Комбинаторные задачи 5 класс – Комбинаторные задачи (5 класс)

Урок математики. 5-й класс. Комбинаторные задачи

Разделы: Математика


Цели:

Обучающая:

  • Познакомить с комбинаторными задачами,
  • Научить решать простейшие задачи с помощью схем.

Развивающая:

  • Развивать логику.

Воспитывающая

  • Воспитывать интерес к предмету.

Ход урока

  1. Орг. момент - 2-3 мин.
  2. Устная работа - 7-8 мин.
  3. Объяснение нового материала - 15 мин.
  4. Закрепление - 15 мин
  5. Подведение итогов и постановка д/з - 5 мин.

I . Орг. момент.

Проверить готовность класса к уроку, собрать тетради .

Эпиграф урока.

Учитесь думать, объяснять,
Учитесь мыслить, рассуждать,
Ведь в математике, друзья,
Без логики никак нельзя!

II. Устная работа.

1. Вычислите устно

15*6 100-19 60-11
:8 :3 :7
*19 +23 *15
+6 *4 -25
? ? ?

2. Вместо некоторых цифр поставлены *. Можно ли сравнить числа?

а) 32** и 31** в) **** и ***
б) *1** и 8** г) *5* и 1 **

3. Подумайте, по какому правилу составлен ряд чисел и найдите три следующих числа

а) 20, 22, 24:

б) 2, 4, 8, 16:

в) 1, 4, 9, 16:

III. Объяснение нового материала

Сегодня мы познакомимся с новыми задачами - комбинаторными.

Живут эти задачи в особом разделе математики, который называется комбинаторика.

Комбинаторика - раздел математики, в котором изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям можно составить.

Рассмотрим задачу.

Задача 1.

Запишите все трёхзначные числа, для записи которых употребляются только цифры 1 и 2.

Решение.

В записи числа на первом месте (в разряде сотен) может стоять цифра 1 или 2

Или

На втором месте (в разряде десятков) в каждом случае также может стоять одна из двух цифр 1 или 2

На третьем месте (в разряде единиц) в каждом из полученных четырех случаев также можно записать либо 1, либо 2

Получим восемь чисел:

111; 112; 121; 122; 211; 212; 221; 222.

Задача 2.

В правлении фирмы входят 5 человек. Из своего состава правление должно выбрать президента и вице-президента. Сколькими способами можно это сделать?

Решение.

Президентом фирмы можно избрать одного из пяти человек:

Президент:

После того как президент избран, вице-президентом можно выбрать одного из четырёх оставшихся членов правления:

Значит, выбрать президента можно 5-ю способами и для каждого из выбранного президента 4-мя способами можно выбрать вице-президента.

Т.о. общее число способов

5 * 4=20.

IV. Закрепление.

Задача 3.

Запишите все трёхзначные числа, для записи которых употребляются только цифры о и 7 . Найдите сумму этих чисел и разделите её на 211.

Решение (коллективная работа).

  • Какая цифра может стоять на первом месте? (выполняется схема на доске)
  • На втором месте?
  • На третьем?

700; 707;

770; 777;

 (700 + 707+ 770+ 777) : 211 = 14.

Задача 4.(решить самостоятельно, используя схему)

Запишите все трёхзначные числа, для записи которых употребляются только цифры 5 и 7.

Ответ: 555; 557; 575; 577; 755; 757; 775; 777.

Задача 5.

В футбольной команде 5-го класса 7 человек. Члены команды выбирают капитана и вратаря.сколькими способами это можно сделать?

Решение.

  • Сколько человек в команде?
  • Какие варианты существуют? (капитан может быть вратарем и не может)
  • Рассмотрим вариант, когда вратарь не может быть капитаном.
  • Сколько вариантов выбора капитана существует? (7)
  • Сколько существует вариантов выбора вратаря для выбранного капитана?(6)
  • Сколькими способами можно выбрать капитана и вратаря?
    7 * 6 = 42.
  • Как изменится решение задачи, если вратарь может быть капитаном?
  • Сколько способов выбора существует при этом условии?
    7 * 7 = 49.

V. Подведение итогов и постановка д/з.

С каким разделом математики мы сегодня познакомились?

Что такое комбинаторика?

Домашнее задание (раздается в распечатанном виде)

Сколько двузначных чисел можно составить из цифр 0; 2; 4; 6; если цифры в записи числа не повторяются? Запишите все эти числа.

Для того чтобы открыть дверь подъезда, нужно набрать трёхзначный код замка. Сколькими способами можно выбрать код замка, если все его цифры должны быть различными?

 Исторические сведения.

Комбинаторика - ветвь математики, изучающая комбинации и перестановки предметов, возникла в XVII веке. Долгое время комбинаторика лежала вне основного русла развития математики. Положение дел резко изменилось после появления быстродействующих вычислительных машин. В настоящее время комбинаторные методы применяются в теории случайных процессов, статистике, математическом программировании, вычислительной математике и др.

С задачами, которых приходилось выбирать те или иные предметы, располагать их в определенном порядке и отыскивать среди разных расположений наилучшие, люди столкнулись ещё в доисторическую эпоху, выбирая наилучшее положение охотников во время охоты, воинов - во время битвы, инструментов - во время работы. Комбинаторные навыки оказались полезными в часы досуга. Со временем появились различные игры: нарды, шашки, шахматы, карты. В каждой из этих игр проходилось рассматривать различные сочетания фигур, и выигрывал тот, кто их лучше изучил, знал выигрышные комбинации и умел избегать проигрышных.

Но не только азартные игры давали пищу для комбинаторных размышлений математиков. Ещё с давних пор дипломаты. Стремясь к тайне переписки, изобретали сложные шифры, а секретные службы других стран пытались эти шифры разгадать. Позднее стали применять шифры, основанные на комбинаторных принципах.

Задачи, в которых идёт речь о тех или иных комбинациях объектов, называют комбинаторными.

Комбинаторика как наука стала развиваться параллельно с возникновением теории вероятностей, т.к. для решения вероятностных задач необходимо было подсчитать число различных комбинаций элементов. Первые научные исследования по комбинаторике принадлежат итальянским ученым Дж. Кардано, Н. Тарталье (ок.1499-1557), Г. Галилею(1564-1642) и французским ученым Б. Паскалю (1623-1662) и П. Ферма. Комбинаторику как самостоятельный раздел математики первым стал рассматривать немецкий ученый Г. Лейбниц в своей работе "Об искусстве комбинаторики", опубликованной в 1666 году. Он же впервые ввел термин "комбинаторика". Значительный вклад в развитие комбинаторики внес JI. Эйлер.

В современном обществе с развитием вычислительной техники комбинаторика добилась новых успехов. Так, с помощью ЭВМ была решена комбинаторная задача, известная под названием "проблема четыpex красок": удалось доказать, что любую карту можно раскрасить в четыре цвета так, что никакие две страницы, имеющие общую границу, не будут окрашены в один и тот же цвет.

Литература.

  1. Н.Я.Виленкин, В.И.Жохов, А.С.Чесноков, С.И.Шварцбурд. Математика. Учебник для 5 класса общеобразовательных учреждений. М.:Мнемозина.
  2. Л.П.Попова. Поурочные разработки по математике к ученому комплекту Н.Я.Виленкина 5 класс. Москва "Вако".2009

16.02.2012

xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai

Олимпиадные задания по алгебре (5 класс) на тему: Комбинаторные задачи

Комбинаторные задачи

Задача

Сколькими способами можно выбрать гласную и согласную буквы слова «полка»?

Решение: в этом слове две гласные буквы (о, а) и три согласные (п, л, к). Каждый искомый выбор задается картежом (а(1), а(2)), где а(1) – гласная буква, а(2) – согласная. Так как а(1) можно выбрать двумя способами, а а(2) тремя способами, то кортеж (а(1), а(2)) можно по правилу произведения выбрать 2*3=6 способами. Ответ: 6 способов.

Задача

 Продают две игральные кости (каждая кость – кубик с отмеченным на его гранях точками). Одной до шести, причем на различных гранях разное число точек. Сколько различных пар точек может появиться на верхних гранях костей?

 Решение: Для каждого случая составим таблицу вариантов:N = 3*3 =9  N = 3*4 = 12 Ответ: 1) N = 9; 2) N = 12.

Правило произведения.

Задача

 Андрей, Борис, Виктор и Григорий играли в шахматы. Каждый сыграл с каждым по одной партии. Сколько партий было сыграно?

Решение: Решим задачу с помощью полного графа с четырьмя вершинами А,Б,В,Г. Обозначенными первыми буквами имени каждого из мальчиков. В полном графе проводятся всевозможные ребра. В данном случае отрезки ребер обозначают органные шахматные партии. Из рисунка видно, что граф имеет 6 ребер, значит, и партий было сыграно 6. Ответ: 6 партий.

Задача

Антон, Борис, Василий купили 3 билета на 1,2,3 места первого ряда на футбольный мачт. Сколькими способами они могут занять имеющиеся места?

Решение: на 1-е место может сесть любой из трех друзей, на 2 любой их двух оставшихся, а на 3 последний. Сказанное изобразим с помощью дерева, помещая в вершины графа первые буквы А,Б и В: 1 место 2 место 3 место упорядочная тройка друзей. Ответ: 6.

 Задача  

Из города А в город В ведут 5 дорог, а из города В в город С – 3 дороги. Сколько путей, проходящих через В, ведут из АВС?

 Решение: Каждый путь школою видов задается картежом (а(1), а(2)), где а(1) – один из путей, соединяющих В и С. Так как по условию а(1) можно выбрать 5 способами, а(2) – 3способами, то картеж (а(1), а (2)) можно по правилу произведения составить 5*3 = 15 способами. Ответ: 15 путей.

 Задача

Имеется 6 перчаток различных размеров. Сколькими способами можно выбрать из них одну перчатку на левую руку так, чтобы эти перчатки были различных размеров?

Решение: Эту задачу тоже можно решить по правилу произведения. Перчатка на левую руку может быть выбрана 6 способами. После того как она выбрана, перчатку на правую руку можно выбрать лишь 5 способами. (Размеры перчаток  должны быть разными). Поэтому всего имеет 6*5=  30 способов. Ответ: 30 способов.

 Задача

сколькими способами могут быть распределены золотая и серебренная медали по итогам первенства по футболу, если число команд 12.  Решение: На золотую медаль претендуют 12 команд, на серебренную 11 команд. (одна получит золотую медаль). По правилу произведения получаем 12 * 11 = 132 способа. Ответ: 132 способа.

Задачи, на перебор вариантов происходящих событий.

Задача 

В школьной столовой на первое можно заказать борщ, солянку, грибной суп, на  второе – мясо с макаронами, рыбу с картошкой, курицу с рисом, а на третье – чай и компот. Сколько различных обедов можно составить из указанных блюд?

1 способ: Перечислим возможные варианты.

2 способ: Дерево возможностей

3 способ: Правило умножения заключается в том, что для того, чтобы найти число всех возможных исходов независимого проведения двух испытаний А и В, следует перемножить число всех исходов испытания А и число всех исходов испытания В, т.е. в нашей задаче имеется 3 элемента: первое, можно выбрать 3 раза, второе – 3 раза и третье – 2раза, получаем: 3х3х2=18.Ответ: 18.

Задача

Мисс Марпл, расследуя убийство, заметила отъезжающее от дома мистера Дэвидсона такси. Она запомнила первую цифру «2». В городке номера машин были трехзначные и состояли из цифр 1, 2, 3, 4 и 5. скольких водителей, в худшем случае, ей придется опросить, чтобы найти настоящего убийцу?

Используя правило умножения, получаем: 5*5=25.Ответ: 25 водителей.

Задача

Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 5, 7, используя в записи числа каждую из них не более одного раза?

Реш. Первую цифру трехзначного числа можно выбрать четырьмя способами, т.к. после выбора остается три, то вторую цифру можно выбрать из оставшихся цифр уже тремя способами. Наконец, третью цифру можно выбрать двумя способами. Следовательно, общее число искомых трехзначных чисел равно произведению 4 * 3 * 2=24.Ответ: 24.

Задача 

Сколько четных двузначных чисел можно составить из цифр 0, 2, 3, 6, 7, 9? Используя правило умножения, получаем: 5*3=15 Ответ: 15

Задача 

Свете на день рождения подарили 4 плюшевых игрушки, 2 мяча и 5 кукол. Мама положила все игрушки в большую коробку. Сколькими способами Света сможет достать из коробки 1 плюшевую игрушку, 1 мяч и 1 куклу?Используя правило умножения, получаем: 2*4*5=40.Ответ:40.

Задачи на перестановки.

Перестановкой из n элементов называется каждое расположение этих элементов в определенном порядке. Число перестановок из n элементов обозначается символом Рn (Р из n элементов). Например.

Задача 

в книжном шкафу на полке стоят 3 книги, как  эти книги можно переставить?

Р3= 3*2*1= 6 = 3!

Задача 

Саша, Петя, Денис, Оля, Настя часто ходят в кафе. Каждый раз, обедая там, они рассаживаются по-разному. Сколько дней друзья смогут это сделать без повторения?

Р5 = 5! = 5*4*3*2*1 = 120.

Задача

 Сколькими способами могут быть расставлены 8 участниц, финального забега, на восьми беговых дорожках?

Число способов равно числу перестановок из 8 элементов. По формуле числа перестановок находим, что Р8=8! = 1*2*3*4*5*6*7*8 = 40320.

Задача

Сколько различных четырехзначных чисел, в которых цифры не повторяются, можно составить из цифр 0,2,4,6?

Решение: из цифр 0,2,4,6 можно получить Р4 перестановок. Из этого числа надо исключить те перестановки, которые начинаются с 0, т.к. натуральное число не может начинаться с цифры 0. Число таких перестановок равно Р3. значит, искомое число четырехзначных чисел равно Р4-Р3 = 4!-3! = 24 – 6= 18.

Задачи на размещения.

Размещением из n элементов по k (k меньше или равно n) называется любое множество, состоящее из любых k элементов, взятых в определенном порядке из данных n элементов. Обозначение:   ( читают: «А из n по k).

 Например : Пусть имеется три шара и две пустых ячейки. В пустые ячейки можно разместить по два шара.

  Решение: из трех элементов по два будут наборы (1,2), (2,1), (1,3), (3,1), (2,3), (3,2).Размещения считаются различными, если они отличаются самими элементами или порядком их расположения. Например: (1,2), (2,1), (1,3), (3,1) в нашем примере.Число размещений можно найти не выписывая сами размещения. Будем рассуждать так: первый элемент можно выбрать тремя способами, т.к. им может быть любой из трех, для каждого выбранного первого элемента можно двумя способами выбрать второй.В результате получаем:  = 3*2 = 6.

Задача 

Учащиеся второго класса изучают 8 предметов. Сколькими способами можно составить расписание на один день, чтобы в нем было 4 различных предмета?

 Решение:  = 8*7*6*5 = 1680.

Задача

 В классе десять предметов и пять уроков в день. Сколькими способами можно составить расписание на один день?

Решение: А105=10*9*8*7*6 = 30240 способов.

Задача

В 9 классе 15 предметов. Завучу школы нужно составить расписание на субботу, если в этот день 5 уроков. Сколько различных вариантов расписания можно составить, если все уроки различны?

Решение: из 15 предметов 5 любых можно выбрать А155= 15*14*13*12*11= 360360.

Задача

 Сколькими способами можно составить трехцветный флаг из полос разной ширины, если имеются материи из 8 тканей?

 Решение: А83=8*7*6 = 336.

Задачи на сочетания.

Сочетанием из n элементов по k называется любое множество, составленное из k элементов, выбранных из данных n элементов. Обозначение:  (читают С из n по k).

Задача 

Пусть имеется три шара разного цвета. Нужно рассмотреть все возможные способы составления шаров, в которых сочетаются два цвета из данных трех.

Решение: из трех элементов (1;2;3) по два будут наборы (1,2),(1,3),(2,3). В отличии от размещений в сочетаниях не имеет значения, в каком порядке указаны элементы. Два сочетания различны, если отличаются друг от друга хотя бы одним элементом. Например: (1,2),(1,3). В нашем примере, в каждом сочетании выполнимы все перестановки. Число таких перестановок равно Р2. В результате получим все возможные комбинации из 3 элементов по 2, которые отличаются либо самими элементами, либо порядком элементов, т.е.  все размещения из 3 элементов по 2. всего мы получим размещений. Значит если количество размещений разделить на количество перестановок, получим количество сочетаний из трех элементов по два.  Отсюда .

Задача

 из 15 членов туристической группы надо выбрать трех дежурных. Сколькими способами можно сделать этот выбор?

 Решение: если, каждый выбор отличается от другого хотя бы одним дежурным, значит, здесь речь идет о сочетаниях из 15 элементов по 3: .

Задача

На родительском собрании присутствует 20 человек. Сколько существует различных вариантов состава родительского комитета, если в него должны войти 5 человек?

Решение: В этой задаче нас не интересует порядок фамилий в списке комитета. Если в результате в его составе окажутся одни и те же люди, то по смыслу для нас это один и тот же вариант. Поэтому мы можем воспользоваться формулой для подсчета числа сочетаний из 20 элементов по 5. В каждом сочетании выполнимы 5 перестановок т.е.Р5= 1*2*3*4*5, в результате получим все возможные комбинации из 20 элементов по 5: А205=20*19*18*17*16.

nsportal.ru

Решение комбинаторных задач. 5-й класс

Разделы: Математика


Тип урока:  формирование и совершенствование умений и навыков.

Цели урока:

  • Образовательные: закрепить умение решения комбинаторных задач на примере составления  многозначных чисел из предложенных цифр с помощью перечисления комбинаций (дерева возможных вариантов), подсчет общего числа комбинаций по правилу умножения.
  • Развивающие:  развитие математического мышления;  развитие познавательного интереса учащихся;  развитие умения самостоятельно выбирать способ решения и умения обосновать выбор;
  • Воспитательные:  формирование навыков самоконтроля, воспитание самостоятельности и настойчивости в достижении цели.

Оборудование:  карточки с заданиями для индивидуальной работы, карточки с решением задач для самопроверки, карточки-«подсказки» для решения задач.

Структура урока:

  1. Организационный момент
  2. Актуализация опорных знаний и умений учащихся (устный опрос)
  3. Формирование и закрепление знаний и умений:
    1. Коллективная работа над задачами
    2. Индивидуальная работа над задачами
  4. Подведение итогов урока
  5. Домашнее задание

Показатель реального результата достижения цели урока: самостоятельное выполнение заданий на составление многозначных чисел с применением дерева возможных вариантов и подсчет общего числа комбинаций по правилу умножения в знакомой  и измененной ситуациях.

ХОД УРОКА

1. Устный опрос

2. Натуральные числа

Какие числа называются натуральными? (Числа, используемые при счете предметов)
С помощью каких «знаков» можно написать любое натуральное число? (С помощью цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9)
Как называется группа из трех цифр в записи числа, считая справа налево? (Класс)
Как называется место, занимаемое цифрой в записи числа? (Разряд)
Сколько разрядов в каждом классе? (Три)
Что обозначает цифра 0 в десятичной записи числа? (Отсутствие единиц данного разряда)
Какая цифра не может стоять в старшем разряде числа? (0)

3. Комбинаторные задачи

Какие задачи называются комбинаторными? (Задачи, в которых идет речь о тех или иных комбинациях объектов)
Что такое комбинаторика? (Раздел математики, в котором изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить)
Какими способами мы умеем решать комбинаторные задачи? (С помощью правила умножения и с помощью дерева возможных вариантов)
В чем заключается правило умножения?  (Если первый элемент в комбинации можно выбрать а способами, после чего второй элемент b способами, то общее число комбинаций из двух элементов будет a . b).
В чем заключается правило решения задач с помощью дерева вариантов?

4. Работа по теме урока:

1 этап. Коллективная работа над задачами

№ 1

Запишите все трехзначные числа, для записи которых употребляются только цифры 1 и 2.

Какая цифра может стоять в разряде сотен? (1 или 2)
Какая цифра может стоять в разряде десятков в каждом из полученных двух случаев? (1 или 2)
Какая цифра может стоять в разряде единиц в каждом из полученных четырех случаев? (1 или 2)
По ходу рассуждений выполняется схема на доске

Получили 8 чисел: 111, 112, 121, 122, 211, 212, 221, 222

№ 2

Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр  2, 4, 6, 8, если цифры в записи числа не повторяются?

Сколько цифр дано? (Четыре)
Какое условие поставлено? (Цифры не должны повторяться)
Какая цифра может стоять на первом месте? (Любая)
Если цифру поставили на первое место, может она занимать второе, третье место? (Нет)

Первой цифрой числа может быть любая из четырех данных цифр, второй – любая из трех других. А третьей – любая из двух оставшихся. Всего из данных цифр можно составить
4 . 3 . 2 = 24 трехзначных числа.

Ответ: 24 числа.

Вывод: для удобства перечисления всех возможных вариантов мы пользовались деревом вариантов. При большом количестве комбинаций дерево быстро ветвится и становится необозримым. Поэтому для подсчета количества комбинаций, если не требуется перечислить все комбинации, лучше пользоваться правилом умножения.

2 этап. Индивидуальная работа над задачами

Индивидуальная работа над задачами состоит из двух шагов:

Шаг 1 задачи № 3 и № 4. Задачи решаются самостоятельно с последующей самопроверкой по карточке с решением, выданным учителем. (Приложение 1)
Если учащиеся справились с решением задач № 3 и № 4, то им предлагаются  задачи № 5,  № 6, № 7
Если учащийся не справился с задачами № 3 и № 4, ему предлагаются аналогичные задачи № 3.1 и № 4.1.  Если учащийся справляется с задачами № 3.1 и № 4.1, он решет  № 5, № 6, № 7.
В случае, если учащиеся затрудняются в решении задач № 3.1, № 4.1, № 5, № 6, № 7 им выдаются карточки-«подсказки». (Приложение 2)

№ 3

Запишите все трехзначные числа, для записи которых используются цифры 5 и 7.

№ 4

Запишите все трехзначные числа, для записи которых используются цифры 0, 2, 5, если цифры в записи не повторяются.

№ 3.1

Запишите все трехзначные числа, для записи которых используются цифры 2 и 9

№ 4.1

Запишите все трехзначные числа,  в записи которых используются цифры 0, 3, 7. Если цифры в записи не повторяются.

№ 5

Сколько двухзначных  чисел можно составить из цифр 0, 2, 4, 6, если цифры в записи числа не повторяются? Запишите все эти числа.

№ 6

Сколько трехзначных чисел можно составить из нечетных цифр, если цифры в записи числа не повторяются? Запишите первые 12  чисел, если составленные числа расположены в порядке возрастания.

№ 7

Сколько существует трехзначных чисел, в записи которых нет цифры 3?

Ответы:

№ 3.1          222, 229, 292, 299, 922, 929, 992, 999
№ 4.1          307, 370, 703, 730
№ 5             3 . 3 = 9 чисел 20, 24, 26, 40, 42, 46, 60, 62, 64
№ 6             5 . 4 . 3 = 60 чисел 135, 137, 139, 153, 157, 159, 173, 175, 179, 193, 195, 197
№ 7             8 . 9 . 9 = 648 чисел

5. Итог урока

Чем удобно пользоваться при перечислении всех возможных комбинаций?
Почему при большом количестве комбинаций неудобно пользоваться деревом вариантов?
Какое правило вы знаете для подсчета количества комбинаций? Сформулируйте его.

6. Рефлексия. Что нового узнали на уроке? Что уже было знакомо ранее? Какие задачи вызвали наибольшее затруднение? Какая задача понравилась больше остальных?

7. Оценивание работы на уроке каждого учащегося в соответствии с количеством и номерами решенных задач и взятых подсказок.

8. Задание на дом

– Составить и решить две  комбинаторных задачи на составление многозначных чисел из предложенных цифр.

12.04.2011

xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai

Комбинаторные задачи

– Сок и кекс или молоко и булочка? – размышлял Саша, идя по улице.

Паша спросил у Саши: А, что ты такое бормочешь? Что это за сок и кекс или молоко и булочка?

– Паша, понимаешь, – сказал Саша, – мама сказала, что на полдник я могу выбирать сок, компот или молоко и кекс, булочку или яблочный пирог. Вот я иду и решаю, что же я хочу съесть. Вариантов выбора очень много.

– Да, Саша, ты прав, – согласился с другом Паша, – выбирать всегда трудно. А вот интересно, сколько всего вариантов может получиться? Может, их будет сто тысяч миллионов?

И Саша предложил Паше вместе с ним подсчитать все варианты возможного полдника.

– Я могу выбрать сок и булочку – это один вариант. Могу выбрать сок и кекс – это второй вариант. А могу компот и булочку – начал перечислять варианты Саша.

Ещё ты можешь выбрать молоко и булочку.

– Да, – сказал Саша, – так мы будем перебирать до вечера. Вот бы узнать, сколько всего вариантов полдника у меня получится.

Паша предложил пойти к их другу – роботу Электроше.

– Электроша, привет. У нас для тебя новый вопрос. Смотри, Саше на полдник предложили на выбор напиток: молоко, компот и сок, а к напитку, тоже на выбор, предложили кекс, булочку и яблочный пирог. Как нам подсчитать все возможные варианты? И можно ли это сделать?

– Да, мальчики, все варианты подсчитать можно, и сделать это просто, – ответил робот. Но давайте сделаем небольшую разминочку и немного порешаем устно.

– Вернёмся к вашей задаче, – продолжил Робот. На самом деле, таких задач, в которых нужно сделать выбор, очень много. Просыпаясь, мы выбираем что одеть, чем позавтракать. Собираясь куда-то ехать, мы выбираем маршруты и так далее.

Такие задачи называют комбинаторными.

Саша переспросил: Как? Ком-би-на-тор-ные? А почему их назвали именно так?

– Потому что в таких задачах необходимо подсчитать все возможные случаи или, по-другому, все возможные комбинации.

– А-а-а, – протянул Паша, – теперь понятно! А как же решать такие задачи?

– Сейчас всё расскажу, – ответил Электроша. Давайте составим таблицу.

В первой строке запишем: Кекс, булочка, яблочный пирог, а в первом столбце – сок, компот и молоко.

Теперь в пустые клеточки запишем сочетания. Для удобства все названия сократим до одной буквы. Но, чтобы различить компот и кекс, компот обозначим двумя буквами Ко. В этой клеточке пересекаются сок и кекс, поэтому запишем здесь СК. В эту клеточку нам что надо записать, Саша? – спросил робот у мальчика.

Мальчик начал размышлять: В этой клеточке пересекаются сок и булочка, значит, сюда надо вписать буквы С и Б.

– Молодец, Саша! – похвалил мальчика робот.

– Теперь ты, Паша, попробуй.

Паша подумал немного и сказал: В этой клеточке надо писать С и Я, потому что она стоит на пересечении сока и яблочного пирога.

– Молодцы, ребята! Вы всё верно поняли, – похвалил детей робот. – Теперь для вас не составит труда заполнить всю таблицу и подсчитать, сколько вариантов полдника получится.

Мальчики вместе заполнили таблицу и ответили на свой вопрос: Ого! – воскликнул Паша, – смотри, Саша, тебе надо выбирать из 9 вариантов.

– Да, – согласился Саша, – это не так уж и много.

Тут Электроша решил прервать мальчиков: Сейчас я вам покажу ещё один способ решения вашей задачи. С помощью дерева.

– Какого ещё дерева? – удивились ребята. Берёзы, липы или клёна?

– Нет, – успокоил Сашу и Пашу робот, – для решения комбинаторных задач очень удобно использовать специальное дерево возможных вариантов. Это схема, на которой все варианты чётко видны. Сейчас сами всё увидите.

Итак. Мы с вами выбираем варианты полдника, поэтому сверху напишем «Полдник».

У нас 3 варианта выбора напитка. От полдника опустим 3 линии и подпишем их соответственно: С (сок), Ко (компот) и М (молоко). Для каждого из напитков можно выбрать один из 3 десертов, значит, от каждой буквы опускаем по 3 линии и подписываем: К (кекс), Б (булочка) и Я (яблочный пирог). Теперь нам остаётся подсчитать, сколько «веточек» у нас получилось. Их будет 9. Значит, и вариантов полдника будет 9.

– Здорово! – восхитились мальчишки, – и мы хотим построить такие деревья. Электроша, можешь для нас придумать задачи?

И робот составил для мальчиков такое задание.

– В кружок бальных танцев записались 2 мальчика – Костя и Женя, и 3 девочки – Оля, Настя и Вика. Какие танцевальные пары девочки и мальчики могут организовать?

Паша предложил назвать дерево выбора: «Кружок бальных танцев». Но тут вмешался Электроша.

– Иногда, когда название для дерева выбора сложно подобрать или оно очень большое, сверху ставят просто звёздочку.

Теперь Саша решил внести свою лепту в решение задачи.

– В паре обязательно должен быть мальчик, мальчиков всего 2, значит, от названия надо опустить 2 линии и подписать: К (Костя) и Ж (Женя).

– Девочек у нас 3, – добавил Паша, – значит, от каждой буквы надо опустить по 3 линии и подписать О (Оля), Н (Настя) и В (Вика).

Теперь подсчитаем, сколько «веточек» у нас получилось, и увидим, что из двух мальчиков и трёх девочек можно составить 6 пар. Правильно?

– Да, – сказал Электроша, – вы справились.

Тут Паша спросил: Вот интересно, а если бы мы в дереве начинали не с мальчиков, а с девочек, у нас получился бы такой же ответ?

– Попробуйте, – предложил робот ребятам. – Решите эту задачу ещё раз.

– Итак, – начал Паша. Девочка должна быть в паре обязательно, значит, от названия опускаем 3 линии и ставим буквы О, Н, и В. Теперь от каждой буквы опускаем по 2 линии, потому что мальчиков у нас всего 2, и ставим буквы К и Ж. И опять получаем 6 пар. То есть совсем нет разницы, с чего начинать?

– Конечно, нет, – сказал робот, – дело в том, что с помощью дерева выбора мы перебираем все возможные варианты. Поэтому и нет разницы, с чего начинать.

Выполним ещё одно задание. Сколько трёхзначных чисел можно составить из цифр 0, 3 и 7?

Саша начал решать: Сверху поставим звёздочку, а то называть дерево выбора «Трёхзначное число» – это очень долго. У нас 3 числа, значит, опустим 3 линии и напишем 0, 3, 7.

– Подожди, Саша, – перебил друга Паша. – А разве трёхзначное число может начинаться с нуля? Это же тогда получится двухзначное число. Или нет? Рассуди нас, Электроша.

– Да, ты прав, Паша, – сказал робот. – Действительно, условие о том, что нам надо составить трёхзначное число, уже сразу показывает, что 0 первым стоять не может.

Чтобы вам было удобнее, давайте подпишем, какую цифру числа мы выбираем.

– Я всё понял, – сказал Саша. – От звёздочки мы должны опустить 2 линии и подписать их 3 и 7. Это будут варианты для первой цифры трёхзначного числа.

А вот теперь от каждого числа уже можно опустить 3 линии и написать 3 числа: 0, 3 и 7. Ведь эти «веточки» определяют вторую цифру трёхзначного числа, а она может быть любой, даже нулём. Третью цифру тоже можно выбрать из трёх цифр.

Теперь давайте подсчитаем общее количество чисел, которое получилось.

Оказалось, что из цифр 0, 3 и 7 можно составить 18 трёхзначных чисел.

– Вы так хорошо справляетесь с моими задачами, что я хочу показать вам, как ещё можно решать комбинаторные задачи, – сказал мальчикам Электроша.

– При встрече 4 друга обмениваются рукопожатиями. Сколько всего рукопожатий получилось? Сначала давайте попробуем решить эту задачу с помощью дерева выбора.

– Назовём это дерево «Рукопожатия». У нас 4 мальчика, значит, опускаем 4 линии. Для удобства мальчиков будем обозначать числами от 1 до 4.

Каждый должен поздороваться с каждым. То есть от каждой цифры надо опустить по 3 палочки и поставить числа.

Теперь давайте выпишем все получившиеся варианты. Посмотрите, у нас есть варианты 1 2 и 2 1. То есть первый мальчик пожимает руку второму и второй пожимает первому. Но это одно и то же рукопожатие, поэтому вычеркнем все лишние получившиеся варианты и получим, что всего будет сделано 6 рукопожатий.

Но эту задачу можно было решить проще.

– Как проще? – спросил Саша.

– Да, Саша, есть ещё один способ решения именно таких комбинаторных задач. Отметим 4 точки. Это будут друзья, про которых говорится в условии.

Рукопожатия обозначают, что каждые 2 точки должны быть соединены. Проведём отрезки через каждые 2 точки. Нам остаётся только подсчитать, сколько отрезков получится. Их 6, то есть всего было сделано 6 рукопожатий.

Ответ получился тот же, но решали мы задачу намного быстрее.

videouroki.net

Решение комбинаторных задач в 5 классе

Технологическая карта урока математики по теме «Решение комбинаторных задач» 5 класс

Алешихина Ирина Алексеевна, учитель математики МОУ «сош №9»,г. Сыктывкар

Разделы: Преподавание математики

________________________________________

Класс: 5.

Авторы УМК:

Тема урока: решение комбинаторных задач

Тип урока: урок открытия нового знания.

Цель урока: Организовать деятельность учащихся по планированию совместно с учителем изучения новой темы. Обеспечить применение учащимися новых знаний и способов действий в разнообразных ситуациях.

Задачи урока:

Личностные: анализировать свои действия и действия одноклассников, сотрудничать со сверстниками и учителем, осознание собственных мотивов учебной деятельности и личностного смысла учения; стремиться открывать новое знание, новые способы действия

Предметные: научиться применять новые знания к решению задач базового уровня, учиться видеть возможность применения этих знаний.

Метапредметные: умение грамотно и логично излагать свои мысли; осмысление поставленной учебной задачи; решение задачи; умение применять правила работы в парах; контроль своих действий при решении познавательной задачи.

Ресурсы урока: мультимедийный проектор, экран, презентация «решение комбинаторных задач»,  смайлики для рефлексии, карточки для работы в парах.

Ход урока представлен в Таблице.

Приложения к уроку: Презентация.

Используемая литература:

1.Учебник «Математика 5», авторы:  Виленкин Н.Я, Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И.

2. «Элементы статистики и теории вероятности»,авторы Макарычев Ю.Н.,Миндюк Н.Г.

Формы работы на уроке: фронтальная, индивидуальная, работа в парах.

Применяемые технологии: проблемное обучение; дифференцированное обучение; традиционное обучение;

Используемые методы обучения: устный фронтальный опрос; создание проблемной ситуации;  практикум; письменный опрос.

План урока:

  1. Организационный момент
  2. Проверка домашнего задания
  3. Постановка учебных задач
  4. Совместное исследование проблемы
  5. Конструирование нового способа действия
  6. Переход к этапу решения частных задач
  7. Рефлексия

Перед уроком группе учащихся дается задание инсценировать басню Крылова  «Квартет».

Проказница-Мартышка,  Осел, Козел,

       Да косолапый Мишка

       Затеяли сыграть Квартет.

Достали нот, баса, альта, две скрипки

   И сели на лужок под липки, -

   Пленять своим искусством свет.

Ударили в смычки, дерут, а толку нет.

"Стой, братцы, стой! — кричит Мартышка. -  Погодите!

Как музыке идти? Ведь вы не так сидите.

Ты с басом, Мишенька, садись против альта,

        Я, прима, сяду против вторы;

    Тогда пойдет уж музыка не та:

        У нас запляшут лес и горы!"

        Расселись, начали Квартет;

        Он все-таки на лад нейдет.

        "Постойте ж, я сыскал секрет? -

    Кричит Осел, — мы, верно, уж поладим,

        Коль рядом сядем".

Послушались Осла: уселись чинно в ряд;

   А все-таки Квартет нейдет на лад.

Вот пуще прежнего пошли у них разборы

            И споры,  кому и как сидеть.

Случилось Соловью на шум их прилететь.

Тут с просьбой все к нему, чтоб их решить сомненье.

"Пожалуй, — говорят, — возьми на час терпенье,

Чтобы Квартет в порядок наш привесть:

И ноты есть у нас, и инструменты есть,

       Скажи лишь, как нам сесть!" -

"Чтоб музыкантом быть, так надобно уменье

       И уши ваших понежней, -

       Им отвечает Соловей, -

       А вы, друзья, как ни садитесь;

       Всё в музыканты не годитесь".

Всем учащимся задается д/з:

1.   Если использовать для символики флага 3 горизонтальные полосы и цвета синий, красный и белый, то сколько флагов может получиться?

2.   Сколько  четырехзначных чисел можно составить из цифр 2,0,1,5, если цифры не повторяются?

Ход урока:

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

УУД

1. Учитель проверяет готовность класса к уроку. Отмечает отсутствующих.

Выполняют рекомендации учителя

Р

2. Опрос желающих учащихся по результатам д/з, один из них комментирует ход решения, оформляет задачу 2 на доске.

Слайд1,2

Работа в парах по проверке домашнего задания.

Р;

П

3. Как вы справились с заданием? С помощью чего вы решили задачи?

С какими типами задач вы уже знакомы?

Эти задачи вы уже встречали? Как вы думаете, как их можно назвать?

В тетрадях запишем тему урока:

«Решение комбинаторных задач»

Слайд 3

Отвечают на вопросы учителя:

Решение задач происходит с помощью перебора.

Л

Р

К

4. Организует погружение в проблему: попробуйте решить задачу способом, подобным тому, что вы применили в решении дз.

Слайд 4

Рациональным способом решения подобных задач является правило умножения. Объясняет правило умножения.

Решение задач слайда 5,6

Решение задач слайда 7,8

Пытаются решить задачу известным способом, понимают, что нужен более рациональный способ решения.

Решают задачу новым способом.

Решают задачу, 1 ученик оформляет решение у доски.

Решают задачи в парах, проверяют ответы.

П

К

Р

5. Оказывается в жизни множество ситуаций, где применяются комбинаторные задачи.

Слайд 9

Учащиеся инсценируют басню Крылова «Квартет». Отвечают на поставленный вопрос.

П

Р

Вводит понятие «Факториал», приводит примеры решения заданий.

Слайды 10,11,12,13

Учащиеся записывают, проговаривают.

П

К
Р

Задача с шахматами (слайд 14). Задает наводящие вопросы, показывает способ решения с помощью графов.

Записывают решение.

П

К

Р

6.Закрепление материала.

Задачи слайда 15,16,17

Решают в парах, выбирают для каждой задачи один из алгоритмов решения, проверяют.

Л

П

К

7.Рефлексия.

Что нового мы узнали на уроке? С какими понятиями познакомились? Пригодится ли это в повседневной жизни? Было интересно?

Слайд 18

Вспоминают, отвечают на вопросы.

Р

Объясняет домашнее задание.

Слайд 19

Записывают домашнее задание

Р

С помощью смайликов  оцените свою работу на уроке.

Красный- замечательно

Желтый- хорошо

Синий- удовлетворительно.

Слайд 20

Оценивают свою деятельность на уроке

Л

Применяемые обозначения: УУД – универсальные учебные действия;

Л-личностные

Р- регулятивные

К- коммутативные

П- познавательные

 

Просмотр содержимого документа
«решение комбинаторных задач в 5 классе »

Флаг России Белый, синий и красный цвета с древних времен на Руси означали: белый цвет - благородство и откровенность; синий цвет - верность, честность, безупречность и целомудрие; красный цвет - мужество, смелость, великодушие и любовь.

Решение комбинаторных задач

Учитель математики МОУ «сош№9» Алешихина И.А.

Сколько существует шестизначных телефонных номеров, начинающихся с цифр 23?

1млн

20000

23000

500

1000

200

10000

Вы забыли код на входной двери. Сколько времени вы потратите на разгадывание кода?

Если код четырехзначный

Если цифры набираются последовательно

10*10*10*10=10000 вариантов, если на каждый вариант потратить 1 минуту, то 10000 минут займет примерно 167 часов

Вы забыли код на входной двери. Сколько времени вы потратите на разгадывание кода?

Если код четырехзначный

Если цифры набираются одновременно

10*9*8*7*=5040 вариантов, если тратить на каждый 1 минуту, то вы затратите 84 часа.

Сколько существует четных трехзначных чисел? Сколько существует нечетных трехзначных чисел?

10*10*5=500

Сколько существует трехзначных чисел, которые делятся на 5?

10*10*2=200

Сколько существует способов рассадить зверей ?

5*4*3*2*1=120 вариантов

ЧТОБЫ ВЫЧИСЛИТЬ 9!=1*2*3*4*5*6*7*8*9

10 человек обедают в ресторане. Официант предложил им каждый день приходить обедать и рассаживаться по новому. Когда же все перестановки закончатся, он обещал подавать обеды за счет заведения. Предложение понравилось. Когда настанет этот долгожданный день?

В классе 25 человек. Сколькими способами можно рассадить их по партам?

25!=25*24*23*22*21*20*19*18*17*16*15*14*13*12*11*10*9*8*7*6*5*4*3*2*1=

15 551 210 043 330 985 984 000 000

способов

Машенька решила провести шашечный турнир с тремя друзьями. Сколько партий состоится?

На завтрак медведь может выпить морс, чай или молоко и съесть плюшку, бутерброд, пряник или кекс. Сколько вариантов завтрака у медведя?

3*4=12 вариантов

Маша хочет обменяться фотографиями с 4 подружками. Сколько фотографий будет всего?

10*2=20 фотографий

В семье три человека, на кухне три стула. Сколько дней члены семьи могут рассаживаться на стульях без повторений?

3!=3*2*1=6 дней

Давай-ка, повторим

Домашнее задание:

Придумать такие задачи, для решения которых понадобятся знания нашего урока.

замечательно

хорошо

удовлетворительно

Веселые стишки

2 15 42

42 15

37 08 5

20 20 20!

7 14 106

2 06 13

37 08 5

20 20 20!

kopilkaurokov.ru

Сценарий урока по математике в 5 классе по теме Комбинаторные задачи

Сценарий урока по математике в 5 классе

по теме «Комбинаторные задачи»

Цели урока:

  1. Показать учащимся на примерах практическое применение комбинаторики в повседневной жизни;

  2. Рассмотреть методы решения простейших комбинаторных задач (метод перебора, дерево возможных вариантов)

  3. Научить применять и решать простейшие комбинаторные задачи практического содержания.

Задачи урока:

Образовательные (формирование познавательных УУД):

- сформировать у учащихся основы элементарных знаний по комбинаторике;

- определить содержание знаний и умений учащихся по данной теме;

- использование знаково-символических средств, общих схем решения;

- выполнение логических операций сравнения, анализа, обобщения, классификации;

- выделять и формулировать познавательные цели, осознанно и произвольно строить

свои высказывания.

Развивающие (формирование регулятивных УУД):

- планировать свою деятельность в зависимости от конкретных условий;

- выбирать способы решения задач в зависимости от конкретных условий;

- развитие приемов умственной деятельности, внимания, памяти, творческой

активности;

- развивать логическое мышление, интерес к изучению математики;

- умение обрабатывать информацию и ранжировать ее по указанным основаниям;

- контроль и оценка процесса и результатов действия.

Воспитательные (формирование коммуникативных и личностных УУД):

- умение слушать и вступать в диалог;

- участвовать в коллективном обсуждении проблем;

- воспитывать ответственность и аккуратность;

- выработка уверенности в собственных силах;

- формирование умения проверять результаты деятельности;

- развивать умение дискуссионной и групповой работы.

Тип урока: урок открытия нового знания

Форма работы учащихся: фронтальная, групповая, парная, индивидуальная.

Необходимое оборудование: компьютер, доска, учебник, проектор, наглядные материалы, презентация к уроку.

Урок №№155-156

Время: 80 мин

Ход урока.

Урок №1

I. Организационный момент (прием «Необъявленная тема») (2 мин)

Создание внешней мотивации изучения темы урока. Данный прием позволяет привлечь интерес учащихся к изучению новой темы, не блокируя восприятия непонятными терминами. Полная готовность класса и оборудования, быстрое включение учащихся в деловой ритм.

Учитель:

Прозвенел сейчас звонок.

Начинаем мы урок.

Посмотрите, всё ли в порядке:

Книжка, ручка и тетрадка.

Все ли правильно сидят?
Все ли внимательно глядят?
Каждый хочет получать
только лишь оценку "5”?

Учитель. Здравствуйте, ребята! Я рада вас видеть в хорошем настроении. Откройте тетради, запишите число, классная работа, тему урока (я записываю на доске слово «Тема», выдерживаю паузу до тех пор, пока все не обратят внимания на мою руку, которая не хочет выводить саму тему).

Ребята, извините, но моя рука отказалась написать тему урока, и, кажется, неслучайно! Вот вам еще одна загадка, которую вы разгадаете уже в середине урока: почему рука отказалась записать тему урока? (данный вопрос записываю в уголке классной доски). Тему урока мы запишем позже.

Но начинать урок нам все равно надо, и начнем с хорошо знакомого материала.

II. Мотивирование (самоопределение) к учебной деятельности (7 мин)

Учитель: Что нового вы узнали на предыдущих уроках?

Дети: Событие может быть достоверным, невозможным или случайным.

На слайде читаем определение этих событий.

слайд 1

Учитель: Ребята! Давайте вспомним, как решаются такие задачи.

На экране появляется слайд с условием задач. Начинаем обсуждение заданий. Учащиеся дают ответы, объясняют свою точку зрения, ссылаясь на определения этих событий. Учимся ясно, точно, грамотно излагать свои мысли в устной речи.

(Слайд 2)

Учитель: Все молодцы, с заданием справились. Приведите свои примеры событий? Приходилось ли вам сталкиваться с этими понятиями в жизни? (ответы детей)

Дети: После воскресенья всегда будет понедельник, вода замерзла при температуре +25 градусов.

III. Подготовка учащихся к объяснению нового знания, выполнение ими пробного учебного действия и фиксация индивидуального затруднения. Погружение в проблему (12 мин)

На данном этапе организуется подготовка и мотивация учащихся к надлежащему самостоятельному выполнению пробного учебного действия, его осуществление и фиксация индивидуального затруднения.

Учитель: Мы сейчас будем решать интересные задачи. Я класс разделю на 4 группы. Каждой группе дам задание и набор раздаточного материала. Время вам на обсуждение в группе 4 минуты, а на представление решения задачи отводится 2 минуты.

Все расселись по группам и приступили к работе. В это время учитель выступает в роли консультанта.

Задания:

Группа 1. Решить задачу, разыграв сценку.

Группа 2. Решить задачу, составив таблицу.

Группа 3. Решить задачу, изготовив вымпела.

Группа 4. Решить задачу, расставив фигуры.

Во время обсуждения учитель является консультантом.

Учитель: Время прошло. Слово предоставляется поочередно каждой группе. Остальные внимательно слушают.

Данный этап предполагает актуализацию изученных способов действий, достаточных для построения нового знания, их обобщение и знаковую фиксацию, актуализацию соответствующих мыслительных операций и познавательных процессов, мотивацию к пробному учебному действию (надо - могу-хочу), осуществление этих действий в группе. Ученики фиксируют все свои затруднения в выполнении или обоснования пробного учебного действия.

(Приложение 1) (Слайды 3,5,7,9)


Молодцы! А теперь немного отдохнем.

IV. Физкультминутка. (2 мин)

Учитель: Давайте здороваться, т.е. все встанем и пожмем друг другу руки (все дети встали и начали подходить к друг другу здороваться). Теперь сядьте все на свои места и подумайте, как ответить на такой вопрос: «В классе нас сколько? (22 человека) «Сколько было всего рукопожатий?» Дети начинают рассуждать, но быстро запутываются.

У детей возникла проблема. На данном этапе учитель организует выявление учащимися места и причины затруднения (большое число).

Учитель: Давайте немного упростим задачу и посчитаем рукопожатия между группами, в которых вы работали. Сколько групп? (3 мин)

Итак, какие будут ответы? Учащиеся начинают рассуждать, обсуждать, показывать решение задачи. Обсуждается, как оформить запись в тетрадь. Ответ записывают на доске. (6) Ребята, скажите, проблема решена?

Дети: Мы не знаем, как решать, если числа большие. Вот этим и займемся, когда выясним что это за задачи.

V. Построение проекта выхода из затруднения (цель и тема, способ, план, средство).

(6 мин)

На данном этапе учащиеся в коммуникативной форме обдумывают будущие свои действия (формулируют тему, цель, задачи, строят план достижения цели) и определяют средства (алгоритмы, модели, учебник). Этим процессом руководит учитель (подводящий диалог, побуждающий диалог).

Учитель: Ребята! Какие действия вы делали при решении задач?

Дети: перебирали варианты, составляли комбинации, комбинировали, делали перебор.

Учитель: Как можно назвать такие задачи из ваших предложений? Дети начинают составлять названия.

Дети: комбинаторные

Учитель: А как, тогда будет называться раздел математики, где живут такие задачи?

Дети: комбинаторика.

слайд 11

слайд 12

Учитель: Молодцы! Все правильно. Запомните! Особая примета комбинаторных задач – это вопрос, который можно сформулировать таким образом, что он начинался бы словами: Сколькими способами…?, сколько вариантов…?

Теперь мы можем записать тему урока?

Дети: да.

Учитель: как называется тема урока?

Дети: решение комбинаторных задач.

Учитель: Можете теперь сказать: почему рука отказалась записать тему урока?

Дети: слово комбинаторика было бы нам непонятно.

Учитель:

Откройте тетради и запишите теперь тему урока. Запишите понятия «комбинаторика», «комбинаторные задачи».

Как говорят «Без знания прошлого нет настоящего, нет будущего».

Посмотрите презентацию, которую подготовил ваш одноклассник

Презентация «Истоки комбинаторики» (5 мин)

VI. Рефлексия 1 урока. (3мин) прием «Телеграмма»

Учитель: Кратко напишите пожелание себе с точки зрения изученного на уроке, оцените себя и отправьте мне.

Всем спасибо! Сейчас вы идете на перемену, а на втором уроке продолжим узнавать много интересного о комбинаторике и ее задачах.

Урок №2

VII. Построение проекта выхода из затруднения (продолжение) (2 мин)

Учитель:

Будь внимательней, дружок.
Нам урок пора начать.

Пришло время вычислять.

И на трудные вопросы

Вы ответ сумейте дать.

Каждый из вас сегодня постарается ответить на… проблемный вопрос

(Слайд 13)

Из этой проблемы вытекает цель урока.

infourok.ru

"Методы решения комбинаторных задач". 5-й класс

Ход урока
Действия учителя
Действия ученика
1 Организационный момент

Учитель приветствует учащихся

Приветствуют учителя
2 Актуализация знаний  
  Устная работа (слайд 1 и 2). Презентация.

В ходе устной работы учащиеся вспоминают правила рационального счета, замечают закономерности и решают две несложные комбинаторные задачи.

Переход к следующему слайду – гиперссылка в нижнем правом углу.

Работают устно
  Учитель (слайд 3):

В последних двух задачах нам пришлось перебрать все возможные варианты, как обычно говорят в этих случаях – все возможные КОМБИНАЦИИ.

Такие задачи называют комбинаторными, а раздел математики, в котором  рассматриваются данные задачи, называется – комбинаторикой.

Переход к следующему слайду – гиперссылка.

Слушают учителя
  Учитель предлагает решить задачу: (слайд 4)

Мистер Холмс обращается к миссис Хадсон: “Уважаемая миссис Хадсон к нам придут гости. В качестве вторых блюд приготовьте мясо, котлеты и рыбу. На сладкое – мороженое, фрукты и пирог. Гость выбирает одно второе блюдо и одно блюдо на десерт. Подсчитайте, сколько будет гостей, и поставьте необходимое количество стульев. Очень вас прошу, чтобы количество стульев соответствовало количеству приглашенных”. Помогите миссис Хадсон.

Учитель:

Эта задача сложнее, чем задачи, предложенные в начале урока и для того, чтобы помочь Миссис Хадсон, чему мы должны научиться?

Читают задачу (Приложение3), выдвигают гипотезы.
  Учитель:

То есть изучить способы решения таких задач.

Как вы думаете, о чем пойдет речь на сегодняшнем уроке?

Предполагаемый ответ: о способах решения комбинаторных задач.
3 Изучение методов решения комбинаторных задач  
  Уточняет тему урока: “Методы решения комбинаторных задач” (слайд 5)

Переход к следующему слайду – гиперссылка.

Открывают тетради, записывают число и тему урока.
  Историческая справка из истории развития комбинаторики (слайд 6)

Переход к следующему слайду – гиперссылка.

Слушают учителя)
  Слайд 7

Методы решения комбинаторных задач.

Учитель

Предлагает учащимся использовать Приложение 2

Решаем первую задачу:

Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 3, 5 используя в записи числа каждую из них не больше одного раза?

Слайд содержит три гиперссылки. 1-я гиперссылка – (переход к слайду 8) метод “Дерево возможных вариантов”.

Разбирает с учащимися решение задачи и переходим к слайду11.

 

Работают с Приложением 2

1 метод – Дерево возможных вариантов.

Заполняют с учителем схему

  Учитель

Предлагает учащимся самостоятельно решить задачу Приложение2(№2):

Постройте все слова, которые можно получить из слова ТОК перестановками его букв.

Сколько из них имеет смысл? (слово ТОК не считаем).

Проверяет решение задачи.

Возвращаемся к слайду 7.

Переход к слайду – гиперссылка.

Работают с Приложением 2

Задача 2

Заполняют схему.

Отвечают на вопрос задачи.

  Слайд 7

Учитель

Предлагает решить первую задачу вторым способом – “Перебор возможных вариантов”.

2-я гиперссылка – (переход к слайду 9) метод “Перебор возможных вариантов”.

Разбирает с учащимися решение задачи и переходим к слайду10.

Переход к следующему слайду – гиперссылка.

Работают с Приложением 2

2 метод

Заполняют с учителем таблицу

  Слайд 10.

Учитель предлагает учащимся из полос, лежащих на парте, составить макет Российского Флага.

Затем по щелчку на слайде появляется Российский Флаг.

Учитель: Что означает каждый цвет нашего флага?

Историческая справка о Российском Флаге (Приложение 5).

Учитель: В каких странах флаг состоит из такого же набора цветных полос?

Предлагает решить задачу с флагами:

Сколько флагов можно составить с помощью полос данных цветов (красный, синий, белый), если полосы располагать горизонтально?

Эту задачу учащиеся решают самостоятельно, можно обозначить цвета флага – белый(Б), синий(С), красный(К).

Учитель: Какой будет ответ в задаче, если не указать, как располагать полосы?

Возвращаемся к слайду 7.

Переход к слайду – гиперссылка.

Составляют макет флага.

Отвечают на вопрос.

Отвечают на вопрос.

 

 

 

Работают с Приложением 2

Задача 3

Заполняют таблицу.

Отвечают на вопрос задачи.

Отвечают на дополнительный вопрос.

  Слайд 7.

3-я гиперссылка – переход к слайду -13 физкультминутка.

С помощью гиперссылки переходим к слайду 12.

Следует ли брать задачу на 12 слайде, решает учитель, ориентируясь на время. Если нет, то сразу переходим на 14 слайд щелчком мыши.

Отдыхают
4 Физкультминутка для глаз слайд 13

Переход к следующему слайду – гиперссылка.

 
5 Слайд 12.

Задача-сказка.

В некотором царстве в некотором государстве жил-был Иван-царевич и была у него невеста Елена-прекрасная. Похитил его невесту Кощей бессмертный. Отправился Иван-царевич выручать Елена-прекрасную. Сначала его путь лежал через болото, где жила Кикимора-болотная. Туда вели две дороги. Кикимора указала дорогу к Бабе-яге, которая поможет Ивану-царевичу победить Кощея бессмертного, к ней ведут три дороги. Сколькими способами Иван-царевич может добраться до Бабы-яги?

Переход к следующему слайду – гиперссылка.

Решают задачу устно.

Отвечают на вопрос задачи.

  Слайд 14.

Учитель

Мы с вами изучили методы решения комбинаторных задач. Сможете вы теперь помочь Миссис Хадсон?

Предлагает учащимся воспользоваться Приложение 3. №1.

Для осуществления дифференцированного подхода в приложении есть дополнительные задачи - №2, №3, №4.

Проверяется решение задачи.

Гиперссылка. Переход к слайду 17.

Проверяет ответы дополнительных задач.

№2 – слайд 18.

Переход к следующему слайду – гиперссылка.

Отвечают на вопрос.

Предполагаемый ответ: Да сможем.

Выбирают один из способов и решают самостоятельно задачу.

Кто успевает решают дополнительные задачи.

  Рефлексия содержания учебного материала.

На слайде 15 появляется первый вопрос автоматически следующие два по щелчку.

Учитель предлагает учащимся ответить на вопросы.

Отвечают на вопросы
  Самостоятельная работа (два варианта). Приложение 4. Выполняют самостоятельную работу.
7 Слайд 15 – рефлексия учебной деятельности на уроке.

По щелчку на слайде появляются рисунки.

Учитель учащимся перед уроком выдает листочки, а на магнитную доску вывешивается рисунок – дерево.

Красный цвет – наливные яблочки; зеленый цвет – листочки; желтый цвет – осенние листья.

Красный цвет – доволен собой, уроком.

Зеленый цвет – остались непонятные вопросы.

Желтый цвет – ничего не понял.

Анализируют свою работу на уроке.

Проходят к доске и наклеивают листочки на рисунок.

После этого учащиеся и учитель видят результат урока.

8 Подводит итоги урока, выставляет оценки.

Благодарит учащихся за урок. Домашнее задание.

Записывают д/з.

xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *