательной (равный тангенсу угла между касательной и положительным направлением оси ) равен производной функции в точке .
Возьмем на касательной произвольную точку с координатами :
И рассмотрим прямоугольный треугольник :
В этом треугольнике
Отсюда
Или
Это и есть уравнение касательной, проведенной к графику функции в точке .
Чтобы написать уравнение касательной, нам достаточно знать уравнение функции и точку, в которой проведена касательная. Тогда мы сможем найти и .
Есть три основных типа задач на составление уравнения касательной.
1. Дана точка касания
2. Дан коэффициент наклона касательной, то есть значение производной функции в точке .
3. Даны координаты точки, через которую проведена касательная, но которая не является точкой касания.
Рассмотрим каждый тип задач.
1. Написать уравнение касательной к графику функции в точке .
а) Найдем значение функции в точке .
.
б) Найдем значение производной в точке . Сначала найдем производную функции
Подставим найденные значения в уравнение касательной:
Раскроем скобки в правой части уравнения. Получим:
Ответ: .
2. Найти абсциссы точек, в которых касательные к графику функции параллельны оси абсцисс.
Если касательная параллельна оси абсцисс, следовательно угол между касательной и положительным направлением оси равен нулю, следовательно тангенс угла наклона касательной равен нулю. Значит, значение производной функции в точках касания равно нулю.
а) Найдем производную функции .
б) Приравняем производную к нулю и найдем значения , в которых касательная параллельна оси :
Приравняем каждый множитель к нулю, получим:
Ответ: 0;3;5
3. Написать уравнения касательных к графику функции , параллельных прямой .
Касательная параллельна прямой . Коэффициент наклона этой прямой равен -1. Так как касательная параллельна этой прямой, следовательно, коэффициент наклона касательной тоже равен -1. То есть мы знаем коэффициент наклона касательной, а, тем самым, значение производной в точке касания.
Это второй тип задач на нахождение уравнения касательной.
Итак, у нас дана функция и значение производной в точке касания.
а) Найдем точки, в которых производная функции равна -1.
Сначала найдем уравнение производной.
Нам нужно найти производную дроби.
Приравняем производную к числу -1.
или
или
б) Найдем уравнение касательной к графику функции в точке .
Найдем значение функции в точке .
(по условию)
Подставим эти значения в уравнение касательной:
.
б) Найдем уравнение касательной к графику функции в точке .
Найдем значение функции в точке .
(по условию).
Подставим эти значения в уравнение касательной:
.
Ответ:
4. Написать уравнение касательной к кривой , проходящей через точку
Сначала проверим, не является ли точка точкой касания. Если точка является точкой касания, то она принадлежит графику функции, и её координаты должны удовлетворять уравнению функции. Подставим координаты точки в уравнение функции.
. Мы получили под корнем отрицательное число, равенство не верно, и точка не принадлежит графику функции и не является точкой касания.
Это последний тип задач на нахождение уравнения касательной. Первым делом нам нужно найти абсциссу точки касания.
Найдем значение .
Пусть — точка касания. Точка принадлежит касательной к графику функции . Если мы подставим координаты этой точки в уравнение касательной, то получим верное равенство:
.
Значение функции в точке равно .
Найдем значение производной функции в точке .
Сначала найдем производную функции . Это сложная функция.
Производная в точке равна .
Подставим выражения для и в уравнение касательной. Получим уравнение относительно :
Решим это уравнение.
Сократим числитель и знаменатель дроби на 2:
Приведем правую часть уравнения к общему знаменателю. Получим:
Упростим числитель дроби и умножим обе части на — это выражение строго больше нуля.
Получим уравнение
Это иррациональное уравнение.
Решим его. Для этого возведем обе части в квадрат и перейдем к системе.
Решим первое уравнение.
Решим квадратное уравнение, получим
или
Второй корень не удовлетворяет условию , следовательно, у нас только одна точка касания и её абсцисса равна .
Напишем уравнение касательной к кривой в точке . Для этого подставим значение в уравнение — мы его уже записывали.
Получим:
Ответ:
ege-ok.ru
Уравнение касательной к графику функции. Видеоурок. Алгебра 10 Класс
Тема: Производная
Урок: Уравнение касательной к графику функции
На предыдущих занятиях были рассмотрены задачи на технику дифференцирования. Это очень важные задачи, и нахождение производных необходимо в разных задачах, в том числе и в составлении уравнения касательной.
Построим кривую (см. рис.1).
Рис. 1. График функции .
Зафиксируем точку . Если , то значение функции равно . Значит, имеем точку с координатами (.
Задача: составить уравнение касательной. Более строгая формулировка – написать уравнение касательной к функции в точке с абсциссой , в которой — существует.
Уравнение касательной – это прямая, которая задается формулой
Любая прямая, в том числе и касательная, определяется двумя числами: и . Исходя из геометрического смысла производной (тангенс угла наклона касательной) – это есть угловой коэффициент .
Параметр найдем из условия, что касательная проходит через точку (, то есть .
.
Стало быть .
Запишем уравнение касательной
.
Или, .
Получили уравнение касательной к кривой в точке с абсциссой .
Смысл каждого элемента, который входит в уравнение касательной.
1) ( – точка касания касательной и графика функции.
2) — угловой коэффициент касательной к графику функции.
3) – произвольная точка на касательной.
Очень много задач, когда задана точка, которая не лежит на графике функции, и через нее надо провести касательную к данной функции. Надо четко понимать, что – это произвольная точка на касательной.
Итак, получили уравнение касательной, проанализировали смысл каждого элемента этой касательной, и теперь приведем пример, и на нем изложим методику построения касательной.
Задача.
К кривой в точке с абсциссой провести касательную. Проиллюстрируем поиск касательной на рисунке (см. рис.2).
Рис. 2. Касательная к графику функции .
Зафиксируем точку . Значение функции в этой точке равно 1.
Алгоритм составления уравнения касательной к графику функции:
1) Найти и точку касания.
— дано.Точка касания: (;.
2) Найти производную в любой точке .
.
3) Найти значение производной в точке с абсциссой .
.
4) Выписать и проанализировать уравнение касательной.
.
Упрощаем и получаем: .
Ответ: .
Задача 1.
Пусть дано уравнение касательной .
Найдите точки пересечения касательной с осями координат.
Если , то . – это первая точка.
Если , то . — вторая точка.
Итак, первая точка – это точка с координатами . Вторая точка – точка пересечения с осью , точка с координатами (см. рис.3).
Рис.3. Точки пересечения касательной к графику функции с осями координат. Задача 2.
Найти длину отрезка касательной, которая отсекается осями координат, то есть надо найти длину отрезка .
Рассмотрим прямоугольный треугольник (Рис. 3). Длина катета равна 1. Длина катета . Длину отрезка из прямоугольного треугольника найдем по теореме Пифагора:
Задача 3.
Найти площадь треугольника, образованного касательной и осями координат. Ясно, что это площадь треугольника (Рис. 3) — площадь треугольника, образованного касательной и осями координат.
Следующая задача для самостоятельного решения.
Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник . Радиус окружности, описанной около треугольника .
Рассмотрим пример.
Дана функция . Написать уравнение касательной к данной кривой в точке с данной абсциссой.
Рассмотрим графическую иллюстрацию (см. рис.4).
Рис. 4. Касательная к графику функции .
Нахождение точки касания.
1. Точка касания имеет координаты .
2. Найти .
3. Найти
И, последнее действие, – написать уравнение касательной.
4. .
Упростим и получим .
Заметим в точке синусоида и касательная соприкасаются. В районе точки синусоида и прямая почти не различаются.
Итак, мы вывели уравнение касательной. Рассмотрели все элементы этой касательной. Выяснили их смысл. Сформулировали одну из методик нахождения касательных в конкретных функциях, в конкретных точках и решили некоторые сопутствующие задачи.
Список рекомендованной литературы
1. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2009.
2. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.
3. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики).-М.: Просвещение, 1996.
4. Галицкий М.Л., Мошкович М.М., Шварцбурд С.И. Углубленное изучение алгебры и математического анализа.-М.: Просвещение, 1997.
5. Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы (под ред. М.И.Сканави).-М.:Высшая школа, 1992.
6. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебраический тренажер.-К.: А.С.К., 1997.
7. ЗвавичЛ.И., Шляпочник Л.Я., Чинкина Алгебра и начала анализа. 8-11 кл.: Пособие для школ и классов с углубленным изучением математики (дидактические материалы).-М.: Дрофа, 2002.
8. Саакян С.М., Гольдман А.М., Денисов Д.В. Задачи по алгебре и началам анализа (пособие для учащихся 10-11 классов общеобразов. учреждений).-М.: Просвещение, 2003.
9. Карп А.П. Сборник задач по алгебре и началам анализа : учеб. пособие для 10-11 кл. с углубл. изуч. математики.-М.: Просвещение, 2006.
10. Глейзер Г.И. История математики в школе. 9-10 классы (пособие для учителей).-М.: Просвещение, 1983
Дополнительные веб-ресурсы
1. Интернет-портал Mathematics.ru (Источник).
2. Портал Естественных Наук (Источник).
3. Интернет-портал Exponenta.ru (Источник).
Сделай дома
№ 43.22, 43.25 (Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.)
interneturok.ru
Внеклассный урок — Касательная к графику функции
Касательная к графику функции
Касательная – это прямая, проходящая через точку кривой и совпадающая с ней в этой точке с точностью до первого порядка (рис.1).
Другое определение: это предельное положение секущей при Δx→0.
Пояснение: Возьмем прямую, пересекающую кривую в двух точках: А и b (см.рисунок). Это секущая. Будем поворачивать ее по часовой стрелке до тех пор, пока она не обретет только одну общую точку с кривой. Так мы получим касательную.
Строгое определение касательной:
Касательная к графику функции f, дифференцируемой в точке xо, — это прямая, проходящая через точку (xо; f(xо)) и имеющая угловой коэффициент f ′(xо).
Угловой коэффициент имеет прямая вида y = kx + b. Коэффициент k и является угловым коэффициентом этой прямой.
Угловой коэффициент равен тангенсу острого угла, образуемого этой прямой с осью абсцисс:
Здесь угол α – это угол между прямой y = kx + b и положительным (то есть против часовой стрелки) направлением оси абсцисс. Он называется углом наклона прямой (рис.1 и 2).
Если угол наклона прямой y = kx + b острый, то угловой коэффициент является положительным числом. График возрастает (рис.1).
Если угол наклона прямой y = kx + b тупой, то угловой коэффициент является отрицательным числом. График убывает (рис.2).
Если прямая параллельна оси абсцисс, то угол наклона прямой равен нулю. В этом случае угловой коэффициент прямой тоже равен нулю (так как тангенс нуля есть ноль). Уравнение прямой будет иметь вид y = b (рис.3).
Если угол наклона прямой равен 90º (π/2), то есть она перпендикулярна оси абсцисс, то прямая задается равенством x = c, где c – некоторое действительное число (рис.4).
Уравнение касательной к графику функции y = f(x) в точке xо:
|
Алгоритм решения уравнения касательной к графику функции y = f(x):
1. Вычислить f(xо). 2. Вычислить производные f ′(x) и f ′(xо). 3. Внести найденные числа xо, f(xо), f ′(xо) в уравнение касательной и решить его. |
Пример: Найдем уравнение касательной к графику функции f(x) = x3 – 2x2 + 1 в точке с абсциссой 2.
Решение.
Следуем алгоритму.
1) Точка касания xо равна 2. Вычислим f(xо):
f(xо) = f(2) = 23 – 2 ∙ 22 + 1 = 8 – 8 + 1 = 1
2) Находим f ′(x). Для этого применяем формулы дифференцирования, изложенные в предыдущем разделе. Согласно этим формулам, х2 = 2х, а х3 = 3х2. Значит:
f ′(x) = 3х2 – 2 ∙ 2х = 3х2 – 4х.
Теперь, используя полученное значение f ′(x), вычислим f ′(xо):
f ′(xо) = f ′(2) = 3 ∙ 22 – 4 ∙ 2 = 12 – 8 = 4.
3) Итак, у нас есть все необходимые данные: xо = 2, f(xо) = 1, f ′(xо) = 4. Подставляем эти числа в уравнение касательной и находим окончательное решение:
у = f(xо) + f ′(xо) (x – xо) = 1 + 4 ∙ (х – 2) = 1 + 4х – 8 = –7 + 4х = 4х – 7.
Ответ: у = 4х – 7.
raal100.narod.ru
Касательная к графику ункции: уравнение касательной
Рассмотрим следующий рисунок:
На нем изображена некоторая функция y = f(x), которая дифференцируема в точке a. Отмечена точка М с координатами (а; f(a)). Через произвольную точку Р(a + ∆x; f(a + ∆x)) графика проведена секущая МР.
Если теперь точку Р сдвигать по графику к точке М, то прямая МР будет поворачиваться вокруг точки М. При этом ∆х будет стремиться к нулю. Отсюда можно сформулировать определение касательной к графику функции.
Касательная к графику функции
Касательная к графику функции есть предельное положение секущей при стремлении приращения аргумента к нулю. Следует понимать, что существование производной функции f в точке х0, означает, что в этой точке графика существует касательная к нему.
При этом угловой коэффициент касательной будет равен производной этой функции в этой точке f’(x0). В этом заключается геометрический смысл производной. Касательная к графику дифференцируемой в точке х0 функции f — это некоторая прямая, проходящая через точку (x0;f(x0)) и имеющая угловой коэффициент f’(x0).
Уравнение касательной
Попытаемся получить уравнение касательной к графику некоторой функции f в точке А(x0; f(x0)). Уравнение прямой с угловым коэффициентом k имеет следующий вид:
y = k*x + b.
Так как у нас угловой коэффициент равен производной f’(x0), то уравнение примет следующий вид: y = f’(x0)*x + b.
Теперь вычислим значение b. Для этого используем тот факт, что функция проходит через точку А.
f(x0) = f’(x0)*x0 + b, отсюда выражаем b и получим b = f(x0) – f’(x0)*x0.
Подставляем полученное значение в уравнение касательной:
y = f’(x0)*x + b = f’(x0)*x + f(x0) – f’(x0)*x0 = f(x0) + f’(x0)*(x — x0).
y = f(x0) + f’(x0)*(x — x0).
Рассмотрим следующий пример: найти уравнение касательной к графику функции f(x) = x3 – 2*x2 + 1 в точке х = 2.
1. х0 = 2.
2. f(x0) = f(2) = 22 — 2*22 + 1 = 1.
3. f’(x) = 3*x2 – 4*x.
4. f’(x0) = f’(2) = 3*22 – 4*2 = 4.
5. Подставим полученные значения в формулу касательной, получим: y = 1 + 4*(x — 2). Раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые получим: y = 4*x — 7.
Ответ: y = 4*x — 7.
Общая схема составления уравнения касательной к графику функции y = f(x):
1. Определить х0.
2. Вычислить f(x0).
3. Вычислить f’(x)
4. Вычислить f’(x0)
5. Подставить полученные значения в уравнение касательной y= f(x0) + f’(x0)*(x — x0).
Нужна помощь в учебе?
Предыдущая тема: Применения непрерывности: метод интервалов и примеры
Следующая тема:   Критические точки функции: максимумы и минимумы
Все неприличные комментарии будут удаляться.
www.nado5.ru
Геометрический смысл производной. Уравнение касательной к графику функции. Задание 7
Геометрический смысл производной. Уравнение касательной к графику функции. Задание 7.
Вспомним определение производной:
Производной функции называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю:
Исходя из этого определения, рассмотрим, каким образом производная функции связана с графиком этой функции.
Посмотрите ВИДЕОУРОК, в котором я подробно объясняю, в чем заключается геометрический смысл производной, и как выводится уравнение касательной. А затем мы рассмотрим решение задач из Открытого банка заданий для подготовки к ЕГЭ по математике.
Итак.
Геометрический смысл производной.
Тангенс угла наклона касательной (угловой коэффициент наклона касательной), проведенной к графику функции в точке равен производной функции в этой точке:
Заметим, что угол — это угол между прямой и положительным направлением оси ОХ:
Уравнение касательной к графику функции в точке имеет вид:
В этом уравнении:
— абсцисса точки касания,
— значение функции в точке касания,
— значение производной функции в точке касания.
Приведем несколько примеров решения задач из Открытого банка заданий для подготовки к ЕГЭ по математике, в которых используется знание геометрического смысла производной.
Пример 1. Задание В8 (№ 27504) На рисунке изображены график функции и касательная к нему в точке с абcцисcой . Найдите значение производной функции в точке .
Значение производной функции в точке равно тангенсу угла между касательной и положительным направлением оси ОХ. Чтобы его найти, выделим прямоугольный треугольник, гипотенуза которого лежит на касательной, а катеты параллельны осям координат. Обозначим точки с целыми координатами буквами А и В — эти точки выделены на касательной:
Проведем через точку А прямую параллельно оси ОХ, а через точку В — параллельно оси OY. Получим прямоугольный треугольник ABC:
Угол А треугольника АВС равен углу между касательной и положительным направлением оси ОХ.
Тангенс острого угла прямоугольного треугольника равен отношению противолежащего катета к прилежащему.
Длины катетов считаем по количеству клеточек.
Ответ: 0,25
Пример 2. Задание В8 (№ 27506) На рисунке изображены график функции и касательная к нему в точке с абцисоой . Найдите значение производной функции в точке .
Эта задача очень похожа на предыдущую, за исключением того, что здесь касательная наклонена влево, и угол между касательной и положительным направлением оси ОХ расположен так:
Построим, как предыдущей задаче, прямоугольный треугольник АВС:
Угол А треугольника ABC и угол — смежные, то есть их сумма равна 180 градусов. Значит,
Запомните, если прямая наклонена влево, то коэффициент наклона прямой отрицателен.
Ответ: -0,25
Пример 3. Задание В8 (№ 40129) На рисунке изображен график функции . Прямая, проходящая через начало координат, касается графика этой функции в точке с абсцссой 8. Найдите значение производной функции в точке .
Соединим отрезком точку начала координат с точкой касания:
Производная функции в точке касания равна тангенсу угла между касательной и положительным направлением оси ОХ:
Чтобы найти тангенс , рассмотрим прямоугольный треугольник АОВ:
Ответ: 1,25
И.В. Фельдман, репетитор по математике.
ege-ok.ru
Как найти уравнение касательной к графику функции
Эта инструкция содержит результат на вопрос, как обнаружить уравнение касательной к графику функции. Приведена доскональная справочная информация. Использование теоретических выкладок разобрано на определенном примере.
Инструкция
1. Справочный материал.Для начала дадим определение касательной. Касательной к косой в данной точке М именуется предельное расположение секущей NM, когда точка N приближается по косой к точке М.Обнаружим уравнение касательной к графику функции y = f(x).
2. Определяем угловой показатель касательной к косой в точке М. Кривая, представляющая собой график функции y = f(x), постоянна в некоторой окрестности точки М (включая саму точку М).Проведем секущую MN1, образующую с позитивным направлением оси Ox угол ?.Координаты точки М (x; y), координаты точки N1(x+?x; y+?y). Из полученного треугольника MN1N дозволено обнаружить угловой показатель этой секущей: tg ? = ?y/?xMN = ?xNN1 = ?yПри тяготении точки N1 по косой к точке M секущая MN1 поворачивается вокруг точки M, причем угол ? тяготится к углу ? между касательной MT и позитивным направлением оси Ox. k = tg ? =? lim??(?x?0)?? ? ?y/?x = f`(x)Таким образом, угловой показатель касательной к графику функции равен значению производной этой функции в точке касания. В этом заключается геометрический толк производной.
3. Уравнение касательной к заданной косой в заданной точке М имеет вид: y – y0 = f`(x0) (x – x0),где (x0; y0) – координаты точки касания, (x; y) – нынешние координаты, т.е. координаты всякий точки, принадлежащей касательной, f`(x0) = k = tg ? – угловой показатель касательной.
4. Обнаружим уравнение касательной на примере.Дан график функции y=x2 – 2x. Надобно обнаружить уравнение касательной в точке с абсциссой x0 = 3.Из уравнения данной косой находим ординату точки касания y0 = 32 – 2?3 = 3.Находим производную, а после этого вычисляем ее значение в точке x0 = 3.Имеем: y`=2x – 2f`(3) = 2?3 – 2 = 4.Сейчас, зная точку (3; 3) на косой и угловой показатель f`(3) = 4 касательной в этой точке, получаем желанное уравнение:y – 3 = 4 (x – 3) либо y – 4x + 9 = 0
В учебнике 11 класса по алгебре учащиеся проходят тему производных. И вот в этом большом параграфе специальное место уделено для выяснения, что же такое касательная к графику, и как обнаружить и составить ее уравнение.
Инструкция
1. Пускай даны функция y=f(x) и определенная точка М с координатами а и f(a). И пускай вестимо, что существует f'(a). Ссоставим уравнение касательной. Это уравнение, как уравнение всякий иной прямой, которая не параллельна оси ординат, имеет вид y=kx+m, следственно для его составления нужно обнаружить неведомые k и m. С угловым показателем все ясно. Если М принадлежит графику и если от нее дозволено провести касательную, не перпендикулярную к оси абсцисс, то угловой показатель k равен f'(a). Для вычисления неведомого m используем то, что желанная прямая проходит через точку М. Следственно, если подставить координаты точки в уравнение прямой, то получим правильное равенство f(a)=ka+m. отсель находим, что m=f(a)-ka. Осталось только подставить значения показателей в уравнение прямой.y=kx+my=kx+(f(a)-ka)y=f(a)+f'(a)(x-a)Из этого следует, что уравнение имеет вид y=f(a)+f'(a)(x-a).
2. Для того, дабы обнаружить уравнение касательной к графику применяют определенный алгорифм. Во-первых, обозначьте х буквой а. Во-вторых, вычислите f(a). В третьих, обнаружьте производную от х и вычислите f'(a). И наконец, подставьте обнаруженные а, f(a) и f'(a) в формулу y=f(a)+f'(a)(x-a).
3. Для того, дабы отменнее осознать, как применять алгорифм, разглядите следующую задачу. Составьте уравнение касательной для функции y=1/x в точке х=1.Для решения этой задачи воспользуйтесь алгорифмом составления уравнения. Но при этом рассматривайте, что в данном примере дана функция f(x)=2-х-х3, а=0.1. В условии задачи указано значение точки а;2. Следственно, f(a)=2-0-0=2;3. f'(x)=0-1-3х=-1-3х; f'(a)=-1;4. Подставьте обнаруженные числа в уравнение касательной к графику: y=f(a)+f'(a)(x-a)=2+(-1)(х-0)=2-х.Результат: y=2-х.
Полезный совет
Для подтверждения вы можете возвести график функции и обнаруженной прямой.
Касательная к косой — прямая, которая прилегает к этой косой в заданной точке, то есть проходит через нее так, что на маленьком участке вокруг этой точки дозволено без специальной потери точности заменить кривую на отрезок касательной. Если эта кривая является графиком функции, то касательную к ней дозволено возвести по особому уравнению.
Инструкция
1. Представим, что у вас есть график некоторой функции. Через две точки, лежащие на этом графике, дозволено провести прямую. Такая прямая, пересекающая график заданной функции в 2-х точках, именуется секущей.Если, оставляя первую точку на месте, потихоньку двигать в ее направлении вторую точку, то секущая понемножку станет поворачиваться, тяготясь к какому-то определенному расположению. В конце концов, когда две точки сольются в одну, секущая будет плотно прилегать к вашему графику в этой исключительной точке. Иными словами, секущая превратится в касательную.
2. Любая наклонная (то есть не вертикальная) прямая на координатной плоскости является графиком уравнения y = kx + b. Секущая, проходящая через точки (x1, y1) и (x2, y2), должна, таким образом, соответствовать условиям:kx1 + b = y1, kx2 + b = y2.Решая эту систему 2-х линейных уравнений, получаем: kx2 – kx1 = y2 – y1. Таким образом, k = (y2 – y1)/(x2 – x1).
3. Когда расстояние между x1 и x2 тяготится к нулю, разности превращаются в дифференциалы. Таким образом, в уравнении касательной, проходящей через точку (x0, y0) показатель k будет равен ?y0/?x0 = f?(x0), то есть значению производной от функции f(x) в точке x0.
4. Дабы узнать показатель b, подставим теснее вычисленное значение k в уравнение f?(x0)*x0 + b = f(x0). Решая это уравнение касательно b, мы получим, что b = f(x0) – f?(x0)*x0.
5. Окончательный вариант уравнения касательной к графику заданной функции в точке x0, выглядит так:y = f?(x0)*(x – x0) + f(x0).
6. В качестве примера разглядим уравнение касательной к функции f(x) = x^2 в точке x0 = 3. Производная от x^2 равна 2x. Следственно, уравнение касательной приобретает вид:y = 6*(x – 3) + 9 = 6x – 9.Правильность этого уравнения легко проверить. График прямой y = 6x – 9 проходит через ту же точку (3;9), что и начальная парабола. Возведя оба графика, вы сумеете удостовериться, что эта прямая подлинно прилегает к параболе в этой точке.
7. Таким образом, график функции имеет касательную в точке x0 только тогда, когда функция имеет производную в этой точке. Если в точке x0 функция владеет обрывом второго рода, то касательная превращается в вертикальную асимптоту. Впрочем одно только присутствие производной в точке x0 еще не гарантирует обязательного существования касательной в этой точке. Скажем, функция f(x) = |x| в точке x0 = 0 постоянна и дифференцируема, но провести касательную к ней в этой точке немыслимо. Стандартная формула в этом случае дает уравнение y = 0, но эта прямая не является касательной к графику модуля.
При составлении уравнения касательной к графику функции применяется представление «абсцисса точки касания». Данная величина может задаваться первоначально в условиях задачи либо же ее нужно определять самосильно.
Инструкция
1. Начертите на листе в клеточку оси координат х и у. Изучите заданное уравнение для графика функции. Если оно является линейным, то довольно узнать два значения для параметра у при всяких х, позже чего возвести обнаруженные точки на оси координат и объединить их прямой линией. Если же график нелинейный, то составьте таблицу зависимости у от х и подберите как минимум пять точек для построения графика.
2. Постройте график функции и поставьте на оси координат заданную точку касательной. Если она совпадает с функцией, то ее координата х приравнивается к букве «а», которой обозначается абсцисса точки касания.
3. Определите значение абсциссы точки касания для случая, когда заданная точка касательной не совпадает с графиком функции. Задаем 3-й параметр буквой «а».
4. Запишите уравнение функции f(a). Для этого в начальное уравнение взамен х подставьте а. Обнаружьте производную функции f(x) и f(a). Подставьте нужные данные в всеобщее уравнение касательной, которое имеет вид: y = f(a) + f ‘(a)(x – a). В итоге получить уравнение, которое состоит из 3 незнакомых параметров.
5. Подставьте в него взамен х и у координаты заданной точки, через которую проходит касательная. Позже этого обнаружьте решение полученного уравнения для всех а. Если оно является квадратным, то будет два значения абсциссы точки касания. Это значит, что касательная проходит два раза вблизи графика функции.
6. Нарисуйте график заданной функции и параллельной прямой, которые заданы по условию задачи. В этом случае нужно также задать неведомый параметр а и подставить его в уравнение f(a). Приравняйте производную f(a) к производной уравнения параллельной прямой. Данное действие выходит из данные параллельности 2-х функций. Обнаружьте корни полученного уравнения, которые будут являться абсциссами точки касания.
Прямая y=f(x) будет касательной к изображенному на рисунке графику в точке х0 в том случае, если она проходит через точку с координатами (х0; f(x0)) и владеет угловым показателем f'(x0). Обнаружить такой показатель, зная особенности касательной, нетрудно.
Вам понадобится
- – математический справочник;
- – легкой карандаш;
- – тетрадь;
- – транспортир;
- – циркуль;
- – ручка.
Инструкция
1. Обратите внимание на то, что график дифференцируемой в точке х0 функции f(x) ничем не отличается от отрезка касательной. Ввиду этого, он довольно близок к отрезку l, тот, что проходит через точки (х0; f(х0)) и (х0+?x; f(x0 + ?x)). Для того дабы задать прямую, которая проходит через некую точку А с показателями (х0; f(х0)), следует указать ее угловой показатель. При этом угловой показатель равен ?y/?x секущей касательной (?х?0) и тяготится к числу f‘(x0).
2. Если значения f‘(x0) не существует, то либо касательной нет, либо она проходит вертикально. Ввиду этого, присутствие производной функции в точке х0 обусловлено существованием невертикальной касательной, соприкасающейся с графиком функции в точке (х0, f(х0)). В этом случае угловой показатель касательной равен будет f'(х0). Таким образом, становится ясен геометрический толк производной – расчет углового показателя касательной.
3. Изобразите на рисунке добавочные касательные, которые бы соприкасались с графиком функции в точках x1, х2 и х3, а также подметьте углы, образуемые этими касательными с осью абсцисс (такой угол отсчитывают в правильном направлении от оси до касательной прямой). К примеру, 1-й угол, то есть, ?1, будет острым, 2-й (?2) – тупой, а 3-й (?3) равен нулю, от того что проведенная касательная прямая параллельна оси ОХ. В таком случае тангенс тупого угла – негативное значение, тангенс острого угла – позитивное, а при tg0 итог равен нулю.
Обратите внимание!
Верно определите угол, образуемый касательной. Для этого используйте транспортир.
Полезный совет
Две наклонные прямые будут параллельными в том случае, если их угловые показатели равны между собой; перпендикулярными, если произведение угловых показателей этих касательных равно -1.
Раньше чем приступить к нахождению координат точки касания, нужно проверить вероятность проведения касательной. Для этого исполните обзор функции, описывающей заданную кривую на определенном участке.
Инструкция
1. Касательная к произвольной линии на плоскости в прямоугольной системе координат — это предел, к которому тяготится секущая к данной косой при максимальном сближении точек пересечения косой и прямой.
2. Следственно, касательная имеет только одну всеобщую точку с косой. Впрочем это заявление объективно для сурово определенного участка. В зависимости от поведения косой в иных областях координатной плоскости, касательная может пересекать заданную линию либо, напротив, удаляться от нее.
3. К некоторым кривым дозволено провести касательную в всякий точке. Примеры таких линий — окружность, эллипс. Другие постоянные кривые могут иметь точки, в которых возвести касательную нереально. Это происходит на участках, где секущая не тяготится к одному предельному расположению.
4. Пускай произвольная кривая описывается выражением Y=F(x). Всеобщий вид уравнения прямой Y=kx+a. Видимо, что в точке касания с координатами (Xo, Yо) объективно равенство: F(Xo)=kXo+a.
5. Если функция F(x) дифференцируема в точке Xo, в этой точке дозволено провести касательную к косой, и показатель наклона касательной к оси OX равен значению производной функции: k=F'(Xo). Уравнение касательной в точке касания принимает вид Yo=F'(Xo)*Xo+a. Задача нахождения координат точки касания сводится к решению системы 2-х уравнений с двумя неведомыми Yo=F(Xo) и Yo= F'(Xo)*Xo+a.
6. Плоскость является касательной к поверхности, если имеет всеобщую с поверхностью точку и прямую либо плоскую кривую линию. Определение координат (Xo Yo Zo) всеобщей точки касательной плоскости и заданной криволинейной поверхности Z=F(x,y) допустимо в случае если функция F(x,y) имеет полный дифференциал в данной точке.
Видео по теме
Задача составления уравнения касательной к графику функции сводится к необходимости совершения отбора из множества прямых тем, которые могут удовлетворить заданным требованиям. Все этим прямые могут задаваться либо точками, либо угловым показателем. Для того дабы решить график функции и касательной, нужно исполнить определенные действия.
Инструкция
1. Прочитайте наблюдательно задачу по составлению уравнения касательной. Как водится, имеется определенное уравнение графика функции , выраженное через x и y, а также координаты одной из точек касательной.
2. Постройте график функции в координатах осей x и y. Для этого нужно составить таблицу соотношения равенства y при заданном значении x. Если график функции нелинейный, то для ее построения потребуется, как минимум, пять значений координат. Начертите оси координат и график функции . Поставьте также точку, которая указана в условии задачи.
3. Обнаружьте значение абсциссы точки касания, которую обозначаются буквой «а». Если она совпадает с заданной точкой касательной, то «а» будет равно ее х-координате. Определите значение функции f(a), подставив в уравнение функции величину абсциссы.
4. Определите первую производную уравнения функции f’(x) и подставьте в него значение точки «а».
5. Возьмите всеобщее уравнение касательной, которое определяется как y = f(a) = f (a)(x – a), и подставьте в него обнаруженные значения a, f(a), f ‘(a). В итоге будет обнаружено решение графика функций и касательной.
6. Решите задачу другим методом, если заданная точка касательной не совпала с точкой касания. В этом случае нужно в уравнение касательной взамен цифр подставить букву «а». Позже этого взамен букв «х» и «у» подставьте значение координат заданной точки. Решите получившееся уравнение, в котором буква «а» является незнакомой. Поставьте полученное значение в уравнение касательной.
7. Составьте уравнение касательной с буквой «а», если в условии задачи задано уравнение функции и уравнение параллельной линии касательно желанной касательной. Позже этого нужно обнаружить производную функции параллельной прямой, дабы определить координату у точки «а». Подставьте соответствующее значение в уравнение касательной и решите функцию.
Геометрический толк производной первого порядка функции F(х) представляет собой касательную прямую к ее графику, проходящую через заданную точку косой и совпадающую с ней в этой точке. Причем значение производной в данной точке х0 является угловым показателем либо напротив – тангенсом угла наклона касательной прямой k = tg a = F`(х0). Вычисление данного показателя – одна из особенно распространенных задач теории функций.
Инструкция
1. Запишите заданную функцию F(x), скажем F(x) = (x? + 15х +26). Если в задаче очевидно указана точка, через которую проводится касательная, скажем, ее координата х0 = -2, дозволено обойтись без построения графика функции и дополнительных прямых на декартовой системе ОХY. Обнаружьте производную первого порядка от заданной функции F`(x). В рассматриваемом примере F`(x) = (3x? + 15). Подставьте заданное значение довода х0 в производную функции и вычислите ее значение: F`(-2) = (3(-2)? + 15) = 27. Таким образом, вы обнаружили tg a = 27.
2. При рассмотрении задачи, где требуется определить тангенс угла наклона касательной к графику функции в точке пересечения этого графика с осью абсцисс, вам потребуется вначале обнаружить числовое значение координат точки пересечения функции с ОХ. Для наглядности отменнее каждого исполнить построение графика функции на двухмерной плоскости ОХY.
3. Задайте координатный ряд для абсцисс, скажем, от -5 до 5 с шагом 1. Подставляя в функцию значения х, вычислите соответствующие им ординаты у и отложите на координатной плоскости полученные точки (х, у). Объедините точки плавной линией. Вы увидите на исполненном графике место пересечения функцией оси абсцисс. Ордината функции в данной точке равна нулю. Обнаружьте численное значение соответствующего ей довода. Для этого заданную функцию, скажем F(x) = (4x? – 16), приравняйте к нулю. Решите полученное уравнение с одной переменной и вычислите х: 4x? – 16 = 0, x? = 4, х = 2. Таким образом, согласно условию задачи, тангенс угла наклона касательной к графику функции нужно обнаружить в точке с координатой х0 = 2.
4. Подобно описанному ранее методу определите производную функции: F`(x) = 8*x. После этого вычислите ее значение в точке с х0 = 2, что соответствует точке пересечения начальной функции с ОХ. Подставьте полученное значение в производную функции и вычислите тангенс угла наклона касательной: tg a = F`(2) = 16.
5. При нахождении углового показателя в точке пересечения графика функции с осью ординат (ОY) исполните схожие действия. Только координату желанной точки х0 сразу следует принять равной нулю.
Перед тем как ответить на поставленный вопрос, требуется определить, нормаль чего именно нужно искать. В данном случае, ориентировочно, в задаче рассматривается некая поверхность.
Инструкция
1. Приступая к решению поставленной задачи, следует помнить, что нормаль к поверхности определяется как нормаль к касательной плоскости. Исходя именно из этого и будет выбираться методология решения.
2. График функции 2-х переменных z=f(x, y)=z(x, y) – это поверхность в пространстве. Таким образом ее почаще каждого и задают. В первую очередь нужно обнаружить касательную плоскость к поверхности в некоторой точке М0(x0, y0, z0), где z0=z(x0, y0).
3. Для этого следует припомнить, что геометрический толк производной функции одного довода, это угловой показатель касательной к графику функции в точке, где y0=f(x0). Частные производные функции 2-х доводов находят, фиксируя «ненужный» довод верно так же, как и производные обыкновенных функций. Значит геометрический толк частной производной по x функции z=z(x, y) в точке (x0,y0) состоит в равенстве ее углового показателя касательной, к косой, образуемой пересечением поверхности и плоскости y=y0 (см. рис. 1).
4. Данные, отраженные на рис. 1, разрешают заключить, что уравнение касательной к поверхности z=z(x, y), содержащей точку М0(xo, y0, z0) в сечении при y=y0: m(x-x0)=(z-z0), y=y0. В каноническом виде дозволено записать:(x-x0)/(1/m)=(z-z0)/1, y=y0. Значит направляющий вектор этой касательной s1(1/m, 0, 1).
5. Сейчас, если угловой показатель касательно для частной производной по y обозначить n, то абсолютно видимо, что подобно предыдущему выражению, это приведет к (y-y0)/(1/n)=(z-z0), x=x0 и s2(0, 1/n, 1).
6. Дальше движение решения в виде поиска уравнения касательной плоскости дозволено перестать и перейти непринужденно к желанной нормали n. Ее дозволено получить как вектор ное произведение n=[s1, s2]. Вычислив его, будет определено, что в заданной точке поверхности (x0, y0, z0). n={-1/n, -1/m, 1/mn}.
7. Потому что всякий пропорциональный вектор также останется вектор ом нормали, комфортнее каждого результат представить в виде n={-n, -m, 1} и окончательно n(дz/дx, дz/дx, -1).
Видео по теме
Обратите внимание!
У незамкнутой поверхности имеется две стороны. В данном случае результат дан для «верхней» стороны, там где нормаль образует острый угол с осью 0Z.
Видео по теме
jprosto.ru