Найти наименьшее общее кратное онлайн – Нахождение НОД и НОК чисел

НОД и НОК чисел с решением | Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное нескольких чисел

Онлайн калькулятор позволяет быстро находить наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное как для двух, так и для любого другого количества чисел.

Калькулятор для нахождения НОД и НОК

Найти НОД и НОК

Найдено НОД и НОК: 7187

Как пользоваться калькулятором

• Введите числа в поле для ввода
• В случае ввода некорректных символов поле для ввода будет подсвечено красным
• нажмите кнопку «Найти НОД и НОК»

Как вводить числа

• Числа вводятся через пробел, точку или запятую
• Длина вводимых чисел не ограничена, так что найти НОД и НОК длинных чисел не составит никакого труда

Что такое НОД и НОК?

Наибольший общий делитель нескольких чисел – это наибольшее натуральное целое число, на которое все исходные числа делятся без остатка. Наибольший общий делитель сокращённо записывается как НОД.
Наименьшее общее кратное нескольких чисел – это наименьшее число, которое делится на каждое из исходных чисел без остатка. Наименьшее общее кратное сокращённо записывается как

НОК.

Как проверить, что число делится на другое число без остатка?

Чтобы узнать, делится ли одно число на другое без остатка, можно воспользоваться некоторыми свойствами делимости чисел. Тогда, комбинируя их, можно проверять делимость на некоторые их них и их комбинации.

Некоторые признаки делимости чисел

1. Признак делимости числа на 2
Чтобы определить, делится ли число на два (является ли оно чётным), достаточно посмотреть на последнююю цифру этого числа: если она равна 0, 2, 4, 6 или 8, то число чётно, а значит делится на 2.
Пример: определить, делится ли на 2 число 34938.
Решение: смотрим на последнюю цифру: 8 — значит число делится на два.

2. Признак делимости числа на 3
Число делится на 3 тогда, когда сумма его цифр делится на три. Таким образом, чтобы определить, делится ли число на 3, нужно посчитать сумму цифр и проверить, делится ли она на 3. Даже если сумма цифр получилась очень большой, можно повторить этот же процесс вновь.

Пример: определить, делится ли число 34938 на 3.
Решение: считаем сумму цифр: 3+4+9+3+8 = 27. 27 делится на 3, а значит и число делится на три.

3. Признак делимости числа на 5
Число делится на 5 тогда, когда его последняя цифра равна нулю или пяти.
Пример: определить, делится ли число 34938 на 5.
Решение: смотрим на последнюю цифру: 8 — значит число НЕ делится на пять.

4. Признак делимости числа на 9
Этот признак очень похож на признак делимости на тройку: число делится на 9 тогда, когда сумма его цифр делится на 9.
Пример: определить, делится ли число 34938 на 9.
Решение: считаем сумму цифр: 3+4+9+3+8 = 27. 27 делится на 9, а значит и число делится на девять.

Как найти НОД и НОК двух чисел

Как найти НОД двух чисел

Наиболее простым способом вычисления наибольшего общего делителя двух чисел является поиск всех возможных делителей этих чисел и выбор наибольшего из них.

Рассмотрим этот способ на примере нахождения НОД(28, 36):

1. Раскладываем оба числа на множители: 28 = 1·2·2·7, 36 = 1·2·2·3·3
2. Находим общие множители, то есть те, которые есть у обоих чисел: 1, 2 и 2.
3. Вычисляем произведение этих множителей: 1·2·2 = 4 — это и есть наибольший общий делитель чисел 28 и 36.

Как найти НОК двух чисел

Наиболее распространены два способа нахождения наименьшего кратного двух чисел. Первый способ заключается в том, что можно выписать первые кратные двух чисел, а затем выбрать среди них такое число, которое будет общим для обоих чисел и при этом наименьшем. А второй заключается в нахождении НОД этих чисел. Рассмотрим только его.

Для вычисления НОК нужно вычислить произведение исходных чисел и затем разделить его на предварительно найденный НОД. Найдём НОК для тех же чисел 28 и 36:

1. Находим произведение чисел 28 и 36:
   28·36 = 1008
2. НОД(28, 36), как уже известно, равен 4
3. НОК(28, 36) = 1008 / 4 = 252.

Нахождение НОД и НОК для нескольких чисел

Наибольший общий делитель можно находить и для нескольких чисел, а не только для двух. Для этого числа, подлежащие поиску наибольшего общего делителя, раскладывают на простые множители, затем находят произведение общих простых множителей этих чисел. Также для нахождение НОД нескольких чисел можно воспользоваться следующим соотношением: НОД(a, b, c) = НОД(НОД(a, b), c).

Аналогичное соотношение действует и для наименьшего общего кратного чисел: НОК(a, b, c) = НОК(НОК(a, b), c)

Пример: найти НОД и НОК для чисел 12, 32 и 36.

1. Cперва разложим числа на множители: 12 = 1·2·2·3, 32 = 1·2·2·2·2·2, 36 = 1·2·2·3·3.
2. Найдём обшие множители: 1, 2 и 2.
3. Их произведение даст НОД: 1·2·2 = 4
4. Найдём теперь НОК: для этого найдём сначала НОК(12, 32): 12·32 / 4 = 96.
5. Чтобы найти НОК всех трёх чисел, нужно найти НОД(96, 36): 96 = 1·2·2·2·2·2·3, 36 = 1·2·2·3·3, НОД = 1·2·2·3 = 12.
6. НОК(12, 32, 36) = 96·36 / 12 = 288.

programforyou.ru

Общий делитель и кратное (НОД и НОК): онлайн калькулятор

Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное — ключевые арифметические понятия, которые позволяют без усилий оперировать обыкновенными дробями. НОК и НОД чаще всего используются для поиска общего знаменателя нескольких дробей.

Основные понятия

Делитель целого числа X — это другое целое число Y, на которое X разделяется без остатка. К примеру, делитель 4 — это 2, а 36 — 4, 6, 9. Кратное целого X — это такое число Y, которое делится на X без остатка. К примеру, 3 кратно 15, а 6 — 12.

Для любой пары чисел мы можем найти их общие делители и кратные. К примеру, для 6 и 9 общим кратным является 18, а общим делителем — 3. Очевидно, что делителей и кратных у пар может быть несколько, поэтому при расчетах используется наибольший делитель НОД и наименьшее кратное НОК.

Наименьший делитель не имеет смысла, так как для любого числа это всегда единица. Наибольшее кратное также бессмысленно, так как последовательность кратных устремляется в бесконечность.

Нахождение НОД

Для поиска наибольшего общего делителя существует множество методов, самые известные из которых:

• последовательный перебор делителей, выбор общих для пары и поиск наибольшего из них;
• разложение чисел на неделимые множители;
• алгоритм Евклида;
• бинарный алгоритм.

Сегодня в учебных заведениях наиболее популярными являются методы разложения на простые множители и алгоритм Евклида. Последний в свою очередь используется при решении диофантовых уравнений: поиск НОД требуется для проверки уравнения на возможность разрешения в целых числах.

Нахождение НОК

Наименьшее общее кратное точно также определяется последовательным перебором или разложением на неделимые множители. Кроме того, легко найти НОК, если уже определен наибольший делитель. Для чисел X и Y НОК и НОД связаны следующим соотношением:

НОК (X,Y) = X × Y / НОД(X,Y).

Например, если НОД(15,18) = 3, то НОК(15,18) = 15 × 18 / 3 = 90. Наиболее очевидный пример использования НОК — поиск общего знаменателя, который и является наименьшим общим кратным для заданных дробей.

Взаимно простые числа

Если у пары чисел нет общих делителей, то такая пара называется взаимно простой. НОД для таких пар всегда равен единице, а исходя из связи делителей и кратных, НОК для взаимно простых равен их произведению. К примеру, числа 25 и 28 взаимно просты, ведь у них нет общих делителей, а НОК(25, 28) = 700, что соответствует их произведению. Два любых неделимых числа всегда будут взаимно простыми.

Калькулятор общего делителя и кратного

При помощи нашего калькулятора вы можете вычислить НОД и НОК для произвольного количества чисел на выбор. Задания на вычисление общих делителей и кратных встречаются в арифметике 5, 6 класса, однако НОД и НОК — ключевые понятия математики и используются в теории чисел, планиметрии и коммуникативной алгебре.

Примеры из реальной жизни

Общий знаменатель дробей

Наименьшее общее кратное используется при поиске общего знаменателя нескольких дробей. Пусть в арифметической задаче требуется суммировать 5 дробей:

1/8 + 1/9 + 1/12 + 1/15 + 1/18.

Для сложения дробей выражение необходимо привести к общему знаменателю, что сводится к задаче нахождения НОК. Для этого выберите в калькуляторе 5 чисел и введите значения знаменателей в соответствующие ячейки. Программа вычислит НОК (8, 9, 12, 15, 18) = 360. Теперь необходимо вычислить дополнительные множители для каждой дроби, которые определяются как соотношение НОК к знаменателю. Таким образом, дополнительные множители будут выглядеть как:

• 360/8 = 45
• 360/9 = 40
• 360/12 = 30
• 360/15 = 24
• 360/18 = 20.

После этого умножаем все дроби на соответствующий дополнительный множитель и получаем:

45/360 + 40/360 + 30/360 + 24/360 + 20/360.

Такие дроби мы можем легко суммировать и получить результат в виде 159/360. Сокращаем дробь на 3 и видим окончательный ответ — 53/120.

Решение линейных диофантовых уравнений

Линейные диофантовы уравнения — это выражения вида ax + by = d. Если отношение d / НОД(a, b) есть целое число, то уравнение разрешимо в целых числах. Давайте проверим пару уравнений на возможность целочисленного решения. Сначала проверим уравнение 150x + 8y = 37. При помощи калькулятора находим НОД (150,8) = 2. Делим 37/2 = 18,5. Число не целое, следовательно, уравнение не имеет целочисленных корней.

Проверим уравнение 1320x + 1760y = 10120. Используем калькулятор для нахождения НОД(1320, 1760) = 440. Разделим 10120/440 = 23. В результате получаем целое число, следовательно, диофантово уравнение разрешимо в целых коэффициентах.

Заключение

НОД и НОК играют большую роль в теории чисел, а сами понятия широко используются в самых разных областях математики. Используйте наш калькулятор для расчета наибольших делителей и наименьших кратных любого количества чисел.

bbf.ru

Онлайн — НОК и НОД

1. Найдите НОК (72;600)

Решение задачи

Разложим оба числа на простые множители: 72 = 2³⋅3²; 600 = 2³⋅3⋅5².

Поэтому НОК (72;600) = 2³⋅3²⋅5² = 1800. (можно проверить на калькуляторе выше)

2. Найдите НОД(4000;4608)

Решение задачи

Разложим оба числа на простые множители: 4000 = 2⁵⋅5³; 4608 = 2⁹⋅3⁹. 

Поэтому НОД(4000;4608) = 2⁵ =32

3. Вася, Петя, Дима и Саша играют в футбол во дворе. Однажды они играли все вместе, но после этого Вася стал ходить играть в футбол через каждые 4 дня, Петя — через 5 дней, Дима — через 6, а Саша — через 9 дней. Через сколько дней они смогут вместе сыграть в футбол во второй раз?

Решение задачи

Если прошло nn дней, то Вася будет играть тогда и только тогда, когда nn делится на 4, Петя — если на 5, Дима — на 6, а Саша — на 9. Т.е. нам надо найти наименьшее натуральное число n такое, что оно делится на 4,5,6 и 9. Это число по определению — наименьшее общее кратное чисел 4,5,6,9. Для поиска наименьшего общего кратного нам необходимо разложить все 4 числа на простые множители: 4 = 2², 5 = 5, 6 = 2⋅3, 9 = 3². Как видно, в эти числа из простых множителей входят только числа 2, 3 и 5. Двойка входит максимум в степень 2 (число 4), пятерка в первую, а тройка во вторую (число 9). Значит, искомое число — наименьшее общее кратное — равно 2²⋅3²⋅5 =180.

4. Найдите минимальное натуральное число, такое, что оно делится на числа 2, 4, 6, 8, 9, 12.

Решение задачи

Обозначим искомое число через n.

Поскольку 2 = 2, 4 = 2², 6 = 2⋅3, 8 = 2³, 9 = 3², 12=3⋅2², то получаем, что все указанные в условии делители числа n содержат лишь два простых делителя — 2 и 3. Необходимо, чтобы число n имело степень 2 и 3 не меньше, чем в любом данном делителе. Для делителя 2 эта максимальная степень в делителях равна 3: 8 = 2³. Для делителя 3 — степень равна 2: 9 = 3². Значит, искомое число есть 2³3² = 72.

5. Найдите НОД чисел 27n + 6 и 18n + 5, где n — любое натуральное число.

Решение задачи

С помощью алгоритма Евклида, упростим НОД(27n+6,18n+5):

НОД(27n+6,18n+5) = НОД(18n+5,27n+6−(18n+5)) = НОД(18n+5,9n+1)) = НОД(18n+5,9n+1) = НОД(9n+1,18n+5−(9n+1)) = НОД(9n+1,9n+4) = НОД(9n+4,9n+1) = НОД(9n+1,3).

Число 3 — простое, у него только один делитель больше 1 — это оно само, но 9n+1 не делится на 3, поэтому НОД(9n+1,3) = 1. А значит и НОД(27n+6,18n+5) = 1.

spishy-u-antoshki.ru

НАИМЕНЬШЕЕ ОБЩЕЕ КРАТНОЕ, алгоритм как найти НОК

Наименьшее общее кратное чисел – это наименьшее число, которое делится на все заданные числа.

Алгоритм поиска НОК

Вычисление НОК похоже на поиск НОД. Чтобы найти наименьшее общее кратное, нужно использовать следующий алгоритм:

1. Разложить все числа на простые множители, используя признаки делимости чисел.
2. Найти совпадающие множители во всех числах и выписать их.
3. Выписать все несовпадающие множители.
4. Перемножить все выписанные множители.

Если среди множителей чисел не были найдены одинаковые, НОК числа находится перемножением этих чисел.

Примеры поиска наименьшего общего кратного

Рассмотрим, как найти НОК с помощью алгоритма на нескольких примерах.

Пример 1:

Найдите наименьшее общее кратное чисел 420 и 990.

Решение:

Разложим оба числа на простые множители:

Получили, что:

420 = 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7

990 = 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 11

Выпишем все совпадающие множители:

Выпишем все несовпадающие множители:

2, 7 – из первого числа

3, 11 – из второго числа

Перемножим полученные множители:

2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 2 ⋅ 7 ⋅ 3 ⋅ 11 = 13860

Ответ: 13860

Пример 2

Найдите наименьшее общее кратное чисел 96 и 378.

Решение:

Разложим оба числа на простые множители:

Получили, что:

96 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3

378 = 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 7

Выпишем все совпадающие множители:

Выпишем все несовпадающие множители:

2, 2, 2, 2 – из первого числа

3, 3, 7 – из второго числа

Перемножим полученные множители:

НОК = 2 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 7 = 6048

Ответ: 6048

Пример 3:

Найдите наименьшее общее кратное чисел 330 и 343.

Решение:

Разложим оба числа на простые множители:

Получили, что:

330 = 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 11

343 = 7 ⋅ 7 ⋅ 7

Совпадающих множителей у этих 2 чисел нет, поэтому для получения НОК будет достаточно перемножить исходные числа:

НОК = 330 ⋅ 343 = 113190

Ответ: 113190

worksbase.ru