Как возвести степень в нулевую степень – Особые степени. Нулевая степень

Особые степени. Нулевая степень

Доказательство свойств нулевой степени

 

Для доказательства этого свойства нужно будет воспользоваться свойством умножения степеней.

Рассмотрим степень с основанием a и показателем степени n:

Умножим эту степень на a⁰:

По свойству произведения степеней:

Итак, мы имеем:

Это равенство может быть верным только, когда в левой части aⁿ умножается на 1, т.е.

Для нуля в нулевой степени данные рассуждения не подходят.

Рассмотрим:

Пусть, основание a=0 и степень m=0:

Так как:

То равенство:

можно переписать в виде, для любого n, независимо от того m было равно нулю или какому-либо другому значению:

Исходя этого, 0⁰ может принимать любые значения, поэтому это выражение считают не имеющим смысла, и иногда в заданиях приравнивают к нулю.

mathvox.ru

Отрицательная и нулевая степень числа

Продолжаем рассматривать свойства степеней, возьмем к примеру, 16:8=2. Поскольку 16=2⁴, а 8=2³, следовательно, деление можно в экспоненциальном виде записать как 2⁴:2³=2, но если мы будем вычитать экспоненты, то 2⁴:2³=2¹. Таким образом, нам приходится признать, что 2 и 2¹ – это одно и то же, следовательно, 2¹=2.

То же правило применимо и к любому другому экспоненциальному числу, таким образом, можно сформулировать правило в общем виде:

любое число, возведенное в первую степень, остается без изменения

То есть 5¹=5, 27¹=27 и так далее.

Но дальше все становится сложнее. Чему равно 8:8? Конечно, единице. Но 8=2³, следовательно 2³:2³=1. Но если мы вычтем экспоненты, получим ноль 2³:2³=2⁰. Значит ли это, что 2

0=1? Так оно и есть.

Этот вывод, возможно, привел вас в изумление. Еще можно как-то понять смысл выражения 2¹=2, хотя выражение «одно число два, умноженное само на себя» звучит достаточно странно. Но выражение 2⁰ означает «ни одного числа два, умноженного само на себя», то есть кажется логичным, чтобы 2⁰ равнялось нулю. Возможно, это и логично, но математики отнюдь не следуют правилам обычной повседневной логики. Они руководствуются общими закономерностями и необходимостью взаимной совместимости постулатов. Иными словами, математики могут принять самые невероятные правила, которые с обывательской точки зрения могут показаться просто безумными. Но эти правила не должны противоречить одно другому, какие бы результаты ни получались. Правило сложения и вычитания экспонент работает настолько хорошо, что если для того, чтобы его применять, необходимо, чтобы 2⁰=1, значит, так и должно быть. Мы просто принимаем, что утверждение 2

0=1 верно.

Если мы будем не 2³ делить на 2³, а 6³ будем делить на 6³, то опять получим, что 6⁰=1. Мы можем проверить одно число за другим, и каждый раз будем получать один и тот же результат:

любое число, возведенное в нулевую степень, равно 1

Пойдем дальше. При делении 64 на 128 мы получаем ответ $\frac{64}{128}$, или $\frac{1}{2}$. В экспоненциальной форме наша задача приобретает такой вид: 2⁶: 2⁷. Ответ 2^-1, или, $\frac{1}{2}$, или, в экспоненциальной форме, ($\frac{1}{2}$)¹.

Аналогично 32 : 128 = ($\frac{1}{4}$). В экспоненциальной форме получим: 2⁵: 2⁷. Ответ 2 ^-2, или $\frac{1}{4}$, или, в экспоненциальной форме, ($\frac{1}{2}$)².

Можно привести еще множество примеров, и каждый раз мы обнаружим, что

:

отрицательная степень числа становится положительной при переходе к обратному числу

Другими словами, 4 ^-7= ($\frac{1}{4}$)⁷, а 10^-3= ($\frac{1}{10}$)³. Это правило справедливо для любых чисел, например 6^-4 = ($\frac{1}{6}$)⁴. Если вы все же сомневаетесь в этом, читайте следующую статью.

Материалы по теме:

Поделиться с друзьями:

Загрузка…

matemonline.com

Возведение в нулевую степень – ноль на разных языках

Нулевая, отрицательная и дробная степень

Нулевой показатель

Возвести данное число в некоторую степень значит повторить его сомножителем столько раз, сколько единиц в показателе степени.

Согласно этому определению, выражение: a⁰ не имеет смысла. Но чтобы правило деления степеней одного и того же числа имело значение и в том случае, когда показатель делителя равен показателю делимого, введено определение:

a⁰ = 1

Нулевая степень любого числа будет равна единице.

Отрицательный показатель

Выражение a^-m, само по себе не имеет смысла. Но чтобы правило деления степеней одного и того же числа имело значение и в том случае, когда показатель делителя больше показателя делимого, введено определение:

Пример 1. Если данное число состоит из 5 сотен, 7 десятков, 2 единиц и 9 сотых долей, то его можно изобразить так:

5 × 10² + 7 × 10¹ + 2 × 10⁰ + 0 × 10^-1 + 9 × 10^-2 = 572,09

Пример 2. Если данное число состоит из a десятков, b единиц, c десятых и d тысячных долей, то его можно изобразить так:

a × 10¹ + b × 10⁰ + c × 10^-1 + d × 10^-3

Действия над степенями с отрицательными показателями

При умножении степеней одного и того же числа показатели складываются.

При делении степеней одного и того же числа из показателя делимого вычитается показатель делителя.

Чтобы возвести в степень произведение, достаточно возвести в эту степень каждый сомножитель отдельно:

Чтобы возвести в степень дробь, достаточно возвести в эту степень отдельно оба члена дроби:

При возведении степени в другую степень показатели степеней перемножаются.

1. 

Дробный показатель

Если k не есть число кратное n, то выражение: не имеет смысла. Но чтобы правило извлечения корня из степени имело место при любом значении показателя степени, введено определение:

Благодаря введению нового символа, извлечение корня всегда может быть заменено возведением в степень.

Действия над степенями с дробными показателями

Действия над степенями с дробными показателями совершаются по тем же правилам, которые установлены для целых показателей.

При доказательстве этого положения, будем сначала предполагать, что члены дробей: и , служащих показателями степеней, положительны.

В частном случае n или q могут равняться единице.

При умножении степеней одного и того же числа дробные показатели складываются:

При делении степеней одного и того же числа с дробными показателями из показателя делимого вычитается показатель делителя:

Чтобы возвести степень в другую степень в случае дробных показателей, достаточно перемножить показатели степеней:

Чтобы извлечь корень из дробной степени, достаточно показатель степени разделить на показатель корня:

Правила действий применимы не только к положительным дробным показателям, но и к отрицательным.

steptosleep.ru

Как возвести число к степени в Excel с помощью формулы и оператора

Часто пользователям необходимо возвести число в степень. Как правильно сделать это с помощью «Экселя»?

В этой статье мы попробуем разобраться с популярными вопросами пользователей и дать инструкцию по правильному использованию системы. MS Office Excel позволяет выполнять ряд математических функций: от самых простых до сложнейших. Это универсальное программное обеспечение рассчитано на все случаи жизни.

Как возвести в степень в Excel?

Перед поиском необходимой функции обратите внимание на математические законы:

1. Число «1» в любой степени будет оставаться «1».
2. Число «0» в любой степени будет оставаться «0».
3. Любое число, возведенное в нулевую степень, равняется единице.
4. Любое значение «А» в степени «1» будет равняться «А».

Примеры в Excel:

Вариант №1. Используем символ «^»

Стандартный и самый простой вариант – использовать значок «^», который получается при нажатии Shift+6 при английской раскладке клавиатуры.

ВАЖНО!

1. Чтобы число было возведено в нужную нам степень, необходимо в ячейке поставить знак «=» перед указанием цифры, которую вы хотите возвести.
2. Степень указывается после знака «^».

Мы возвели 8 в «квадрат» (т.е. ко второй степени) и получили в ячейке «А2» результат вычисления.



Вариант №2. С использованием функции

В Microsoft Office Excel есть удобная функция «СТЕПЕНЬ», которую вы можете активизировать для осуществления простых и сложных математических расчетов.

Функция выглядит следующим образом:

=СТЕПЕНЬ(число;степень)

ВНИМАНИЕ!

1. Цифры для этой формулы указываются без пробелов и других знаков.
2. Первая цифра – значение «число». Это основание (т.е. цифра, которую мы возводим). Microsoft Office Excel допускает введение любого вещественного числа.
3. Вторая цифра – значение «степень». Это показатель, в который мы возводим первую цифру.
4. Значения обоих параметров могут быть меньше нуля (т.е. со знаком «-»).

Формула возведения в степень в Excel

Примеры использования функции СТЕПЕНЬ().

С использованием мастера функций:

1. Запускаем мастера функций с помощью комбинации горячих клавиш SHIFT+F3 или жмем на кнопку в начале строки формул «fx» (вставить функцию). Из выпадающего списка «Категория» выбираем «Математические», а в нижнем поле указываем на нужную нам функцию и жмем ОК.
2. В появившимся диалоговом окне заполняем поля аргументами. К примеру, нам нужно возвести число «2» в степень «3». Тогда в первое поле вводим «2», а во второе — «3».
3. Нажимаем кнопку «ОК» и получаем в ячейке, в которую вводили формулу, необходимое нам значение. Для данной ситуации это «2» в «кубе», т.е. 2*2*2 = 8. Программа подсчитала все верно и выдала вам результат.

Если лишние клики вы считаете сомнительным удовольствием, предлагаем еще один простой вариант.

Ввод функции вручную:

1. В строке формул ставим знак «=» и начинаем вводить название функции. Обычно достаточно написать «сте» — и система сама догадается предложить вам полезную опцию.
2. Как только увидели такую подсказку, сразу жмите на клавишу «Tab». Или можете продолжить писать, вручную вводить каждую букву. Потом в скобках укажите необходимые параметры: два числа через точку с запятой.
3. После этого нажимаете на «Enter» — и в ячейке появляется высчитанное значение 8.

Последовательность действий проста, а результат пользователь получает достаточно быстро. В аргументах вместо чисел могут быть указаны ссылки на ячейки.

Корень в степени в Excel

Чтобы извлечь корень с помощью формул Microsoft Excel, воспользуемся несколько иным, но весьма удобным способом вызова функций:

1. Перейдите по закладке «Формулы». В разделе инструментов «Библиотека функций» щелкаем по инструменту «Математические». А из выпадающего списка указываем на опцию «КОРЕНЬ».
2. Введите аргумент функции по запросу системы. В нашем случае необходимо было найти корень из цифры «25», поэтому вводим его в строку. После введения числа просто нажимаем на кнопку «ОК». В ячейке будет отражена цифра, полученная в результате математического вычисления корня.

ВНИМАНИЕ! Если нам нужно узнать корень в степени в Excel то мы не используем функцию =КОРЕНЬ(). Вспомним теорию из математики:

«Корнем n-ой степени от числа а называется число b, n-ая степень которого равна а», то есть:
ⁿ√a = b; bⁿ = a.

«А корень n-ой степени из числа а будет равен возведению к степени этого же числа а на 1/n», то есть:
ⁿ√a = a^1/n.

Из этого следует чтобы вычислить математическую формулу корня в n-ой степени например:

⁵√32 = 2

В Excel следует записывать через такую формулу: =32^(1/5), то есть: =a^(1/n)- где a-число; n-степень:

Или через такую функцию: =СТЕПЕНЬ(32;1/5)

В аргументах формулы и функции можно указывать ссылки на ячейки вместо числа.

Как в Excel написать число в степени?

Часто вам важно, чтобы число в степени корректно отображалось при распечатывании и красиво выглядело в таблице. Как в Excel написать число в степени? Здесь необходимо использовать вкладку «Формат ячеек». В нашем примере мы записали цифру «3» в ячейку «А1», которую нужно представить в -2 степени.

Последовательность действий следующая:

1. Правой кнопкой мыши щелкаем по ячейке с числом и выбираем из выскакивающего меню вкладку «Формат ячеек». Если не получилось – находим вкладку «Формат ячеек» в верхней панели или жмем комбинацию клавиш CTRL+1.
2. В появившемся меню выбираем вкладку «Число» и задаем формат для ячейки «Текстовый». Жмем ОК.
3. В ячейке A1 вводим рядом с числом «3» число «-2» и выделяем его.
4. Снова вызываем формат ячеек (например, комбинацией горячих клавиш CTRL+1) и теперь для нас только доступна вкладка «Шрифт», в которой отмечаем галочкой опцию «надстрочный». И жмем ОК.
5. В результате должно отображаться следующее значение:

Пользоваться возможностями Excel просто и удобно. С ними вы экономите время на осуществлении математических подсчетов и поисках необходимых формул.

exceltable.com

Что такое возведение в степень? – boeffblog.ru

 

В этой статье мы познакомимся с возведением числа в степень. Давайте разберемся, что же такое степень? Квадрат числа, куб числа, четвертая степень числа… Что за ерунда??? На самом деле, все как обычно просто. Дело в том, что многие вещи в нашей жизни придумываются из-за человеческой лени. Например пульт от телевизора. Какому-то человеку было лень вставать каждый раз с дивана, чтобы переключить канал (да-да раньше так и было, многие наверное не застали этот момент, когда люди не занимались всякой ерундой типа “крутить спинер” или “майнить криптовалюту”). И вот этот человек чесал затылок и придумал “хочу щелкать каналы прямо с дивана”. Так появился пульт дистанционного управления.

Причем здесь возведение в степень? А при том, дело опять же в лени, зачем писать 2•2, если можно записать 2² (черт, плохой пример, в обоих случаях по две цифры получилось). Ок, продолжим. 2•2•2 или 2³. Что проще записать? Не убедил? 2•2•2•2•2•2•2•2•2 или 2⁹. Мне кажется, Вы начинаете понимать. А представьте, что будет подряд тридцать или сто двоек. Проще записать 2³⁰ или 2¹⁰⁰. Ну Вы поняли. Вот собственно и все возведение в степень. Берем число которое снизу (2) и перемножаем само на себя (на ту же 2) столько раз, сколько написано сверху (30 или 100).

Например, 10³ = 10•10•10 = 1000. С десяткой вообще просто, дописываете столько нулей, сколько написано вверху (кстати, это число называется показатель степени).

Вы скажете, я все понял! Но, но, но… А как быть если показатель степени равен 0 или -2??

Об этом дальше.

Нулевая степень

Любое число в нулевой степени равно 1. Просто нужно запомнить такой момент (2⁰ = 1, 50⁰ = 1, 23456789⁰ = 1, (-12354252)⁰ = 1). Запомнили.

Отрицательная степень

Еще бывает и такое: 2^-1. Что это значит? Запомните, при возведении в отрицательную степень число переворачивается. То есть: 2^-1 = (так как двойку нужно перемножить 1 раз, получается просто 2) . Если было бы:  , то дробь бы перевернулась: .

Для понимания всего этого, я обычно пишу такую последовательность:

2⁴ = 2•2•2•2 = 16

2³ = 2•2•2 = 8

2² = 2•2 = 4

2¹ = 2

2⁰ = 1

2^–1 =

2^-2 =

2^-3 =

2^-4 =

 

А для дробей:

 

1

2

4

8

16

 

И напоследок, -2² и (-2)² это разные вещи!

-2² означает, что мы сначала выполняем возведение в степень числа 2, а потом подставляем знак минус. -2² = -(2•2) = -4.

(-2)² означает, что мы сначала возводим в степень число  -2.. (-2)² = (-2)•(-2) = +4. Так как “минус на минус дает плюс”.

 

Всего доброго!

boeffblog.ru

Как степень возвести в степень: примеры — Topkin

Содержание

1. Что такое степень
2. Как возвести степень в степень

Как степень возвести в степень? С такой математической задачкой приходится сталкиваться школьникам в 5 классе. Задание не особо трудное, если понимать, что такое степень вообще. В этом материале мы попробуем разобрать это понятие поподробней, и тогда любая задача будет решаться вами за минуту.

Что такое степень

Степенью числа называют количество умножений числа на самого себя. К примеру, вторая степень от пяти – это 5² = 5*5, третья от того же числа – 5³=5*5*5 и так далее. Теперь следует разобраться, что есть основание, а что показатель, ведь эти понятия довольно часто встречаются в примерах. Возьмем все тот же выражение 5². Число 5 является основанием степени, а 2 – показателем. Есть несколько основных правил, касающихся этого математического задания:

• Степень числа, показателем которой является единица, равна основанию. Те есть х¹ = х (пример с числами: 5¹ = 5).
• Любая степень, показателем которой является ноль (нулевая степень) равняется единице. Это правило выглядит так: х⁰ = 1 (пример: 5⁰ = 1).
• Ноль в любой степени равен самому себе, то есть 0^х = 0.
• Единица, возведенная в любую степень равна основанию (пример: 1^х = 1).

Как возвести степень в степень

Теперь, когда вы знаете основные правила можно перейти и к более сложным примерам. Для того чтобы возвести число в степени в еще одну степень, вам необходимо перемножить их между собой, и только потом возводить число в получившееся произведение. Как это выглядит? Давайте разберем такой пример (5²)³ = (5)^2*3= 5⁶. Как видите, все довольно просто и напоминает умножение в скобках.

Немного сложней возвести в степень отрицательное число. Результат может получиться как со знаком «плюс» так и «минус». Это зависит от того, в какую степень вы возводите: четную или нечетную. Принцип такой же, как при обычном умножении отрицательных чисел. При этом положительное число получается при возведении в четную степень. А отрицательное, соответственно, в нечетную. Разберем примеры:

• (–5)²= (–5)*(–5)= 25;
• (–5)³= (–5)*(–5)*(–5)= –125.

Намного сложней возвести число в отрицательную степень. В этом случае вам необходимо разделить единицу на основание степени с положительным значением. Намного легче понять, как это сделать из следующего фото:

Остается только разобрать, как возвести в степень множители. К примеру, вам необходимо решить такое математическое выражение (a*b)². Задача эта не так сложна как кажется. Чтобы решить этот пример, перемножьте выражение в скобках на себя (a*b) (a*b)= a²b². Таким же образом следует поступать и с любыми другими степенями и многочленами. Давайте решим пример посложней:

• (5ab²)³= (5)³*a³*(b²)³= 125a³b⁶

Теперь задачки по возведению в степень не станут для вас «высшей математикой» и вы с легкостью решите любой подобный пример.

topkin.ru

Помогите!!! Как возвести степень в степень???

кажется степень умножается на степень, или плюсуется…)) ) Давно дело было)

Степени умножаются.

число в какой-то степени и вся эта хрень еще в степени — это надо степени перемножить и число возвести в получившуюся степень.. . ох, ни хрена себе.. . понимаете меня? это точно, я учитель математики)

надо перемножить показатели степеней, а потом основание возвести в ту степень, которая получится при перемножении показателей. Например, если число надо сначала возвести в квадрат, а потом то, что получится — возвести в куб, то перемножаем показатели — то есть 2 на 3, и возводим число сразу в 6-ю степень. Иначе говоря, если число надо возвести сначала в степень m, а потом результат возвести в степень n, то это то же самое, что возвести число сразу в степень mn

При возведении степени в степень показатели степеней перемнжаются. Вот!

(A^B)^C=A^(B*C), вот и всё.

touch.otvet.mail.ru

No related posts.