math-public:trapeciya [Президентский ФМЛ №239]
Определение
Трапецией называется четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны.
Замечание
Сумма углов при боковой стороне трапеции равна $180^\circ$.
Доказательство
Действительно, так как основания трапеции параллельны, а боковая сторона является секущей, то углы при боковой стороне являются внутренними односторонними углами при параллельных прямых, и, следовательно, их сумма равна $180^\circ$.
Определение
Трапеция называется равнобедренной, если ее боковые стороны равны.
Трапеция называется прямоугольной, если один из ее углов равен $90^\circ$.
Свойства равнобедренной трапеции
Углы при основании равнобедренной трапеции равны.
Диагонали равнобедренной трапеции равны.
Диагонали равнобедренной трапеции, пересекаясь, образуют два равных и два равнобедренных треугольника.
Проекция боковой стороны равнобедренной трапеции на основание равна полуразности оснований, а проекция диагонали – полусумме оснований.
Доказательство
Докажем первый пункт теоремы.
Рассмотрим равнобедренную трапецию $ABCD$, $AB=CD$.
Докажем, что $\angle A=\angle D$.
Проведем из точек $B$ и $C$ высоты $BE$ и $CF$.
Треугольники $\triangle ABE$ и $\triangle CFD$ равны по катету и гипотенузе ($AB=CD, BE=CF$).
Следовательно, $\angle A=\angle D$.
Докажем второй пункт теоремы.
В равнобедренной трапеции $ABCD$ рассмотрим треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle ACD$.
Они равны по первому признаку ($AB=CD$, $AD$ – общая, $\angle A=\angle D$ по первому пункту).
Следовательно, $AC=BD$.
Докажем третий пункт теоремы.
Пусть диагонали равнобедренной трапеции $ABCD$ пересекаются в точке $O$. Докажем, что треугольники $\triangle AOD$ и $\triangle BOC$ – равнобедренные, а треугольники $\triangle AOB$ и $\triangle COD$ равны.
Действительно, во втором пункте уже было доказано, что $\triangle ABD=\triangle ACD$.
Следовательно, $\angle 1=\angle 2$, а так как они накрест лежащие с углами $\angle 3$ и $\angle 4$ соответственно, то $\angle 3=\angle 4$, что и означает, что треугольники $\triangle AOD$ и $\triangle BOC$ – равнобедренные.
Тогда $AO=OD$ и $BO=OC$, и как следствие, $\triangle AOB=\triangle COD$ по третьему признаку равенства треугольников.
Докажем четвертый пункт теоремы.
Так как $\triangle AEB=\triangle CFD$ (по катету и гипотенузе), то $AE=FD$.
Кроме того, $EF=BC$, следовательно, $AE=\dfrac{AD-BC}{2}$ и $AF=\dfrac{AD-BC}{2}+BC=\dfrac{AD+BC}{2}$.
Признаки равнобедренной трапеции
-
Если углы при основании трапеции равны, то она равнобедренная.
Если диагонали трапеции равны, то она равнобедренная.
Доказательство
Докажем первый пункт теоремы.
Рассмотрим трапецию $ABCD$, в которой $\angle A=\angle D$.
Докажем, что тогда $AB=CD$, то есть трапеция равнобедренная.
Проведем из вершины $C$ отрезок $CE$ параллельный стороне $AB$.
Тогда $\angle A=\angle CED$, как соответственные углы.
Следовательно, $\angle CED=\angle D$, а тогда $\triangle CED$ – равнобедренный.
А поскольку $AB=CE$ ($ABCE$ – параллелограмм), то $AB=CD$.
Докажем второй пункт теоремы.
Рассмотрим трапецию $ABCD$, у которой $AC=BD$.
Докажем, что тогда $AB=CD$.
Построим из точки $C$ прямую, параллельный диагонали $BD$. Пусть она пересекает прямую $AD$ в точке $F$.
Тогда $BD=CF$, так как $BCFD$ – параллелограмм по определению.
Тогда $\triangle ACF$ – равнобедренный, так как $AC=CF$.
Следовательно $\angle OAD=\angle ODA$, и $\triangle AOD$ – равнобедренный.
Тогда $AO=OD$ и $BO=OC$.
Следовательно, $\triangle BOA=\triangle COD$ по первому признаку ($\angle BOA=\angle COD$ — как вертикальные).
Следовательно, $AB=CD$.
Теорема (о равнобедренной трапеции с перпендикулярными диагоналями)
В равнобедренной трапеции со взаимно перпендикулярными диагоналями высота равна средней линии.
Доказательство
Рассмотрим равнобедренную трапецию $ABCD$, в которой $AC\perp BD$.
Докажем, что в такой трапеции высота $CH$ равна средней линии то есть полусумме оснований.
Действительно, $\triangle AOD$ – равнобедренный и прямоугольный, следовательно, $\angle OAD = 45^\circ$. Тогда $\triangle AHC$ – равнобедренный, то есть $AH=CH$.
Но отрезок $AH$ равен полусумме оснований.
math-public/trapeciya.txt · Последние изменения: 2016/04/13 23:56 — labreslav
wiki.sch239.net
Равнобедренная трапеция — Википедия. Что такое Равнобедренная трапеция
В евклидовой геометрии равнобедренная трапеция — это выпуклый четырёхугольник с осью симметрии, проходящей через середины двух противоположных сторон. Этот четырёхугольник является частным случаем трапеций. В любой равнобедренной трапеции две противоположные стороны (основания) параллельны, а две другие стороны (боковые) имеют одинаковые длины (свойство, которому удовлетворяет также параллелограмм). Диагонали также имеют одинаковые длины. Углы при каждом основании равны и углы при разных основаниях являются смежными (в сумме дающие 180º).
Специальные случаи
Прямоугольники и квадраты обычно считаются специальными случами равнобедренных трапеций, хотя в некоторых источниках они таковыми не считаются.
Другим специальным случаем является трапеция с 3 равными сторонами. В англоязычной литературе её называют trilateral trapezoid (трёхсторонняя трапеция) [1], trisosceles trapezoid (триравнобедренная трапеция) [2] или, реже, symtra [3]. Такую трапецию можно рассматривать как отсечение 4 последовательных вершин от правильного многоугольника, имеющего 5 или более сторон.
Самопересечения
Любой несамопересекающийся четырёхугольник с единственной осью симметрии должен быть либо равнобедренной трапецией, либо дельтоидом[3]. Однако, если разрешить самопересечение, множество симметричных четырёхугольников нужно расширить включением в него самопересекающиеся равнобедренные трапеции, в которых пересекающиеся стороны равны, а две другие стороны параллельны, и антипараллелограммы, у которых противоположные стороны имеют равные длины.
У любого антипараллелограмма выпуклая оболочка является равнобедренной трапецией и антипараллелограмм может быть получен из диагоналей равнобедренной трапеции[4].
| Выпуклая равнобедренная трапеция | Самопересекающаяся равнобедренная трапеция | антипараллелограмм |
|---|
Описания
Если четырёхугольник является трапецией, не обязательно проверять, равны ли боковые стороны (и недостаточно, поскольку ромбы, являющиеся специальными случаями трапеций с боковыми сторонами равной длины, но у него нет осевой симметрии через середины оснований). Любое из следующих свойств выделяет равнобедренную трапецию от других трапеций:
- Диагонали имеют одинаковую длину.
- Углы при основании равны.
- Отрезок, соединяющий середины параллельных сторон, перпендикулярен им.
- Противоположные углы дополнительны (до 180º), из чего, в свою очередь, следует, что равнобедренные трапеции являются вписанными четырёхугольниками.
- Диагонали делятся точкой пересечения на попарно равные отрезки. В терминах рисунка ниже, AE = DE, BE = CE (и AE ≠ CE, если хотят исключить прямоугольники).
Если прямоугольники включаются в класс трапеций, то можно определить равнобедренную трапецию как «вписанный четырёхугольник с равными диагоналями» [5], как «вписанный четырёхугольник с парой параллельных сторон», или как «выпуклый четырёхугольник с осью симметрии, проходящей через середины противоположных сторон».
Углы
В равнобедренной трапеции углы при основаниях попарно равны. На рисунке ниже углы ∠ABC и ∠DCB являются одинаковыми тупыми углами, а углы ∠BAD и ∠CDA являются одинаковыми острыми углами.
Поскольку прямые AD и BC параллельны, углы, принадлежащие противоположным основаниям, являются дополнительными, то есть ∠ABC + ∠BAD = 180°.
Диагонали и высота
Другая равнобедренная трапеция.Диагонали равнобедренной трапеции равны. То есть любая равнобедренная трапеция является равнодиагональным четырёхугольником. Однако диагонали равнобедренной трапеции делятся в одной и той же пропорции. На рисунке диагонали AC и BD имеют одинаковую длину (AC = BD) и делят друг друга на отрезки той же длины (AE = DE и BE = CE).
Отношение, в котором делятся диагонали, равно отношению длин параллельных сторон, то есть
- AEEC=DEEB=ADBC.{\displaystyle {\frac {AE}{EC}}={\frac {DE}{EB}}={\frac {AD}{BC}}.}
Длина каждой диагонали, согласно теореме Птолемея, задаётся формулой
- p=ab+c2{\displaystyle p={\sqrt {ab+c^{2}}}},
где a и b — длины параллельных сторон AD и BC, а c — длина каждой боковой стороны AB и CD.
Высота, согласно теореме Пифагора, задаётся формулой
- h=p2−(a+b2)2=124c2−(a−b)2.{\displaystyle h={\sqrt {p^{2}-\left({\frac {a+b}{2}}\right)^{2}}}={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {4c^{2}-(a-b)^{2}}}.}
Расстояние от точки E до основания AD задаётся формулой
- d=aha+b{\displaystyle d={\frac {ah}{a+b}}},
где a и b — длины оснований AD и BC, а h — высота трапеции.
Площадь
Площадь равнобедренной (а также любой) трапеции равна половине произведения суммы оснований на высоту. На рисунке, если мы примем AD = a, BC = b, а высота h равна длине отрезка между прямыми AD и BC (перпендикулярного им), то площадь K задаётся формулой:
- K=h3(a+b).{\displaystyle K={\frac {h}{2}}\left(a+b\right).}
Если вместо высоты трапеции известны длины боковых сторон AB =CD = c, то площадь можно вычислить по формуле Брахмагупты площади вписанных четырёхугольников. Равенство двух боковых сторон упрощает формулу до
- K=(s−a)(s−b)(s−c)2,{\displaystyle K={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)^{2}}},}
где s=12(a+b+2c){\displaystyle s={\tfrac {1}{2}}(a+b+2c)} — полупериметр трапеции. Эта формула аналогична формуле Герона вычисления площади треугольника. Эту же формулу можно переписать в виде
- K=14(a+b)2(a−b+2c)(b−a+2c).{\displaystyle K={\frac {1}{4}}{\sqrt {(a+b)^{2}(a-b+2c)(b-a+2c)}}.}
Радиус описанной окружности
Радиус описанной окружности задаётся формулой[6]
- R=cab+c24c2−(a−b)2.{\displaystyle R=c{\sqrt {\frac {ab+c^{2}}{4c^{2}-(a-b)^{2}}}}.}
Для прямоугольника, в котором a = b, формула упрощается до R=12a2+c2{\displaystyle R={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {a^{2}+c^{2}}}}.
См. также
Примечания
Литература
- George Bruce Halsted. Elementary Synthetic Geometry. — J. Wiley & sons, 1896..
- William Dwight Whitney, Benjamin Eli Smith. The Century Dictionary and Cyclopedia. — The Century co., 1911..
Ссылки
wiki.sc
Подготовка школьников к ЕГЭ и ОГЭ в учебном центре «Резольвента» (Справочник по математике — Планиметрия
Основные определения и свойства трапеций
| Тип утверждения | Фигура | Рисунок | Формулировка |
| Определение | Трапеция | Трапецией называют четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие – не параллельны. Параллельные стороны трапеции называют основаниями, а непараллельные стороны – боковыми сторонами трапеции | |
| Определение | Диагонали трапеции | Диагоналями трапеции называют отрезки, соединяющие противоположные вершины трапеции | |
| Определение | Высота трапеции | Высотой трапеции называют перпендикуляр, опущенный из любой точки одного оснований трапеции на другое основание или его продолжение | |
| Свойство | Точка пересечения диагоналей | Точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжений боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой Более подробно об этом свойстве | |
| Определение | Средняя линия трапеции | Средней линией трапеции называют отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции | |
| Свойство | Средняя линия трапеции параллельна основаниям трапеции и равна их полусумме Посмотреть доказательство | ||
| Свойство | Биссектрисы углов при боковой стороне трапеции | Биссектрисы углов при боковой стороне трапеции перпендикулярны |
| Трапеция |
Определение: Трапецией называют четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие – не параллельны. Параллельные стороны трапеции называют основаниями, а непараллельные стороны – боковыми сторонами трапеции |
| Диагонали трапеции |
Определение: Диагоналями трапеции называют отрезки, соединяющие противоположные вершины трапеции |
| Высота трапеции |
Определение: Высотой трапеции называют перпендикуляр, опущенный из любой точки одного оснований трапеции на другое основание или его продолжение |
| Точка пересечения диагоналей |
Свойство: Точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжений боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой Более подробно об этом свойстве |
| Средняя линия трапеции |
Определение: Средней линией трапеции называют отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции Свойство: Средняя линия трапеции параллельна основаниям трапеции и равна их полусумме Посмотреть доказательство |
| Биссектрисы углов при боковой стороне трапеции |
Свойство: Биссектрисы углов при боковой стороне трапеции перпендикулярны |
Подробнее со свойствами средней линии трапеции можно ознакомиться в разделе нашего справочника «Средняя линия трапеции».
В разделе нашего справочника «Типы четырёхугольников» представлена схема классификации трапеций. В том же разделе представлена таблица, в которой описаны всевозможные типы трапеций.
Свойства и признаки равнобедренных трапеций
| Тип утверждения | Фигура | Рисунок | Формулировка |
| Определение | Равнобедренная трапеция | Равнобедренной трапецией называют трапецию, у которой боковые стороны равны. | |
| Свойство | Равенство углов при основании | Если трапеция является равнобедренной, то углы при каждом из её оснований равны. | |
| Признак | Если у трапеции углы при одном из оснований равны, то углы равны и при другом основании, а трапеция является равнобедренной. | ||
| Свойство | Равенство диагоналей | Если трапеция является равнобедренной, то её диагонали равны. | |
| Признак | Если у трапеции диагонали равны, то она является равнобедренной | ||
| Свойство | Углы, которые диагонали образуют с основаниями | Если трапеция является равнобедренной, то её диагонали образуют равные углы с каждым из её оснований. | |
| Признак | Если диагонали трапеции образуют равные углы с одним из оснований, то диагонали образуют равные углы и с другим основанием, а трапеция является равнобедренной. | ||
| Свойство | Описанная окружность | Если трапеция является равнобедренной, то около неё можно описать окружность. | |
| Признак | Если около трапеции можно описать окружность, то она является равнобедренной. | ||
| Свойство | Высоты трапеции | Основания высот равнобедренной трапеции, опущенных из вершин меньшего основания, делят большее основание на отрезки, один из которых равен меньшему основанию, а два других – полуразности оснований |
| Определение: Равнобедренная трапеция | |
| Равнобедренной трапецией называют трапецию, у которой боковые стороны равны. | |
| Свойство: равенство углов при основании | |
| Если трапеция является равнобедренной, то углы при каждом из её оснований равны. | |
| Признак: равенство углов при основании | |
| Если у трапеции углы при одном из оснований равны, то углы равны и при другом основании, а трапеция является равнобедренной. | |
| Свойство: равенство диагоналей | |
| Если трапеция является равнобедренной, то её диагонали равны. | |
| Признак: равенство диагоналей | |
| Если у трапеции диагонали равны, то она является равнобедренной | |
| Свойство: углы, которые диагонали образуют с основаниями | |
| Если трапеция является равнобедренной, то её диагонали образуют равные углы с каждым из её оснований. | |
| Признак: углы, которые диагонали образуют с основаниями | |
| Если диагонали трапеции образуют равные углы с одним из оснований, то диагонали образуют равные углы и с другим основанием, а трапеция является равнобедренной. | |
| Свойство: описанная окружность | |
| Если трапеция является равнобедренной, то около неё можно описать окружность. | |
| Признак: описанная окружность | |
| Если около трапеции можно описать окружность, то она является равнобедренной. | |
| Свойство: высоты трапеции | |
| Основания высот равнобедренной трапеции, опущенных из вершин меньшего основания, делят большее основание на отрезки, один из которых равен меньшему основанию, а два других – полуразности оснований | |
| Равнобедренная трапеция |
Определение: Равнобедренной трапецией называют трапецию, у которой боковые стороны равны. |
| Равенство углов при основании |
Свойство: Если трапеция является равнобедренной, то углы при каждом из её оснований равны. Признак: Если у трапеции углы при одном из оснований равны, то углы равны и при другом основании, а трапеция является равнобедренной. |
| Равенство диагоналей |
Свойство: Если трапеция является равнобедренной, то её диагонали равны. Признак: Если у трапеции диагонали равны, то она является равнобедренной. |
| Углы, которые диагонали образуют с основаниями |
Свойство: Если трапеция является равнобедренной, то её диагонали образуют равные углы с каждым из её оснований. Признак: Если диагонали трапеции образуют равные углы с одним из оснований, то диагонали образуют равные углы и с другим основанием, а трапеция является равнобедренной. |
| Описанная окружность |
Свойство: Если трапеция является равнобедренной, то около неё можно описать окружность. Признак: Если около трапеции можно описать окружность, то она является равнобедренной. |
| Высоты трапеции |
Свойство: Основания высот равнобедренной трапеции, опущенных из вершин меньшего основания, делят большее основание на отрезки, один из которых равен меньшему основанию, а два других – полуразности оснований |
На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра «Резольвента» учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.
Приглашаем школьников (можно вместе с родителями) на бесплатное тестирование по математике, позволяющее выяснить, какие разделы математики и навыки в решении задач являются для ученика «проблемными». Запись по телефону (495) 509-28-10 |
Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ или ОГЭ по математике или русскому языку на высокий балл, учебный центр «Резольвента» проводит
У нас также для школьников организованы
МОСКВА, СВАО, Учебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»
www.resolventa.ru
Трапеция — это… Что такое Трапеция?
Трапе́ция (от др.-греч. τραπέζιον — «столик»; τράπεζα — «стол, еда») — четырёхугольник, у которого только одна пара сторон параллельна (а другая пара сторон не параллельна). Две параллельные стороны называются основанием трапеции, а две другие — это боковые стороны. Иногда трапеция определяется как четырёхугольник, у которого пара противолежащих сторон параллельна (про другую не уточняется), в этом случае параллелограмм является частным случаем трапеции. В частности, существует понятие криволинейная трапеция.
Связанные определения
Элементы трапеции
- Параллельные стороны называются основаниями трапеции.
- Две другие стороны называются боковыми сторонами.
- Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией трапеции.
- Расстояние между основаниями называется высотой трапеции.
Виды трапеций
Прямоугольная трапеция 
Равнобедренная трапеция- Трапеция, у которой боковые стороны равны, называется равнобокой или равнобедренной.
- Трапеция, имеющая прямые углы при боковой стороне, называется прямоугольной.
Общие свойства
- Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.
- Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен полуразности оснований.
- (Обобщённая теорема Фалеса). Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают от сторон угла пропорциональные отрезки.
- В трапецию можно вписать окружность, если сумма оснований трапеции равна сумме её боковых сторон.
Свойства и признаки равнобедренной трапеции
- Прямая, проходящая через середины оснований, перпендикулярна основаниям и является осью симметрии трапеции.
- Высота, опущенная из вершины на большее основание, делит его на два отрезка, один из которых равен полусумме оснований, другой — полуразности оснований.
- В равнобедренной трапеции углы при любом основании равны.
- В равнобедренной трапеции длины диагоналей равны.
- Если трапецию можно вписать в окружность, то она равнобедренная.
- Около равнобедренной трапеции можно описать окружность.
- Если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то высота равна полусумме оснований.
Вписанная и описанная окружность
Площадь
- Здесь приведены формулы, свойственные именно трапеции. См. также формулы для площади произвольных четырёхугольников.
- В случае, если и — основания и — высота, формула площади:
- В случае, если — средняя линия и — высота, формула площади:
ɴʙ Эти формулы — одинаковы, так как полусумма оснований равняется средней линии трапеции:
- Формула, где , — основания, и — боковые стороны трапеции:
- Площадь равнобедренной трапеции с радиусом вписанной окружности, равным , и углом при основании :
- В частности, если угол при основании равен 30°, то:
- .
См. также
Примечания
dic.academic.ru
Равнобедренная трапеция Википедия
В евклидовой геометрии равнобедренная трапеция — это выпуклый четырёхугольник с осью симметрии, проходящей через середины двух противоположных сторон. Этот четырёхугольник является частным случаем трапеций. В любой равнобедренной трапеции две противоположные стороны (основания) параллельны, а две другие стороны (боковые) имеют одинаковые длины (свойство, которому удовлетворяет также параллелограмм). Диагонали также имеют одинаковые длины. Углы при каждом основании равны и углы при разных основаниях являются смежными (в сумме дающие 180º).
Специальные случаи[ | ]
Прямоугольники и квадраты обычно считаются специальными случами равнобедренных трапеций, хотя в некоторых источниках они таковыми не считаются.
Другим специальным случаем является трапеция с 3 равными сторонами. В англоязычной литературе её называют trilateral trapezoid (трёхсторонняя трапеция) [1], trisosceles trapezoid (триравнобедренная трапеция) [2] или, реже, symtra [3]. Такую трапецию можно рассматривать как отсечение 4 последовательных вершин от правильного многоугольника, имеющего 5 или более сторон.
Самопересечения[ | ]
Любой несамопересекающийся четырёхугольник с единственной осью симметрии должен быть либо равнобедренной трапецией, либо дельтоидом[3]. Однако, если разрешить самопересечение, множество симметричных четырёхугольников нужно расширить включением в него самопересекающиеся равнобедренные трапеции, в которых пересекающиеся стороны равны, а две другие стороны параллельны, и антипараллелограммы, у которых противоположные стороны имеют равные длины.
У любого антипараллелограмма выпуклая оболочка является равнобедренной трапецией и антипараллелограмм может быть получен из диагоналей равнобедренной трапеции
ru-wiki.ru
Равнобедренная трапеция — WiKi
В евклидовой геометрии равнобедренная трапеция — это выпуклый четырёхугольник с осью симметрии, проходящей через середины двух противоположных сторон. Этот четырёхугольник является частным случаем трапеций. В любой равнобедренной трапеции две противоположные стороны (основания) параллельны, а две другие стороны (боковые) имеют одинаковые длины (свойство, которому удовлетворяет также параллелограмм). Диагонали также имеют одинаковые длины. Углы при каждом основании равны и углы при разных основаниях являются смежными (в сумме дающие 180º).
Специальные случаи
Прямоугольники и квадраты обычно считаются специальными случами равнобедренных трапеций, хотя в некоторых источниках они таковыми не считаются.
Другим специальным случаем является трапеция с 3 равными сторонами. В англоязычной литературе её называют trilateral trapezoid (трёхсторонняя трапеция) [1], trisosceles trapezoid (триравнобедренная трапеция) [2] или, реже, symtra [3]
Самопересечения
Любой несамопересекающийся четырёхугольник с единственной осью симметрии должен быть либо равнобедренной трапецией, либо дельтоидом[3]. Однако, если разрешить самопересечение, множество симметричных четырёхугольников нужно расширить включением в него самопересекающиеся равнобедренные трапеции, в которых пересекающиеся стороны равны, а две другие стороны параллельны, и антипараллелограммы, у которых противоположные стороны имеют равные длины.
У любого антипараллелограмма выпуклая оболочка является равнобедренной трапецией и антипараллелограмм может быть получен из диагоналей равнобедренной трапеции[4].
Описания
Если четырёхугольник является трапецией, не обязательно проверять, равны ли боковые стороны (и недостаточно, поскольку ромбы, являющиеся специальными случаями трапеций с боковыми сторонами равной длины, но у него нет осевой симметрии через середины оснований). Любое из следующих свойств выделяет равнобедренную трапецию от других трапеций:
- Диагонали имеют одинаковую длину.
- Углы при основании равны.
- Отрезок, соединяющий середины параллельных сторон, перпендикулярен им.
- Противоположные углы дополнительны (до 180º), из чего, в свою очередь, следует, что равнобедренные трапеции являются вписанными четырёхугольниками.
- Диагонали делятся точкой пересечения на попарно равные отрезки. В терминах рисунка ниже, AE = DE, BE = CE (и AE ≠ CE, если хотят исключить прямоугольники).
Если прямоугольники включаются в класс трапеций, то можно определить равнобедренную трапецию как «вписанный четырёхугольник с равными диагоналями» [5], как «вписанный четырёхугольник с парой параллельных сторон», или как «выпуклый четырёхугольник с осью симметрии, проходящей через середины противоположных сторон».
Углы
В равнобедренной трапеции углы при основаниях попарно равны. На рисунке ниже углы ∠ABC и ∠DCB являются одинаковыми тупыми углами, а углы ∠BAD и ∠CDA являются одинаковыми острыми углами.
Поскольку прямые AD и BC параллельны, углы, принадлежащие противоположным основаниям, являются дополнительными, то есть ∠ABC + ∠BAD = 180°.
Диагонали и высота
Другая равнобедренная трапеция.Диагонали равнобедренной трапеции равны. То есть любая равнобедренная трапеция является равнодиагональным четырёхугольником. Однако диагонали равнобедренной трапеции делятся в одной и той же пропорции. На рисунке диагонали AC и BD имеют одинаковую длину (AC = BD) и делят друг друга на отрезки той же длины (AE = DE и BE = CE).
Отношение, в котором делятся диагонали, равно отношению длин параллельных сторон, то есть
- AEEC=DEEB=ADBC.{\displaystyle {\frac {AE}{EC}}={\frac {DE}{EB}}={\frac {AD}{BC}}.}
Длина каждой диагонали, согласно теореме Птолемея, задаётся формулой
- p=ab+c2{\displaystyle p={\sqrt {ab+c^{2}}}} ,
где a и b — длины параллельных сторон AD и BC, а c — длина каждой боковой стороны AB и CD.
Высота, согласно теореме Пифагора, задаётся формулой
- h=p2−(a+b2)2=124c2−(a−b)2.{\displaystyle h={\sqrt {p^{2}-\left({\frac {a+b}{2}}\right)^{2}}}={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {4c^{2}-(a-b)^{2}}}.}
Расстояние от точки E до основания AD задаётся формулой
- d=aha+b{\displaystyle d={\frac {ah}{a+b}}} ,
где a и b — длины оснований AD и BC, а h — высота трапеции.
Площадь
Площадь равнобедренной (а также любой) трапеции равна половине произведения суммы оснований на высоту. На рисунке, если мы примем AD = a, BC = b, а высота h равна длине отрезка между прямыми AD и BC (перпендикулярного им), то площадь K задаётся формулой:
- K=h3(a+b).{\displaystyle K={\frac {h}{2}}\left(a+b\right).}
Если вместо высоты трапеции известны длины боковых сторон AB =CD = c, то площадь можно вычислить по формуле Брахмагупты площади вписанных четырёхугольников. Равенство двух боковых сторон упрощает формулу до
- K=(s−a)(s−b)(s−c)2,{\displaystyle K={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)^{2}}},}
где s=12(a+b+2c){\displaystyle s={\tfrac {1}{2}}(a+b+2c)} — полупериметр трапеции. Эта формула аналогична формуле Герона вычисления площади треугольника. Эту же формулу можно переписать в виде
- K=14(a+b)2(a−b+2c)(b−a+2c).{\displaystyle K={\frac {1}{4}}{\sqrt {(a+b)^{2}(a-b+2c)(b-a+2c)}}.}
Радиус описанной окружности
Радиус описанной окружности задаётся формулой[6]
- R=cab+c24c2−(a−b)2.{\displaystyle R=c{\sqrt {\frac {ab+c^{2}}{4c^{2}-(a-b)^{2}}}}.}
Для прямоугольника, в котором a = b, формула упрощается до R=12a2+c2{\displaystyle R={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {a^{2}+c^{2}}}} .
См. также
- Равнобедренная описанная трапеция
Примечания
Литература
- George Bruce Halsted. Elementary Synthetic Geometry. — J. Wiley & sons, 1896..
- William Dwight Whitney, Benjamin Eli Smith. The Century Dictionary and Cyclopedia. — The Century co., 1911..
Ссылки
www.ru-wiki.org
Трапеция (от др.-греч. τραπέζιον — «столик»; τράπεζα — «стол, еда») — четырёхугольник, у которого только одна пара противолежащих сторон параллельна. Иногда трапеция определяется как четырёхугольник, у которого пара противолежащих сторон параллельна (про другую не уточняется), в этом случае параллелограмм является частным случаем трапеции. В частности, существует понятие криволинейная трапеция. Элементы трапеции
Виды трапеций
Общие свойства
Свойства равнобедренной трапеции
|
www.terminologija.ru