Медиана равностороннего треугольника формула – Медиана равностороннего треугольника – формула

Содержание

Как найти медиану равностороннего треугольника

Здравствуйте! Ранее мы не раз обсуждали то, что такое медиана и я считаю, что это будет лишним делать и сейчас. У нас главная задача — понять как найти медиану равностороннего треугольника.
Нужным будет вспомнить, что равносторонний треугольник — это тот треугольник, у которого все стороны равны. Так как из этого и будут выплывать основные теоремы и свойства медианы в равностороннем треугольнике.
Первая теорема гласит о том. что медиана, проведённая к любой стороне является также биссектрисой и высотой данного треугольника.
Вторая теорема показывает, что все три медианы этого типа треугольника равны между собой.
И третья теорема, которая вытекает из первой и второй — все медианы, биссектрисы и высоты равностороннего треугольника равны между собой.
Важно научится выражать медиану через сторону равностороннего треугольника. И сейчас мы будем учиться это делать. Исходя из условий Вашей задачи. Нам дан треугольник , в котором  — медиана, которая, учитывая теоремы, будет также и высотой. То есть при её помощи образовалось два одинаковых прямоугольных треугольника:  и . Рассмотрим один из них — .

Для простоты исчисления давайте выполним замену: , а исходя из теорем .
И теперь, при помощи теоремы Пифагора мы сможем выразить медиану:

   

 

   

 

   

 

   

Формулу мы выразили, теперь нам осталось подставить наши значения: 

   

 

   

 

   

Ответ: см

ru.solverbook.com

Свойства равностороннего треугольника. Формулы равностороннего треугольника . Свойства биссектрисы равностороннего треугольника.

Равносторонний треугольник

Если три стороны треугольника имеют одинаковую длину, то  треугольник является равносторонним.

Свойства равностороннего треугольника:

  • 1) все стороны равны;
  • 2) углы каждого равностороннего треугольника равны \(60°\);
  • 3) каждая высота также является медианой и биссектрисой и они равны между собой;
  • 4) каждая медиана является также высотой и биссектрисой;
  • 5) каждая биссектриса является высотой и медианой;
  • 6) точка пересечения высот, биссектрис и медиан разделяется в отношении 2:1;
  • 7) площадь равностороннего треугольника:

          ​ \(\frac{a^2√3}{4}\)

  • 8) высоты, медианы и биссектрисы равностороннего треугольника равны:

          \(\frac{a√3}{2}\);

  • 9) Радиус описанной окружности \(R\)  :

         \(\frac{a√3}{3}\)   или  \(\frac{a}{√3}\)

 

 

  • 10) Радиус вписанной окружности \(r\)  :

         \(\frac{a}{2√3}\) или  \(\frac{a√3}{6}\)

где \(a\) — сторона треугольника.

 

          

Больше уроков и заданий по математике вместе с преподавателями нашей онлайн-школы «Альфа». Запишитесь на пробное занятие уже сейчас!

Запишитесь на бесплатное тестирование знаний!

myalfaschool.ru

Медиана в равностороннем треугольнике свойства

Формулы. N = 2i. N — мощность алфавита (количество знаков в алфавите) i — информационный вес символа алфавита (количество информации в одном символе). I = K * i. I — количество информации, содержащееся в выбранном сообщении (информационный объем сообщения) K — число символов в.

Какие из данных утверждений верны? Запишите их номера. 1) Если при пересечении двух прямых третьей прямой накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. 2) Диагональ трапеции делит её на два равных треугольника. 3) Если в ромбе один из углов равен 90° , то такой ромб — квадрат.

Треугольником называется фигура, которая состоит из трёх точек, не лежащих на одной прямой, и трёх отрезков, попарно соединяющих эти точки. Точки называются Вершинами треугольника, а отрезки — его Сторонами.

Виды треугольников

Треугольник называется Равнобедренным, если у него две сторны равны. Эти равные стороны называются Боковыми сторонами, а третья сторона называется Основанием треугольника.

Треугольник, у которого все сторны равны, называется Равносторонним или Правильным.

Треугольник называется Прямоугольным, если у него есть прямой угол, то есть угол в 90°. Сторона прямоугольного треугольника, противолежащая прямому углу, называется Гипотенузой, две другие стороны называются Катетами.

Треугольник называется Остроугольным, если все три его угла — острые, то есть меньше 90°.

Треугольник называется Тупоугольным, если один из его углов — тупой, то есть больше 90°.

Основные линии треугольника

Медиана треугольника — это отрезок, соединяющий верщину треугольника с серединой противолежащей стороны этого треугольника.

Свойства медиан треугольника

Медиана разбивает треугольник на два треугольника одинаковой площади. Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины. Эта точка называется Центром тяжести треугольника. Весь треугольник разделяется своими медианами на шесть равновеликих треугольников.

Биссектриса

Биссектриса угла — это луч, который исходит из его вершины, проходит между его сторонами и делит данный угол пополам. Биссектрисой треугольника называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину с точкой на противолежащей стороне этого треугольника.

Свойства биссектрис треугольника

Биссектриса угла — это геометрическое место точек, равноудаленных от сторон этого угла. Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилегажащим сторонам: . Точка пересечения биссектрис треугольника является центром окружности, вписанной в этот треугольник.

Высотой треугольника называется перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону этого треугольника.

Свойства высот треугольника

В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины прямого угла, разбивает его на два треугольника, подобные исходному. В остроугольном треугольнике две его высоты отсекают от него подобные треугольники.

Срединный перпендикуляр

Прямую, проходящую через середину отрезка перпендикулярно к нему, называют Серединным перпендикуляром к отрезку.

Свойства серединных перпендикуляров треугольника

Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка. Верно и обратное утверждение: каждая точка, равноудаленная от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к нему. Точка пересечения серединных перпендикуляров, проведенных к сторонам треугольника, является центром окружности, описанной около этого треугольника.

Средняя линия

Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

Свойство средней линии треугольника

Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.

Формулы и соотношения

Признаки равенства треугольников

Два треугольника равны, если у них соответственно равны:

    две стороны и угол между ними; два угла и прилежащая к ним сторона; три стороны.

Признаки равенства прямоугольных треугольников

Два прямоугольных треугольника равны, если у них соответственно равны:

Подобие треугольников

Два треугольника Подобны, если выполняется одно из следующих условий, называемых Признаками подобия:

    два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника; две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы, образованные этими сторонами, равны; три стороны одного треугольника соответственно пропорциональны трем сторонам другого треугольника.

В подобных треугольниках соответствующие линии (высоты, медианы, биссектрисы и т. п.) пропорциональны.

Теорема синусов

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов, причем коэффициент пропорциональности равен диаметру описанной около треугольника окружности:

Теорема косинусов

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними:

A 2 = B 2 + C 2 — 2Bc cos

Формулы площади треугольника

Произвольный треугольник

poiskvstavropole.ru

Как найти медиану равностороннего треугольника

Автор КакПросто!

Медиана треугольника — это отрезок, который соединяет вершину треугольника с серединой противоположной стороны. В равностороннем треугольнике медиана является биссектрисой и высотой одновременно. Таким образом, нужный отрезок можно построить несколькими способами.

Статьи по теме:

Вам понадобится

  • — карандаш;
  • — линейка;
  • — транспортир;
  • — циркуль.

Инструкция

При помощи линейки и карандаша разделите сторону равностороннего треугольника пополам. Проведите отрезок, соединяющий найденную точку и противоположный угол треугольника. Таким же образом отложите два следующих отрезка. Вы начертили медианы равностороннего треугольника. Начертите высоту равностороннего треугольника. При помощи угольника опустите перпендикуляр из вершины треугольника к противоположной стороне. Вы построили высоту равностороннего треугольника. Она является одновременно его медианой. Постройте биссектрисы равностороннего треугольника. Любой угол равностороннего треугольника равен 60º. Приложите транспортир к одной из сторон треугольника так, чтобы точка отсчета совпадала с вершиной треугольника. Одна из его сторон должна идти точно по линии измерительного прибора, другая сторона пересекать полуокружность в точке с отметкой 60º.

Отметьте точкой деление в 30º. Проведите луч, соединяющий найденную точку и вершину треугольника. Найдите точку пересечения луча со стороной треугольника. Полученный отрезок является биссектрисой равностороннего треугольника, которая и есть его медиана.

Если равносторонний треугольник вписан в окружность, проведите прямую, соединяющую его вершину с центром окружности. Отметьте точку пересечения этой прямой со стороной треугольника. Отрезок, соединяющий вершину треугольника и его сторону, будет медианой равностороннего треугольника.

Видео по теме

Полезный совет

Построить биссектрису угла α равностороннего треугольника можно при помощи циркуля. Для этого постройте две окружности с центром в двух других вершинах треугольника и радиусом, равным стороне треугольника. Окружности пересекутся в двух точках: в вершине угла α и в точке N. Соедините эти точки между собой. Вы построили биссектрису угла α.

Источники:

  • Равносторонний треугольник

Совет полезен?

Статьи по теме:

Не получили ответ на свой вопрос?
Спросите нашего эксперта:

www.kakprosto.ru

Свойства равностороннего треугольника | Треугольники

Основные свойства равностороннего треугольника непосредственно следуют из свойств равнобедренного треугольника, частным случаем которого он является.

Свойства равностороннего треугольника

 

1) Все углы равностороннего треугольника равны по 60º.

 

 

2) Высота, медиана и биссектриса, проведённые к каждой из сторон равностороннего треугольника, совпадают:

AK — высота, медиана и биссектриса, проведённые к стороне BC;

BF — высота, медиана и биссектриса, проведённые к стороне AC;

CD — высота, медиана и биссектриса, проведённые к стороне AB.

Длины всех трёх высот (медиан, биссектрис) равны между собой:

AK=BF=CD.

Если a — сторона треугольника, то

   

3) Точка пересечения высот, биссектрис и медиан называется центром правильного треугольника и является центром вписанной и описанной окружностей (то есть в равностороннем треугольнике центры вписанной и описанной окружностей совпадают).

4) Точка пересечения высот, биссектрис и медиан правильного треугольника делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершин:

AO:OK=BO:OF=CO:OD=2:1.

5) Расстояние от точки пересечения высот, биссектрис и медиан

до любой вершины треугольника равно радиусу описанной окружности:

BO=R,

   

или

   

 

6) Расстояние от точки пересечения высот, биссектрис и медиан до любой стороны треугольника равно радиусу вписанной окружности:

OF=r,

   

или

   

7) Сумма радиусов вписанной и описанной окружностей правильного треугольника равна его высоте, медиане и биссектрисе: R+r=BF.

8) Радиус вписанной в правильный треугольник окружности в два раза меньше радиуса описанной окружности:

R=2r.

9) Площадь равностороннего треугольника равна

   

периметр —

   

www.treugolniki.ru

Все формулы для треугольника

L — биссектриса, отрезок |OB|, который делит угол ABC пополам

a, b — стороны треугольника

с — сторона на которую опущена биссектриса

d, e — отрезки полученные делением биссектрисы

γ — угол ABC, разделенный биссектрисой пополам

p — полупериметр, p=(a+b+c)/2

 

 

Длина биссектрисы через две стороны и угол, (L):

 

Длина биссектрисы через полупериметр и стороны, (L):

 

Длина биссектрисы через три стороны, (L):

 

Длина биссектрисы через стороны и отрезки d, e, (L):

 

 

 

Точка пересечения всех трех биссектрис треугольника ABC, совпадает с центром О, вписанной окружности.

 

 

 

 

 

 

 



 

1. Найти по формулам длину биссектрисы из прямого угла на гипотенузу:

 

L — биссектриса, отрезок ME ,  исходящий из прямого угла (90 град)

a, b — катеты прямоугольного треугольника

с — гипотенуза

α — угол прилежащий к гипотенузе

 

 

Формула длины биссектрисы через катеты, ( L):

 

Формула длины биссектрисы через гипотенузу и угол, ( L):

 

 

 

2. Найти по формулам длину биссектрисы из острого угла на катет:

 

L — биссектриса, отрезок ME ,  исходящий из острого угла

a, b — катеты прямоугольного треугольника

с — гипотенуза

α, β — углы прилежащие к гипотенузе

 

 

Формулы длины биссектрисы через катет и угол, (L):

 

Формула длины биссектрисы через катет и гипотенузу, (L):

 



Формулы для вычисления высоты, биссектрисы и медианы.

В равнобедренном треугольнике: высота, биссектриса и медиана, исходящие из угла образованного равными сторонами, один и тот же отрезок.

 

L — высота=биссектриса=медиана

a — одинаковые стороны треугольника

b — основание

α — равные углы при основании

β — угол вершины

 

 

Формулы высоты, биссектрисы и медианы, через сторону и угол, (L):

 

 

 

Формула высоты, биссектрисы и медианы, через стороны, (L):



Формула для вычисления высоты= биссектрисы= медианы.

В равностороннем треугольнике: все высоты, биссектрисы и медианы, равны. Точка их пересечения, является центром вписанной окружности.

 

 

L — высота=биссектриса=медиана

a —  стороны треугольника

 

 

 

Формула длины высоты, биссектрисы и медианы равностороннего треугольника, (L):

 

 



Медиана — отрезок |AO|, который выходит из вершины A и делит противолежащею сторону  c пополам. Медиана делит треугольник ABC на два равных по площади треугольника AOC и ABO.

 

 

M — медиана, отрезок |AO|

c — сторона на которую ложится медиана

a , b — стороны треугольника

γ — угол CAB

 

 

Формула длины медианы через три стороны, (M):

 

Формула длины медианы через две стороны и угол между ними, (M):

 

 



Медиана, отрезок |CO|, исходящий из вершины прямого угла BCA и делящий гипотенузу c, пополам. Медиана в прямоугольном треугольнике (M), равна, радиусу описанной окружности (R).

M — медиана

R — радиус описанной окружности

O — центр описанной окружности

с — гипотенуза

a, b — катеты

α — острый угол CAB

 

Медиана равна радиусу и половине гипотенузы, (M):

 

Формула длины через катеты, (M):

 

Формула длины через катет и острый угол, (M):

 

 



Высота— перпендикуляр выходящий из любой вершины треугольника, к противоположной стороне (или ее продолжению, для треугольника с тупым углом). Высоты треугольника пересекаются в одной точке, которая называется — ортоцентр.

 

H — высота треугольника

a — сторона, основание

bc — стороны

β, γ — углы при основании

p — полупериметр, p=(a+b+c)/2

R — радиус описанной окружности

S — площадь треугольника

 

 

Формула длины высоты через стороны, (H):

 

Формула длины высоты через сторону и угол, (H):

 

Формула длины высоты через сторону и площадь, (H):

 

Формула длины высоты через стороны и радиус, (H):

 

 



 

В прямоугольном треугольнике катеты, являются высотами. Ортоцентр — точка пересечения высот, совпадает с вершиной прямого угла.

 

H — высота из прямого угла

a, b — катеты

с — гипотенуза

c1 , c2 — отрезки полученные от деления гипотенузы, высотой

α, β — углы при гипотенузе

 

 

Формула длины высоты через стороны, (H):

 

Формула длины высоты через гипотенузу и острые углы, (H):

 

Формула длины высоты через катет и угол, (H):

 

Формула длины высоты через составные отрезки гипотенузы , (H):

 

 



Вычислить длину стороны треугольника: по стороне и двум углам или по двум сторонам и углу.

 

 

a, b, c — стороны произвольного треугольника

α, β, γ — противоположные углы

 

 

 

Формула  длины через две стороны и угол (по теореме косинусов), (a):

*Внимательно, при подстановке в формулу, для тупого угла ( α>90), сosα, принимает отрицательное значение

 

Формула  длины через сторону и два угла (по теореме синусов), (a):

 



Вычислить длину неизвестной стороны через любые стороны и углы

b — сторона (основание)

a — равные стороны

α — углы при основании

β — угол образованный равными сторонами

 

 

 

Формулы длины стороны (основания), (b):

 

Формулы длины равных сторон , (a):

 



Есть следующие формулы для определения катета или гипотенузы

 

 

a, b — катеты

c — гипотенуза

α, β — острые углы

 

 

Формулы для катета, (a):

 

Формулы для катета, (b):

 

Формулы для гипотенузы, (c):

 

Формулы сторон по теореме Пифагора, (c, a, b):

 

 



zdesformula.ru

Ответы@Mail.Ru: свойство медиан равностороннего треугольника

представь себе, нет!

это свойство медиан любого треугольника

в центре пересечения они делятся в отношении 2:1

Да, эт в любом вообще

Это свойство пременимо для любого треугольника)))

Медианы равны между собой, являются биссектрисами и высотами. Делятся в отношении 2:1 от вершины применимо к любому треугольнику.

touch.otvet.mail.ru

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.