Урок 3. Логарифм. Свойства логарифмов. Выражения с логарифмами. Теория
Подготовка к ЕГЭ по математике
Эксперимент
Урок 3. Логарифм. Свойства логарифмов. Выражения с логарифмами.
Теория
Конспект урока
На предыдущих уроках мы обсуждали показательную функцию, решение показательных уравнений и неравенств.
Когда мы обсуждали решение показательных уравнений, то нам всегда удавалось представить обе части в виде степеней с одинаковыми основаниями.
Но вполне логично, что может возникнуть ситуация, когда это сделать не удастся. Например, решить уже рассмотренными методами уравнение не получится, так как 5 мы пока не умеем представлять в виде степени с основанием 2.
С другой стороны, мы обсуждали тот факт, что показательная функция принимает любое положительное значение. Поэтому, в какой-то точке значение функции должно равняться 5.
Фактически, мы столкнулись с ситуацией, похожей на извлечение корня – мы точно знали, что есть число, квадрат которого равен 2, но не могли записать его доступными нам методами. В том случае мы поступили следующим образом: ввели новое понятие «корень» и операцию извлечение корня, которая была обратна возведению в степень.
Возвращаясь к нашей проблеме, нам придётся поступить аналогично. Обозначим степень, в которую надо возвести 2, чтобы получить 5, как – логарифм пяти по основанию 2.
То есть, определение логарифма следующее: для . То есть, логарифм показывает: в какую степень необходимо возвести основание логарифма (), чтобы получилось подлогарифмическое выражение ().
Рассмотрим простейшие примеры вычисления логарифмов:
1) , так как .
2) , так как .
3) , так как .
4), так как .
Существует два специальных вида логарифмов: десятичный и натуральный.
Десятичный логарифм
– это логарифм с основанием 10. Он обозначается следующим образом: .Натуральный логарифм – это логарифм с основанием (напомним, что ). Он обозначается следующим образом: .
Исходя из определения логарифма , легко получить следующее свойство, которое называется основным логарифмическим тождеством. Для этого достаточно подставить вторую формулу в первую. В результате получаем: .
Это выражение называется основным логарифмическим тождеством.
Давайте сформулируем ещё несколько основных свойств логарифмов ().
1) (т.к. ),
2)
3)
4)
5) Формула перехода к новому основанию:
6) (т.к. )
7) (т.к. )
На этом уроке мы с вами сформулировали определение логарифма, основное логарифмическое тождество и свойства логарифма.
В практической части урока мы научимся вычислять различные логарифмы, а также преобразовывать выражения, содержащие логарифмы.
Полезные ссылки:
1) Алгебра 11 класс: «Понятие логарифма»
2) Алгебра 11 класс: «Понятие логарифма. Простейшие задачи»
3) Алгебра 11 класс: «Свойства логарифмов. Логарифм произведения и частного»
4) Алгебра 11 класс: «Свойства логарифмов. Логарифм степени»
5) Алгебра 11 класс: «Свойства логарифмов. Решение более трудных задач»
6) Алгебра 11 класс: «Переход к новому основанию логарифма»
7) Алгебра 11 класс: «Переход к новому основанию логарифма. Решение задач»
interneturok.ru
Логарифмы
Логарифмы изучаются в старших классах и считаются достаточно сложными для понимания. На самом же деле, ничего сложного здесь нет — надо только начать изучение.
По существу, нахождение логарифма — это операция, обратная возведению в степень. Отсюда возникают все свойства и ограничения логарифма.
Логарифмические функции часто попадаются на экзаменах в виде уравнений и неравенств. Поэтому умение работать с логарифмами и твердое знание их свойств совершенно необходимы.
- Глава 1.
- Понятие логарифма
- § 1.
- Что такое логарифм
- § 2.
- Тест к параграфу «Что такое логарифм» (легкий)
- § 3.
- Тест к уроку «Что такое логарифм» (средний)
- § 4.
- Тест к уроку «Что такое логарифм» (тяжелый)
- § 5.
- Основные свойства логарифмов
- Глава 2.
- Логарифмические уравнения
- § 1.
- Простейшие логарифмические уравнения — первые шаги
- § 2.
- Логарифмические уравнения: комплект видеоуроков для изучения
- § 3.
- Уравнения, квадратные относительно логарифма, и другие нестандартные ситуации
- § 4.
- Решение логарифмических уравнений — заключительный комплект видеоуроков
- Глава 3.
- Логарифмические неравенства
- § 1.
- Преобразование логарифмических неравенств с одинаковым основанием
- § 2.
- Логарифмические неравенства с переменным основанием
- § 3.
- Логарифмические неравенства, сводящиеся к квадратным
- § 4.
- Неравенства, квадратные относительно логарифма
- § 5.
- Дробно-рациональные неравенства с логарифмами
- § 6.
- Сложные логарифмические неравенства
- Глава 4.
- Что такое логарифм
- Глава 5.
- Свойства логарифмов
- Глава 6.
- Логарифмические выражения
- Глава 7.
- Логарифмическая функция
- § 10.
- Логарифм с переменным основанием и метод рационализации
- § 18.
- Решение сложных логарифмических неравенств разными способами
- § 19.
- Совмещение метода рационализации и метода интервалов
- § 20.
- Подробное решение логарифмического неравенства методом рационализации
- § 21.
- Метод рационализации логарифмических неравенств
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
- 12
- 13
- 14
- 15
- 16
- 17
- 18
- 19
- 20
- 21
- 22
- 23
- 24
- 25
- 26
- 27
- 28
- 29
- 30
- 31
- 32
- 33
- 34
- 35
- 36
- 37
- 38
- 39
- 40
- 41
- 42
- 43
- 44
- 45
- 46
- 47
- 48
- 49
- 50
- 51
- 52
- 53
- 54
- 55
- 56
- 57
- 58
- 59
- 60
- 61
- 62
- 63
- 64
- 65
- 66
- 67
- 68
- 69
- 70
- 71
- 72
- 73
- 74
- 75
- 76
- 77
- 78
- 79
- 80
- 81
- 82
- 83
- 84
- 85
- 86
- 87
- 88
- 89
- 90
- 91
- 92
- 93
- 94
- 95
- 96
- 97
- 98
- 99
- 100
- 101
- 102
- 103
- 104
- 105
- 106
- 107
- 108
- 109
- 110
- 112
- 113
- 114
- 115
- 116
- 117
- 118
- 119
- 120
- 121
- 122
- 123
- 124
- 125
- 126
- 127
- 128
- 129
- 130
- 131
- 132
- 133
- 134
- 135
- 136
- 137
- 138
- 139
- 140
- 141
- 142
- 143
- 144
- 145
- 146
- 147
- 148
- 149
- 150
- 151
- 152
- 153
- 154
- 155
- 156
- 157
- 158
- 159
- 160
- 161
- 162
- 163
- 164
- 165
- 166
- 167
- 168
- 169
- 170
- 171
- 172
- 173
- 174
- 175
- 176
- 177
- 178
- 179
- 180
- 181
- 182
- 183
- 184
- 185
- 186
- 187
- 188
- 189
- 190
- 191
- 192
- 193
- 194
- 195
- 196
- 197
- 198
- 199
- 200
- 201
- 202
- 203
- 204
- 205
- 206
- 207
- 208
- 209
- 210
- 211
- 212
- 213
- 214
- 215
- 216
- 217
- 218
- 219
- 220
- 221
- 222
- 223
- 224
- 225
- 226
- 227
- 228
- 229
- 230
- 231
- 232
- 233
- 234
- 235
- 236
- 237
- 238
- 239
- 240
- 241
- 242
- 243
- 244
- 245
- 246
- 247
- 248
- 249
- 250
- 251
- 252
- 253
- 254
- 255
- 256
- 257
- 258
- 259
- 260
- 261
- 262
- 263
- 264
- 265
- 266
- 267
www.berdov.com
Свойства логарифмов. Логарифм произведения и частного. Видеоурок. Алгебра 11 Класс
Напомним определение логарифма. Для этого рассмотрим показательную функцию . В левой части стоит показательная функция, если выполняются следующие условия: . Свойства показательной функции нам известны: она монотонна и принимает все положительные значения. Это значит, что любое положительное значение b функция принимает при единственном значении аргумента, то есть, уравнение имеет единственный корень, который и называется логарифмом:
Определение:
Логарифмом числа b по основанию а называется такой показатель степени, в которую нужно возвести основание а, чтобы получить число b.
Исходя из определения, имеем основное логарифмическое тождество:
То есть, любое положительное число b можно представить при помощи основного логарифмического тождества.
Рассмотрим конкретный пример: .
Рис. 1. График уравнения
По графику очевидно, что каждое свое положительное значение функция достигает при единственном значении аргумента.
Решением заданного уравнения будет такое значение аргумента:
.
Перейдем к доказательству теорем, являющихся непосредственной целью данного урока.
Теорема 1:
Логарифм произведения двух положительных чисел равен сумме логарифмов этих чисел.
Здесь
Доказательство:
Представим числа b и с с помощью основного логарифмического тождества:
Тогда:
Согласно свойству степени при умножении степеней с одинаковым основанием, показатели складываются. Получаем:
По определению логарифма имеем:
Что и требовалось доказать.
Выведенная формула применяется для выполнения различного рода вычислений.
Пример 1 – вычислить:
а)
Несложно догадаться, что сумму логарифмов с одинаковым основанием можно представить как логарифм произведения:
б)
Аналогично предыдущему примеру представляем сумму десятичных логарифмов как логарифм произведения:
Комментарий: в ходе решения была применена формула
Обобщим выведенную формулу для произведения трех положительных чисел.
Доказать:
Здесь
Доказательство:
Применим дважды выведенную формулу, на первом шаге будем считать произведение bc за единое число:
Теперь раскроем первый логарифм по той же формуле:
Что и требовалось доказать.
Перейдем к следующей формуле.
Дано:
Доказать:
Представим числа b и с с помощью основного логарифмического тождества:
Тогда:
Согласно свойству степени, при умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются. Получаем:
По определению логарифма имеем:
Что и требовалось доказать.
Пример 2 – вычислить:
а)
Согласно выведенной формуле, разность логарифмов с одинаковым основанием можем представить как логарифм частного:
б)
Аналогично предыдущему примеру:
Итак, мы изучили некоторые важные свойства логарифма, вывели формулы для логарифма произведения и логарифма частного. Далее мы продолжим изучение свойств логарифма.
Список литературы
- Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина.
- Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа.
- Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.
Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет
- Webmath.ru (Источник).
- Berdov.com (Источник).
- Ru.onlinemschool.com (Источник).
Домашнее задание
1. Алгебра и начала анализа, 10–11 класс (А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницын) 1990, № 506;
2. Вычислить:
а) ; б) ; в) ; г) ;
3. Вычислить:
а) ; б) ;
в) ; г) .
interneturok.ru
вычисления логарифмов — Колпаков Александр Николаевич
Комплект простейших заданий уровня А на вычисление логарифмов, который репетитор по математике регулярно использует на своих занятиях с большинством учеников. Материал предназначен для учащихся 10-11 классов и преподавателей в помощь при подготовке к ЕГЭ, а также для текущей школьной работы, направленной на отработку вычислительных навыков.
Вычислите:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)
15)
16)
17)
18)
19)
20)
Напутствие репетитора по математике:
Вычисляя логарифмы, применяйте следующие формулы:
и
Для решения каждого задания представьте основание логарифма и число под его знаком в виде степени с одним и тем же основанием и вынесите полученные показатели из-под логарифма в его коэффициент. Логарифм с оставшимися равными числами будет равен единице.
Надо сказать, что в 80% задачниках по математике (школьных учебниках и пособиях по подготовке к ЕГЭ) крайне мало вычислительных упражнений на логарифмы, связанных со свойствами степеней. Если репетитор по математике использует стандартные пособия, то в его распоряжении оказывается обычно не более 5 — 6 примеров на логарифмы по каждому алгоритму их вычисления. Я уже давно не пользуюсь никакими задачниками и предлагаю ученикам свои материалы. В заданиях перемешиваю различные виды чисел: десятичные, обыкновенные, корни, дроби, степени с отрицательными показателями.
Вычислите логарифмы с использованием следующих формул:
и
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
Задачи на основное логарифмическое тождество:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)
15)
16)
17)
Задачи на формулу перехода к новому основанию
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
Комментарий репетитора по математике относительно состава задач. Задания на логарифмы составлены по классическим законам методики и дидактики и имеют достаточное количеством однотипных упражнений. На первый взгляд может показаться, что все номера, взятые из одного раздела, как две капли воды похожи друг на друга. Отличие наблюдается только в числах. Но любой опытный репетитор по математике Вам скажет, что достаточно в одном из таких однотипных примеров поменять какое-нибудь целое число, например, на иррациональное или на дробное и перед ученик мгновенно растеряется. Поэтому я постарался обыграть все возможные числовые ситуации разнообразить номера десятичными и обыкновенными дробями, корнями разных степеней, комбинациями действий и коэффициентов, окружающих логарифмы.
В реальности я подаю задания ученику на отдельном листочке А4 с максимально плотным расположением примеров. Все на одном листе! Один из таких планов с представлен ниже:
Ученикам:
Задания можно использовать для самостоятельной подготовки к ЕГЭ по математике с целью научиться решать простейшие задачи на логарифмы из части В. Регулярно повторяйте с репетитором формулы, ибо без их уверенного запоминания Вам будет нелегко соориентироваться в вычислениях, в которых применяются сразу две или даже три формулы сразу.
Преподавателям:
Напишите свое мнение о качестве материалов. Понравилась ли Вам подборка упражнений? Насколько велика потребность в таких задачах у репетитора по математике? Помогли ли мои упражнения в практической работе? Пишите, комментируйте! Присылайте интересные логарифмические задания на вычисления, которые встретились Вам в тот или иной период подготовки к ЕГЭ.
Колпаков А.Н. Репетитор по математике — автор комплекта.
ankolpakov.ru