Множества и операции над ними примеры – Множества и операции над множествами

04. Множества и операции над ними. Числовые множества. Некоторые обозначения

Множество – первичное неопределяемое понятие. Обозначают множества прописными латинскими буквами A, B, C, X, …. Под множеством понимают совокупность (группу, набор и т. д.) элементов, которые характеризуются одинаковыми свойствами.

Множества изображают Диаграммами (кругами) Эйлера-Венна (рис. 1.2).

 

Рис. 1.2

Если элемент А принадлежит множеству А, то пишут A Î A; если элемент А не принадлежит множеству А, то пишут A Ï A.

Множество может задаваться с указанием его характеристического свойства. Например, если A состоит из элементов X, для которых выполняется свойство P(X), то пишут

Если каждый элемент множества A есть элемент множества B, то множество A называется Подмножеством множества B (или говорят, что A Включено в B), пишут A Ì B (или

B É A) (рис. 1.3). Два множества A, B называются Равными (A = B), если они состоят из одних и тех же элементов: A = B тогда и только тогда, когда A Ì B и B Ì A. Множество, которое не имеет элементов, называется Пустым И обозначается символом Æ.

К основным операциям над множествами относят пересечение, объединение, разность, дополнение.

Пересечением множеств A, B называется множество A Ç B, состоящее из всех тех элементов, которые принадлежат и множеству A, и множеству B (рис. 1.4).

Объединением множеств A, B называется множество A È B, состоящее из всех тех элементов, которые принадлежат или множеству A, или множеству B (хотя бы одному из множеств A, B) (рис. 1.5).

Разностью множеств A\B называется множество, состоящее из всех тех элементов, которые принадлежат множеству A и не принадлежат множеству B (рис. 1.6).

Дополнением множества A до конкретного (универсального) множества

U называется множество , которое определяется равенством (рис. 1.7).

 

A Ì B A Ç B A È B

Рис. 1.3 Рис. 1.4 Рис. 1.5

 

А\В

Рис. 1.6 Рис. 1.7

Для произвольных множеств A, B, C справедливы свойства:

1) Коммутативность объединения;

2) коммутативность пересечения;

3) Ассоциативность объединения;

4) Ассоциативность пересечения;

5) , дистрибутивность;

6) ;

7) ;

8) ;

9) .

Пусть – количество элементов множеств А и В соответственно, тогда справедлива формула

(1.8)

Рассматривают следующие числовые множества:

1) Множество натуральных чисел;

2) Множество целых чисел;

3) QМножество рациональных чисел: это множество всех обыкновенных дробей, т. е. чисел вида где

Множество Q определяется также, как множество всех бесконечных десятичных периодических дробей;

4) IМножество иррациональных чисел: это множество всех бесконечных десятичных непериодических дробей;

5) R Множество действительных чисел: .

Верны соотношения:

, , .

Произведение первых N натуральных чисел называется Факториалом, для него введен специальный символ:

.

По определению принимают 0! = 1.

Для всякого определены следующие понятия:

Целая часть (антье) числа X, определяется как целое число такое, что

;

Дробная часть (мантисса), определяется равенством

;

Знак числа (сигнум), определяется следующим образом:

Если некоторые действительные числа, то Сумму Этих величин обозначают с использованием Знака суммы:

,

Где KИндекс суммирования.

Свойства суммы:

1) – сумма не зависит от того, какой буквой обозначен индекс суммирования;

2)

3)

4) – свойство сдвига индекса суммирования.

Пример 1. Доказать равенство

(1.9)

Доказательство. Пусть Согласно определению разности, получаем и Поскольку выполняются оба эти условия, то это возможно только в случае Получаем, что и т. е. Этим мы доказали, что

(1.10)

Допустим, что Тогда и но это означает, что

Два условия и которые имеют место, означают, что т. е.

(1.11)

Равенство (1.9) доказано, поскольку установлена справедливость включений (1.10) и (1.11).

Пример 2. На первом курсе учатся 200 студентов. Из них своевременно сдали зачет по математике 175 человек, а по физике – 185 человек. Не сдали зачет ни по математике, ни по физике 10 человек. Сколько студентов сдали оба зачета?

Решение. Пусть A – множество всех студентов курса; B – множество студентов, которые сдали зачет по математике, C – по физике (рис. 1.8).

Согласно условию задачи, , , , и надо найти .

Рис. 1.8

Находим, сколько человек сдали хотя бы один зачет:

Используем далее формулу (1.8), из которой выражаем

Получаем

Пример 3. Сократить дробь

Решение. Выделим общий множитель в числителе и знаменателе. Очевидно, что

Поэтому

Пример 4. Вычислить сумму

Решение. Получим последовательно слагаемые, придавая значения 1, 2, …, 7:

Вычисляя, приходим к ответу

< Предыдущая   Следующая >

matica.org.ua

Отношения между множествами и операции над ними

Отношения между множествами

Выше мы встретились с тем, что одно множество может являться частью другого. В самом общем случае все множества являются частью универсума - множества, включающего в себя все мыслимые множества (в рамках конкретной задачи).

Такое отношение называется включением множества A в множество B:
A ⊆ B, если каждый элемент множества A является также элементом множества B.
В этом случае множество B включает в себя множество А.

Говорят, что множество А строго включено в множество B, если А включено в B и не равно ему:
A ⊂ B
В этом случае множество B строго включает в себя множество А; А является собственным множеством множества В.

Собственное множество — множество, которое является частью другого и не равно ему. В обоих случаях принято называть множество А подмножеством множества В; в свою очередь, множество В будет надмножеством множества А.

Два множества A и B будут равны, если каждый элемент A будет также являться элементом B, и каждый элемент множества B будет также являться элементом A
A = B
В таком случае можно сказать, что каждое из них будет подмножеством (надмножеством) другого.

Говорят, что множества не пересекаются, если у них нет общих элементов.

Множества A и B находятся в общем положении

, если существует элемент (хотя бы один), принадлежащий исключительно множеству A, элемент, принадлежащий исключительно множеству B, а также элемент, принадлежащий обоим множествам.

Операции над множествами

Если имеется два множества или более, то с ними можно выполнить ряд операций. К таким операциям относятся:
- пересечение,
- объединение,
- дополнение,
- разность,
- симметрическая разность.
Все перечисленные операции, кроме дополнения, являются бинарными, т. е. выполняющимися с двумя множествами. Дополнение — унарная операция (выполняемая с одним множеством), которая, однако, может быть осуществлена лишь с учётом всех других множеств, предоставленных по условию задачи: дополнение всегда осуществляется до конкретного множества.
При этом пересечение, объединение и дополнение являются базовыми операциями, через которые могут быть выражены остальные.

Пересечение множеств

Пересечение множеств (обозначается X ∩ Y) — множество, включающее в себя элементы, которые одновременно входят в состав каждого из исходных множеств.

Персечение показано оранжевым цветом.


Можно сказать, что пересечение содержит элементы, общие для обоих множеств.

Операция пересечения коммутативна и ассоциативна:
1. X ∩ Y = Y ∩ X;
2. A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C;

Очевидно, что мощность пересечения не превосходит наименьшую мощность пересекающихся множеств:
|X ∩ Y| ≤ min (|X|,|Y|)

Пример

Задача. Даны множества A, B и C, которые представлены следующими элементами: A = {1, 2, 4, 5}, B = {1, 3, 5}, C = {4, 5, 6}. Какими элементами образованы все возможные пересечения этих множеств?


Решение. Из определения пересечения следует, что из пересекающихся множеств в результирующее следует отобрать только те элементы, которые присутствуют во всех множествах одновременно. Тогда:
1) A ∩ B = {1, 2, 4, 5} ∩ {1, 3, 5} = {1, 5};
2) A ∩ C = {1, 2, 4, 5} ∩ {4, 5, 6} = {4, 5};
3) B ∩ C = {1, 3, 5} ∩ {4, 5, 6} = {5};
4) A ∩ B ∩ C = {1, 2, 4, 5} ∩ {1, 3, 5} ∩ {4, 5, 6} = {5}.
Пересечение трёх множеств, которое показано последним, логично получать поочерёдным пересечением каких-либо двух множеств (по ассоциативности этого действия).
4) (A ∩ B) ∩ C = ({1, 2, 4, 5} ∩ {1, 3, 5}) ∩ {4, 5, 6} = {1, 5} ∩ {4, 5, 6} = {5}.


Объединение множеств

Объединение множеств (обозначается X ∪ Y) — множество, включающее в себя все элементы, входящие в состав хотя бы одного из исходных множеств.

 Объединение показано оранжевым цветом.


Операция объединения также коммутативна и ассоциативна.

Объединением множеств является множество, включающее в себя каждое из объединяемых множеств

Дополнение

Дополнение множества (обозначается ∁Y или Ẏ) — другое множество, включающее в себя все элементы, не входящие в состав исходного.

Дополнение множества Y ⊆ X показано оранжевым цветом.

Под ∁Y подразумеваются все элементы, НЕ относящиеся к Y. Таким образом, ∁Y можно назвать "множеством НЕ Y", т. е. не имеющим с Y общих точек.

Несмотря на то, что операция дополнения является унарной, наличие другого множества учитывается.
Понятно, что исходное множество Y должно являться частью другого (X), на котором можно выбирать не принадлежащие Y элементы. Если множества Y и X совпадают, то дополнением Y является пустое множество.

Из математической записи дополнения напрямую не следует, до какого именно множества дополняется указанное. Cчитается, что дополнение всегда выполняется до универсума.

Разность множеств

Разность множеств (обозначается X \ Y) — подмножество множества X, включающее в себя элементы X, не относящиеся к множеству Y.

 Разность множеств показана оранжевым цветом.

Можно выделить четыре случая определения двух множеств, при которых их разность представляется отличающимися результатами, хотя эти результаты очевидны.
1. Пусть Y ⊊ X. Тогда X \ Y = X ∩ ∁Y, Y \ X = ∅.
2. Если Y = X, то X \ Y = Y \ X = ∅.
3. Предположим, что X ∩ Y ≠ ∅. Тогда X \ Y = X \ (X ∩ Y), хотя это равенство действительно всегда (как, впрочем, и X \ Y = X ∩ ∁Y). Эти равенства останутся справедливыми, если в них заменить X на Y и наоборот.
4. Наконец, последний случай, при котором X и Y не пересекаются (не имеют общих точек): X ∩ Y = ∅. Тогда X \ Y = X, Y \ X = Y.

Для вычисления мощности разности множеств чаще всего используется следующая формула:

|X \ Y|=|X|-|X ∩ Y|

Симметрическую разность мы рассмотрим позднее.

inf-95.blogspot.com

План-конспект по математике на тему: Конспект. Множества и операции над ними

Множества и операции над ними

1. Основные понятия о множества.

  1. Основные определения.

Одним из основных понятий математики является понятие множества, и, как каждое основное понятие, не поддаётся точному определению (например, понятия “точка”, “прямая” являются одними из основных понятий геометрии).

        МНОЖЕСТВОМ называется собрание, совокупность объектов, объединенных по какому-нибудь общему признаку, свойству.

Примеры:

  1. Множество студентов данной учебной группы.
  2. Множество планет солнечной системы.
  3. Множество букв русского алфавита.
  4. Множество натуральных чисел.

Математический смысл слова “множество” отличается от того, как оно используется в обычной речи. Так, в обычной речи понятие “множество” связывают с большим числом предметов, в математике же этого не требуется. Здесь могут рассматриваться множества, содержащие один объект, много объектов, несколько объектов или не содержащие ни одного объекта.

        Объекты, из которых состоит множество, называются его ЭЛЕМЕНТАМИ.

        Остановимся на символике, обычно использующейся при обращении с множествами.

        Множества обозначаются прописными (заглавными) буквами латинского алфавита (без индексов или с индексами). Например: B, C,…,X,Y,…,A1,B1,…

        Элементы множества обозначаются  строчными (малыми) буквами латинского алфавита. Например: b,c,…,x,y,…,a1,b1,…

        В математике особую роль играют множества, элементами которых являются числа. Такие множества называются ЧИСЛОВЫМИ. Некоторые числовые множества имеют специальные обозначения, вводимые для удобства пользования. Один из вариантов этих обозначений, которыми мы будем пользоваться в дальнейшем, выглядит следующим образом:

        N – множество всех натуральных чисел;

        Zc (или Z+ или C+) – множество всех целых неотрицательных чисел;

        Z (или C) – множество всех целых чисел;

        Q – множество всех рациональных чисел;

        R – множество всех действительных чисел;

        R+ - множество всех действительных положительных чисел.

        По числу элементов, входящих в множество, множества делятся на три класса:

1 – конечные,  2 – бесконечные, 3 – пустые.

        1. Если  элементы множества можно сосчитать, то множество является КОНЕЧНЫМ.

 Пример 1.

        Множество гласных букв в слове “математика” состоит из трёх элементов – это буквы “а”, “е”, “и”, причем, гласная считается только один раз, т.е. элементы множества при перечислении не повторяются.

        2. Если элементы множества сосчитать невозможно, то множество БЕСКОНЕЧНОЕ.

Пример 2.

Множество натуральных чисел бесконечно.

Пример 3.

Множество точек отрезка [0;1] бесконечно.

3. Множество, не содержащее ни одного элемента, называется ПУСТЫМ. Символически оно обозначается знаком ∅.

Пример 4.

Множество действительных корней уравнения  x2 +1=0.

Пример 5.

Множество людей, проживающих на Солнце.

В математике часто приходится определять принадлежность данного элемента конкретному множеству.

Пример 6.

Мы говорим, что число 5 натуральное, т.е. утверждаем, что число 5 принадлежит множеству натуральных чисел. Символически принадлежность множеству записывается с помощью знака ∈. В данном случае символическая запись будет такой: 5 ∈ N. Читается: “5 принадлежит множеству натуральных чисел”.

Число 5,2 не принадлежит множеству натуральных чисел, т.к. не является натуральным числом. Символически отношение “не принадлежит” записывается с помощью знака  (реже ∉). Таким образом, здесь имеем: 5,2 ∉ N

Читается:  “5,2 не принадлежит множеству натуральных чисел”.

1.2 Способы задания множеств.

        Множество считается заданным, если мы владеем способом, позволяющим для любого данного элемента определить, принадлежит он данному множеству или не принадлежит.

        Множество можно задать, непосредственно перечислив все его элементы, причём, порядок следования элементов может быть произвольным. В этом случае названия всех элементов множества записываются в строчку, отделяются точкой с запятой и заключаются в фигурные скобки.

Пример 7.

Множество всех гласных букв русского алфавита:

                 A={а; я; у; ю; э; е;о; ё; и; ы}.

Пример 8.

Множество цифр десятичной системы счисления:

                B={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 0}.

Очевидно, что такой способ задания множеств удобно применять для конечных множеств с небольшим количеством элементов.

        Конечные и бесконечные множества могут быть заданы другим способом: указанием ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОГО СВОЙСТВА, т.е. такого свойства, которым обладает любой элемент данного множества и не обладает ни один элемент, не принадлежащий ему.

Пусть P обозначает некоторое свойство, которым обладают все элементы множества  А и не обладают элементы никакого другого множества. Тогда множество всех элементов, обладающих свойством Р, обозначим так:

А={х│х обладает свойством Р}={ х│Р(х)}={х : Р(х)}.

Свойство Р, задающее множество А, есть характеристическое свойство множества А.

Пример 9.

Множество чётных натуральных чисел. Зададим его с помощью характеристического свойства:

В={х │х – чётное натуральное число}={х │ х=2k, k Є N}.

Пример 10.

Множество всех действительных чисел на отрезке от 1 до 3 включительно запишется следующим образом:

R1-3={y│1≤ y≤ 3, y Є R}.

Следует заметить, что в ряде случаев одно и то же множество может быть задано как первым, так и вторым способом.

Пример 11.

Множество натуральных чисел, меньших, чем 10.

Первый способ: N={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}.

Второй способ: N={z│z

Случается, что одно и то же множество может быть задано с помощью различных характеристических свойств.

Пример 12.

Множество квадратов.

Первый способ: A={x│x – ромб с прямыми углами}.

Второй способ: A={ x│x – прямоугольник с равными сторонами}.

1.3 Отношения между множествами.

        

Наглядно отношения между множествами изображают при помощи особых чертежей, называемых КРУГАМИ ЭЙЛЕРА (или диаграммами Эйлера – Венна).

Для этого множества, сколько бы они ни содержали элементов, представляют в виде кругов или любых других замкнутых кривых (фигур) – рис.1.

рис. 1.

1. Пусть даны два множества: X={a; b; c; d} и Y={l; k; m; b; c}. Множества Х и Y содержат некоторые одинаковые элементы, а именно “b” и “c” . В данном случае говорят, что множества X иY находятся в отношении ПЕРЕСЕЧЕНИЯ. С помощью кругов Эйлера данное отношение можно представить в виде рис. 2.

X                        Y                                B1                                       B2

                    рис. 2.                                                  рис. 3.

  1. Пусть даны множества B1={1; 2; 3} и B2={4; 5; 6}.

Данные множества различны, у них нет одинаковых элементов. В таком случае говорят, что множества B1 и B2  находятся в отношении НЕПЕРЕСЕЧЕНИЯ.        

С помощью кругов Эйлера данное отношение показано на рис. 3.        

  1. Пусть даны множества A={a; b; c; d; e} и B={a; b; c}.

Очевидно, что эти множества пересекаются; кроме того, каждый элемент
множества В является в то же время (одновременно) и элементом множества А. Тогда говорят, что множество В ВКЛЮЧЕНО в множество А, или что В есть ПОДМНОЖЕСТВО множества А.

Определение 1.1

        Множество В является подмножеством множества А тогда и только тогда, когда каждый элемент множества В является элементом множества А.

Отношение “включено” обозначается знаком ⊂.

Соответственно отношение “включает” – знаком ⊃.

Определение 1.1 символически записывается так: В⊂А или А⊃В. С помощью кругов Эйлера данное отношение между множествами показано на рис.4.

Из определения подмножества следует, что всякое непустое множество А содержит по крайней мере два

 множества: Ø и А, которые называются НЕСОБСТВЕННЫМИ

ПОДМНОЖЕСТВАМИ МНОЖЕСТВА. Все остальные подмножества (если они существуют) называются СОБСТВЕННЫМИ ПОДМНОЖЕСТВАМИ МНОЖЕСТВА. То есть, если В – собственное подмножество множества А, то имеем: Ø⊂ В⊂А, или иначе: А⊃В⊃ Ø.

4. Пусть даны множества C={x; y; z},  D={x; y; z}, которые состоят из одних и тех же элементов. В таком случае говорят, что множества С  и D равны и пишут C=D.

Определение 1.2

Множества С и D называются равными, если они состоят из одних и тех  же элементов.

Используя понятие “включено”, можно дать другое определение равенства множеств.

Определение 1.3

Множества C и D называются равными тогда и только тогда, когда множество С является подмножеством множества D, и наоборот.

Символически данное определение можно записать так:
С = D  ⇔ С ⊂ D и D ⊂ С, или С = D ⇔ С ⊂ D ∧ D ⊂ С,
где знак ⇔ означает “эквивалентность”  (равнозначность), а знак ∧ (конъюнкция) означает одновременность (совместность) осуществления тех операций (или событий), которые он соединяет.

        С помощью кругов Эйлера отношение “равенство” показано на рис.5.

        рис.5.                                                            рис.6.

УНИВЕРСАЛЬНОЕ МНОЖЕСТВО

        Пусть U (или T – total) – некоторое фиксированное множество. Рассмотрим только такие множества А, В, С,…, которые являются подмножествами множества U. В этом случае множество U называется  универсальным множеством всех множеств А, В, С,…

        Примером универсального множества может служить множество действительных чисел, множество людей на планете Земля…

        Мы его будем изображать прямоугольником с буквой U в правом верхнем углу (рис.6), внутри которого будут размещаться те или иные множества.

2. Операции над множествами

Рассмотрим некоторые операции над множествами.

2.1 Пересечение множеств

Пусть даны два множества: А={a; b; c; d} иB={c; d; e}.образуем новое множество Р, состоящее из всех  элементов, принадлежащих одновременно и множеству А, и множеству В, т.е. Р={c;d}. Тогда говорят, что множество Р является пересечением множеств А и В.

Определение 1.4

 Пересечением множеств А и В называется множество, состоящее их всех тех и только тех элементов, которые принадлежат множествам А и В одновременно.

Символически пересечение множеств А и В обозначается так: А∩В, где символ ∩ - знак пересечения множеств. Используя характеристическое свойство, определение 1.4 можно записать следующим образом:

Р=А∩В= {x ⎪x∈A и x∈B}={x ⎪ x∈A ∧ x∈B}.                                 (1)

Таким образом, (1) есть характеристическое свойство пересечения двух множеств.

        Союз “и” иногда заменяют фигурной скобкой, и тогда (1) будет иметь вид:

                                                                         (2)

Для обозначения одновременной принадлежности множеству А и множеству В используется также знак ∧ (конъюнкция, или логическое “и”):

                x∈A∩B  ⇒  x∈A  ∧  x∈B                                (2а)

Читаются выражения (2) и (2а) одинаково: если х принадлежит пересечению множеств А и В, то х  принадлежит как множеству А, так и множеству В.

        Если мы имеем ситуацию, когда х не принадлежит пересечению множеств А и В, то это означает, что х не принадлежит или множеству А, или множеству В.

Символически это может быть записано так:

                                        (3)

где квадратная скобка заменяет союз “или”.

В символической записи союз “или” может быть заменен также знаком ∨ (дизъюнкция, логическое “или”):

                х∉А∩В  ⇒  х∉А ∨ х∉В.                                                            (3а)

Читаются выражения (3) и (3а) одинаково: если х не принадлежит пересечению множеств А и В, то х не принадлежит или множеству А, или  множеству В.

Графическая иллюстрация вариантов пересечения двух множеств приведена на рис. 7÷10 (пересечение заштриховано).

рис. 7                      рис. 8                   рис. 9                рис. 10

2.2 Объединение множеств

        Множества А и В входят в их объединение только один раз. Это вполне соответствует толкованию множества, принятому в математике: ни один элемент не может содержаться в множестве несколько раз.

Определение 1.5

Объединением двух множеств А и В называется такое множество С, которое состоит из всех тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А или В.

        Символически объединение двух множеств А и В обозначается так:

 А ∪ В, где ∪ - символ объединения множеств. Определение 1.5 можно записать с помощью характеристического свойства:

        С= А ∪ В={x⎪ x∈A или x∈B}.                                                        (4)

Союз “или” иногда заменяют квадратной скобкой

                                                                                        (5)

а также знаком дизъюнкции

        х ∈А ∪ В ⇒  х∈А ∨ х∈В.                                                                         (5а)

Читаются эти знаки одинаково: если элемент х принадлежит объединению двух множеств А и В, то он принадлежит множеству А или множеству В.

        Если же элемент х  не принадлежит объединению множеств А и В, то он не принадлежит ни множеству А, ни множеству В. Символически это может быть записано так:

                                                                        (6)

или

                        x ∉A∪B ⇒ x∉A ∧ x∉B.                                (6а)

Графически варианты объединения двух множеств показаны на рис. 11÷14 (объединение заштриховано).

                                                     

рис. 11                      рис. 12                    рис. 13                  рис. 14

Отметим  некоторые очевидные свойства операции объединения двух множеств:

        А∪А=А,           А∪∅=А,         А∪U=U.                                                        (7)

Замечание1.

        Если А1, А2,…, Аn – несколько множеств, то аналогично тому, как это делалось для двух множеств, определяется их пересечение, т.е. составляется множество, представляющее их общую часть:

        Р= А1∩ А2∩…∩ Аn={x ⎪ x∈∀ Ai, i=},

Где символ ∀ (квантор всеобщности) заменяет слово “все”, и, таким образом, мы символически обозначили ту часть множеств Ai, которая принадлежит каждому множеству одновременно.

Замечание 2.

        Если А1, А2,…, Аn – несколько множеств, то аналогично тому, как это делалось для двух множеств, определяется их объединение – составляется множество, состоящее из элементов, которые принадлежат хотя бы одному их них:

        C= A1∪A2∪…∪An={x ⎪ x∈A1 или x∈A2  или …или x∈An}.

Замечание 3.

        Если в выражении есть знаки ∪ и ∩ и нет скобок, то сначала выполняется операция пересечения, а потом – операция объединения (аналог сложению и умножению в арифметике).

2.3 Разность множеств

Определение 1.6

        Разностью двух множеств А и В называется множество, состоящее из всех тех  и только тех элементов, которые принадлежат множеству А и не принадлежат множеству В.

        Символически разность двух множеств обозначается так:

А  В, где символ   является знаком разности для множеств. С помощью характеристического свойства запишем определение 1.6 следующим образом:

                C=A  B={x ⎪ x∈A и x∉B}                                                        (8)

Или                

                                                                        (9)

а также                  x∈AB ⇒ x∈A  ∧  x∉B.                                (9а)

Пример 1.

Если E1={2; 4; 6} и E2={6; 8; 10},     то E3=E1E2={2; 4},         E4=E2E1={8;10}.

Пример 2.

Если M1={x1; x2; x3},  M2={y1; y2}, то M3=M1M2={ x1; x2; x3},

M4=M2M1={y1; y2}.

Пример 3.

Если K1={1; 3; 5; 7; 9}, K2={5; 7; 1}, то K3=K1K2={3; 9}, K4=K2K1=∅.

 

Графическое представление вариантов разности двух множеств А и В показано на рис. 15÷18, где множество А  В заштриховано.

рис. 15                        рис. 16                     рис. 17                   рис. 18

2.4 Дополнение к множеству

Определение 1.7

        Пусть В ⊂ А. Множество всех элементов множества А, не принадлежащих множеству В, называют дополнением к множеству В и обозначают  или .

        Если ясно, о каком множестве идёт речь, то индекс А опускается и пишут        или .

Определение 1.8

        Пусть А – некоторое множество, являющееся частью универсального (основного) множества U. Дополнением множества А называется множество, состоящее из всех  тех и только тех элементов их множества U, которые не принадлежат А. Его обозначают      или .

 Это определение может быть записано в виде:

 = {x ⎪ x∉A}.                                                        (10)

Графически дополнения (соответственно определениям 1.7 и 1.8) изображены на рис. 19 и 20 соответственно, на которых дополнения заштрихованы.

                рис. 19                                        рис. 20

nsportal.ru

1)Множества и операции над ними. Понятие множества. Элементы множества. Пустое множество.

2)Примеры конечных и бесконечных множеств.Способы задания множества. Подмножества

Под множеством в математике понимают некий набор, совокупность предметов, как например множество учащихся в классе, множество цветов в саду.

Множества бывают конечные и бесконечные .Множества состоящие из конечного числа предметов называються конечными, состоящиеиз бесконечного – бесконечные, не содержащие элементов – пустые.

A,B,C,D-множества

A,b,c,d- элементы множества

Способы задания множества:

  • Путем перечисления его элементов (исп. Фигурные скобки)

  • С помощью характеристического свойства, которым обладает каждый элемент пренадлежащий данному множеству и не обладает ни один элемент не принадлежащий множеству.

A={ название элемента | указываються свойства}

Если каждый элемент множества А является элементом множества В, то множество А является подмножеством В.

А ⊂В

В ⊃ А- множество В включает в себя А

Любое не пустое подмножество В множества А, не совпадающее с ним, называется собственным подмножеством.

Подмножество А и пустое множество называют не собственными подмножествами.

Не собственные подмножества

{1; 2; 3;4} Ø

Универсальное множество – это самое «большое» множество, включающее в себя все множества рассматриваемые в данной задачи.

Два множества А и В равны, если они состоят из одних и тех же же элементов.

Два множества равны тогда и только тогда, когда каждое является подмножеством другого.

А=В <=>(А В и В А)

3)Универсальное множеств

Универса́льное мно́жество— в математике множество, содержащее все объекты и все множества. Если универсальное множество существует, то оно единственно.

Универсальное множество обычно обозначаетсяU(от англ.universe, universal set), реже Е.

Круги́ Э́йлера[1]— геометрическая схема, с помощью которой можно изобразить отношения между

подмножествами, для наглядного представления. Изобретены Леонардом Эйлером. Используется в математике,логике,менеджменте и других прикладных направлениях.

Важный частный случай кругов Эйлера—диаграммы Эйлера— Венна, изображающие все 2 в степени n комбинаций n свойств, то есть конечную булеву алгебру. При n=3диаграмма Эйлера— Венна обычно изображается в виде трёх кругов сцентрами в вершинах равностороннего треугольника и одинаковым радиусом, приблизительно равным длине стороны треугольника.

Пересечением двух множеств называют множество, состоящее из всех общих элементов этих множеств.

Пример: Возьмем числа 12 и 18. Найдем их делители, обозначив все множество этих делителей соответственно буквами А и B: А = {1, 2, 3, 4, 6, 12}, B = {1, 2, 3, 6, 9, 18}.

Мы видим, что у чисел 12 и 18 есть общие делители: 1, 2, 3, 6. Обозначим их буквой C: C = {1, 2, 3, 6).

Множество C и является пересечением множеств А и B. Пишут это так: А ∩B =C.

Если два множества не имеют общих элементов, то пересечением этих множеств являетсяпустое множество. Пустое множество обозначают знаком Ø, а используют такую запись:

X ∩Y = Ø.

Объединение двух множеств– это множество, состоящее из всех элементов этих множеств.

Для примера вернемся к числам 12 и 18 и множеству их элементов A и B. Выпишем сначала элементы множества А, затем добавим к ним те элементы множества B, которых нет во множестве А. Мы получим множество элементов, которым обладают А и B в совокупности. Обозначим его буквой D:

D = {1, 2, 3, 4, 6, 12, 9, 18).

Множество D и является объединением множеств A и B. Пишется это так:

D =AUB.

Разность двух множеств— это теоретико-множественная операция, результатом которой является множество, в которое входят все элементы первого множества, не входящие во второе множество. Обычно разность множеств А и В обозначается как А/В, но иногда можно встретить обозначение А-В.

Дополнением(дополнением до универсального множества)множества А называется множество, состоящее из всех элементов универсального множества не содержащихся в А.

Декартовым произведением множеств АиВ называется множество пар, первая компонента которых принадлежит множеству А, вторая множеству В.Обозначают АхВ.Таким образом АхВ = {(x;y) xєA, yєB}.

studfiles.net

Тема №1. Множества и операции над ними

ТЕМА №1. Множества и операции над ними.

§1. Основные понятия о множествах.

    1. Основные определения.

Одним из основных понятий математики является понятие множества, и, как каждое основное понятие, не поддаётся точному определению (например, понятия “точка”, “прямая” являются одними из основных понятий геометрии).

МНОЖЕСТВОМ называется собрание, совокупность объектов, объединенных по какому-нибудь общему признаку, свойству.

Примеры:

  1. Множество студентов данной учебной группы.

  2. Множество планет солнечной системы.

  3. Множество букв русского алфавита.

  4. Множество натуральных чисел.

Математический смысл слова “множество” отличается от того, как оно используется в обычной речи. Так, в обычной речи понятие “множество” связывают с большим числом предметов, в математике же этого не требуется. Здесь могут рассматриваться множества, содержащие один объект, много объектов, несколько объектов или не содержащие ни одного объекта.

Объекты, из которых состоит множество, называются его ЭЛЕМЕНТАМИ.

Остановимся на символике, обычно использующейся при обращении с множествами.

Множества обозначаются прописными (заглавными) буквами латинского алфавита (без индексов или с индексами). Например: B, C,…,X,Y,…,A1,B1,…

Элементы множества обозначаются строчными (малыми) буквами латинского алфавита. Например: b,c,…,x,y,…,a1,b1,…

В математике особую роль играют множества, элементами которых являются числа. Такие множества называются ЧИСЛОВЫМИ. Некоторые числовые множества имеют специальные обозначения, вводимые для удобства пользования. Один из вариантов этих обозначений, которыми мы будем пользоваться в дальнейшем, выглядит следующим образом:

N – множество всех натуральных чисел;

Zc(или Z+ или C+) – множество всех целых неотрицательных чисел;

Z (или C) – множество всех целых чисел;

Q – множество всех рациональных чисел;

R – множество всех действительных чисел;

R+ - множество всех действительных положительных чисел.

По числу элементов, входящих в множество, множества делятся на три класса:

1 – конечные, 2 – бесконечные, 3 – пустые.

1. Если элементы множества можно сосчитать, то множество является КОНЕЧНЫМ.

Пример 1.

Множество гласных букв в слове “математика” состоит из трёх элементов – это буквы “а”, “е”, “и”, причем, гласная считается только один раз, т.е. элементы множества при перечислении не повторяются.

2. Если элементы множества сосчитать невозможно, то множество БЕСКОНЕЧНОЕ.

Пример 2.

Множество натуральных чисел бесконечно.

Пример 3.

Множество точек отрезка [0;1] бесконечно.

3. Множество, не содержащее ни одного элемента, называется ПУСТЫМ. Символически оно обозначается знаком .

Пример 4.

Множество действительных корней уравнения x2 +1=0.

Пример 5.

Множество людей, проживающих на Солнце.

В математике часто приходится определять принадлежность данного элемента конкретному множеству.

Пример 6.

Мы говорим, что число 5 натуральное, т.е. утверждаем, что число 5 принадлежит множеству натуральных чисел. Символически принадлежность множеству записывается с помощью знака . В данном случае символическая запись будет такой: 5  N. Читается: “5 принадлежит множеству натуральных чисел”.

Число 5,2 не принадлежит множеству натуральных чисел, т.к. не является натуральным числом. Символически отношение “не принадлежит” записывается с помощью знака (реже ). Таким образом, здесь имеем: 5,2  N

Читается: “5,2 не принадлежит множеству натуральных чисел”.

1.2 Способы задания множеств.

Множество считается заданным, если мы владеем способом, позволяющим для любого данного элемента определить, принадлежит он данному множеству или не принадлежит.

Множество можно задать, непосредственно перечислив все его элементы, причём, порядок следования элементов может быть произвольным. В этом случае названия всех элементов множества записываются в строчку, отделяются точкой с запятой и заключаются в фигурные скобки.

Пример 7.

Множество всех гласных букв русского алфавита:

A={а; я; у; ю; э; е;о; ё; и; ы}.

Пример 8.

Множество цифр десятичной системы счисления:

B={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 0}.

Очевидно, что такой способ задания множеств удобно применять для конечных множеств с небольшим количеством элементов.

Конечные и бесконечные множества могут быть заданы другим способом: указанием ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОГО СВОЙСТВА, т.е. такого свойства, которым обладает любой элемент данного множества и не обладает ни один элемент, не принадлежащий ему.

Пусть P обозначает некоторое свойство, которым обладают все элементы множества А и не обладают элементы никакого другого множества. Тогда множество всех элементов, обладающих свойством Р, обозначим так:

А={х│х обладает свойством Р}={ х│Р(х)}={х : Р(х)}.

Свойство Р, задающее множество А, есть характеристическое свойство множества А.

Пример 9.

Множество чётных натуральных чисел. Зададим его с помощью характеристического свойства:

В={х │х – чётное натуральное число}={х │ х=2k, k Є N}.

Пример 10.

Множество всех действительных чисел на отрезке от 1 до 3 включительно запишется следующим образом:

R1-3={y│1≤ y≤ 3, y Є R}.

Следует заметить, что в ряде случаев одно и то же множество может быть задано как первым, так и вторым способом.

Пример 11.

Множество натуральных чисел, меньших, чем 10.

Первый способ: N<10={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}.

Второй способ: N<10={z│z<10, z Є N}.

Случается, что одно и то же множество может быть задано с помощью различных характеристических свойств.

Пример 12.

Множество квадратов.

Первый способ: A={x│x – ромб с прямыми углами}.

Второй способ: A={ x│x – прямоугольник с равными сторонами}.

1.3 Отношения между множествами.

Наглядно отношения между множествами изображают при помощи особых чертежей, называемых КРУГАМИ ЭЙЛЕРА (или диаграммами Эйлера – Венна).

Для этого множества, сколько бы они ни содержали элементов, представляют в виде кругов или любых других замкнутых кривых (фигур) – рис.1.

Рис. 1.

1. Пусть даны два множества: X={a; b; c; d} иY={l; k; m; b; c}. Множества Х и Y содержат некоторые одинаковые элементы, а именно “b” и “c” . В данном случае говорят, что множества X иY находятся в отношении ПЕРЕСЕЧЕНИЯ. С помощью кругов Эйлера данное отношение можно представить в виде рис. 2.

X Y B1 B2

Рис. 2. Рис. 3.

  1. Пусть даны множества B1={1; 2; 3} и B2={4; 5; 6}.

Данные множества различны, у них нет одинаковых элементов. В таком случае говорят, что множества B1 и B2 находятся в отношении НЕПЕРЕСЕЧЕНИЯ.

С помощью кругов Эйлера данное отношение показано на рис. 3.

  1. Пусть даны множества A={a; b; c; d; e} и B={a; b; c}.

Очевидно, что эти множества пересекаются; кроме того, каждый элемент
множества В является в то же время (одновременно) и элементом множества А. Тогда говорят, что множество В ВКЛЮЧЕНО в множество А, или что В есть ПОДМНОЖЕСТВО множества А.

Определение 1.1

Множество В является подмножеством множества А тогда и только тогда, когда каждый элемент множества В является элементом множества А.

Отношение “включено” обозначается знаком .

Соответственно отношение “включает” – знаком .

Определение 1.1 символически записывается так: ВА или АВ. С помощью кругов Эйлера данное отношение между множествами показано на рис.4.

Из определения подмножества следует, что всякое непустое множество А содержит по крайней мере два

множества: Ø и А, которые называются НЕСОБСТВЕННЫМИ

ПОДМНОЖЕСТВАМИ МНОЖЕСТВА. Все остальные подмножества (если они существуют) называются СОБСТВЕННЫМИ ПОДМНОЖЕСТВАМИ МНОЖЕСТВА. То есть, если В – собственное подмножество множества А, то имеем: Ø ВА, или иначе: АВ Ø.

4. Пусть даны множества C={x; y; z}, D={x; y; z}, которые состоят из одних и тех же элементов. В таком случае говорят, что множества С и D равны и пишут C=D.

Определение 1.2

Множества С и D называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов.

Используя понятие “включено”, можно дать другое определение равенства множеств.

Определение 1.3

Множества C и D называются равными тогда и только тогда, когда множество С является подмножеством множества D, и наоборот.

Символически данное определение можно записать так:
С = D  С  D и D  С, или С = D  С  D  D  С,
где знак  означает “эквивалентность” (равнозначность), а знак  (конъюнкция) означает одновременность (совместность) осуществления тех операций (или событий), которые он соединяет.

С помощью кругов Эйлера отношение “равенство” показано на рис.5.

u

Рис.5. рис.6.

Универсальное множество.

Пусть U (или T – total) – некоторое фиксированное множество. Рассмотрим только такие множества А, В, С,…, которые являются подмножествами множества U. В этом случае множество U называется универсальным множеством всех множеств А, В, С,…

Примером универсального множества может служить множество действительных чисел, множество людей на планете Земля…

Мы его будем изображать прямоугольником с буквой U в правом верхнем углу (рис.6), внутри которого будут размещаться те или иные множества.

refdb.ru

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *