Корни квадратные уравнения – Корни квадратного уравнения

Корни квадратного уравнения

Основные формулы

Рассмотрим квадратное уравнение:
(1)   .
Корни квадратного уравнения (1) определяются по формулам:
;   .
Эти формулы можно объединить так:
.
Когда корни квадратного уравнения известны, то многочлен второй степени можно представить в виде произведения сомножителей (разложить на множители):
.

Далее считаем, что – действительные числа.
Рассмотрим дискриминант квадратного уравнения:
.
Если дискриминант положителен, , то квадратное уравнение (1) имеет два различных действительных корня:
;   .
Тогда разложение квадратного трехчлена на множители имеет вид:
.
Если дискриминант равен нулю, , то квадратное уравнение (1) имеет два кратных (равных) действительных корня:
.
Разложение на множители:
.
Если дискриминант отрицателен, , то квадратное уравнение (1) имеет два комплексно сопряженных корня:
;
.
Здесь – мнимая единица, ;
и – действительная и мнимая части корней:
;   .
Тогда

.

Графическая интерпретация

Если построить график функции
,
который является параболой, то точки пересечения графика с осью будут корнями уравнения
.
При , график пересекает ось абсцисс (ось ) в двух точках.
При , график касается оси абсцисс в одной точке.
При , график не пересекает ось абсцисс.

Ниже приводятся примеры таких графиков.

Полезные формулы, связанные с квадратным уравнением

(f.1)   ;
(f.2)   ;
(f.3)   .

Вывод формулы для корней квадратного уравнения

Выполняем преобразования и применяем формулы (f.1) и (f.3):




,
где
;   .

Итак, мы получили формулу для многочлена второй степени в виде:
.
Отсюда видно, что уравнение

выполняется при
и .
То есть и являются корнями квадратного уравнения
.

Примеры определения корней квадратного уравнения

Пример 1

Найти корни квадратного уравнения:
(1.1)   .

Решение

Запишем квадратное уравнение в общем виде:
.
Сравнивая с нашим уравнением (1.1), находим значения коэффициентов:
.
Находим дискриминант:
.
Поскольку дискриминант положителен, , то уравнение имеет два действительных корня:
;
;
.

Отсюда получаем разложение квадратного трехчлена на множители:

.

График функции   y = 2x ² + 7x + 3   пересекает ось абсцисс в двух точках.

Построим график функции
.
График этой функции является параболой. Она пересевает ось абсцисс (ось ) в двух точках:
  и   .
Эти точки являются корнями исходного уравнения (1.1).

Ответ

;
;
.

Пример 2

Найти корни квадратного уравнения:
(2.1)   .

Решение

Запишем квадратное уравнение в общем виде:
.
Сравнивая с исходным уравнением (2.1), находим значения коэффициентов:
.
Находим дискриминант:
.
Поскольку дискриминант равен нулю, , то уравнение имеет два кратных (равных) корня:
;
.

Тогда разложение трехчлена на множители имеет вид:
.

График функции   y = x ² – 4x + 4   касается оси абсцисс в одной точке.

Построим график функции
.
График этой функции является параболой. Она касается оси абсцисс (ось ) в одной точке:
.
Эта точка является корнем исходного уравнения (2.1). Поскольку этот корень входит в разложение на множители два раза:
,
то такой корень принято называть кратным. То есть считают, что имеется два равных корня:
.

Ответ

;
.

Пример 3

Найти корни квадратного уравнения:
(3.1)   .

Решение

Запишем квадратное уравнение в общем виде:
(1)   .
Перепишем исходное уравнение (3.1):
.
Сравнивая с (1), находим значения коэффициентов:
.
Находим дискриминант:
.
Дискриминант отрицателен, . Поэтому действительных корней нет.

Можно найти комплексные корни:
;
;
.

Тогда


.

График функции не пересекает ось абсцисс. Действительных корней нет.

Построим график функции
.
График этой функции является параболой. Она не пересекает ось абсцисс (ось ). Поэтому действительных корней нет.

Ответ

Действительных корней нет. Корни комплексные:
;
;
.

Автор: Олег Одинцов.     Опубликовано: 19-04-2016

1cov-edu.ru

Корень квадратного уравнения — это… Что такое Корень квадратного уравнения?



Корень квадратного уравнения

Квадратное уравнение — уравнение вида ax² + bx + c = 0, где

Уравнение с вещественными коэффициентами

Квадратное уравнение с вещественными коэффициентами может иметь от 0 до 2 вещественных корней в зависимости от значения дискриминанта D = b² − 4ac:

• при D > 0 корней два, и они вычисляются по формуле

         (1)

• при D = 0 корень один (в некоторых контекстах говорят также о двух равных или совпадающих корнях), кратности 2:

• при D < 0 вещественных корней нет. Существуют два комплексных корня, выражающиеся той же формулой (1), либо (без использования извлечения корня из отрицательного числа) формулой

Другие записи решений

Вместо формулы (1) для нахождения корней можно использовать эквивалентное выражение

где k = b / 2. Это выражение является более удобным для практических вычислений при чётном b, то есть для уравнений вида ax² + 2kx + c = 0.

Приведённое квадратное уравнение

Квадратное уравнение вида x² + px + q = 0, в котором старший коэффициент a равен единице, называют приведённым. В этом случае формула для корней (1) упрощается до

Мнемонические правила

• Из «Радионяни»:

  «Минус» напишем сначала,
  Рядом с ним p пополам,
  «Плюс-минус» знак радикала,
  С детства знакомого нам.

  Ну, а под корнем, приятель,
  сводится всё к пустяку:
  p пополам и в квадрате
  Минус несчастное прекрасное q.

• Из «Радионяни» (другой вариант):

  p, со знаком взяв обратным,
  на два мы его разделим,
  и от корня аккуратно
  знаком «минус-плюс» отделим.

  А под корнем очень кстати
  половина p в квадрате
  минус q — и вот решенья,
  то есть корни уравненья.

Уравнение с комплексными коэффициентами

В комплексном случае квадратное уравнение решается по той же формуле (1) и указанным выше ее вариантам, но различимыми является только два случая: нулевого дискриминанта (один корень) и ненулевого (два корня).

Сумма корней приведённого квадратного уравнения x² + px + q = 0 равна коэффициенту p, взятому с обратным знаком, а произведение корней равно свободному члену q:

В общем случае (для неприведённого квадратного уравнения ax² + bx + c = 0):

Разложение квадратного уравнения на множители

Если известны оба корня квадратного уравнения, его можно разложить по формуле

В случае нулевого дискриминанта это соотношение становится одним из вариантов формулы квадрата суммы или разности.

См. также

Ссылки

• Решение квадратных уравнений онлайн [1],[2],[3]

Wikimedia Foundation. 2010.

• Корень женьшеня
• Корень квадратный

Смотреть что такое «Корень квадратного уравнения» в других словарях:

• Корень квадратный — Квадратный корень из (корень 2 й степени)  это решение уравнения вида . Несмотря на то, что в первую очередь под и подразумеваются числа, в различных рассмотрениях они могут быть математическими объектами различной природы, в том числе такими как …   Википедия

• Корень (в математике) — Корень в математике, 1) К. степени n из числа а ≈ число х (обозначаемое ), n я степень которого равна а (то есть xn = а). Действие нахождения К. называют извлечением корня. При а ¹ 0 существует n различных значений К. (вообще говоря,… …   Большая советская энциклопедия

• Квадратный корень — У этого термина существуют и другие значения, см. Корень (значения). Квадратный корень из (корень 2 й степени)  это решение уравнения вида . Наиболее часто под и подразумеваются числа, но в некоторых приложениях они могут быть и другими… …   Википедия

• Разложение Квадратного трехчлена — Квадратное уравнение  уравнение вида ax2 + bx + c = 0, где Содержание 1 Уравнение с вещественными коэффициентами …   Википедия

• Разложение квадратного трехчлена — Квадратное уравнение  уравнение вида ax2 + bx + c = 0, где Содержание 1 Уравнение с вещественными коэффициентами …   Википедия

• Квадратные уравнения — Квадратное уравнение  уравнение вида ax2 + bx + c = 0, где Содержание 1 Уравнение с вещественными коэффициентами …   Википедия

• Кубический корень — График функции y = Кубический (кубичный) корень из a  решение уравнения (обычно п …   Википедия

• Sqrt — Квадратный корень из (корень 2 й степени)  это решение уравнения вида . Несмотря на то, что в первую очередь под и подразумеваются числа, в различных рассмотрениях они могут быть математическими объектами различной природы, в том числе такими как …   Википедия

• Метод Мюллера — итерационный численный метод для вычисления корня заданной функции f(x) = 0. Был представлен Давидом Мюллером в 1956 году. Метод Мюллера основан на методе секущих, который строит на каждом шаге итерации прямые, проходящие через две точки на… …   Википедия

• ИСТИННЫЙ КОЭФФИЦИЕНТ — еcтественного прироста нас., собственный коэффициент естественного прироста, коэффициент прогрессивности режима воспроиз ва, коэффициент Лотки, коэфф. естеств. прироста стабильного населения, соответствующего данному режиму воспроиз ва нас. И. к …   Демографический энциклопедический словарь

dic.academic.ru

Квадратные уравнения: приведённые уравнения, формулы корней

Квадратное уравнение или уравнение второй степени с одним неизвестным – это уравнение, которое после преобразований может быть приведено к следующему виду:

ax² + bx + c = 0  – квадратное уравнение

где x – это неизвестное, а a, b и c – коэффициенты уравнения. В квадратных уравнениях a называется первым коэффициентом (a ≠ 0), b называется вторым коэффициентом, а c называется известным или свободным членом.

Уравнение:

ax² + bx + c = 0

называется полным

квадратным уравнением. Если один из коэффициентов b или c равен нулю или нулю равны оба эти коэффициента, то уравнение представляют в виде неполного квадратного уравнения.

Приведённое квадратное уравнение

Полное квадратное уравнение можно привести к более удобному виду, разделив все его члены на a, то есть на первый коэффициент:

Затем можно избавиться от дробных коэффициентов обозначив их буквами p и q:

если	b	= p,  а	c	= q,  то получится   x2 + px + q = 0
	a		a

Уравнение   x² + px + q = 0   называется приведённым квадратным уравнением. Следовательно любое квадратное уравнение, в котором первый коэффициент равен 1, можно назвать приведённым.

Например, уравнение:

x² + 10x — 5 = 0

является приведённым, а уравнение:

-3x² + 9x — 12 = 0

можно заменить приведённым уравнением, разделив все его члены на -3:

x² — 3x + 4 = 0

Решение квадратных уравнений

Чтобы решить квадратное уравнение, надо привести его к одному из следующих видов:

ax² + bx + c = 0

ax² + 2kx + c = 0

x² + px + q = 0

Для каждого вида уравнения есть своя формула нахождения корней:

Вид уравнения	Формула корней
ax2 + bx + c = 0
ax2 + 2kx + c = 0
x2 + px + q = 0	или если коэффициент p нечётный

Обратите внимание на уравнение:

ax² + 2kx + c = 0

это преобразованное уравнение   ax² + bx + c = 0, в котором коэффициент b – четный, что позволяет его заменить на вид 2k. Поэтому формулу нахождения корней для этого уравнения можно упростить, подставив в неё 2k вместо b:

Пример 1. Решить уравнение:

3x² + 7x + 2 = 0

Так как в уравнении второй коэффициент не является чётным числом, а первый коэффициент не равен единице, то искать корни будем по самой первой формуле, называемой общей формулой нахождения корней квадратного уравнения. Сначала определим чему равны коэффициенты:

a = 3, b = 7, c = 2

Теперь, для нахождения корней уравнения, просто подставим значения коэффициентов в формулу:

x1 =	-2	= —	1	,   x2 =	-12	= -2
	6		3		6

Пример 2:

x² — 4x — 60 = 0

Определим чему равны коэффициенты:

a = 1, b = -4, c = -60

Так как в уравнении второй коэффициент – чётное число, то будем использовать формулу для квадратных уравнений с чётным вторым коэффициентом:

x₁ = 2 + 8 = 10,   x₂ = 2 — 8 = -6

Ответ: 10, -6.

Пример 3.

y² + 11y = y

— 25

Приведём уравнение к общему виду:

y² + 11y = y — 25

y² + 11y — y + 25 = 0

y² + 10y + 25 = 0

Определим чему равны коэффициенты:

a = 1, p = 10, q = 25

Так как первый коэффициент равен 1, то будем искать корни по формуле для приведённых уравнений с чётным вторым коэффициентом:

Ответ: -5.

Пример 4.

x² — 7x + 6 = 0

Определим чему равны коэффициенты:

a = 1, p = -7, q = 6

Так как первый коэффициент равен 1, то будем искать корни по формуле для приведённых уравнений с нечётным вторым коэффициентом:

x₁ = (7 + 5) : 2 = 6,   x₂ = (7 — 5) : 2 = 1

Ответ: 6, 1.

naobumium.info

Решение квадратных уравнений

Квадратным уравнением называется уравнение вида , где . 

— коэффициент при  , или старший коэффициент.

— коэффициент при х, или второй коэффициент.

— свободный член.

Например, в уравнении   , , .

B уравнении   , ,

Если в квадратном уравнении  или  , то такое квадратное уравнение называется НЕПОЛНЫМ.

Неполное квадратное уравнение решается с помощью разложения на множители.

1. Если , то нужно вынести за скобки общий множитель.

Например,

Приравняем каждый множитель к нулю:

или

Ответ: {0,  }

2. Если , то нужно разложить на множители по формуле разности квадратов:

Например:

Приравниваем каждый множитель  к нулю, получаем:

или 

Коротко это уравнение решается так:

В этом месте важно не забыть знак  перед корнем!

Ответ: {}

Если  в квадратном уравнении  и  , то такое квадратное уравнение называется ПОЛНЫМ.

Полное квадратное уравнение решается с помощью нахождения ДИСКРИМИНТА.

Дискриминант квадратного уравнения  вычисляется по формуле:

.

Формулы для вычисления корней квадратного уравнения выглядят так:

В этих формулах дискриминант присутствует под знаком квадратного корня, поэтому

Eсли , то квадратное уравнение не имеет действительных корней.

Если , то квадратное уравнение имеет два различных действительных корня, которые можно найти по приведенным выше формулам.

Если ,  то квадратное уравнение имеет два совпадающих корня:

.

Иногда  говорят, что в этом случае квадратное уравнение имеет один корень.

Итак, при решении квадратного уравнения удобно пользоваться таким алгоритмом:

1. Определяем, является ли квадратное уравнение полным, или неполным.

2. Если уравнение неполное, раскладываем левую часть на множители и приравниваем каждый множитель к нулю.

3. Если уравнение полное, то

• находим дискриминант квадратного уравнения по формуле
• если дискриминант меньше нуля, то записываем, что квадратное уравнение не имеет действительных корней
• если дискриминант равен нулю, то находим корни квадратного уравнения по формуле 
• если дискриминант больше нуля, то находим корни квадратого уравнения по формулам:, 

Если коэффициент   квадратного уравнения — четное число, то есть его можно записать как , или  то для нахождения корней квадратного уравнения удобно пользоваться формулами для четного второго коэффициента:

Два полезных замечания:

1. Если для коэффициентов квадратного уравнения  выполняется равенство , то , 

2. Если для коэффициентов квадратного уравнения  выполняется равенство , то , 

Эти свойства помогают устно решать некоторые громоздкие квадратные уравнения. Например, в квадратном уравнении  сумма коэффициентов равна 0, поэтому ,  .

В уравнении выполняется равенство , поэтому ,  

Рассмотрим несколько примеров.

Решим квадратные уравнения:

1.

а) найдем дискриминант этого уравнения:

Дискриминант больше нуля, значит уравнение имеет два различных корня.

б) Тогда: , 

Ответ:   {1; 1/2}

2.  

а) Найдем дискриминант этого уравнения:

. Очевидно, что  , и даже нет необходимости вычислять его точное значение.

Ответ: уравнение не имеет действительных корней.

3. 

а) Найдем дискриминант этого уравнения:

б) Так как , уравнение имеет два совпадающих корня,

Если внимательно посмотреть на квадратный трехчлен, стоящий в левой части уравнения, то становится очевидно, то что его можно преобразовать по формуле квадрата разности к выражению

, отсюда 

Ответ: 1/4.

А теперь я предлагаю вам посмотреть видеоурок с решением квадратного уравнения:

 

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

ege-ok.ru

Корни квадратного уравнения, формулы и примеры

Определение и формула для вычисления корней квадратного уравнения

ОПРЕДЕЛЕНИЕ Квадратным уравнением называется уравнение

   

Корни квадратного уравнения (1) вычисляются по формуле

   

Величина называют дискриминантом квадратного уравнения.

В зависимости от знака дискриминанта, квадратное уравнение (1) может иметь различное количество корней: если , то два различных действительных корня; если , то два совпадающих действительных корня; если же , то квадратное уравнение (1) действительных корней не имеет.

ЗАМЕЧАНИЕ Если учитывать и комплексные значения, то в случае , квадратное уравнение (1) с действительными коэффициентами имеет два комплексно сопряженных корня (учитывается, что — мнимая единица). Но в элементарной математике этот случай не рассматривается.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание	Решить квадратное уравнение
Решение	Для рассматриваемого квадратного уравнения имеем:     Тогда дискриминант     Поскольку , то заданное уравнение имеет два различных действительных корня
Ответ

ПРИМЕР 2

Задание	Найти корни квадратного уравнения
Решение	Дискриминант     Поскольку дискриминант отрицательный, то заданное уравнение имеет комплексные корни:
Ответ

ru.solverbook.com

Приведенные квадратные уравнения (целые корни) 12 вариантов

ПрКУ Вариант 1.

1) — x² + 14x — 49 = 0;

2) x² + 32x + 256 = 0;

3) x² — 16x + 28 = 0;

4) x² — 6x + 13 = 0;

5) — x² — 32x — 256 = 0;

6) x² + 10x + 16 = 0;

7) — x² + 86x + 651 = 0;

8) x² + 5x — 24 = 0.

ПрКУ Вариант 2.

1) x² — 4x — 12 = 0;

2) x² — 34x + 289 = 0;

3) — x² + 44x — 195 = 0;

4) — x² + 2x — 12 = 0;

5) — x² + 7x — 6 = 0;

6) x² + 20x + 99 = 0;

7) x² + 44x + 475 = 0;

8) x² + 18x + 81 = 0.

ПрКУ Вариант 3.

1) — x² — 6x — 9 = 0;

2) x² + 4x + 11 = 0;

3) x² — 51x + 230 = 0;

4) x² + 21x + 38 = 0;

5) x² + 50x + 624 = 0;

6) x² — 30x + 225 = 0;

7) — x² + 11x — 28 = 0;

8) x² — 2x — 35 = 0.

ПрКУ Вариант 4.

1) x² — 4x + 13 = 0;

2) x² + 6x + 9 = 0;

3) — x² + 7x + 78 = 0;

4) x² — 11x + 30 = 0;

5) x² — 32x + 256 = 0;

6) — x² — 11x — 30 = 0;

7) — x² + 30x — 225 = 0;

8) x² + 40x — 500 = 0.

ПрКУ Вариант 5.

1) x² — 66x + 893 = 0;

2) x² + 24x + 144 = 0;

3) x² — 18x + 81 = 0;

4) — x² + 20x — 75 = 0;

5) — x² — 7x + 18 = 0;

6) — x² + 4x — 5 = 0;

7) x² + 85x + 400 = 0;

8) x² + 8x + 12 = 0.

ПрКУ Вариант 6.

1) — x² — 34x — 289 = 0;

2) x² + x — 30 = 0;

3) x² — 3x + 5 = 0;

4) — x² + 16x — 64 = 0;

5) x² + 3x + 7 = 0;

6) x² + 15x + 54 = 0;

7) x² — 42x + 320 = 0;

8) x² + 62x + 336 = 0.

ПрКУ Вариант 7.

1) x² — 24x + 144 = 0;

2) x² — 51x — 342 = 0;

3) x² — 3x — 28 = 0;

4) — x² + x — 3 = 0;

5) x² + 4x + 4 = 0;

6) — x² — 49x — 490 = 0;

7) — x² + 18x — 17 = 0;

8) x² — 6x + 8 = 0.

ПрКУ Вариант 8.

1) x² + 24x + 144 = 0;

2) x² + 8x + 15 = 0;

3) — x² — 22x — 112 = 0;

4) x² — 4x + 4 = 0;

5) x² — 37x + 232 = 0;

6) x² — 2x + 9 = 0;

7) — x² — 40x — 400 = 0;

8) — x² + 45x + 684 = 0.

ПрКУ Вариант 9.

1) x² + 12x + 27 = 0;

2) — x² + 27x + 810 = 0;

3) — x² + 2x — 1 = 0;

4) x² — 56x + 423 = 0;

5) x² + 5x + 8 = 0;

6) x² — 9x — 10 = 0;

7) x² + 20x + 51 = 0;

8) x² + 26x + 169 = 0.

ПрКУ Вариант 10.

1) — x² + 12x — 32 = 0;

2) x² — 11x — 12 = 0;

3) x² + 4x — 32 = 0;

4) — x² + 86x — 825 = 0;

5) — x² + 4x — 12 = 0;

6) x² + 4x + 4 = 0;

7) x² — 32x + 256 = 0;

8) x² + 90x + 425 = 0.

ПрКУ Вариант 11.

1) x² + 5x + 13 = 0;

2) x² — 14x — 147 = 0;

3) x² — 40x + 400 = 0;

4) — x² — 6x — 9 = 0;

5) x² + 99x + 890 = 0;

6) — x² — 16x — 63 = 0;

7) — x² + 30x — 225 = 0;

8) x² — 24x + 95 = 0.

ПрКУ Вариант 12.

1) x² + 34x + 285 = 0;

2) x² — 5x + 12 = 0;

3) x² + 6x + 9 = 0;

4) x² — 18x + 72 = 0;

5) x² — x — 6 = 0;

6) — x² — 9x — 14 = 0;

7) x² — 40x + 400 = 0;

8) — x² + 83x + 630 = 0.

ОТВЕТЫ Приведенное квадратное уравнение (ПрКУ)

Вариант

ЗАДАНИЕ

1

2

3

4

5

6

7

8

1

7

-16

2; 14

корней нет

-16

-8; -2

-7; 93

-8; 3.

2

-2; 6

17

5; 39

корней нет

1; 6

-11; -9

-25; -19

-9.

3

-3;24;

корней нет

5; 46

-19; -2

-26; —

15

4; 7;

-5; 7.

4

корней нет;

-3

-6; 13

5; 6

16

-6; -5

15

-50;

5

19; 47

-12

9

5; 15

-9; 2

корней нет

-80; -5

-6; -2.

6

-17

-6; 5

корней нет

8

корней нет

-9; -6

10; 32

-56; —

7

12

-6; 57

-4; 7

корней нет

-2

-35; -14

1; 17

2;4

8

-12

-5; -3

-14; -8

2

8; 29

корней нет

-20

-12; 57

9

-9; -3

-18; 45

1

9; 47

корней нет

-1; 10

-17; -3

-13.

10

4; 8

-1; 12

-8; 4

11; 75

корней нет

-2

16

-85; -5

11

корней нет

-7; 21

20

-3

-89; -10

-9; -7

15;

5; 19

12

-19; -15

корней нет

-3

6; 12

-2; 3

-7; -2

20

-7; 90

infourok.ru

Квадратное уравнение

Квадратное уравнение – решается просто! *Далее в тексте «КУ». Друзья, казалось бы, что может быть в математике проще, чем  решение такого уравнения. Но что-то мне  подсказывало, что с ним у многих есть проблемы. Решил посмотреть сколько показов по запросу в месяц выдаёт Яндекс. Вот что получилось, посмотрите:

Что это значит? Это значит то, что около 70000 человек в месяц ищут данную информацию, при чём это лето, а что будет среди учебного года — запросов будет в два раза больше. Это и неудивительно, ведь те ребята и девчата, которые давно окончили школу и готовятся к ЕГЭ, ищут эту информацию, также и школьники стремятся освежить её в памяти.

Несмотря на то, что есть масса сайтов, где рассказывается как решать это уравнение, я решил тоже внести свою лепту и опубликовать материал. Во-первых, хочется чтобы по данному запросу и на мой сайт приходили посетители; во-вторых, в других статьях, когда зайдёт речь «КУ» буду давать ссылку на эту статью; в-третьих, расскажу вам о его решении немного больше, чем обычно излагается на других сайтах. Приступим! Содержание статьи:

Квадратное уравнение.

Квадратичная функция.

Дискриминант отрицательный. Решение есть!

Неполные квадратные уравнения.

Полезные свойства и закономерности коэффициентов.

Теорема Виета.

Квадратное уравнение и ЕГЭ.

Квадратное уравнение – это уравнение вида:

где коэффициенты a,b и с произвольные числа, при чём a≠0.

В школьном курсе материал дают в следующем виде – условно делается разделение уравнений на три класса:

1. Имеют два корня.

2. *Имеют только один корень.

3. Не имеют корней. Здесь стоит особо отметить, что не имеют действительных корней

Пусть пока  будет так. *Далее поясню, некорректность второго пункта.

Как вычисляются корни? Просто!

Вычисляем дискриминант. Под этим «страшным» словом лежит вполне простая формула:

Формулы корней имеют следующий вид:

*Эти формулы нужно знать наизусть.

Можно сразу записывать и решать:

Пример:

Далее не трудно заметить, что число корней зависит от этого самого дискриминанта:

1. Если D > 0, то уравнение имеет два корня.

2. Если D = 0, то уравнение имеет один корень.

3. Если D < 0, то уравнение не имеет действительных корней.

Давайте рассмотрим уравнение:

По данному поводу, когда дискриминант равен нулю, в школьном курсе говорится о том, что получается один корень, здесь он равен девяти. Всё правильно, так и есть, но…

Данное представление несколько несколько некорректно. На самом деле получается два корня. Да-да, не удивляйтесь, получается два равных корня, и если быть математически точным, то в ответе следует записывать два корня:

х₁= 3      х₂= 3

Но это так – небольшое отступление. В школе можете записывать и говорить, что корень один.

Теперь следующий пример:

Как нам известно – корень из отрицательного числа не извлекается, поэтому решения в данном случае нет.

Вот и весь процесс решения.

Квадратичная функция.

Здесь показано, как решение выглядит геометрически. Это крайне важно понимать (в дальнейшем в одной из статей мы подробно будем разбирать решение квадратного неравенства).

Это функция вида:

где х и у — переменные 

a, b, с – заданные числа, при чём a ≠ 0

Графиком является парабола:

То есть, получается, что решая квадратное уравнение при «у» равном нулю мы находим точки пересечения параболы с осью ох. Этих точек может быть две (дискриминант положительный), одна (дискриминант равен нулю) и ни одной (дискриминант отрицательный). Подробно о квадратичной функции можете посмотреть статью у Инны Фельдман.

Рассмотрим примеры:

Пример 1: Решить  2x²+8x–192=0

а=2   b=8   c= –192

D = b²–4ac = 8²–4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600

Ответ: х₁= 8   х₂= –12 

*Можно было сразу же левую и правую часть уравнения разделить на 2, то есть упростить его. Вычисления будут проще.

Пример 2: Решить  x²–22x+121 = 0

а=1   b=–22   c=121

D = b²–4ac =(–22)²–4∙1∙121 = 484–484 = 0

Получили, что  х₁= 11  и   х₂= 11 

В ответе допустимо записать х = 11.

Ответ: х = 11

Пример 3: Решить  x²–8x+72 = 0

а=1   b= –8   c=72

D = b²–4ac =(–8)²–4∙1∙72 = 64–288 = –224

Дискриминант отрицательный, решения в действительных числах нет.

Ответ: решения нет

Дискриминант отрицательный. Решение есть!

Здесь речь пойдёт о решении уравнения в случае когда получается отрицательный дискриминант. Вы что-нибудь знаете о комплексных числах? Не буду здесь подробно рассказывать о том, почему и откуда они возникли и в чём их конкретная роль и необходимость в математике, это тема для большой отдельной статьи.

Понятие комплексного числа.

Рекомендация: не пытайтесь представить комплексное число в реальной жизни, это всё равно, что представить бесконечность, четвёртое измерение или что-то сверх нашего сознания.

Немного теории.

Комплексным числом z называется число вида

z = a + bi

где a и b  – действительные числа, i  – так называемая мнимая единица.

a+bi – это ЕДИНОЕ  ЧИСЛО, а не сложение.

Мнимая единица равна корню из минус единицы:

Теперь рассмотрим уравнение:

Получили два сопряжённых корня.

Неполное квадратное уравнение.

Рассмотрим частные случаи, это когда коэффициент «b» или «с» равен нулю (или оба равны нулю). Они решаются легко без всяких дискриминантов.

Случай 1. Коэффициент b = 0.

Уравнение приобретает вид:

Преобразуем:

Пример:

4x²–16 = 0     =>   4x² =16     =>   x² = 4    =>      x₁ = 2     x₂ = –2

Случай 2. Коэффициент с = 0.

Уравнение приобретает вид:

Преобразуем, раскладываем на множители:

*Произведение равно нулю тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю.

Пример:

9x²–45x = 0   =>   9x (x–5) =0   =>   x = 0   или   x–5 =0

x₁ = 0     x₂ = 5

Случай 3. Коэффициенты   b = 0   и   c = 0.

Здесь понятно, что решением уравнения всегда будет х = 0.

Полезные свойства и закономерности коэффициентов.

Есть свойства, которые позволяют решить уравнения с большими коэффициентами.

— если для коэффициентов уравнения аx²+bx+c=0  выполняется равенство

a + b + с = 0, то

— если для коэффициентов уравнения аx²+bx+c=0  выполняется равенство

a + с = b, то

Данные свойства помогают решить определённого вида уравнения.

Пример 1:   5001x²–4995x – 6=0

Сумма коэффициентов равна 5001+(– 4995)+(– 6) = 0, значит

Пример 2:   2501x²+2507x+6=0

Выполняется равенство a + с = b, значит

Закономерности коэффициентов.

1. Если в уравнении ax² + bx + c = 0 коэффициент «b» равен (а² +1), а коэффициент «с»  численно равен коэффициенту «а», то его корни равны

аx² + (а² +1)∙х+ а= 0    = >   х₁= –а    х₂= –1/a.

Пример. Рассмотрим уравнение  6х² +37х+6 = 0.

х₁= –6    х₂= –1/6.

2. Если в уравнении ax² – bx + c = 0 коэффициент «b» равен (а² +1),  а коэффициент «с»  численно равен коэффициенту «а», то его корни равны

аx² – (а² +1)∙х+ а= 0      = >   х₁= а    х₂= 1/a.

 Пример. Рассмотрим уравнение 15х² –226х +15 = 0.

х₁= 15    х₂= 1/15.

3. Если в уравнении ax² + bx – c = 0 коэффициент «b» равен (a² – 1), а коэффициент «c» численно равен коэффициенту «a», то его корни равны

аx² + (а² –1)∙х – а= 0    = >    х₁= – а    х₂= 1/a.

Пример. Рассмотрим уравнение 17х² +288х – 17 = 0.

х₁= – 17    х₂= 1/17.

4. Если в уравнении  ax² – bx – c = 0  коэффициент «b» равен (а² – 1), а коэффициент с численно равен коэффициенту «а», то его корни равны

аx² –  (а² –1)∙х – а= 0      = >   х₁=  а    х₂= – 1/a.

Пример. Рассмотрим уравнение 10х²– 99х –10 = 0.

х₁= 10    х₂= – 1/10

Теорема Виета.

Теорема Виета называется по имени знаменитого французского математика Франсуа Виета. Используя теорему Виета, можно выразить сумму и произведение корней произвольного КУ через его коэффициенты.

Теорема: Пусть квадратное уравнение  aх² + bx + c = 0   имеет корни  х₁  и  х₂, тогда справедливы формулы Виета

Доказательство:

Пример. Рассмотрим уравнение  х²– 14х + 45 = 0.  Запишем a=1   b= –14   c=45.

Ответ определить  несложно, возможны следующие варианты произведений

45 = 1∙45    45 = 3∙15    45 = 5∙9.

В сумме число 14 дают только 5 и 9. Это корни. При определённом навыке, используя представленную теорему, многие квадратные уравнения вы сможете решать сходу устно.

Теорема Виета, кроме того. удобна тем, что после решения квадратного уравнения обычным способом (через дискриминант) полученные корни можно проверять. Рекомендую это делать всегда. 

СПОСОБ ПЕРЕБРОСКИ

При этом способе коэффициент «а» умножается на свободный член, как бы «перебрасывается» к нему, поэтому его и называют способом «переброски». Этот способ применяют, когда можно легко найти корни уравнения, используя теорему Виета и, что самое важное, когда дискриминант есть точный квадрат.

Если а ± b+c ≠ 0, то используется прием переброски, например:

2х² – 11х+5 = 0  (1)      =>     х² – 11х+10 = 0  (2)     

По теореме Виета в уравнении (2) легко определить, что  х₁ = 10  х₂ = 1

Полученные корни уравнения необходимо разделить на 2 (так как от х² «перебрасывали» двойку), получим

х₁ = 5  х₂ = 0,5.

Каково обоснование? Посмотрите что происходит.

Дискриминанты уравнений (1) и (2) равны:

Если посмотреть на корни уравнений, то получаются только различные знаменатели, и результат зависит именно от коэффициента при х²:

У второго (изменённого) корни получаются в 2 раза больше.

Потому результат и делим на 2.

*Если будем перебрасывать тройку, то результат разделим на 3 и т.д.

Ответ: х₁ = 5  х₂ = 0,5

 

Кв. ур-ие и ЕГЭ.

О его важности скажу кратко – ВЫ ДОЛЖНЫ УМЕТЬ РЕШАТЬ быстро и не задумываясь, формулы корней и дискриминанта необходимо знать наизусть. Очень многие задачи, входящие в состав заданий  ЕГЭ, сводятся к решению квадратного уравнения (геометрические в том числе).

Что стоит отметить!

1. Форма записи уравнения может быть «неявной». Например, возможна такая запись: 

15+ 9x²— 45x = 0  или  15х+42+9x²— 45x=0  или   15 -5x+10x² = 0.

Вам необходимо привести его к стандартному виду (чтобы не запутаться при решении).

2. Помните, что х это неизвестная величина и она может быть обозначена любой другой буквой – t, q, p, h    и прочими.

3. Если получите большой дискриминант, то посмотрите как можно извлечь такой корень без калькулятора.

На этом всё. Надеюсь, статья была для вас полезной.

Получить материал статьи в формате PDF

С уважением, Александр Крутицких.

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.

matematikalegko.ru