Методы решения интегралов – Методы вычисления неопределенных интегралов

Основные методы интегрирования

1. Непосредственное интегрирование

Под непосредственным интегрированием понимают такой способ интегрирования, при котором данный интеграл путем тождественных преобразований подынтегральной функции и применения свойств неопределенного интеграла приводится к одному или нескольким табличным интегралам.

Пример 1. Найти.

 Разделив числитель на знаменатель, получим:

=.

Отметим, что нет надобности после каждого слагаемого ставить произвольную постоянную, потому что их сумма есть также произвольная постоянная, которую мы пишем в конце.

Пример 2.Найти.

 Преобразуем подынтегральную функцию следующим образом:

.

Применив табличный интеграл 1, получим:

.

Пример 3.

.

Пример 4.

.

Пример 5.

=

=.

В некоторых случаях нахождение интегралов упрощается применением искусственных приемов.

Пример 6.Найти.

 Умножив подынтегральное выражение на находим

=.

Пример 7.

.

Пример 8.

.

2. Интегрирование методом замены переменной

Вычислить заданный интеграл непосредственным интегрированием удается далеко не всегда, а иногда это связано с большими трудностями. В этих случаях применяют другие приемы. Одним из наиболее эффективных является метод замены переменной. Сущность его заключается в том, что путем введения новой переменной интегрирования удается свести заданный интеграл к новому, который сравнительно легко берется непосредственно. Существуют два варианта этого метода.

а) Метод подведения функции под знак дифференциала

По определению дифференциала функции .

Переход в этом равенстве слева направо называют "подведением множителя под знак дифференциала".

Теорема об инвариантности формул интегрирования

Всякая формула интегрирования сохраняет свой вид при подстановке вместо независимой переменной любой дифференцируемой функции от нее, т.е., если

, то и,

где - любая дифференцируемая функция отx. Ее значения должны принадлежать интервалу, в котором функцияопределена и непрерывна.

Доказательство:

Из того, что , следует. Возьмем теперь функцию. Для ее дифференциала в силу свойства инвариантности формы первого дифференциала функцииимеем

.

Отсюда .

Пусть требуется вычислить интеграл . Предположим, что существуют дифференцируемая функцияи функциятакие, что подынтегральное выражение может быть записано в виде

.

(1)

Тогда

,

(2)

т.е. вычисление интеграла сводится к вычислению интегралаи последующей подстановке.

Пример 1. .

Пример 2..

Пример 3..

Пример 4

..

Пример 5..

Пример 6..

Пример 7..

Пример 8..

Пример 9..

Пример 10..

Пример 11.

.

Приведем далее примеры вычисления интегралов, которые нам понадобятся в теории интегрирования рациональных дробей.

Пример 12.НайтиI=(0).

 Представим подынтегральную функцию в виде:

.

Следовательно,

I=

=.

Таким образом, .

Пример 12а. НайтиI=, .

 Так как ,

следовательно I=.

Пример 13.Найти(0).

 Для того, чтобы свести этот интеграл к табличному, разделим числитель и знаменатель подынтегрального выражения на :

.

Мы подвели постоянный множитель под знак дифференциала. Рассматриваякак новую переменную, получим:

.

Вычислим также интеграл, который имеет важное значение при интегрировании иррациональных функций.

Пример 14.НайтиI=(ха,а0).

 Имеем .

Итак, (ха,а0).

Представленные примеры иллюстрируют важность умения приводить данное

дифференциальное выражение

к виду, гдеесть некоторая функция отxиg– функция более простая для интегрирования, чемf.

В этих примерах были проведены преобразования дифференциала, такие как

гдеb– постоянная величина

,

,

,

часто используемые при нахождении интегралов.

В таблице основных интегралов предполагалось, что xесть независимая переменная. Однако, эта таблица, как следует из изложенного выше, полностью сохраняет свое значение, если подxпонимать любую непрерывно дифференцируемую функцию от независимой переменной. Обобщим ряд формул таблицы основных интегралов.

3а.

.

4..

5.=.

6.= .

7.= .

8. (ха,а0).

9. (а0).

Операция подведения функции под знак дифференциала эквивалентна замене переменнойхна новую переменную. Нижеследующие примеры иллюстрируют это положение.

Пример 15.НайтиI=.

 Произведем замену переменной по формуле , тогда, т.е.иI=.

Заменив uего выражением, окончательно получим

I=.

Выполненное преобразование эквивалентно подведению под знак дифференциала функции .

Пример 16.Найти.

 Положим , тогда, откуда. Следовательно,

.

Пример 17.Найти.

 Пусть , тогда, или. Следовательно,

.

В заключение отметим, что разные способы интегрирования одной и той же функции иногда приводят к функциям, различным по своему виду. Это кажущееся противоречие можно устранить, если показать, что разность между полученными функциями есть постоянная величина (см. теорему, доказанную на лекции 1).

Примеры:

а) .

.

Результаты отличаются на постоянную величину, и, значит, оба ответа верны.

б) I=.

.

Легко убедиться, что любые из ответов отличаются друг от друга только на постоянную величину.

б) Метод подстановки (метод введения новой переменной)

Пусть интеграл (- непрерывна) не может быть непосредственно преобразован к виду табличного. Сделаем подстановку, где- функция, имеющая непрерывную производную. Тогда,и

. (3)

Формула (3) называется формулой замены переменной в неопределенном интеграле.

Как правильно выбрать подстановку? Это достигается практикой в интегрировании. Но можно установить ряд общих правил и некоторых приемов для частных случаев интегрирования.

Правило интегрирования способом подстановки состоит в следующем.

  1. Определяют, к какому табличному интегралу приводится данный интеграл (предварительно преобразовав подынтегральное выражение, если нужно).

  2. Определяют, какую часть подынтегральной функции заменить новой переменной, и записывают эту замену.

  3. Находят дифференциалы обеих частей записи и выражают дифференциал старой переменной (или выражение, содержащее этот дифференциал) через дифференциал новой переменной.

  4. Производят замену под интегралом.

  5. Находят полученный интеграл.

  6. Производят обратную замену, т.е. переходят к старой переменной.

Проиллюстрируем правило примерами.

Пример 18.Найти.

= .

Пример 19.Найти.

=.

Этот интеграл найдем подведением под знак дифференциала.

=.

Пример 20.Найти().

, т.е., или. Отсюда, т.е..

Таким образом, имеем . Заменяяего выражением черезx, окончательно находим интеграл, играющий важную роль в интегрировании иррациональных функций:().

Студенты прозвали этот интеграл «длинным логарифмом».

Иногда вместо подстановки лучше выполнять замену переменной вида.

Пример 21.Найти.

.

Пример 22.Найти.

 Воспользуемся подстановкой . Тогда,,.

Следовательно, .

В ряде случаев нахождение интеграла основывается на использовании методов непосредственного интегрирования и подведения функций под знак дифференциала одновременно (см. пример 12).

Проиллюстрируем этот комбинированный подход к вычислению интеграла, играющего важную роль при интегрировании тригонометрических функций.

Пример 23.Найти.

  • Имеем

=.

Итак, .

Другой подход к вычислению этого интеграла:

.

Пример 24.Найти.

Заметим, что удачный выбор подстановки обычно представляет трудности. Для их преодоления необходимо овладеть техникой дифференцирования и хорошо знать табличные интегралы.

Лекция 3.

studfiles.net

6.5. Методы интегрирования

Интегрирование является значительно более сложным действием, чем дифференцирование, поскольку для отыскания первообразных нет таких универсальных правил и формул, как в дифференциальном исчислении.

Методы интегрирования сводятся к указанию ряда приемов, приводящих данный интеграл к табличному. К наиболее важным методам интегрирования относятся: непосредственное интегрирование, замена переменной (метод подстановки) и интегрирование по частям.

Метод непосредственного интегрирования

Интегрирование, основанное на прямом использовании таблицы интегралов и свойств неопределенного интеграла, называется непосредственным интегрированием.

При непосредственном интегрировании могут представиться три случая.

I. Интеграл находят непосредственно по соответствующему табличному интегралу.

Примеры

1) ;

2) ;

II. Интеграл приводится к одному или нескольким табличным интегралам в результате применения свойств неопределенного интеграла.

Примеры

1.

;

2.

.

III. Интеграл приводится к одному или нескольким табличным интегралам в результате элементарных тождественных преобразований подынтегральной функции и применения свойств неопределенного интеграла.

Примеры

1.

;

2. ;

;

4.

.

Метод интегрирования подстановкой (замена переменной)

Сущность метода заключается в том, что путем введения новой переменной интегрирования (т.е. подстановки) удается свести заданный интеграл к новому интегралу, который является табличным или легко находится другим способом. Общих методов подбора подстановок не существует. Рассмотрим некоторые варианты подстановок.

Линейные подстановки

При сведении данного интеграла к табличному часто используются преобразования дифференциала (операция «подведения под знак дифференциала»).

I. Под знак дифференциала, стоящего в интеграле, можно ввести любое постоянное слагаемое.

При любой постоянной а будет

.

Поэтому

.

Примеры

1.;

2. ;

3. .

II. Под знак дифференциала, стоящего в интеграле, можно ввести любой постоянный множитель, разделив на него интеграл.

Известно, если а − постоянно, то

.

Тогда

.

Поэтому

.

Примеры

1. ;

2. ;

3. .

В некоторых случаях применяют оба приема вместе:

,

где а и b − постоянные.

Примеры

2. ;

3. .

Подстановка вида

Если под знаком интеграла стоит сложная функция, умноженная на производную от внутренней функции, т.е. интеграл имеет вид:

,

то этот интеграл можно упростить, если заменить внутреннюю функцию новой переменной .

Тогда получим

.

В данном случае была применена операция «подведения под знак дифференциала» ().

Для применения подстановки существует следующее правило.

Правило.

Чтобы найти интеграл , надо

1) переписать интеграл в виде

;

2) сделать замену , что приведет к интегралу

;

3) найти последний интеграл;

4) в полученном ответе произвести обратную замену u на .

Примеры

1.

;

2. ;

3. ;

4. .

Подстановка вида

Пусть требуется найти интеграл

.

Иногда бывает целесообразно при вычислении такого интеграла, в котором независимой переменой является х, сделать подстановку . Преобразуя подынтегральное выражение путем подстановки, имеем

,

так как .

В результате получаем формулу интегрирования подстановкой :

.

Замечание.

Функция выбирается так, чтобы интеграл в правой части равенства был более простым, чем первоначальный.

Сформулируем правило подстановки.

Правило.

Чтобы найти интеграл , надо

1) перейти к новой переменной t, связанной с х выражением ;

2) выразить через t все подынтегральное выражение :

;

3) найти новый интеграл:

;

4) в полученном ответе произвести обратную замену нах.

studfiles.net

Интегральное исчисление/Методы интегрирования — Викиучебник

Материал из Викиучебника — открытых книг для открытого мира

← Основные свойства неопределённого интеграла | Методы интегрирования | Интегрирование полиномиальных и рациональных функций →

В предыдущей главе были приведены основные свойства интегралов, которые позволяют непосредственно брать некоторые виды интегралов. Знание этих свойств и овладение навыками анализа подынтегрального выражения, выявление его структуры и перспектив того или иного подхода, позволяют находить интегралы от сложных функций. Но хочется подчеркнуть ещё раз, что процесс интегрирования является в некотором смысле искусством, так как, в отличие от дифференцирования, не существует чёткой последовательности действий, которые бы всегда приводили бы к успеху. В этом проявляется особенность интегрирования, как действия обратного по отношению к дифференцированию.

В первую очередь для решения интегралов необходимо хорошо знать правила дифференцирования, табличные значения производных и интегралов и уметь их распознавать в различной записи. Важно владеть навыками алгебраических преобразований, связями между основными математическими функциями, например, знать формулы приведения или кратных и дольных аргументов тригонометрических функций, свойства степенных, показательных и логарифмических функций.

Теорема Лиувилля об интегрировании в элементарных функциях, являясь основой для создания алгоритмов символьного интегрирования, тем не менее не освобождает от вычислительной сложности.

На рассмотренных в главе 4 свойствах основан тот или иной метод интегрирования.

О вынесении постоянного множителя из-под знака интеграла можно сказать лишь то, что это фактически не изменяет сложности интеграла.

Разбиение подынтегрального выражения, представляющего собой сумму, на слагаемые позволяет разбить интеграл на более простые (если это необходимо) и находить интегралы уже от отдельных частей. Но при этом нужно быть внимательным, так как может получиться так, что сумму и

ru.wikibooks.org

Примеры решения интегралов

Формулы и уравнения неопределенных интегралов здесь.

Пример. Метод непосредственного интегрирования неопределенного интеграла.

Дано: интеграл
Найти:
Вычислить неопределенный интеграл методом непосредственного интегрирования.

Решение:
Метод непосредственного интегрирования: воспользовавшись свойством линейности

применяя тождественные преобразования подынтегрального выражения, исходный интеграл сводится к нескольким более простым, которые могут быть вычислены непосредственно по таблице интегралов.

Используя вышеприведенное, применив основное тригонометрическое тождество , получим следующее:

Далее, разделив каждое слагаемое числителя подынтегрального выражения на знаменатель и воспользовавшись таблицей интегралов от элементарных функций (ссылка) получим следующее:

Ответ:

Пример. Метод интегрирования по частям неопределенного интеграла.

Дано: интеграл
Найти:
Вычислить неопределенный интеграл методом интегрирования по частям.

Решение:
Метод интегрирования по частям: подынтегральное выражение представляем в виде произведения некоторой функции u на дифференциал другой функции dv: . Далее, используя формулу интегрирования по частям заменяем исходный интеграл другим который, как правило, более простой для вычисления.

Применим вышесказанное к нашему интегралу. Считаем , тогда

Воспользовавшись вышеприведенной формулой, в итоге получим следующее:

Ответ:

Пример. Метод замены переменной неопределенного интеграла.

Дано: интеграл
Найти:
Вычислить неопределенный интеграл методом замены переменной.

Решение:
Метод замены переменной: вместо исходной переменной x, вводится новая переменная k, связанная с x соотношением: , где — дифференцируемая функция переменной x.

Применяем вышеприведенное к нашему интегралу, обозначаем через новую переменную интегрирования k выражение, стоящее в знаменателе подинтегральной функции значит, . Получаем преобразованный интеграл:

Вычисляем полученный интеграл по переменной k и возвращаемся к старой переменной x, с учетом того, что

Ответ:

matematika.electrichelp.ru

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *