Внеклассный урок — Первообразная. Интегрирование
Первообразная. Интегрирование.
Первообразная.
Первообразную легко понять на примере.
Возьмем функцию у = х3. Как мы знаем из предыдущих разделов, производной от х3 является 3х2:
(х3)’ = 3х2.
Следовательно, из функции у = х3 мы получаем новую функцию: у = 3х2.
Образно говоря, функция у = х3 произвела функцию у = 3х2 и является ее «родителем». В математике нет слова «родитель», а есть родственное ему понятие: первообразная.
То есть: функция у = х3 является первообразной для функции у = 3х2.
Определение первообразной:
Если F‘(x) = f(x), то функцию у = F(x) называют первообразной для функции у = f(x). |
В нашем примере (х3)’ = 3х2, следовательно у = х3 – первообразная для у = 3х2.
Интегрирование.
Как вы знаете, процесс нахождения производной по заданной функции называется дифференцированием. А обратная операция называется интегрированием.
Интегрирование – это процесс нахождения функции по заданной производной. |
Приведенный выше пример как раз является примером интегрирования: по производной (х3)’ мы вычислили функцию у = 3х2.
Правила и формулы для первообразной.
(1)
Первообразная суммы равна сумме первообразных. |
Пример-пояснение:
Найдем первообразную для функции у = 3х2 + sin x.
Решение:
Мы знаем, что первообразной для 3х2 является х3.
Первообразной для sin x является –cos x.
Складываем два первообразных и получаем первообразную для заданной функции:
у = х3 + (–cos x),
у = х3 – cos x.
Ответ:
для функции у = 3х2 + sin x первообразной является функция у = х3 – cos x.
(2)
kF(x) является первообразной для kf(x), если F(x) является первообразной для f(x). |
Пример-пояснение:
Найдем первообразную для функции у = 2 sin x.
Решение:
Замечаем, что k = 2. Первообразной для sin x является –cos x.
Следовательно, для функции у = 2 sin x первообразной является функция у = –2 cos x.
Коэффициент 2 в функции у = 2 sin x соответствует коэффициенту первообразной, от которой эта функция образовалась.
(3)
Если у = F(x) является первообразной для функции y = f(x), то для функции y = f(kx + m) первообразной является функция: 1 |
Пример-пояснение:
Найдем первообразную для функции y = sin 2x.
Решение:
Замечаем, что k = 2. Первообразной для sin x является –cos x.
Применяем нашу формулу при нахождении первообразной для функции y = cos 2x:
1
y = — · (–cos 2x),
2
cos 2x
y = – ————
2
cos 2x
Ответ: для функции y = sin 2x первообразной является функция y = – ————
2
(4)
Если у = F(x) является первообразной для функции y = f(x), то функция y = f(x) имеет бесконечное множество первообразных, имеющих вид: y = F(x) + C |
Пример-пояснение.
Возьмем функцию из предыдущего примера: y = sin 2x.
Для этой функции все первообразные имеют вид:
cos 2x
y = – ———— + C.
2
Пояснение.
Возьмем первую строчку. Читается она так: если функция y = f(x) равна 0, то первообразной для для нее является 1. Почему? Потому что производная единицы равна нулю: 1′ = 0.
В таком же порядке читаются и остальные строчки.
Как выписывать данные из таблицы? Возьмем восьмую строчку:
(-cos x)’ = sin x
Пишем вторую часть со знаком производной, затем знак равенства и производную.
Читаем: первообразной для функции sin x является функция -cos x.
Или: функция -cos x является первообразной для функции sin x.
| 1 | Найти производную — d/dx | бревно натуральное х | |
| 2 | Оценить интеграл | интеграл натурального логарифма x относительно x | |
| 3 | Найти производную — d/dx | 92)||
| 21 | Оценить интеграл | интеграл от 0 до 1 кубического корня из 1+7x относительно x | |
| 22 | Найти производную — d/dx | грех(2x) | |
| 23 | Найти производную — d/dx | 9(3x) по отношению к x||
| 41 | Оценить интеграл | интеграл от cos(2x) относительно x | |
| 42 | Найти производную — d/dx | 1/(корень квадратный из х) | |
| 43 | Оценка интеграла 9бесконечность | ||
| 45 | Найти производную — d/dx | х/2 | |
| 46 | Найти производную — d/dx | -cos(x) | |
| 47 | Найти производную — d/dx | грех(3x) | 92+1|
| 68 | Оценить интеграл | интеграл от sin(x) по x | |
| 69 | Найти производную — d/dx | угловой синус(х) | |
| 70 | Оценить предел | ограничение, когда x приближается к 0 из (sin(x))/x 92 по отношению к х | |
| 85 | Найти производную — d/dx | лог х | |
| 86 | Найти производную — d/dx | арктан(х) | |
| 87 | Найти производную — d/dx | бревно натуральное 5х9{-1}\left(\frac{\tan x}{\sqrt2}\right)$, но я знаю, что это неправильно, потому что $\tan x$ не является непрерывным в каждом $[0,x]$, здесь это решено до $\pi$, но мой предел $x$, поэтому я не уверен, что мне делать. |