Кафедра высшей и прикладной математики
Кафедра высшей и прикладной математики
Кафедру возглавляет доктор физико-математических наук, профессор Борис Петрович Ткач. (Корпус 24, каб. № 9, вн. тел.: 12-11)
Преподавательский состав кафедры — это высококвалифицированные специалисты, среди которых 3 профессора (Ткач Б.П., Дацко О.И., Панчук В.И.) и 4 доцента (Степахно И. В., Урманчева Л.Б., Стеклов О. Ф.)
Кафедра высшей и прикладной математики является обслуживающей, поэтому обеспечивает преподавание учебных дисциплин в таких подразделениях МАУП:
- Факультет компьютерно — информационных технологий;
- Учебно-научный институт менеджмента, экономики и финансов
- Институт социальных наук и самоуправления
- Учебно-научный институт права
- Институт международных отношений и лингвистики
- Институт дистанционного обучения
Кафедрой преподаются следующие дисциплины:
- Высшая математика
- Дискретная математика
- Интеллектуальный анализ данных
- Криптография и крипто-анализ
- Линейная алгебра и аналитическая геометрия
- Математическая теория риска и страховое дело
- Математическое моделирование предпринимательской деятельности
- Математическое программирование
- Математический анализ
- Математические методы имитационного моделирования
- Математические методы и модели страхования
- Системы искусственного интеллекта
- Теория вероятностей и математическая статистика
- Физика (Физика выбранные разделы)
- Численные методы
maup.com.ua
методичка высшая математика
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ УКРАИНЫ
ДОНБАССКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ СТРОИТЕЛЬСТВА И АРХИТЕКТУРЫ
ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ
ИМЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
КИЗУЧЕНИЮ КУРСА “ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА”
(для студентов экономических специальностей заочной и ускоренной форм обучения)
Утверждено на заседании кафедры
высшей математики Протокол № 9 от 11.05.2001
УДК 51(07)
Индивидуальные задания и методические указания к изучению курса “Высшая математика” (для студентов экономических специальностей заочной и ускоренной форм обучения) / Сост.: Г.А. Кононыхин, С.А. Решетняк. — Макеевка: ДонГАСА, 2001. — 71 с.
Содержат разработки индивидуальных заданий по курсу высшей математики с примерами решений типовых задач. Призваны помочь студентам овладеть основными методами решения и проконтролировать умение самостоятельно решать задачи. Необходимые теоретические сведения приводятся в разобранных задачах.
Составители: Г.А. Кононыхин, доц. С.А. Решетняк, доц.
Рецензент: Г.В. Горр, д.ф.-м.н.,проф.
3
СОДЕРЖАНИЕ |
|
Предисловие………………………………………………………………………………………………. | 4 |
Программа курса «Высшая математика» для экономических специальностей8 | |
Вопросы для самопроверки………………………………………………………………………. | 14 |
Литература………………………………………………………………………………………………. | 26 |
Задачи для контрольных заданий……………………………………………………………… | 28 |
Элементы аналитической геометрии и векторной алгебры ……………………….. | 28 |
Элементы линейной алгебры……………………………………………………………………. | 37 |
Введение в математический анализ ………………………………………………………….. | 41 |
Производная и ее приложения………………………………………………………………….. | 45 |
Приложения дифференциального исчисления…………………………………………… | 52 |
Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных……………. | 54 |
Неопределённый и определённый интегралы……………………………………………. | 57 |
Дифференциальные уравнения…………………………………………………………………. | 63 |
Кратные и криволинейные интегралы. ……………………………………………………… | 65 |
Ряды. ……………………………………………………………………………………………………….. | 69 |
4
ПРЕДИСЛОВИЕ
В современной науке и технике математические методы исследования, моделирования и проектирования играют большую роль. Это обусловлено прежде всего быстрым ростом вычислительной техники, благодаря которой все время существенно расширяются возможности успешного применения математики при решении конкретных задач.
Математика является фундаментальной дисциплиной. Ее преподавание предусматривает:
•развитие логического и алгоритмического мышления;
•овладение основными методами исследования и решения математических задач;
•овладение основными численными методами математики и их простейшими реализациями на ЭВМ;
•выработку умения самостоятельно расширять математические знания и проводить математический анализ прикладных задач.
Общий курс математики является фундаментом математического образования экономиста, имеющим важное значение для успешного изучения общетеоретических и специальных дисциплин, которые предусмотрены учебными планами различных специальностей.
В настоящее время в системе высшего образования существуют три формы обучения: дневная (или стационарная), ускоренная и заочная. Объем и содержание дисциплин учебного плана той или иной специальности не зависят от формы обучения, но методика их изучения при различных формах обучения различна. В условиях дневной формы обучения содержание курса высшей математики излагается на лекциях; на практических занятиях студенты овладевают основными методами и приемами решения математических задач. Число часов, отводимых на лекции и практические занятия, и составляют объем курса высшей математики для данной специальности.
Настоящее пособие является методическим руководством для изучения общего курса высшей математики студентами-заочникамиэкономических специальностей. Оно содержит общие рекомендациистуденту-заочникупо работе над курсом высшей математики с вопросами для самопроверки и контрольные задания (десять вариантов) с примерами решения задач и соответствующими методическими указаниями по темам курса.
Общие рекомендации студенту-заочникупо работе над курсом высшей математики
Основной формой обучения студента-заочникаявляется самостоятельная работа над учебным материалом, которая состоит из следующих элементов: изучение материала по учебникам, решение задач, самопроверка, выполнение контрольных работ. В помощь заочникам институты организуют чтение
5
лекций, практические занятия и лабораторные работы. Кроме того, студент может обращаться к преподавателю с вопросами для получения письменной или устной консультации. Указания студенту по текущей работе даются также в процессе рецензирования контрольных работ. Однако студент должен помнить, что при систематической и упорной самостоятельной работе помощь ВУЗа окажется достаточно эффективной. Завершающим этапом изучения отдельных частей курса высшей математики является сдача зачетов и экзаменов в соответствии с учебным планом.
Чтение учебника
1.Изучая материал по учебнику, следует переходить к следующему вопросу только после правильного понимания предыдущего, производя на бумаге все вычисления (в том числе и те, которые ради краткости опущены в учебнике) и выполняя имеющиеся в учебнике чертежи.
2.Особое внимание следует обращать на определение основных понятий. Студент должен подробно разбирать примеры, которые поясняют такие определения, и уметь строить аналогичные примеры самостоятельно.
3.Необходимо помнить, что каждая теорема состоит из предположений и утверждения. Все предположения должны обязательно использоваться в доказательстве. Нужно добиваться точного представления о том, в каком месте доказательства использовано каждое предположение теоремы. Полезно составлять схемы доказательств сложных теорем. Правильному пониманию многих теорем помогает разбор примеров математических объектов, обладающих и не обладающих свойствами, указанными в предположениях и утверждениях теорем.
4.При изучении материала по учебнику полезно вести конспект, в который рекомендуется вписывать определения, формулировки теорем, формулы, уравнения и т. д. На полях конспекта следует отмечать вопросы, выделенные студентом для получения письменной или устной консультации преподавателя.
5.Письменное оформление работы студента имеет исключительно важное значение. Записи в конспекте должны быть сделаны чисто, аккуратно и расположены в определенном порядке. Хорошее внешнее оформление конспекта по изученному материалу не только приучит студента к необходимому в работе порядку, но и позволит ему избежать многочисленных ошибок, которые происходят из-занебрежных, беспорядочных записей.
6.Выводы, полученные в виде формул, рекомендуется в конспекте подчеркивать или обводить рамкой, чтобы при перечитывании конспекта они выделялись и лучше запоминались. Опыт показывает, что многим студентам помогает в работе составление списка, содержащего важнейшие и наиболее часто употребляемые формулы курса. Такой список не только помогает запомнить формулы, но и может служить постоянным справочником для студента.
6
Решение задач
1.Чтение учебника должно сопровождаться решением задач, для чего рекомендуется завести специальную тетрадь.
2.При решении задач нужно обосновывать каждый этап решения исходя из теоретических положений курса. Если студент видит несколько путей решения, то он должен сравнить их и выбрать из них самый лучший. Полезно до начала вычислений составить краткий план решения.
3.Решения задач и примеров следует излагать подробно, вычисления в строгом порядке, отделяя вспомогательные вычисления от основных. Чертежи можно выполнять от руки, но аккуратно и в соответствии с данными условиями. Если чертеж требует особо тщательного выполнения (например, при графической проверке решения, полученного путем вычислений), то следует пользоваться линейкой, транспортиром, лекалом и указывать масштаб.
4.Решение каждой задачи должно доводиться до ответа, требуемого условием, и по возможности с выводом формулы в общем виде. Затем в полученную формулу подставляют числовые значения (если они даны). В промежуточных вычислениях не следует вводить приближенные значения
корней, числа π и т. п.
5.Полученный ответ следует проверять способами, вытекающими из существа данной задачи. Если, например, решалась задача с конкретным физическим или геометрическим содержанием, то полезно, прежде всего, проверить размерность полученного ответа. Полезно также, если возможно, решить задачу несколькими способами и сравнить полученные результаты.
6.Решение задач определенного типа нужно продолжать до приобретения устойчивых навыков в их решении.
Самопроверка
1.После изучения определенной темы по учебнику и решения достаточного количества соответствующих задач студенту рекомендуется воспроизвести по памяти определения, выводы формул, формулировки и доказательства теорем. Вопросы для самопроверки, приведенные в настоящем пособии, даны с целью помочь студенту в повторении, закреплении и проверке прочности усвоения изученного материала. В случае необходимости надо еще раз внимательно разобраться в материале учебника, решить ряд задач.
2.Иногда недостаточность усвоения того или иного вопроса выясняется только при изучении дальнейшего материала. В этом случае надо вернуться назад и повторить плохо усвоенный раздел.
3.Важным критерием усвоения теории является умение решать задачи на пройденный материал. Однако здесь следует предостеречь студента от весьма распространенной ошибки, заключающейся в том, что благополучное решение задач воспринимается им как признак усвоения теории. Часто правильное решение задачи получается в результате применения механически заученных
7
формул, без понимания существа дела. Можно сказать, что умение решать задачи является необходимым, но недостаточным условием хорошего знания теории.
Консультации
1.Если в процессе работы над изучением теоретического материала или при решении задач у студента возникают вопросы, разрешить которые самостоятельно не удается (неясность терминов, формулировок теорем, отдельных задач и др.), то он может обратиться к преподавателю для получения от него письменной или устной консультации.
2.В своих вопросах студент должен точно указать, в чем он испытывает затруднение. Если он не разобрался в теоретических объяснениях, или в доказательстве теоремы, или в выводе формулы по учебнику, то нужно указать, какой это учебник, год его издания и страницу, где рассмотрен затрудняющий его вопрос, и что именно его затрудняет. Если студент испытывает затруднение при решении задачи, то следует указать характер этого затруднения, привести предполагаемый план решения.
3.За консультацией следует обращаться и при сомнении в правильности ответов на вопросы для самопроверки.
Контрольные работы
1.В процессе изучения курса математики студент должен выполнить ряд контрольных работ, главная цель которых – оказать студенту помощь в его работе. Рецензии на эти работы позволяют студенту судить о степени усвоения им соответствующего раздела курса; указывают на имеющиеся у него пробелы
взнаниях, на желательное направление дальнейшей работы; помогают сформулировать вопросы для постановки их перед преподавателем.
2.Не следует приступать к выполнению контрольного задания, не решив достаточного количества задач по материалу, соответствующему этому заданию. Опыт показывает, что чаще всего неумение решить ту или иную задачу контрольного задания вызывается тем, что студент не выполнил это требование.
3.Контрольные работы должны выполняться самостоятельно. Несамостоятельно выполненная работа не дает возможности преподавателюрецензенту указать студенту на недостатки в его работе, в усвоении им учебного материала, в результате чего студент не приобретает необходимых знаний и может оказаться неподготовленным к устному зачету и экзамену.
4.Не рекомендуется присылать в академию одновременно работы по нескольким заданиям: это не дает возможности рецензенту своевременно указать студенту на допущенные им ошибки и удлиняет срок рецензирования работ.
5.Прорецензированные контрольные работы вместе со всеми исправлениями и дополнениями, сделанными по требованию рецензента,
8
следует сохранять. Без предъявления прорецензированных работ студент не допускается к сдаче зачета и экзамена.
Лекции, практические занятия и лабораторные работы
Во время экзаменационно-установочныхсессий длястудентов-заочниковорганизуются лекции и практические занятия. Они носят, как правило, обзорный характер. Их цель обратить внимание на общую схему построения соответствующего раздела курса, подчеркнуть важнейшие места, указать главные практические приложения теоретического материала, привести факты из истории науки. Кроме того, на этих занятиях могут быть более подробно рассмотрены отдельные вопросы программы, отсутствующие или недостаточно полно освещенные в рекомендуемых пособиях.
Для студентов ускоренной формы обучения лекции и практические занятия проводятся в течение всего учебного года и носят более систематический характер, однако и они призваны оказать только лишь помощь студенту в его самостоятельной работе.
Зачеты и экзамены
На экзаменах и зачетах выясняется прежде всего отчетливое усвоение всех теоретических и практических вопросов программы и умение применять полученные знания к решению практических задач. Определения, теоремы, правила должны формулироваться точно и с понимаем существа дела; решение задач в простейших случаях должно выполняться без ошибок и уверенно; всякая письменная и графическая работа должна быть сделана аккуратно и четко. Только при выполнении этих условий знания могут быть признаны удовлетворяющими требованиям, предъявляемым программой.
При подготовке к экзамену учебный материал рекомендуется повторить по учебнику и конспекту.
ПРОГРАММА КУРСА «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА» ДЛЯ ЭКОНОМИЧЕСКИХ СПЕЦИАЛЬНОСТЕЙ
(347 учебных часов)
I. Линейная алгебра
1.Матрицы, действия над ними.
Понятие прямоугольной матрицы. Виды матриц. Действия над матрицами.
2.Определители п-гопорядка.
Определители второго и третьего порядков. Определители п-гопорядка и их свойства. Разложение определителя по элементам строк и столбцов. Методы вычисления определителей. Правило Крамера для решения систем линейных уравнений. Понятие обратной матрицы и ее нахождение. Решение
9
систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы.
3. Ранг матрицы. Теорема Кронекера—Капелли. Решение системы n уравнений с m неизвестными.
Понятие ранга матрицы и его вычисление. Условия совместности и определенности систем линейных уравнений. Теорема Кронекера— Капелли. Решение системы n уравнений сm неизвестными.
4. Метод Жордана – Гаусса.
Решение систем линейных уравнений методом Гаусса. Решение систем линейных уравнений методом Жордана. Общее и частное решение систем линейных уравнений. Однородные системы линейных уравнений.
5.Векторы. Векторные пространства. Скалярное произведение векторов. Линейная зависимость и независимость векторов. Разложение вектора по базису.
Понятие векторов и действия над ними. Векторные линейные пространства. Скалярное произведение векторов. Экономические примеры. Линейная зависимость и независимость векторов. Базис. Разложение вектора по базису. Ортогональные системы векторов. Переход от одного базиса к другому.
6. Собственные векторы и собственные числа матрицы.
Понятие собственных векторов и собственных чисел матрицы. Методы их нахождения.
7. Квадратичные формы. Условия положительной определенности.
Понятие квадратичной формы. Положительно определенные формы. Условия Сильвестра. Приведение квадратичной формы к каноническому виду. Решение экономических задач.
II. Аналитическая геометрия
1.Векторная алгебра. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.
Арифметические точки и арифметические векторы пространства. Линейные действия над векторами. Скалярное произведение. Длина вектора. Угол между векторами. Расстояние между двумя точками. Коллинеарные векторы.
2.Прямая линия на плоскости. Различные виды уравнения прямой. Взаимное расположение двух прямых. Расстояние от точки до прямой.
Понятие уравнения линии в R2 . Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Угол между прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности прямых. Уравнение прямой, проходящей через две точки. Общее уравнение прямой. Расстояние от точки до прямой. Решение экономических задач.
3. Плоскость и прямая в пространстве.
10
Понятие уравнения поверхности в R3 . Уравнение сферы. Уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору. Общее уравнение плоскости и его исследование. Понятие о поверхностях второго порядка. Общее и каноническое уравнения прямой в пространстве.
4. Линии второго порядка.
Общее уравнение линии второго порядка. Окружность. Нахождение центра и радиуса окружности по общим уравнениям. Эллипс. Гипербола и ее асимптоты. Правильная гипербола. Парабола. Решение экономических задач.
III. Дифференциальное исчисление
1. Функции. Область определения. Элементарные функции.
Определение функции. Область определения. Способы задания функции. Основные элементарные функции, используемые в экономических исследованиях. Свойства функции. Натуральные логарифмы. Задача Паретто.
2.Предел последовательности. Свойства сходящихся последовательностей. Бесконечно малые величины.
Определение последовательности. Арифметические действия над последовательностями. Бесконечно малые и бесконечно большие величины. Связь между ними. Свойства бесконечно малых величин. Основные теоремы о пределах последовательностей.
3.Предел функции. Особенности предела. Раскрытие неопределенностей. Определение предела функции. Односторонние пределы. Основные теоремы о пределах. Раскрытие неопределенностей. Первый и второй замечательные пределы.
4.Непрерывность функции. Свойства непрерывных функций. Разрывы функций.
Приращение аргумента и функции. Определение непрерывности в точке и на интервале. Основные теоремы о непрерывных функциях. Непрерывность основных элементарных функций. Точки разрыва функции и их классификация.
5.Производная функции. Геометрический и механический смысл производной. Правила дифференцирования функции. Производные высших порядков. Задачи, приводящие к понятию производной. Определение производной. Ее геометрический, механический и экономический смысл. Касательная к кривой. Зависимость между непрерывностью и дифференцируемостью функции. Правила дифференцирования. Производные основных элементарных функций. Производная неявной функции. Производные высших порядков.
studfiles.net
| ||
www.nizrp.narod.ru
методичка высшая математика — Стр 2
11
6.Дифференциал функции. Применение дифференциала в приближенных вычислениях.
Определение дифференциала функции. Правила нахождения дифференциала. Дифференциал сложной функции. Инвариантность формы дифференциала. Применение дифференциала в приближенных вычислениях.
7.Теоремы о дифференцируемых функциях. Правило Лопиталя. Формула Тейлора.
Теорема Ферма. Теорема Ролля. Теорема Лагранжа. Теорема Коши. Раскрытие неопределнностей. Правило Лопиталя. Формула Тейлора.
8.Исследование функций и построение графиков.
Условия возрастания и убывания функции. Выпуклость и вогнутость функции. Экстремумы функции. Асимптоты функции. Исследование функции и построение ее графика.
IV. Функции многих переменных
1.Область определения. Предел функции. Непрерывность. Графическое изображение функции.
Область определения. Предельные точки множеств. Внутренние и граничные точки множеств. Открытые и замкнутые множества. Определение функции многих переменных. Предел функции. Непрерывность. Графическое изображение функции.
2.Частные и полное приращение функций. Частные производные функций. Полный дифференциал. Правила дифференцирования.
Частные и полное приращение функций. Частные производные функций. Полный дифференциал. Экономический смысл частных производных.
3.Производная по направлению. Градиент.
Производная по направлению. Градиент.
4. Экстремумы функции нескольких переменных. Необходимые и достаточные условия экстремума.
Основные определения. Необходимые и достаточные условия экстремума. Наименьшее и наибольшее значения функции в замкнутой области. Необходимое условие глобального экстремума функции на множестве, задаваемом системой неравенств. Градиентный метод нахождения экстремумов. Метод наименьших квадратов. Эмпирические формулы. Выбор типа зависимости переменных величин в исследуемом процессе. Определение параметров линейной зависимости методом наименьших квадратов. Решение экономических задач.
5. Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа.
Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа. Решение
12
экономических задач.
6. Неявные функции. Производные неявных функций. Неявные функции. Производные неявных функций.
V. Интегральное исчисление
1.Первообразная функции. Неопределенный интеграл. Таблица неопределенных интегралов.
Первообразная функции. Неопределенный интеграл. Таблица неопределенных интегралов.
2. Методы интегрирования заменой и по частям.
Метод непосредственного интегрирования. Методы интегрирования заменой и по частям.
3. Интегрирование рациональных дробей.
Понятие рациональной дроби. Простейшие рациональные дроби. Интегрирование выражений, содержащих квадратный трехчлен. Разложение правильной дроби на сумму простейших. Интегрирование рациональной дроби.
4. Интегрирование тригонометрических выражений Интегрирование тригонометрических функций с помощью универсальной
подстановки. Некоторые особые тригонометрические подстановки.
5. Интегрирование иррациональных выражений.
Интегрирование простейших иррациональных функций. Интегрирование некоторых иррациональных выражений с помощью тригонометрических подстановок. Некоторые интегралы, не выражаемые через элементарные функции.
6.Определенный интеграл. Свойства определенного интеграла. Теорема Ньютона—Лейбница.
Задача о вычислении площади криволинейной трапеции. Интегральные суммы. Определение определенного интеграла. Теорема о среднем. Определенный интеграл с переменным верхним пределом и его производная. Теорема Ньютона—Лейбница.Решение экономических задач.
7. Методы подстановки и интегрирование по частям в определенном интеграле. Методы подстановки и интегрирование по частям в определенном интеграле.
8.Геометрическое применение определенных интегралов. Геометрическое применение определенных интегралов.
9.Приближенное вычисление определенного интеграла. Приближенное вычисление определенного интеграла.
10.Несобственные интегралы. Интеграл Эйлера-Пуассона.
13
Несобственные интегралы. Интеграл Эйлера-Пуассона.
11.Понятие о двойном интеграле. Сведение двойного интеграла к повторному. Понятие о двойном интеграле. Сведение двойного интеграла к повторному.
VI. Дифференциальные уравнения
1.Основные определения. Дифференциальные уравнения первого порядка. Задача Коши. Теорема существования и единственности решения. Основные определения. Дифференциальные уравнения первого порядка. Задача Коши. Теорема существования и единственности решения. Экономические задачи, требующие использования дифференциальных уравнений.
2.Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Линейные и однородные уравнения первого порядка.
Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Линейные
иоднородные уравнения первого порядка.
3.Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Общее и частное решения. Задача Коши.
Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Общее и частное решения. Задача Коши.
VII. Ряды
1.Ряды. Основные определения. Сходимость рядов. Свойства сходящихся рядов. Гармонический ряд.
Ряды. Основные определения. Сходимость рядов. Свойства сходящихся рядов. Гармонический ряд. Необходимое условие сходимости. Ряд геометрической прогрессии.
2.Признаки сходимости рядов с положительными членами.
Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами: признаки сравнения, признак Даламбера, признаки Коши (радикальный и интегральный).
3.Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимости. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимости. Теорема Лейбница.
4.Степенные ряды. Теорема Абеля. Область сходимости степенного ряда.
Степенные ряды. Теорема Абеля. Радиус сходимости. Область сходимости степенного ряда. Разложение функции в степенной ряд.
14
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ
Тема I. Векторная алгебра
1.Что называется вектором и модулем вектора?
2.Какие векторы называются коллинеарными, компланарными, равными?
3.Могут ли два вектора, имеющих равные модули, быть не равными? Если да, то чем они могут различаться?
4.Все векторы, имеющие один и тот же модуль, отложены из одной точки А пространства. Где находятся концы этих векторов?
5.Какие операции над векторами называются линейными и каковы свойства этих операций?
6.Что называется базисом на прямой, на плоскости и в пространстве?
7.В каком случае векторы называются линейно зависимыми и в каком — линейно независимыми?
8.Докажите, что линейным операциям над векторами соответствуют такие же операции над их компонентами (координатами в некотором базисе).
9.Какой базис называется ортонормированным?
10.Как определяется декартова система координат?
11.Как выражаются координаты вектора через координаты его начальной и конечной точек?
12.Выведите формулы деления отрезка в данном отношении.
13.Центром тяжести треугольника является точка пересечения его медиан. Выведите формулы, выражающие координаты центра тяжести треугольника через координаты его вершин.
14.Что называется скалярным произведением двух векторов, каковы его свойства и как оно выражается через координаты векторов-сомножителейв ортонормированном базисе?
15.Выведите формулы для длины вектора, угла между двумя векторами и расстояния между двумя точками в декартовой прямоугольной системе координат.
16.Что называется векторным произведением двух векторов, каковы его свойства и как оно выражается через координаты векторов-сомножителейв ортонормированном базисе?
17.Что называется смешанным произведением трех векторов, каковы его свойства и как оно выражается через координаты векторов-сомножителейв ортонормированном базисе?
18.Что называется определителем (детерминантом) второго и третьего порядков, каковы их свойства и способы вычисления?
19.Как преобразуются координаты вектора при замене базиса пространства (плоскости)?
20.Какому условию должны удовлетворять координаты трех векторов, чтобы их можно было принять за базис пространства?
15
21.Каковы формулы преобразования декартовых прямоугольных координат на плоскости?
22.Опишите полярную, цилиндрическую и сферическую системы координат.
Тема II. Поверхности и линии
1.Как определяются в аналитической геометрии линии, поверхности и другие множества точек? Приведите примеры.
2.Как можно найти точку пересечения двух линий на плоскости, трех поверхностей, линии и поверхности? Приведите примеры.
3.Какова характерная особенность уравнения цилиндрической поверхности с образующими, параллельными одной из координатных осей? Приведите примеры.
4.Опишите параметрический способ задания линий и поверхностей. Приведите примеры.
5.Какие поверхности и линии называются алгебраическими? Приведите примеры.
6.Что называется порядком алгебраической линии и алгебраической поверхности? Приведите примеры.
7.Докажите, что плоскость является поверхностью первого порядка, а прямая на плоскости — линией первого порядка.
8.Что называется направляющим вектором прямой и направляющими векторами плоскости?
9.Покажите, что вектор l (− B;A) является направляющим вектором прямой
Ах+ Ву+С=0.
10.Как записываются параметрические уравнения прямой и плоскости?
11.Что называется угловым коэффициентом прямой на плоскости и каков его геометрический смысл в декартовой прямоугольной системе координат?
12.Как записываются уравнения прямой, проходящей через две точки, в пространстве и на плоскости?
13.Как записывается уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки?
14.Как вычисляются углы между двумя прямыми (на плоскости и в пространстве), между двумя плоскостями, между плоскостью и прямой?
15.Каковы условия параллельности и перпендикулярности двух прямых (на плоскости и в пространстве), двух плоскостей, прямой и плоскости?
16.Каков геометрический смысл неравенства первой степени с двумя и тремя переменными?
17.Каковы канонические уравнения эллипса, гиперболы и параболы?
18.Что называется фокусами, директрисами и эксцентриситетом эллипса, гиперболы и параболы?
19.Каковы геометрические свойства эллипса, гиперболы и параболы?
20.Что называется асимптотами гиперболы?
21.Назовите поверхности второго порядка и напишите их канонические
16
уравнения.
22. Приведите примеры уравнений линий в полярных координатах
Тема III. Элементы линейной алгебры
1.Что называется матрицей? Как определяются линейные операции над матрицами и каковы их свойства? Приведите примеры.
2.Что называется определителем? Каковы основные свойства определителей?
3.Что называется минором и алгебраическим дополнением? Приведите примеры.
4.Каковы способы вычисления определителей? Приведите примеры.
5.Что называется матрицей и расширенной матрицей системы линейных уравнений? Приведите примеры.
6.Что называется решением системы линейных уравнений? Какие системы называются совместными, а какие — несовместными?
7.Сформулируйте теорему Кронекера-Капелли.
8.Напишите формулы Крамера. В каком случае они применимы?
9.При каком условии система линейных уравнений имеет единственное решение?
10.Что можно сказать о системе линейных уравнений, если ее определитель равен нулю?
11.При каком условии однородная система n линейных уравнений сn неизвестными имеет ненулевое решение?
12.Опишите метод Гаусса решения и исследования систем линейных уравнений.
13.Какие разновидности метода Гаусса вы знаете?
14.Что называется рангом системы линейных уравнений? Как, используя метод Гаусса, можно найти ранг системы линейных уравнений?
15.Какие неизвестные в системе линейных уравнений и в каком случае называют свободными, а какие базисными? Что называется общим решением системы линейных уравнений?
16.Что называется рангом матрицы? Как его можно найти?
17.Что называется произведением двух матриц? Каковы свойства произведения матриц?
18.Какая матрица называется единичной?
19.Какая матрица называется обратной для данной матрицы? Всегда ли существует обратная матрица? Как можно найти обратную матрицу?
20.В чем состоит матричный способ решения систем линейных уравнений?
21.Сформулируйте определения линейной зависимости и независимости векторов.
22.Что называется векторной формой записи системы линейных уравнений?
23.Что называется преобразованием пространства? Какие преобразования называются линейными?
24.Как найти матрицу линейного преобразования, являющегося произведением
17
двух линейных преобразований, матрицы которых известны?
25.Что называется собственными значениями и собственными векторами линейного преобразования? Как их найти?
Тема IV. Введение в математический анализ
1. Что называется числовой осью? Как изображаются на числовой оси области изменения переменной величины?
2. Дайте определение функции. Что называется областью определения функции?
6. Каковы основные способы задания функции? Приведите примеры. 7. Какая функция называется периодической? Приведите примеры. 8. Какая функция называется сложной? Приведите примеры.
9. Какие функции называются элементарными? Приведите примеры.
10. Как, зная график функции y = f (x), можно построить графики функцийy = f (mx) ,y = f (mx +b) ,y = kf (mx +b) ?
11. Сформулируйте определения предела последовательности, предела функции при стремлении аргумента к некоторому конечному пределу и предела функции при стремлении аргумента к бесконечности.
12. Как связано понятие предела функции с понятиями ее пределов слева и справа?
13. Сформулируйте определение ограниченной функции. Докажите теорему об ограниченности функции, имеющей предел.
14. Какая функция называется бесконечно малой и каковы ее основные свойства?
15. Какая функция называется бесконечно большой и какова ее связь с бесконечно малой?
16. Докажите основные теоремы о пределах функций.
17. Докажете, что lim sin x =1 («первый замечательный предел»).
x→0x
18.Сформулируйте определение числа е («второй замечательный предел»).
19.Сформулируйте определения непрерывности функции в точке и на отрезке. Какие точки называются точками разрыва функции?
20.Сформулируйте теорему об области непрерывности элементарных функций.
21.Сформулируйте основные свойства функций, непрерывных на отрезке, и дайте геометрическое истолкование этим свойствам.
22.Сформулируйте определение порядка одной бесконечно малой относительно другой бесконечно малой.
23.Покажите, что при x → 0 бесконечно малыеsinx, arcsinx, tgx, arctgx попарно эквивалентны.
24.Пусть x → 0. При каком значенииа бесконечно малыеa sin2x и1-cos x эквивалентны?
18
Тема V. Производная и дифференциал
1.Сформулируйте определение производной. Каков ее механический и геометрический смысл?
2.Какой класс функции шире: непрерывных в точке или дифференцируемых в той же точке? Приведите примеры.
3.Выведите формулы производных суммы, произведения, частного двух функций. Приведите примеры.
4.Выведите формулу дифференцирования сложной функции. Приведите примеры.
5.Выведите формулы производных постоянной и произведения постоянной на функцию.
6.Выведите формулы дифференцирования тригонометрических и логарифмической функций.
7.Сформулируйте правило логарифмического дифференцирования. Приведите примеры.
8.Выведите формулы дифференцирования степенной функции с любым действительным показателем, показательной функции, сложной показательной функции.
9.Докажите теорему о производной обратной функции. Выведите формулы дифференцирования обратных тригонометрических функций.
10.Сформулируйте определение дифференциала функции.
11.Для каких точек графика функции ее дифференциал больше приращения? Для каких точек он меньше приращения?
12.Для каких функций дифференциал тождественно равен приращению?
13.В чем заключается свойство инвариантности формы дифференциала функции?
14.На чем основано применение дифференциала в приближенных вычислениях?
15.Сформулируйте определения производной и дифференциала высших порядков.
16.Каков механический смысл второй производной?
17.Как находятся первая и вторая производные функций, заданных параметрически?
18.Выведите формулу для производных n-гопорядка от функций:у=хk, y=ekx , y=sinx, y=lnx.
19.Запишите формулу Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа. Когда эту формулу называют формулой Маклорена и какой вид принимает она в этом случае?
20.Напишите формулы Маклорена для функций sin x, cosx, (1+ x),ex, ln
(1 + x)m .
21.Как используется формула Тейлора для вычисления приближенных значений функции с заданной точностью? Приведите примеры.
19
Тема VI. Возрастание и убывание функций. Экстремумы
1.Сформулируйте определения возрастающей и убывающей на отрезке
функции. Выведите достаточный признак возрастающей функции. Покажите, что функции y=ex и y=x+cosx возрастают в любом промежутке.
2.Сформулируйте два правила для отыскания экстремумов функции.
3.Приведите пример, показывающий, что обращение в некоторой точке производной в нуль не является достаточным условием наличия в этой точке экстремума функции.
4.Как найти наибольшее и наименьшее значения функции, дифференцируемой на отрезке? Всегда ли они существуют?
Тема VII. Построение графиков функций
1.Сформулируйте определения выпуклости и вогнутости линии, точки перегиба. Как находятся интервалы выпуклости и вогнутости и точки перегиба линии, заданной уравнением y=f(x)? Приведите примеры.
2.Сформулируйте определение асимптоты линии. Как находятся вертикальные и невертикальные асимптоты линии, заданной уравнением y=f(x)? Приведите примеры.
3.Изложите схему общего исследования функции и построения ее графика.
Тема VIII. Комплексные числа, многочлены
1.Что называется комплексным числом?
2.Какие интерпретации комплексных чисел вы знаете? Опишите их.
3.Что называется действительной и мнимой частями комплексного числа?
4.Что называется модулем и аргументом комплексного числа?
5.Что называется алгебраической и тригонометрической формами записи комплексного числа?
6.Что называется показательной формой комплексного числа? Какая формула называется формулой Эйлера?
7.В каком случае два комплексных числа называются сопряженными?
8.По каким правилам производятся арифметические действия над комплексными числами?
9.Запишите формулу Муавра.
10.Сформулируйте теорему Безу и докажите ее.
11.Сформулируйте основную теорему алгебры.
12.В каком случае два многочлена тождественно равны друг другу?
Тема IX. Функции нескольких переменных
1.Что называется функцией двух переменных, ее областью определения? Дайте геометрическое истолкование этих понятий.
2.Что называется функцией трех переменных, ее областью определений? Как можно геометрически истолковать область определения функции трех
20
переменных?
3.Что называется поверхностью уровня и линией уровня?
4.Что называется пределом функции двух переменных в точке? В каком случае эта функция называется непрерывной в точке, в области?
5.Что называется точкой разрыва функции двух переменных?
6.Как определяются частные производные? Сформулируйте правила нахождения частных производных функций нескольких переменных. В чем состоит геометрический смысл частных производных функции двух переменных?
7.Когда функция z=f(x, у) называется дифференцируемой в данной точке? Что называется полным дифференциалом этой функции в данной точке? В чем состоит правило применения полного дифференциала для вычисления приближенного значения функции, близкого к известному?
8.Выведите формулы нахождения ∂∂xz и∂∂yz сложной функцииz=F(u, ν), гдеu=ϕ(x, y),ν=ψ(x, y).
9.Напишите формулу вычисления полной производной ∂∂xz сложной функцииz=f(u, ν), гдеu=u(х),ν=ν(x). Как записать эту формулу в случаеu=х?
10.Выведите формулу дифференцирования неявной функции y=y(x), заданной уравнениемF(x, у)=0.
11.Дайте определение частных производных высших порядков. Сформулируйте теорему о равенстве смешанных частных производных функций двух переменных.
12.Что называется производной функции u=u(x, y, z) в данной точкеМ0 по направлению вектораs?
13.Что называется градиентом скалярного поля u=u(x, y, z) в данной точке? Как выражается производная по направлению через градиент и единичный вектор? Сформулируйте известные вам свойства градиента.
14.Что называется максимумом (минимумом) функции двух переменных? Выведите необходимые условия и сформулируйте достаточные условия экстремума функции двух переменных.
15.Сформулируйте правила нахождения экстремумов функции двух переменных.
16.Выведите правило нахождения наибольшего и наименьшего значений функции двух переменных в замкнутой области.
Тема X. Неопределенный интеграл
1.Дайте определение первообразной функции.
2.Укажите геометрический смысл совокупности первообразных функций. Что называется неопределенным интегралом?
3.Напишите таблицу основных интегралов.
4.Докажите простейшие свойства неопределенного интеграла.
studfiles.net