N 2 n ряд – 1 n 2 сумма ряда

1 n 2 сумма ряда

Вы искали 1 n 2 сумма ряда? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос здесь. Подробное решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и 1 n ряд, не исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению в вуз. И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели — у нас уже есть решение. Например, «1 n 2 сумма ряда».

Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который может решить задачи, такие, как 1 n 2 сумма ряда,1 n ряд,вычисление суммы,вычисление суммы ряда,вычислить сумму ряда,как вычислить сумму ряда,найдите сумму,найти сумму,найти сумму ряда,найти сумму числового ряда,нахождение суммы ряда,посчитать сумму ряда,предел ряда,решение рядов,решение ряды,решение числовых рядов,ряд 1 2 n,ряд 1 n 2,ряд n 1 n,ряды функциональные онлайн,сумма 1 n 2,сумма ряда 1 2 n,сумма ряда 1 n,сумма ряда 1 n 2,сумма ряда n 2 n,сходимость рядов онлайн с подробным решением,функциональные ряды онлайн. На этой странице вы найдёте калькулятор, который поможет решить любой вопрос, в том числе и 1 n 2 сумма ряда. Просто введите задачу в окошко и нажмите «решить» здесь (например, вычисление суммы).

Где можно решить любую задачу по математике, а так же 1 n 2 сумма ряда Онлайн?

Решить задачу 1 n 2 сумма ряда вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице калькулятора.

www.pocketteacher.ru

Необходимый признак сходимости числового ряда. Вторая часть.

В первой части этой темы мы начали рассмотрение вопроса сходимости числовых рядов с использованием необходимого признака (или необходимого условия) сходимости. В этой теме продолжим разбор примеров. Напомню, что необходимый признак сходимости числового ряда формулируется так:

Если ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n$ сходится, то $\lim_{n\to\infty}u_n=0$.

Пример №5

Исследовать сходимость ряда $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(\frac{2n+7}{2n+3}\right)^{9n+1}$.

Решение

Так как нижний предел суммирования равен 1, то общий член ряда записан под знаком суммы: $u_n=\left(\frac{2n+7}{2n+3}\right)^{9n+1}$. Перед тем, как применять некий признак сходимости, немного порассуждаем, – не хватаясь за ручку 🙂 Дело в том, что $\frac{2n+7}{2n+3} > 1$, поэтому и $u_n > 1$. Следовательно, предел общего члена (если этот предел существует) не меньше единицы. Т.е. равенство $\lim_{n\to\infty}u_n=0$ невозможно. Следовательно, ряд будет расходиться.

Конечно, найти $\lim_{n\to\infty}u_n=0$ нам всё-таки придётся, так как при оформлении стандартных типовых расчётов или контрольных работ обычно требуется решение с нахождением предела. Однако, по сути, мы уже знаем ответ на вопрос задачи. Т.е. мы знаем, что ряд расходится, – осталось лишь продемонстрировать это формально.

Для нахождения предела общего члена ряда будем использовать второй замечательный предел:

$$ \lim_{n\to\infty}u_n=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{2n+7}{2n+3}\right)^{9n+1}=\left|1^\infty\right|= \left(1+\frac{2n+7}{2n+3}-1\right)^{9n+1}= \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{4}{2n+3}\right)^{9n+1}=\\ =\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{\frac{2n+3}{4}}\right)^{9n+1} =\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{\frac{2n+3}{4}}\right)^{\frac{2n+3}{4}\cdot\frac{4}{2n+3}\cdot(9n+1)} =\lim_{n\to\infty}e^{\frac{36n+4}{2n+3}}=e^{\frac{36}{2}}=e^{18}. $$

Так как предел общего члена ряда не равен нулю, т.е. $\lim_{n\to\infty}u_n\neq 0$, то необходимый признак сходимости не выполнен. Следовательно, ряд расходится.

Ответ: ряд расходится.

Пример №6

Исследовать ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^n\frac{17n^5+4\cos(n!)}{6n^5+2n^2-1}$ на сходимость.

Решение

Так как нижний предел суммирования равен 1, то общий член ряда записан под знаком суммы: $u_n=(-1)^n\frac{17n^5+4\cos(n!)}{6n^5+2n^2-1}$. Для начала поисследуем выражение $(-1)^n\frac{17n^5+4\cos(n!)}{6n^5+2n^2-1}$ неформально, т.е. прикинем, к чему оно может стремиться, если $n\to\infty$.

Косинус можем отбрасывать сразу: он изменяется в пределах от -1 до 1, т.е. $-1≤\cos(n!)≤ 1$. По сравнению с остальными слагаемыми величина косинуса на бесконечности станет пренебрежимо малой. Отбросим также степени, которые меньше наибольшей степени числителя и знаменателя. Останется у нас следующее выражение: $(-1)^n\frac{17n^5}{6n^5}=(-1)^n\frac{17}{6}$. Выражение $(-1)^n\frac{17}{6}$ может принимать только два значения: $\frac{17}{6}$ или $\left(-\frac{17}{6}\right)$. Т.е. общий член ряда к нулю стремиться никак не сможет, необходимый признак сходимости выполнен не будет. Осталось лишь показать это формально.

Кстати сказать, наши интуитивные рассуждения приводят к мысли: а будет ли вообще существовать предел $\lim_{n\to\infty}u_n=0$? Ведь полученное нами после «упрощения» выражение $(-1)^n\frac{17}{6}$ принимает два значения: $\frac{17}{6}$ и $\left(-\frac{17}{6}\right)$. Т.е. попросту говоря, к чему-то одному мы прийти никак не сможем. Отсюда имеем и способ решения задачи: показать, что предел не существует, рассмотрев два случая – когда $(-1)^n=1$ и когда $(-1)^n=-1$.

В каком случае $(-1)^n=1$? Ответ прост: когда n – чётное число, т.е. когда $n=2k$, $k\in N$. Аналогично, $(-1)^n=-1$ когда n – нечётное число, т.е. $n=2k-1$, $k\in N$. Найдём два предела: в первом пойдём в бесконечность по чётным номерам членов ряда, а во втором – по нечётным:

\begin{aligned} & \lim_{k\to\infty}u_{2k}=\lim_{k\to\infty}\left((-1)^{2k}\frac{17(2k)^5+4\cos((2k)!)}{6(2k)^5+2(2k)^2-1}\right) =\lim_{k\to\infty}\frac{17(2k)^5+4\cos((2k)!)}{6(2k)^5+2(2k)^2-1}=\\ & =\lim_{k\to\infty}\frac{\frac{17(2k)^5}{k^5}+\frac{4\cos((2k)!)}{k^5}}{\frac{6(2k)^5}{k^5}+\frac{2(2k)^2}{k^5}-\frac{1}{k^5}}=\lim_{k\to\infty}\frac{17\cdot 2^5+\frac{4\cos((2k)!)}{k^5}}{6\cdot 2^5+\frac{8}{k^3}-\frac{1}{k^5}}=\frac{17\cdot 2^5}{6\cdot 2^5}=\frac{17}{6}. \\\\ & \lim_{k\to\infty}u_{2k-1}=\lim_{k\to\infty}\left((-1)^{2k-1}\frac{17(2k-1)^5+4\cos((2k-1)!)}{6(2k-1)^5+2(2k-1)^2-1}\right) =-\lim_{k\to\infty}\frac{17(2k-1)^5+4\cos((2k-1)!)}{6(2k-1)^5+2(2k-1)^2-1}=\\ & =-\lim_{k\to\infty}\frac{\frac{17(2k-1)^5}{k^5}+\frac{4\cos((2k-1)!)}{k^5}}{\frac{6(2k-1)^5}{k^5}+\frac{2(2k-1)^2}{k^5}-\frac{1}{k^5}} =-\lim_{k\to\infty}\frac{17\left(2-\frac{1}{k^5}\right)^5+\frac{4\cos((2k-1)!)}{k^5}}{6\left(2-\frac{1}{k^5}\right)^5+2\left(\frac{2}{k^{3/2}}-\frac{1}{k^{5/2}}\right)^5-\frac{1}{k^5}}=-\frac{17}{6}. \end{aligned}

Так как две разные подпоследовательности имеют различные пределы, то последовательность $\{u_n\}$ не имеет предела. Так как предел общего члена $\lim_{n\to\infty}u_n$ не существует, то необходимый признак сходимости не выполнен. Следовательно, ряд расходится.

Ответ: ряд расходится.

Пример №7

Исследовать сходимость ряда $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\sin n$.

Решение

Общий член ряда имеет вид: $u_n=\sin n$. Поговорим о нём несколько неформально. Итак, что мы знаем о синусе? Мы знаем, что эта функция ограничена, и что она периодическая. Т.е. значения синуса повторяются и повторяются – до бесконечности. Это кстати, легко увидеть по графику функции $y=\sin x$. Обратите внимание, что если мы «пойдём в бесконечность» по синим точкам, то получим в пределе единицу; а если по красным точкам – то в пределе будет ноль:

Иными словами, совершенно логичным будет предположение, что $\lim_{n\to\infty}\sin n$ не существует, и ряд будет расходиться. Однако мы можем упростить себе задачу: нам ведь достаточно показать, что $\lim_{n\to\infty}\sin n\neq 0$. Итак, цель решения определена: показать, что предел общего члена ряда не равен нулю.

Пойдём методом от противного. Предположим, что $\lim_{n\to\infty}\sin n=0$. Если предел некоей последовательности равен числу $a$, то и предел любой её подпоследовательности также равен числу $a$. Исходя из этого утверждения, можем записать, что $\lim_{n\to\infty}\sin (n+1)=0$. Так как $\sin(n+1)=\sin n\cos 1+\cos n\sin 1$ (см. тригонометрические формулы), то

$$ \lim_{n\to\infty}\left(\sin n\cos 1+\cos n\sin 1\right)=0;\\ \lim_{n\to\infty}\left(\sin n\cos 1\right)+\lim_{n\to\infty}\left(\cos n\sin 1\right)=0;\\ \cos 1\cdot\lim_{n\to\infty}\sin n+\sin 1\cdot\lim_{n\to\infty}\cos n=0. $$

Так как согласно нашему предположению $\lim_{n\to\infty}\sin n=0$, то:

$$ \cos 1\cdot 0+\sin 1\cdot\lim_{n\to\infty}\cos n=0;\\ \sin 1\cdot\lim_{n\to\infty}\cos n=0;\;\; \lim_{n\to\infty}\cos n=0. $$

Итак, $\lim_{n\to\infty}\sin n=0$ и $\lim_{n\to\infty}\cos n=0$. Отсюда получаем:

$$ \lim_{n\to\infty}\left(\sin^2n+\cos^2n\right)=\lim_{n\to\infty}\sin^2n+\lim_{n\to\infty}\cos^2n=0+0=0. $$

Однако $\sin^2n+\cos^2n=1$, поэтому $\lim_{n\to\infty}\left(\sin^2n+\cos^2n\right)=1$. Полученное противоречие говорит о том, что наше допущение о равенстве нулю предела общего члена ряда неверно. Т.е. $\lim_{n\to\infty}u_n\neq 0$, поэтому ряд расходится.

В принципе, несложно показать, что предела общего члена ряда попросту не существует. Если вас заинтересует этот вопрос, прошу отписать мне об этом на форум, и я коснусь этого вопроса детально. Однако для доказательства расходимости ряда достаточно показать, что $\lim_{n\to\infty}u_n\neq 0$, – это доказательство и было проведено выше.

Ответ: ряд расходится.

Пример №8

Исследовать сходимость ряда $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1-\cos\frac{1}{n}}{\ln\left(1+\frac{1}{n^2}\right)}$.

Решение

Общий член ряда имеет вид: $u_n=\frac{1-\cos\frac{1}{n}}{\ln\left(1+\frac{1}{n^2}\right)}$. Чтобы представить, как ведет себя общий член ряда на бесконечности, нужно иметь некоторые знания про эквивалентные бесконечно малые функции. Например, если вы посмотрите таблицу в конце этого документа, то, полагаю, заметите формулу $1-\cos x\sim\frac{x^2}{2}$ при $x\to 0$. Давайте посмотрим на числитель общего члена ряда. Если $n\to\infty$, то $\frac{1}{n}\to 0$. Подставляя $x=\frac{1}{n}$ в формулу $1-\cos x\sim\frac{x^2}{2}$ будем иметь:

$$ 1-\cos\frac{1}{n}\sim\frac{\left(\frac{1}{n}\right)^2}{2}=\frac{1}{2n^2}. $$

Если рассуждать нестрого, то полученный нами результат означает следующее: при $n\to\infty$ выражение $1-\cos\frac{1}{n}$ принимает значения сколь угодно близкие к значениям выражения $\frac{1}{2n^2}$.

Теперь обратимся к знаменателю. Если вновь глянуть таблицу в конце данного документа, то мы подберем нужную формулу: $\ln(1+x)\sim x$ при $x\to 0$. Так как при $n\to\infty$ имеем $\frac{1}{n^2}\to 0$, то $\ln\left(1+\frac{1}{n^2}\right)\sim\frac{1}{n^2}$.

Если мы заменим выражения в числителе и знаменателе общего члена ряда эквивалентными им функциями, то получим дробь $\frac{\frac{1}{2n^2}}{\frac{1}{n^2}}=\frac{1}{2}$. Вывод из этого таков: общий член ряда не станет стремиться к нулю (он устремится к $\frac{1}{2}$). Значит, необходимое условие сходимости выполнено не будет, т.е. ряд расходится. Осталось лишь показать это формально:

$$ \lim_{n\to\infty}u_n=\lim_{n\to\infty}\frac{1-\cos\frac{1}{n}}{\ln\left(1+\frac{1}{n^2}\right)}=\left|\frac{0}{0}\right|=\left|\begin{aligned}&1-\cos\frac{1}{n}\sim\frac{1}{2n^2};\\&\ln\left(1+\frac{1}{n^2}\right)\sim\frac{1}{n^2}.\end{aligned}\right|=\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{1}{2n^2}}{\frac{1}{n^2}}=\frac{1}{2}. $$

Так как предел общего члена ряда не равен нулю, т.е. $\lim_{n\to\infty}u_n\neq 0$, то необходимый признак сходимости не выполнен. Следовательно, ряд расходится.

Ответ: ряд расходится.

math1.ru

ПП_5_2_Функ_ряды

ПП 5.2 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ФОРМУЛЫ

5.2.1. Функциональные ряды. Общие положения
Пусть функции	fn (x), n N определены в области D, x D .
	∞	(x)= f1 (x) + f2 (x) +…+ fn (x) +…
Выражение вида	∑ fn		(1)	называется
	n=1
функциональным рядом.		При x = x0 D из функционального ряда (1)
		∞
получается числовой ряд		∑ fn (x0 ) = f1 (x0 )+ f2 (x0 )+…	(2).
		n=1
Если для x0 D	числовой ряд (2) сходится, то точка			x0 называется

точкой сходимости функционального ряда (1). Если в каждой точке

∞

x D1 D числовые ряды ∑ fn (x) сходятся, то функциональный ряд (1) на-

n=1

зывается сходящимся в области D1 .

Совокупность всех точек сходимости образует область сходимости функционального ряда (1).

Рассмотрим частичные суммы функционального ряда (1):

Sk (x)= f1 (x)+ f2 (x)+…+ fk (x).

Ряд (1) сходится к функции f (x) в области сходимости, если предел

последовательности его частичных сумм lim Sk (x)= f (x).

k →∞

5.2.1.1. Равномерная сходимость

Пусть lim Sn (x)= f (x). По определению предела это означает, что для

n→∞

любого x из области сходимости, например, x0 и x1 , выполняются условия:

1)	x = x0 D1 : ε > 0 N0 (ε), n > N0		Sn (x0 )− f (x0 )				<ε ;
2)	x = x1 D1, x0 ≠ x1 : ε > 0 N1 (ε), n > N1				Sn (x1 )− f (x)				<ε .

Заметим, что числа N0 и N1 , вообще говоря, различны.

Функциональный ряд, сходящийся для всех x D1 из области сходимости, называется равномерно сходящимся в этой области, если существует не зависящий от x номер N (ε), такой, что при n > N (ε) выполняется неравенство Rn (x) < ε для всех x из области сходимости, где

∞

Rn (x)= ∑ fk (x)− остаток ряда.

k =n+1

Геометрический смысл равномерной сходимости заключается в следующем:

если окружить график функции y = f (x) ” ε — полоской”, определяемой соотношением f (x)−ε > y > f (x)+ε, x [a,b], то графики всех функций Sk (x),

studfiles.net

Ряды

Ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n$ с неотрицательными членами $(a_n\geq 0, n\in \mathbb{N})$ сходится тогда и только тогда, когда последовательность его частичных сумм ограничена сверху, то есть существует число $M>0$ такое, что для каждого $n\in\mathbb{N}$ выполняется неравенство $\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n\leq M.$

Признаки сравнения.

1. Если существует номер $n_0$ такой, что для всех $n\geq n_0$ выполняются неравенства $0\leq a_n\leq b_n$ то из сходимости ряда $\sum\limits_{n=1}^{\infty}b_n$ следует сходимость ряда $\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n,$ а из расходимости ряда $\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n $ следует расходимость ряда $\sum\limits_{n=1}^{\infty}b_n.$

2. Если $a_n\geq 0,\,\, b_n> 0$ для всех $n\geq n_0$ и существует конечный и отличный от нуля предел $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{a_n}{b_n},$ то ряды $\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n$ и $\sum\limits_{n=1}^{\infty}b_n$ сходится или расходятся одновременно.

Пример 1.

Используя признак сравнения исследовать на сходимость ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{5+3(-1)^{n+1}}{2^n}.$

Решение.

При нечетных $n, $ $a_n=\frac{8}{2^n},$ при четных — $a_n=\frac{2}{2^n}.$ Таким образом, $0<\frac{1}{2^{n-1}}<a_n<\frac{1}{2^{n-3}}.$ 

Заметим, что $\left\{\frac{1}{2^{n-3}}\right\}-$ геометрическая прогрессия, где $b_1= 4,\,\, q=\frac{1}{2}$. Сумма геометрической прогрессии вычисляется по формуле $S=\frac{b_1}{1-q}.$ В нашем случае $S=\frac{4}{1/2}=8.$ Следовательно ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^{n-3}}$ сходится. По первому признаку сходимости отсюда следует, что $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{5+3(-1)^{n+1}}{2^n}$ также сходится.

Пример 2.

Используя признак сравнения исследовать на сходимость $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\sin\frac{3+(-1)^{n}}{n^2}.$

Решение.

При нечетных $n, $ $a_n=\sin\frac{2}{n^2},$ при четных — $a_n=\sin\frac{4}{n^2}.$ Таким образом $0<\sin\frac{2}{n^2}<\sin\frac{3+(-1)^{n}}{n^2}<\sin\frac{4}{n^2}.$

Заметим, что при $\lim\limits_{n\rightarrow}\frac{\sin\frac{4}{n^2}}{\frac{4}{n^2}}=1.$ То есть ряды $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\sin\frac{4}{n^2}$ и $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{4}{n^2}$ сходятся и расходятся одновременно. Рассмотрим ряд $\frac{4}{n^2}:$
$$\frac{4}{n^2}\leq\frac{4}{n(n-1)}=-\frac{4}{n}+\frac{4}{n-1}=4\left(-\frac{1}{n}+\frac{1}{n-1}\right).$$
Таким образом $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{4}{n^2}=4(-1/2+1-1/3+1/2-1/4+1/3-…)$ $S_n=4(1-\frac{1}{n}),\quad S=\lim\limits_{n\rightarrow\infty} S_n=4<\infty$ Следовательно ряд сходится. Отсюда, по признаку сходимости следует что ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\sin\frac{3+(-1)^{n}}{n^2}$ также сходится.

Интегральный признак сходимости ряда.

Если функция $f(x)$ неотрицательна и убывает на промежутке $[a,+\infty),$ где $a\geq 1,$ то ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}f(n)$ и интеграл $\int\limits_{a}^{+\infty}f(x)dx$ сходятся и расходятся одновременно.

Пример.

Исследовать на сходимость ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(1+n)\sqrt{n}}.$  

Решение.

Воспользуемся интегральным признаком сходимости. Рассмотрим интеграл $\int\limits_1^{+\infty}\frac{1}{(1+x)\sqrt{x}}:$

$\int\limits_1^{+\infty}\frac{1}{(1+x)\sqrt {x}}=[t=\sqrt{x};\,\,\, dx=2tdt]=\lim\limits_{A\rightarrow +\infty}\int\limits_1^A\frac{2tdt}{t(1+t^2)}=\lim\limits_{A\rightarrow +\infty}2 arctg t|_1^A=$ $=2\cdot\frac{\pi}{2}-2\cdot\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}.$

То есть интеграл $\int\limits_1^{+\infty}\frac{1}{(1+x)\sqrt{x}}$ сходится. По интегральному признаку сходимости рядов отсюда следует, что ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(1+n)\sqrt{n}}$ так же сходится.

Признаки Kоши и Даламбера.

Признак Даламбера.

Если для ряда $\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n,$ $a_n>0$ $(n\in\mathbb{N}),$ существует предел $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}= \lambda$ то при $\lambda<1$ ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n$ сходится, при $\lambda>1$ расходится. При $\lambda=1$ ряд может и сходится и расходится.

Признак Коши.

Если для ряда $\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n,$ $a_n\geq 0$ $(n\in\mathbb{N}),$ существует предел $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{a_n}=\lambda$ то при $\lambda<1$ ряд сходится, при $\lambda>1$ расходится.

Примеры. 

1. Исследовать на сходимость ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n$ используя признак Даламбера.

$a_n=\frac{n^{10}}{(n+1)!}$

Решение.

$a_{n+1}=\frac{(n+1)^{10}}{(n+1)!(n+2)}$

$$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{(n+1)^{10}(n+1)!}{(n+1)!(n+2)n^{10}}=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{(n+1)^{10}}{n^{10}(n+2)}=$$ $$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{n^{10}(1+1/n)^{10}}{n^{10}(n+2)}=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{(1+1/n)^{10}}{n+2}=0<1.$$

Следовательно ряд сходится.

2. Исследовать на сходимость ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n$
используя признак Коши.

$a_n=3^{n+1}\left(\frac{n+2}{n+3}\right)^{n^2}$

Решение.

$$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{a_n}=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}3\sqrt[n]{3}\left(\frac{n+2}{n+3}\right)^n=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}3\sqrt[n]{3}\left(\frac{n+3-1}{n+3}\right)^n=$$ $$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}3\sqrt[n]{3}\left(\left(1-\frac{1}{n+3}\right)^{-(n+3)+3}\right)^{-1}=\frac{3}{e}\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\left(1+\frac{1}{n+3}\right)^{-3}=\frac{3}{e}.$$

Признаки Раабе и Гаусса.

Признак Раабе.

Если $a_n>0 \,\, (n\in \mathbb{N})$ и существует предел $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}n\left(\frac{a_n}{a_{n+1}}-1\right)=q,$ то при $q>1$ ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n$ сходится а при $q<1$ расходится.

Признак Гаусса.

Если $a_n>0\,\,\, (n\in \mathbb{N})$ и $\frac{a_n}{a_{n+1}}=\alpha+\frac{\beta}{n}+\frac{\gamma_n}{n^{1+\delta}},$ где $|\gamma_n|< C< \delta>0, $ то

а) при $\alpha>1$ ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n$ сходится, а при $\alpha<1$ — расходится

б) при $\alpha=1$ ряд сходится если $\beta>1$ и ряд расходится если $\beta\leq 1$

Примеры.

1. Исследовать на сходимость ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n$ используя признак Раабе или признак Гаусса.

$a_n=\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}$

Решение.

Будем использовать признак Раабе.

$$a_{n+1}=\frac{(2n+1)!!}{(2n+2)!!}=\frac{(2n-1)!!(2n+1)}{(2n)!!(2n+2)}=a_n\frac{2n+1}{2n+2}.$$
$$\lim\limits_{n\rightarrow\infty} n\left(n(\frac{a_n}{a_{n+1}-1})\right)= \lim\limits_{n\rightarrow\infty}n\left(\frac{2n+2}{2n+1}-1\right)=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}n\left(\frac{2n+2-2n-1}{2n+1}\right)=$$ $$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{n}{2n+1}=\frac{1}{2}<1.$$
Следовательно, ряд расходится.

2. Исследовать на сходимость ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n$ используя признак Раабе или признак Гаусса.

$a_n=\left(\frac{(a+1)(a+2)…(a+n)}{(b+1)(b+2)…(b+n)}\right)^{\alpha}$

Решение.

Будем применять признак Гаусса.

$$a_{n+1}=\left(\frac{(a+1)(a+2)…(a+n+1)}{(b+1)(b+2)…(b+n+1)}\right)^{\alpha}=a_n\left(\frac{(a+n+1}{b+n+1}\right)^{\alpha}.$$
$$\frac{a_n}{a_{n+1}}=\left(\frac{b+n+1}{a+n+1}\right)^{\alpha}=\left(1+\frac{b-a}{a+n+1}\right)^{\alpha}=1+\alpha\frac{b-a}{a+n+1}+$$ $$\alpha(\alpha-1)\frac{1}{2}\left(\frac{b-a}{a+n+1}\right)^2+…$$
Следовательно ряд сходится если $\alpha(b-1)>1$ и расходится, если $\alpha(b-a)\leq 1.$

Знакочередующиеся ряды.

Ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}a_n= a_1-a_2+a_3+…,$ где $a_n\geq 0$ или $a_n\leq 0$ для всех $n\in \mathbb{N}$ называют знакочередующимся.

Признак Лейбница.

Если $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}a_n=0$ и для каждого $n\in \mathbb{N}$ выполняется $a_n\geq a_{n+1}>0$ , то ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}a_n$ сходится. При этом $|S-S_n|\leq a_{n+1},$ где $S$ и $S_n$ соответственно сумма и $n$-я частичная сумма ряда $\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}a_n.$

Примеры.

1. Исследовать на сходимость ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{\sqrt[3]{n+1}}.$

Решение.

Воспользуемся признаком Лейбница. Поскольку последовательность $\left\{\frac{1}{\sqrt[3]{n+1}}\right\}$ убывает и стремится к 0 при $n\rightarrow\infty,$ то по признаку Лейбница ряд сходится.

Домашнее задание.

Исследовать на сходимость ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n$.

1)$a_n=\frac{1}{n^{\alpha}}$ при всех значениях параметра $\alpha.$

2) $a_n=\frac{n^3}{3^n}.$

3) $a_n=\frac{1\cdot5\cdot8\cdot…\cdot(3n-1)}{1\cdot6\cdot11\cdot…\cdot(5n-4)}.$

4) $a_n=\left(\frac{3}{n}\right)^n.$

5) $a_n=\left(\frac{n^2+5}{n^2+6}\right)^{n^3}.$

6) $a_n=\left(\frac{(2n+1)!!}{(2n+2)!!}\right)^{\alpha}\frac{1}{n^{\beta}}$ при всех значениях $\alpha$ и $\beta.$

7) $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}\ln n}{\sqrt{n}}.$

mathportal.net

Гармонический ряд — ПриМат

Гармоническим называется ряд:$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots +\frac{1}{n}+\cdots,$$ т.е. гармонический ряд состоит из членов, обратных числам натурального ряда.Проверим гармонический ряд на сходимость:
Общий член гармонического ряда стремится к 0.$$\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{1}{n}=0$$ Это показывает, что необходимое условие сходимости ряда выполняется. Для доказательства сходимости гармонического ряда будем использовать критерий Коши. По критерию Коши для того чтобы ряд сходился необходимо и достаточно чтобы:$$\forall \varepsilon >0, \exists N_{\varepsilon },\forall n>N_{\varepsilon },\forall p > 0:\left | \frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots +\frac{1}{n+p} \right | выберем и . Тогда:$$\left | \frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots +\frac{1}{n+p} \right |=\left | \frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots +\frac{1}{2n} \right |>$$$$>\left | \frac{1}{2n}+\frac{1}{2n}+\cdots +\frac{1}{2n} \right |=\frac{1}{2}=\varepsilon$$ Из этого следует что гармонический ряд не удовлетворяет критерию Коши. Иначе говоря гармонический ряд расходится.Обобщённым гармоническим рядом называется ряд:$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{\alpha }}=1+\frac{1}{2^{\alpha }}+\frac{1}{3^{\alpha }}+\cdots +\frac{1}{n^{\alpha }}+\cdots$$ Обобщённый гармонический ряд расходится при и сходится при

Лимит времени: 0

Информация

Тест на проверку знаний по данной теме.

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается…

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

максимум из 3 баллов

Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

ib.mazurok.com

Сходимость ряда Википедия

Числовой ряд — одно из центральных понятий математического анализа. Ряд записывается как бесконечная сумма^[1]:

a1+a2+a3+…+an+…{\displaystyle a_{1}+a_{2}+a_{3}+\ldots +a_{n}+\ldots }; краткая запись: ∑n=1∞an{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}

Здесь a1,a2,a3…{\displaystyle a_{1},a_{2},a_{3}\dots } — последовательность вещественных или комплексных чисел; эти числа называются членами ряда.

Чтобы присвоить такому ряду числовое значение, рассмотрим последовательность «частичных сумм», которые получаются, если оборвать бесконечную сумму на каком-то члене:

S1=a1{\displaystyle S_{1}=a_{1}}

S2=a1+a2{\displaystyle S_{2}=a_{1}+a_{2}}

S3=a1+a2+a3{\displaystyle S_{3}=a_{1}+a_{2}+a_{3}}

⋯{\displaystyle \cdots }

Sn=a1+a2+a3+⋯+an{\displaystyle S_{n}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+\dots +a_{n}}

⋯{\displaystyle \cdots }

Если последовательность частичных сумм имеет предел S{\displaystyle S} (конечный или бесконечный), то говорят, что сумма ряда равна S.{\displaystyle S.} При этом, если предел конечен, то говорят, что ряд сходится. Если предел не существует или бесконечен, то говорят, что ряд расходится^[1].

Ряды широко применяются в математике и других науках для вычислений, для анализа поведения разнообразных функций и т. п.

ru-wiki.ru

Решите ряд) бесконечность сумма ряда n=1. (x^2n+1)/2n+1

(x^(2n+1))/(2n+1)<br>Этот ряд не так прост. Здесь все зависит от параметра х. При х от -1 до 1 ряд сходится, при х большем или равном 1 ряд расходится. <br>(x^(2n)+1)/(2n+1) = (x^(2n))/(2n+1) + 1/(2n+1) — расходится, т.к. второй ряд в сумме расходящийся.

хех…во заморчка)))

А у x степень 2n или 2n+1?

Что значит «Решите ряд» ?<br>Ряды не решают, а исследуют на сходимость или находят сумму ряда !<br>Твой ряд расходится по теореме Вейерштрасса.

touch.otvet.mail.ru