Калькулятор рациональных – Калькулятор рациональных выражений

Содержание

Калькулятор определения рационального и иррационального числа онлайн

Используемые нами числа подразделяются на различные множества: натуральные, целые, рациональные, комплексные или действительные. Существует также особый пласт бесконечных непериодических чисел, которые составляют иррациональное множество. Определить категорию выбранного числа можно при помощи онлайн-калькулятора.

Рациональные числа

К множеству рациональных относятся числа, которые можно представить в замкнутом виде, то есть в виде обыкновенной дроби. Такие дроби в числителе содержат целые числа, а в знаменателе — натуральные. К множеству натуральных относятся числа, которые мы используем при счете, к примеру, 1, 5 или 120. Целые числа — это расширенное множество натуральных, к которым добавляется нуль, а также отрицательные элементы, например, -5 или -120. Следовательно, рациональное множество содержит нуль, отрицательные и положительные числа.

Также любое рациональное число можно представить в виде бесконечной периодической десятичной дроби. К примеру, 0,6666… является рациональным, так как представляется в замкнутом виде в форме дроби 2/3, а также является бесконечным и периодичным. Число 0,25 легко записать в виде 1/4, а бесконечность и периодичность легко выразить при помощи нулей — 0,2500000…

Таким образом, любая обыкновенная дробь — рациональное число. Любое число, представленное в замкнутом виде, также рациональное. Однако существует целый спектр чисел, которые невозможно представить в виде дробного соотношения или периодической десятичной дроби.

Иррациональные числа

Иррациональное число — это элемент иррационального множества, которое невозможно представить в виде дроби m/n, где m – целое число, а n – натуральное. Об иррациональности некоторых чисел знали с давних времен: античные геометры определили проблему несоизмеримости стороны квадрата и его диагонали, что соответствует иррациональности корня из 2. Кроме того, древние ученые впервые встретились с проблемой подсчета иррационального числа Пи, которое определяется как соотношение длины окружности к ее диаметру.

На протяжении веков предпринимались попытки представить Пи в замкнутом виде, например как 22/7 или 355/113, однако с течением времени математики определяли Пи все точнее и точнее. Сегодня при помощи мощных компьютеров найдено число Пи с точностью 10 триллионов цифр после запятой. Представить Пи в виде соотношения целых чисел или периодичной десятичной дроби невозможно.

К данному множеству относятся следующие элементы:

  • корни неквадратных чисел, например, корни из 2, 3, 5 или 7;
  • число Пи и выражение типа pix;
  • экспоненциальные выражения типа ex;
  • натуральные логарифмы для любых положительных чисел больше 1.

Также к иррациональному множеству относятся различные математические константы, такие как золотое и серебряное сечение, экспонента, постоянная Эйлера — Маскерони или постоянная Апери.

Свойства чисел

Арифметические операции с иррациональными числами могут приводить к разным результатам. Так, действия с рациональными и иррациональными числами всегда приводит к образованию новой иррациональности. Однако арифметические операции с двумя иррациональными элементами могут заканчиваться образованием рациональной дроби.

Например, числа 0,3003000300003 и 0,033033303333 иррациональны. Первое образуется по принципу, что после каждой тройки количество нулей постоянно увеличивается. Второе формируется по принципу увеличения количества троек после каждого нуля. Эти числа невозможно представить в виде обыкновенных дробей по отдельности, однако, если сложить их мы получим следующий результат:

0,3003000300003 + 0,033033303333 = 0,3333333333 = 1/3.

В сухом остатке бесконечная периодичная дробь, которую легко выразить в замкнутом виде.

Наш калькулятор позволяет определить тип числа, которое вы можете выразить в виде обыкновенной дроби или корня любой степени из произвольного числа. Программа мгновенно определит множество, к которому относится выбранный элемент. Давайте попробуем на практике.

Примеры использования калькулятора

Определим рациональность нескольких чисел. Калькулятор предлагает нам задать число в виде правильной дроби, которое по определению является рациональным числом. Поэтому определять иррациональность при помощи калькулятора целесообразно только для чисел, выраженных в виде корняn-ной степени. Определим рациональность для следующих выражений:

  • квадратный корень из 2 — 1,414, иррациональное;
  • кубический корень 27 — 3, рациональное;
  • корень пятой степени из 147 — 2,713, иррациональное.

Очевидно, что в некоторых случаях корни могут быть рациональными, что верно для квадратных и кубических чисел.

Заключение

Математические объекты разделяются на разные классы. В повседневной жизни мы оперируем натуральными числами, то есть целыми и положительными числами, которые используем при счете. Рациональные числа используются при измерениях, а иррациональные практически не находят распространения в быту — область их применения лежит в высокой науке. При помощи нашего онлайн-калькулятора вы можете проверить принадлежность любого числа к определенному множеству.

bbf.ru

Онлайн калькулятор дробей с решением

Обыкновенная дробь — это способ представления рациональных чисел. На деле дробные числа используются для работы с частями целого, поэтому находят широкое применение не только в чистой математике или прикладных науках, но и в повседневной жизни.

Что такое дробь

Простая дробь — это рациональное число, в числителе которого стоит натуральное число, а в знаменателе — целое число. Любое рациональное число можно представить в виде дроби: 1/2, 2/3 или 22/7 — все это рациональные числа. Иррациональные объекты, такие как квадратные корни, числа Пи, е или фи нельзя выразить в виде отношения двух чисел, так как эти числа бесконечные и непериодические.

Виды дробей

Дробное число, у которого по модулям числитель меньше знаменателя, называется правильным. К таким математическим объектам относятся правильные дроби 1/3, 5/8 иди 14/27. Если по модулям числитель больше знаменателя, то дробь считается неправильной. Например, 22/7 — неправильная дробь. Неправильные дроби удобны для проведения вычислений, однако сложны для восприятия. Именно поэтому после арифметических операций с дробями правила хорошего тона требуют преобразования неправильных дробей в смешанные.

Смешанная дробь — это представление рационального числа в виде целой и дробной части. То же число 22/7 можно представить в виде 3 + 1/7, что гораздо проще для восприятия. Кроме того, существуют составные и цепные дроби, которые представляют собой «многоэтажные» выражения для записи приблизительных значений иррациональных чисел.

Арифметические операции с дробями

Еще в античные времена людям приходилось работать с частями целого. Торговцы и ремесленники постоянно оперировали дробями в своей повседневной деятельности, и хотя древние дроби отличались от современных, смысл был тот же. Рассмотрим основные правила работы с дробными числами.

Сложение и вычитание дробей

Для начала уясним, что одно и то же число можно представить множеством различных дробей. К примеру, очевидно, что число 0,5 — это 1/2. Если прочитать значение 0,5 вслух, мы получим пять десятых и соответствующую дробь — 5/10. Это же число можно записать и как 2/4, 3/6, 9/18 или 50/100 — список можно продолжать бесконечно. Это важное свойство дробей и его понимание необходимо для успешного сложения и вычитания рациональных чисел.

Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями не требует никаких дополнительных преобразований: для совершения операции достаточно сложить или вычесть числители. Например:

  • 1/5 + 2/5 = 3/5;
  • 12/17 − 4/17 = 8/17.

Если же у дробей знаменатели разные, требуется привести все члены выражения к общему знаменателю. Для этого используется метод поиска наименьшего общего кратного или разложение знаменателей на множители. Например, если вы хотите сложить или вычесть 1/5, 1/12 и 1/15, то все дроби должны иметь одинаковый знаменатель. Каждую из этих дробей мы можем увеличить на произвольное число, и ее значение при этом не изменится. Так, 1/5 — это все равно, что 2/10, 3/15 или 10/50.

НОК (5, 12, 15) = 60, следовательно, требуется умножить каждую дробь таким образом, чтобы в знаменателе получить 60:

  • 1/5 умножим на 12 и получим 12/60;
  • 1/12 умножим на 5, что равно 5/60;
  • 1/15 умножим на 4 и получим 4/60.

Теперь мы легко можем сложить или вычесть эти числа, оперируя только числителями:

  • 12/60 + 5/60 + 4/60 = 21/60;
  • 12/60 − 5/60 − 4/60 = 3/60 = 1/20.

Если в задаче требуется сложить или вычесть смешанные дроби, то их необходимо преобразовать в неправильные, после чего привести слагаемые к общему знаменателю и выполнить необходимые расчеты. Например:

2 12/15 + 3 2/30 = 42/15 + 92/30 = 84/30 + 92/30 = 176/30 = 5 26/30 = 5 13/15.

Произведение и деление дробей

С этим все проще. Для произведения дробных чисел не требуется проводить дополнительные преобразования — достаточно выполнить операции между числителями и между знаменателями. Для произведения правильных и неправильных дробей, а также рациональных чисел с разными знаменателями операция умножения осуществляется по формуле:

a/b × c/d = a × c / b × d.

На практике это выглядит следующим образом:

  • 1/2 × 1/2 = 1/4;
  • 2/3 × 4/5 = 8/15;
  • 5/10 × 3/12 = 15/120.

Деление — это действие, обратное умножению. В случае с дробями это определение приобретает буквальный смысл. Если требуется разделить первую дробь на вторую, то достаточно первую умножить на дробь, обратную второй. Математическим языком правило записывается так:

a/b / c/d = a/b × d/c = a × d / b × c.

Рассмотрим численные примеры:

  • 1/2 / 1/2 = 1/2 × 2/1 = 2/2 = 1;
  • 2/3 / 4/5 = 2/3 × 5/4 = 10/12 = 5/6;
  • 5/10 / 3/12 = 5/10 × 12/3 = 60/30 = 2.

Наша программа представляет собой полноценный калькулятор для решения дробных выражений. Меню калькулятора предлагает выбор одного из четырех арифметических действий (сложение, вычитание, умножение и деление), а поля программы рассчитаны на ввод составных или обыкновенных дробей. Результирующую дробь программа автоматически представит в виде правильной дроби с выделением целой части. Интуитивно понятный интерфейс калькулятора позволит вам решать любые примеры на тему арифметических операций с дробными числами.

Заключение

Во время изучения школьного курса математики нам кажется, что полученные знания нам никогда не пригодятся в жизни. Однако операции с дробями мы производим постоянно на интуитивном уровне, даже когда просим в магазине половинку хлеба или 300 грамм сыра, когда готовим пищу или занимаемся сборкой моделей. Дроби пронизывают человеческую реальность, а наша программа позволит вам научиться быстро оперировать частями целого.

bbf.ru

Преобразование рациональных выражений калькулятор: цепная дробь онлайн


Грамотное преобразование рациональных выражений

Рациональные выражения и дроби — краеугольный пункт всего курса алгебры. Те, кто научатся работать с такими выражениями, упрощать их и раскладывать на множители, по сути смогут решить любую задачу, поскольку преобразование выражений — неотъемлемая часть любого серьёзного уравнения, неравенства и даже текстовой задачи.

В этом видеоуроке мы посмотрим, как грамотно применять формулы сокращённого умножения для упрощения рациональных выражений и дробей. Научимся видеть эти формулы там, где, на первый взгляд, ничего нет. Заодно повторим такой нехитрый приём, как разложение квадратного трёхчлена на множители через дискриминант.

Как вы уже наверняка догадались по формулам за моей спиной, сегодня мы будем изучать формулы сокращенного умножения, а, точнее, не сами формулы, а их применение для упрощения и сокращения сложных рациональных выражений. Но, прежде чем переходить к решению примеров, давайте познакомимся ближе с этими формулами или вспомним их:

  1. ${{a}^{2}}-{{b}^{2}}=\left( a-b \right)\left( a+b \right)$ — разность квадратов;
  2. ${{\left( a+b \right)}^{2}}={{a}^{2}}+2ab+{{b}^{2}}$ — квадрат суммы;
  3. ${{\left( a-b \right)}^{2}}={{a}^{2}}-2ab+{{b}^{2}}$ — квадрат разности;
  4. ${{a}^{3}}+{{b}^{3}}=\left( a+b \right)\left( {{a}^{2}}-ab+{{b}^{2}} \right)$ —сумма кубов;
  5. ${{a}^{3}}-{{b}^{3}}=\left( a-b \right)\left( {{a}^{2}}+ab+{{b}^{2}} \right)$ — разность кубов.

Еще хотел бы отметить, что наша школьная система образования устроена таким образом, что именно с изучением этой темы, т.е. рациональных выражений, а также корней, модулей у всех учеников возникает одна и та же проблема, которую я сейчас объясню. 

Дело в том, что в самом начале изучения формул сокращенного умножения и, соответственно, действий по сокращению дробей (это где-то 8 класс) учителя говорят что-то следующее: «Если вам что-то непонятно, то вы не переживайте, мы к этой теме еще вернемся неоднократно, в старших классах так точно. Мы это еще разберем». Ну а затем на рубеже 9-10 класса те же самые учителя объясняют тем же самым ученикам, которые так и не знают, как решать рациональные дроби, примерно следующее: «А где вы были предыдущие два года? Это же изучалось на алгебре в 8 классе! Чего тут может быть непонятного? Это же так очевидно!». 

Однако обычным ученикам от таких объяснений нисколько не легче: у них как была каша в голове, так и осталась, поэтому прямо сейчас мы разберем два простых примера, на основании которых и посмотрим, каким образом в настоящих задачах выделять эти выражения, которые приведут нас к формулам сокращенного умножения и как потом применять это для преобразования сложных рациональных выражений.

Сокращение простых рациональных дробей

Задача № 1

\[\frac{4x+3{{y}^{2}}}{9{{y}^{4}}-16{{x}^{2}}}\]

Первое, чему нам нужно научиться — выделять в исходных выражениях точные квадраты и более высокие степени, на основании которых мы сможем потом применять формулы. Давайте посмотрим:

\[9{{y}^{4}}={{3}^{2}}\cdot {{y}^{4}}={{3}^{2}}\cdot {{\left( {{y}^{2}} \right)}^{2}}={{\left( 3{{y}^{2}} \right)}^{2}}\]

\[16{{x}^{2}}={{2}^{4}}\cdot {{x}^{2}}={{\left( {{2}^{2}} \right)}^{2}}\cdot {{x}^{2}}={{\left( {{2}^{2}}\cdot x \right)}^{2}}={{\left( 4{{x}^{2}} \right)}^{2}}\]

Перепишем наше выражение с учетом этих фактов:

\[\frac{4x+3{{y}^{2}}}{{{\left( 3{{y}^{2}} \right)}^{2}}-{{\left( 4x \right)}^{2}}}=\frac{4x+3{{y}^{2}}}{\left( 3{{y}^{2}}-4x \right)\left( 3{{y}^{2}}+4x \right)}=\frac{1}{3{{y}^{2}}-4x}\]

Ответ: $\frac{1}{3{{y}^{2}}-4x}$.

Задача № 2

Переходим ко второй задаче:

\[\frac{8}{{{x}^{2}}+5xy-6{{y}^{2}}}\]

Упрощать тут нечего, потому что в числителе стоит константа, но я предложил эту задачу именно для того, чтобы вы научились раскладывать на множители многочлены, содержащие две переменных. Если бы вместо него был написанный ниже многочлен, как бы мы разложили его?

\[{{x}^{2}}+5x-6=\left( x-… \right)\left( x-… \right)\]

Давайте решим уравнение и найдем $x$, которые мы сможем поставить вместо точек:

\[{{x}^{2}}+5x-6=0\]

\[D=25-4\cdot \left( -6 \right)=25+24=49\]

\[\sqrt{D}=7\]

\[{{x}_{1}}=\frac{-5+7}{2}=\frac{2}{2}=1\]

\[{{x}_{2}}=\frac{-5-7}{2}=\frac{-12}{2}=-6\]

Мы можем переписать трехчлен следующим образом:

\[{{x}^{2}}+5xy-6{{y}^{2}}=\left( x-1 \right)\left( x+6 \right)\]

С квадратным трехчленом мы работать научились — для этого и нужно было записать этот видеоурок. А что делать, если кроме $x$ и константы присутствует еще $y$? Давайте рассмотрим их как еще одни элементы коэффициентов, т.е. перепишем наше выражение следующим образом:

\[{{x}^{2}}+5y\cdot x-6{{y}^{2}}\]

\[a=1;b=5y;c=-6{{y}^{2}}\]

\[D={{\left( 5y \right)}^{2}}-4\cdot \left( -6{{y}^{2}} \right)=25{{y}^{2}}+24{{y}^{2}}=49{{y}^{2}}\]

\[\sqrt{D}=7y\]

\[{{x}_{1}}=\frac{-5y+7y}{2}=y\]

\[{{x}_{2}}=\frac{-5y-7y}{2}=\frac{-12y}{2}=-6y\]

Запишем разложение нашей квадратной конструкции:

\[\left( x-y \right)\left( x+6y \right)\]

Итого если мы вернемся к исходному выражению и перепишем его с учетом изменений, то получим следующее:

\[\frac{8}{\left( x-y \right)\left( x+6y \right)}\]

Что нам дает такая запись? Ничего, потому что его не сократить, оно ни на что не умножается и не делится. Однако как только эта дробь окажется составной частью более сложного выражения, подобное разложение окажется кстати. Поэтому как только вы видите квадратный трехчлен (неважно, отягощен он дополнительными параметрами или нет), всегда старайтесь разложить его на множители.

Нюансы решения

Запомните основные правила преобразования рациональных выражений:

  • Все знаменатели и числители необходимо раскладывать на множители либо через формулы сокращенного умножения, либо через дискриминант.
  • Работать нужно по такому алгоритму: когда мы смотрим и пытаемся выделить формулу сокращенного умножения, то, прежде всего, пытаемся все перевести в максимально возможную степень. После этого выносим за скобку общую степень.
  • Очень часто будут встречаться выражения с параметром: в качестве коэффициентов будут возникать другие переменные. Их мы находим по формуле квадратного разложения.

Таким образом, как только вы видите рациональные дроби, первое, что нужно сделать — это разложить и числитель, и знаменатель на множители (на линейные выражения), при этом мы используем формулы сокращенного умножения или дискриминант.

Давайте посмотрим на пару таких рациональных выражений и попробуем их разложить на множители.

Решение более сложных примеров

Задача № 1

\[\frac{4{{x}^{2}}-6xy+9{{y}^{2}}}{2x-3y}\cdot \frac{9{{y}^{2}}-4{{x}^{2}}}{8{{x}^{3}}+27{{y}^{3}}}\]

Переписываем и стараемся разложить каждое слагаемое:

\[4{{x}^{2}}={{2}^{2}}\cdot {{x}^{2}}={{\left( 2x \right)}^{2}}\]

\[6xy=2\cdot 3\cdot x\cdot y=2x\cdot 3y\]

\[9{{y}^{2}}={{3}^{2}}\cdot {{y}^{2}}={{\left( 3y \right)}^{2}}\]

\[8{{x}^{3}}={{2}^{3}}\cdot {{x}^{3}}={{\left( 2x \right)}^{3}}\]

\[27{{y}^{3}}={{3}^{3}}\cdot {{y}^{3}}={{\left( 3y \right)}^{3}}\]

Давайте перепишем все наше рациональное выражение с учетом этих фактов:

\[\frac{{{\left( 2x \right)}^{2}}-2x\cdot 3y+{{\left( 3y \right)}^{2}}}{2x-3y}\cdot \frac{{{\left( 3y \right)}^{2}}-{{\left( 2x \right)}^{2}}}{{{\left( 2x \right)}^{3}}+{{\left( 3y \right)}^{3}}}=\]

\[=\frac{{{\left( 2x \right)}^{2}}-2x\cdot 3y+{{\left( 3y \right)}^{2}}}{2x-3y}\cdot \frac{\left( 3y-2x \right)\left( 3y+2x \right)}{\left( 2x+3y \right)\left( {{\left( 2x \right)}^{2}}-2x\cdot 3y+{{\left( 3y \right)}^{2}} \right)}=-1\]

Ответ: $-1$.

Задача№ 2

\[\frac{3-6x}{2{{x}^{2}}+4x+8}\cdot \frac{2x+1}{{{x}^{2}}+4-4x}\cdot \frac{8-{{x}^{3}}}{4{{x}^{2}}-1}\]

Давайте рассмотрим все дроби.

Первая:

\[3-6x=3\left( 1-2x \right)\]

\[2{{x}^{2}}+4x+8=2\left( {{x}^{2}}+2x+{{2}^{2}} \right)\]

Вторая:

\[{{x}^{2}}+4-4x={{x}^{2}}-4x+2={{x}^{2}}-2\cdot 2x+{{2}^{2}}={{\left( x-2 \right)}^{2}}\]

Третья:

\[8-{{x}^{3}}={{2}^{3}}-{{x}^{3}}=\left( 2-x \right)\left( {{2}^{2}}+2x+{{x}^{2}} \right)\]

\[4{{x}^{2}}-1={{2}^{2}}\cdot {{x}^{2}}-{{1}^{2}}={{\left( 2x \right)}^{2}}-{{1}^{2}}=\left( 2x-1 \right)\left( 2x+1 \right)\]

Перепишем всю конструкцию с учетом изменений:

\[\frac{3\left( 1-2x \right)}{2\left( {{x}^{2}}+2x+{{2}^{2}} \right)}\cdot \frac{2x+1}{{{\left( x-2 \right)}^{2}}}\cdot \frac{\left( 2-x \right)\left( {{2}^{2}}+2x+{{x}^{2}} \right)}{\left( 2x-1 \right)\left( 2x+1 \right)}=\]

\[=\frac{3\cdot \left( -1 \right)}{2\cdot \left( x-2 \right)\cdot \left( -1 \right)}=\frac{3}{2\left( x-2 \right)}\]

Ответ: $\frac{3}{2\left( x-2 \right)}$.

Нюансы решения

Итак, чему мы только что научились:

  • Далеко не каждый квадратный трехчлен раскладывается на множители, в частности, это относится к неполному квадрату суммы или разности, которые очень часто встречаются как части кубов суммы или разности.
  • Константы, т.е. обычные числа, не имеющие при себе переменных, также могут выступать активными элементами в процессе разложения. Во-первых, их можно выносить за скобки, во-вторых, сами константы могут быть представимы в виде степеней.
  • Очень часто после разложения всех элементов на множители возникают противоположные конструкции.Сокращать эти дроби нужно крайне аккуратно, потому что при из зачеркивании либо сверху, либо снизу возникает дополнительный множитель $-1$ — это как раз и есть следствие того, что они противоположны.

Решение сложных задач

\[\frac{27{{a}^{3}}-64{{b}^{3}}}{{{b}^{2}}-4}:\frac{9{{a}^{2}}+12ab+16{{b}^{2}}}{{{b}^{2}}+4b+4}\]

Рассмотрим каждое слагаемое отдельно.

Первая дробь:

\[27{{a}^{3}}={{3}^{3}}\cdot {{a}^{3}}={{\left( 3a \right)}^{3}}\]

\[64{{b}^{3}}={{2}^{6}}\cdot {{b}^{3}}={{\left( {{2}^{2}} \right)}^{3}}\cdot {{b}^{3}}={{\left( {{2}^{2}}\cdot b \right)}^{3}}={{\left( 4b \right)}^{3}}\]

\[{{\left( 3a \right)}^{3}}-{{\left( 4b \right)}^{3}}=\left( 3a-4b \right)\left( {{\left( 3a \right)}^{2}}+3a\cdot 4b+{{\left( 4b \right)}^{2}} \right)\]

\[{{b}^{2}}-{{2}^{2}}=\left( b-2 \right)\left( b+2 \right)\]

Вторая:

\[9{{a}^{2}}={{3}^{2}}\cdot {{a}^{2}}={{\left( 3a \right)}^{2}}\]

\[16{{b}^{2}}={{4}^{2}}\cdot {{b}^{2}}={{\left( 4b \right)}^{2}}\]

\[12ab=3\cdot 4ab=3a\cdot 4b\]

Весь числитель второй дроби мы можем переписать следующим образом:

\[{{\left( 3a \right)}^{2}}+3a\cdot 4b+{{\left( 4b \right)}^{2}}\]

Теперь посмотрим на знаменатель:

\[{{b}^{2}}+4b+4={{b}^{2}}+2\cdot 2b+{{2}^{2}}={{\left( b+2 \right)}^{2}}\]

Давайте перепишем все рациональное выражение с учетом вышеизложенных фактов:

\[\frac{\left( 3a-4b \right)\left( {{\left( 3a \right)}^{2}}+3a\cdot 4b+{{\left( 4b \right)}^{2}} \right)}{\left( b-2 \right)\left( b+2 \right)}\cdot \frac{{{\left( b+2 \right)}^{2}}}{{{\left( 3a \right)}^{2}}+3a\cdot 4b+{{\left( 4b \right)}^{2}}}=\]

\[=\frac{\left( 3a-4b \right)\left( b+2 \right)}{\left( b-2 \right)}\]

Ответ: $\frac{\left( 3a-4b \right)\left( b+2 \right)}{\left( b-2 \right)}$.

Нюансы решения

Как мы еще раз убедились, неполные квадраты суммы либо неполные квадраты разности, которые часто встречаются в реальных рациональных выражениях, однако не стоит их пугаться, потому что после преобразования каждого элемента они практически всегда сокращаются. Кроме того, ни в коем случае не стоит бояться больших конструкций в итогом ответе— вполне возможно, что это не ваша ошибка (особенно, если все разложено на множители), а это автор задумал такой ответ.

В заключение хотелось бы разобрать еще один сложных пример, который уже не относится напрямую к рациональным дробям, однако он содержит все то, что ждет вас на настоящих контрольных и экзаменах, а именно: разложение на множители, приведение к общему знаменателю, сокращение подобных слагаемых. Вот именно этим мы сейчас и займемся.

Решение сложной задачи на упрощение и преобразование рациональных выражений

\[\left( \frac{x}{{{x}^{2}}+2x+4}+\frac{{{x}^{2}}+8}{{{x}^{3}}-8}-\frac{1}{x-2} \right)\cdot \left( \frac{{{x}^{2}}}{{{x}^{2}}-4}-\frac{2}{2-x} \right)\]

Сначала рассмотрим и раскроем первую скобку: в ней мы видим три отдельных дроби с разными знаменателями поэтому первое, что нам необходимо сделать — это привести все три дроби к общему знаменателю, а для этого каждый из них следует разложить на множители:

\[{{x}^{2}}+2x+4={{x}^{2}}+2\cdot x+{{2}^{2}}\]

\[{{x}^{2}}-8={{x}^{3}}-{{2}^{2}}=\left( x-2 \right)\left( {{x}^{2}}+2x+{{2}^{2}} \right)\]

Перепишем всю нашу конструкцию следующим образом:

\[\frac{x}{{{x}^{2}}+2x+{{2}^{2}}}+\frac{{{x}^{2}}+8}{\left( x-2 \right)\left( {{x}^{2}}+2x+{{2}^{2}} \right)}-\frac{1}{x-2}=\]

\[=\frac{x\left( x-2 \right)+{{x}^{3}}+8-\left( {{x}^{2}}+2x+{{2}^{2}} \right)}{\left( x-2 \right)\left( {{x}^{2}}+2x+{{2}^{2}} \right)}=\]

\[=\frac{{{x}^{2}}-2x+{{x}^{2}}+8-{{x}^{2}}-2x-4}{\left( x-2 \right)\left( {{x}^{2}}+2x+{{2}^{2}} \right)}=\frac{{{x}^{2}}-4x-4}{\left( x-2 \right)\left( {{x}^{2}}+2x+{{2}^{2}} \right)}=\]

\[=\frac{{{\left( x-2 \right)}^{2}}}{\left( x-2 \right)\left( {{x}^{2}}+2x+{{2}^{2}} \right)}=\frac{x-2}{{{x}^{2}}+2x+4}\]

Это результат вычислений из первой скобки.

Разбираемся со второй скобкой:

\[{{x}^{2}}-4={{x}^{2}}-{{2}^{2}}=\left( x-2 \right)\left( x+2 \right)\]

Перепишем вторую скобку с учетом изменений:

\[\frac{{{x}^{2}}}{\left( x-2 \right)\left( x+2 \right)}+\frac{2}{x-2}=\frac{{{x}^{2}}+2\left( x+2 \right)}{\left( x-2 \right)\left( x+2 \right)}=\frac{{{x}^{2}}+2x+4}{\left( x-2 \right)\left( x+2 \right)}\]

Теперь запишем всю исходную конструкцию:

\[\frac{x-2}{{{x}^{2}}+2x+4}\cdot \frac{{{x}^{2}}+2x+4}{\left( x-2 \right)\left( x+2 \right)}=\frac{1}{x+2}\]

Ответ: $\frac{1}{x+2}$.

Нюансы решения

Как видите, ответ получился вполне вменяемый. Однако обратите внимание: очень часто при таких масштабных вычислениях, когда единственная переменная оказывается лишь в знаменателе, ученики забывают, что это знаменатель и он должен стоял внизу дроби и пишут это выражение в числитель — это грубейшая ошибка.

Кроме того, хотел бы обратить ваше отдельное внимание на то, как оформляются такие задачи. В любых сложных вычислениях все шаги выполняются по действиям: сначала отдельно считаем первую скобку, потом отдельно вторую и лишь в конце мы объединяем все части и считаем результат. Таким образом мы страхуем себя от глупых ошибок, аккуратно записываем все выкладки и при этом нисколько не тратим лишнего времени, как это может показаться на первый взгляд.

До новых встреч!

Смотрите также:

  1. Как выполнять сокращение рациональных дробей без ошибок? Простой алгоритм на примере пяти различных задач.
  2. Дробно-рациональные выражения
  3. Решение ЕГЭ-2011: вариант 1, часть B
  4. Решение задач B12: №440—447
  5. Тригонометрические функции
  6. Задача B5: площадь фигур с вершиной в начале координат

Картинки из квадратов \ Арифметика «на квадратах» \
Некоторые факты элементарной математики \

7.4.4.3. Калькулятор для вычисления элементов цепной дроби

Ниже расположен калькулятор, осуществляющий разложение положительных рациональных чисел, представленных в виде обыкновенных дробей, в цепную дробь.

Что означает такое разложение, можно посмотреть здесь. Результирующая цепная дробь записывается в сокращенном виде. Калькулятор будет гарантированно работать в браузере Internet Explorer.

Для начала можно воспользоваться примером Н. М.

Упрощение выражений

Бескина: разложить в цепную дробь число 61/27. Набираем в калькуляторе: Числитель = 61, Знаменатель = 27 и нажимаем кнопку «Вычислить». В поле «Элементы цепной дроби» должно получиться:
2; 3, 1, 6.

Существует также очень наглядный геометрический способ для разложения обыкновенной дроби m/n в цепную дробь.

Он связан с использованием визуализатора алгоритма Евклида. Здесь мы «воочию видим» элементы цепной дроби, что может нам понравиться не меньше, чем Жан-Жаку Руссо (в плане лучшего понимания абстрактных математических конструкций).

Проиллюстрируем сказанное на примере разложения дроби 11/8. Вышеприведенный калькулятор построит для нее такие «элементы разложения»: 1; 2, 1, 2.

Чтобы «увидеть их воочию», вводим в визуализаторе алгоритма Евклида в поля 1-е число и 2-е число значения 11 числителя и 8 знаменателя исходной обыкновенной дроби и нажимаем кнопку «Визуализировать». Визуализатор построит для дроби 11/8блочную систему, которая изображена ниже.

Структура такой блочной системы непосредственно «показывает» элементы разложения числа 11/8 в цепную дробь. Для этого нужно мысленно разбить полученную блочную систему на горизонтальные и вертикальные полосы, состоящие из квадратов одинакового размера. При этом нужно двигаться слева-направо и сверху-вниз.

Двигаясь таким образом, мы видим сначала горизонтальную полосу, состоящую из одного квадрата со стороной 8, затем — вертикальную полосу, состоящую из двух квадратов со стороной 3, затем — горизонтальную полосу, состоящую из одного квадрата со стороной 2, и, наконец, вертикальную полосу, состоящую из двух квадратов со стороной 1.

Таким образом, получаются элементы 1; 2, 1, 2, составляющие цепную дробь, в которую разлагается обыкновенная дробь 11/8.

В сокращенной нотации это записывается следующим образом: 11/8 = [1; 2, 1, 2].

Более подробно связь этой визуальной модели со структурой древнего алгоритма Антанаиресис разбирается здесь.

Еще одна яркая геометрическая метафора для разложения числа в цепную дробь — это «звездное небо» Феликса Клейна. На самом деле обе эти метафоры (с прямоугольником, разбиваемым на квадраты, и с «небом») тесным и плодотворным образом связаны друг с другом, как будет показано далее.

вместо этого, обычная фракция, с числителем и знаменателем числа могут быть представлены в виде цепные фракции.

Такой, для которого сам знаменатель содержит другую фракцию, знаменатель которой также является долей и т. Д.

Простое преобразование простого клипа в цепочку прост — вам нужно повторить шаги, чтобы взять всю часть номера и найти общий результат.

Пример: представить число в виде непрерывной фракции

Требуемая непрерывная фракция имеет вид [1, 1, 4, 4]

То же самое можно сделать с иррациональные числа, в виде обычных фракций, не выраженных.

Предположим, что мы хотим расширить непрерывную фракцию до дальнейшей доли pi = 3.14159265358 …

Сначала выберите всю часть:

Затем часть детали заменяется частицей с единицей в метре:

Теперь мы будем делать то же самое действие с числом в знаменателе

И снова и еще:

Полученная непрерывная фракция будет бесконечной и непериодической.

В более компактной форме он будет записан как:

[3, 7, 15, 1, 292, 1, 1, 2, …]

Кстати, с помощью этого метода разложения точность калькулятора скоро известна и начинаются ошибки.

Например, если вычисления выполняются в Excel, то для числа pi всего 13 действительных ссылок.

Оказалось, что квадратные корни существует способ получить дополнительную долю любой длины, для которой требуется только ручка и бумага. Давайте расширим его с помощью root 503.

 Для начала выделим всю часть в корне. Из 222 = 484 и 232 = 529, тогда

 Таким образом, искомое разложение начинается с [22, …]

 Превратите дробную фракцию в фракцию с соотношением 1:
 

 Устранить необоснованность знаменателя фракции, воспользовавшись тем, что:

 Мы получаем:

 Теперь из фракции выберите следующую часть:
 

 У нас есть еще один добавочный термин: [22, 2, ….] Но в общем случае продолжение фракции теперь выглядит следующим образом:
 

Теперь давайте перенаправим часть:

 Внимание, пожалуйста! Вот специальная математическая магия!

Калькулятор Рациональные числа с полным количеством ответов

Дело в том, что знаменатель обязательно должен быть разделен на общий множитель чисел. Я действительно рекомендую это — удовольствие гарантировано.

 Фактически, мы также имеем здесь:
 

 И выбор всей работы дает нам новое выражение в расширении: [22, 2, 2, ….]

 Вот новое соединение непрерывной дроби:
   

Эта процедура может быть продолжена.

Когда мы получим долю, полученную за несколько шагов (и это определенно будет получено, это также может быть доказано), соответствующая часть разложения станет навязчивой.

Следовательно, мы получаем [22, (2, 2, 1, 21, 1, 2, 2, 44)].

 Таким образом, вы можете получить дополнительную часть любого корня без электронных калькуляторов. В общем, самый простой способ — диск в WolframAlf: продолжить фракцию, а затем написать sqrt (503) в новом открытом окне,

Задайте вопрос в блоге о математике

Частичный номер

Фракции три типа:

1) доли или отдельные доли, для которых счетчик равен единице, знаменатель является произвольным целым числом;

2) дробности являются систематическими, в которых счетчики могут быть любым числом, знаменатели — это только номера определенного типа, например десять или шестьдесят;

3) доли общего типа, в которых счетчики и знаменатели могут быть произвольными числами.

Изобретение этих трех различных типов фракций представляло разные степени сложности для человечества, и различные типы фракций возникали в разное время.

Знание человека с частицами начиналось с одной фракции с небольшими знаменателями.

Термины «половина», «третий», «четверть», «осьминог» часто используются людьми, которые никогда не изучали частичную арифметику. Эти элементарные фракции были изобретены индивидуумами в их собственном развитии.

Равномерные фракции. Древние египтяне, несмотря на то, что они развивали высокий уровень культуры, оставили прекрасные произведения искусства, принадлежащие многим отраслям искусства, но в арифметике дробные числа не продвинулись дальше с изобретением дробных единиц (фракций и 2/3) в течение нескольких тысяч лет Его история. Если проблема не приводит к ответу, выраженному дробным числом, он представлял египтян как сумму долей единиц или фракций.

Например, если ответ на наш взгляд равен 7/8,

Египтянин представлял его как сумму 1/2 + 1/4 + 1/8

и написано без добавления символов: 1/2 1/4 1/8. Без знака добавления многие более поздние народы сумели понять написание фракций в качестве добавки. Этот египетский способ письма частично сохранился в нашей стране.

Калькулятор рациональных выражений

Мы пишем смешанные числа, соединяя ряд целых чисел и частицу вместе без каких-либо признаков соединения, и мы понимаем запись как сумму: мы пишем 3 1/2 вместо 3 + 1/2.

Может показаться, что египетский способ использовать только одну фракцию затруднил решение проблем. Это не всегда так. Египетский автор решает проблему: семь хлебов следует разделить поровну между восемью людьми. Они сказали бы, что каждый получает 7/8 хлеб.

Для египтян не было числа 7/8, но он знал, что из раздела 7 до 8 будет 1/2 1/2 1/4 + 1/8.

Этот факт побуждает его иметь 8 половинок, 8 четвертей и 8 осьминогов для распределения семи хлебов среди восьми человек. Он разрезает 4 хлеба пополам, 2 хлеба — четверть и 1 хлеб — на осьминога и делит доли между получателями. Длина составляла всего 4 + 6 + 7 = 17 разрезов.

Склад работает сегодня, что является той же задачей, что и хлеб, понимая, что каждый получатель должен дать семь восмушек, по всей вероятности, он вырезает все семь хлебов в предыдущие восемь, для чего нужно было дать 7×7 = 49 выемок.

Как мы видим, в этой проблеме египетский способ решения более практичен.

У египетского студента, который решил проблемы, которые привели к частичному числу, должен был быть представлен перед ним стол в виде суммы тех частей, которые были представлены подразделением (частичное число).

Такая таблица находится в начале египетского руководства математики, которое мы знаем как «документы Ахмеда» или «Папирус Ринда».

Как вы можете представить любую акцию в качестве суммы акций? С нашим знанием арифметики это легко.

См. (Проверьте!) Точность уравнения

Если n является целой частью части B / A [математически обозначается символом E (b / a)] или n = E (b / a), то, используя уравнение (*), доля / b может быть представлена ​​в виде суммы доли ,

Покажем это в случае 13/20.

n = E (20/30) = 1 (общая фракция составляет 20/30).

С тем же эффектом (*)

Над фракцией 3/20 мы делаем одно и то же преобразование:

Если мы заменим это значение вместо 3/20, мы получим:

Задача: указать 17/18 как сумму акций.

Ответ:

Решение проблем практической жизни с помощью фракции (египетский маршрут) происходило почти во всех европейских странах, начиная с греков.

Систематические фракции.

Системные фракции появились одновременно с отдельными фракциями. Самый ранний вид этих фракций — шестьдесят десятичных дробей, используемых в древнем Вавилоне. В этих дробях их число составляет 60, 602 = 3600, 603 = 216 000 и т. Д. Они являются знаменателями и похожи на наши десятичные числа.

Шестьдесят фракций пользовались всеми цивилизованными нациями до семнадцатого века, особенно в научной работе, и почему их называют физическими или астрономическими фракциями и общей формой фракции, в отличие от них — или обычных людей.

Следы использования этих фракций остались у нас: минуты 1/60, вторая — 1/602 = 1/3600, третья — 1/603 = 1/216000 часов.

Десятичные дроби. Десятичные дроби также представляют собой своего рода систематическую фракцию.

Он изобрел почти все книги, известные как фламандский (бельгийский) инженер Симон Стевин (1548-1620). В 1585 году Стевин опубликовал брошюру, в которой он настоятельно рекомендовал ввести новые десятичные дроби, которые, по его словам, «могут решить все жизненные проблемы без распада» (так называемая доля всех народов).

Однако, как мы уже знаем, деминимационная фракция была введена в научную литературу около 175 лет назад узбекским математиком и астрономом аль-Каши. Вычисление отношения периметра к радиусу в системе на шестидесяти уровнях, которое в то время общепринято в научных исследованиях, дает аль-Каши результат в виде записи:

что означает

6 + 16/60 + 59/602 + 28/603 + 1/604 + 34/605 + 51/606 + 46/607 + 14/608 + 50/609.

Под этим номером говорится:

в целом

6 283 185 307 179 586 5

Это число представляет собой перевод верхнего значения числа 2π из шестнадцатеричной системы подсчета в десятичное число и представляет собой десятичную дробь

6,283 185 307 179 586 5.

Если это число делится на 2, приблизительным значением π является отношение длины круга к диаметру

3,1415926535897932.

В этой фракции все 16 десятичных знаков являются точными.

Десятичные доли аль-Каши: десятичные минуты, десятичные секунды, десятичные трещины и т. Д.

В учетной записи «Ключ к искусству», написанной в 1427 году, Аль-Каши дает правила расчета в десятичной системе, таким образом изучая умножение и деление десятичных дробей.

Это дает нам веские основания рассмотреть узбекского студента начала 15-го века аль-Каши, основателя использования десятичных дробей, и тех ученых, которые оправдали теорию этих фракций.

Кроме того, в тех же книгах аль-Каши обнаруживает четкое понимание правил

am · am = am + n, am: an = am — n,

который представляет собой важный шаг вперед в этом вопросе от неуклюжих правил, используемых в Западной Европе, происходящих из Архимеда.

Общая доля. Общие дроби m / n, в которых m и n могут быть произвольным целым числом, появляются в некоторых записях

Архимед. Простейшая из этих фракций: 2/3, 3/4 постепенно начинают использоваться в повседневной практике.

В первые века нашего календаря индусы установили современные правила работы над обычными группировками. Эти правила, с помощью среднеазиатских математиков — аль-Хорезми и других, стали частью европейских арифметических учебников. Это произошло до того, как раздались десятичные знаки.

«Арифметика» Магнитского (1703), которая определяет обычные дроби, десятичные части равны — в отдельной главе, так как есть несколько новых типов записей, в настоящее время никакая практическая система не имеет большой ценности.

Упрощение математических выражений

Компетентная трансформация рациональных выражений

Похоже, вы используете рекламный блок. Наш сайт существует и развивается только за счет доходов от рекламы.

Добавьте нас к исключениям блокировщика.

Скрыть меня

На главную страницу Войдите в систему

Темы урока

Математика начальной школы 5-й класс Математика 6-й класс Алгебра 7-й класс Алгебра 8-й класс Алгебра средней школы

Единственный способ узнать — это активность.

Бернард Шоу

дома

Извлечь root онлайн

Найти наставника← Вернуться назад на «Калькуляторы онлайн»

Будет решение …

Инструкции для калькулятора

  • Введите число и область действия корня и нажмите «Извлечь корень».

Важно!

калькулятор вычисление корней онлайн могут только проверить их вычисления.

Узнайте, как найти квадрат, кубик или корень любой другой степени в квадратном корне.

vipstylelife.ru

[C++] Простой калькулятор рациональных чисел

  • #include <iostream>

  • #include <conio.h>

  • #include <string>

  •  

  • using namespace std;

  •  

  • enum choice {

  •     ESC      = 27,

  •     INCREASE = 42,

  •     COMBINE  = 43,

  •     SUBTRACT = 45,    

  •     DIVIDE   = 47

  • };

  •  

  • struct rational {

  •     int numerator;

  •     int denominator;

  • };

  • typedef rational RATIONAL;

  •  

  • void combine(const RATIONAL, const RATIONAL);

  • void subtract(const RATIONAL, const RATIONAL);

  • void increase(const RATIONAL, const RATIONAL);

  • void divide(const RATIONAL, const RATIONAL);

  • int  nod(int, int);

  • void reduce(RATIONAL &);

  • void show(const RATIONAL, const RATIONAL, const RATIONAL, const string);

  • int  validint(const RATIONAL, const RATIONAL);

  • char validchar();

  • void err();

  • void zero();

  • void ui();

  • void ru();

  •  

  • int main() {

  •     ru();

  •     ui();

  •     return 0;

  • }

  •  

  • void reduce(RATIONAL & _rat) {

  •     int n = nod(_rat.numerator, _rat.denominator);

  •  

  •     if (n) {

  •         _rat.numerator /= n;

  •         _rat.denominator /= n;

  •     }

  • }

  •  

  • int nod(int _a, int _b) {

  •     int a = abs(_a);

  •     int b = abs(_b);

  •  

  •     if (!a && !b) a = 0;

  •     else while (b) b ^= a ^= b ^= a %= b;

  •  

  •     return a;

  • }

  •  

  • void combine(const RATIONAL _first, const RATIONAL _second) {

  •     RATIONAL result;

  •     result.numerator   = _first.numerator * _second.denominator + _second.numerator * _first.denominator;

  •     result.denominator = _second.denominator * _first.denominator;

  •     reduce(result);

  •     if (result.denominator) show(_first, _second, result, » + «);

  •     else zero();

  • }

  •  

  • void subtract(const RATIONAL _first, const RATIONAL _second) {

  •     RATIONAL result;

  •     result.numerator   = _first.numerator * _second.denominator — _second.numerator * _first.denominator

  • pastebin.com

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован.