Строгие и нестрогие неравенства
Например, неравенство \(x>4\) – строгое. В нем решениями будут только значения больше четверки. При этом сама четверка решением не будет! Действительно, если мы подставим в неравенство вместо икса число \(4\), получим неверное числовое неравенство \(4>4\).
То есть, в строгих неравенствах не допускается равенство правой и левой части. Поэтому они и называются строгими. Оформление решения таких неравенств показано ниже: граничная точка (в нашем случае четверка) на числовой оси не закрашена (еще говорят «выколота»), а в записи промежутка на этом значении переменной стоит круглая скобка «(».
\(x>4\)
Нестрогие – это неравенства со знаками сравнения \(≥\) (больше или равно) или \(≤\) (меньше или равно).
Само название знаков сравнения уже подразумевает, что здесь равенство левой и правой части допускается, и значение икса, приводящее к такому результату, решением будет.
Например
При записи решения таких неравенств граничную точку на числовой оси закрашивают, а при записи промежутка скобку на этом значении пишут не круглую, а прямоугольную «[».
\(x≥4\)
cos-cos.ru
Репетитор по математике.Как решать неравенства из ОГЭ (ГИА)
Несмотря на то, что решение неравенств очень напоминает решение уравнений, все-таки неравенства вызывают у школьников больше затруднений.
Ученики часто спрашивают как решать неравенства те или иные, просят оценить решение неравенства, полученное у доски в школе или помочь в решении домашнего задания с неравенством. В основном они связаны не с решением неравенства как такового, а с проблемой записи решения и с проблемой знака неравенства, которое в определенные моменты заменяется на противоположный.
Решение неравенств — это материал, который помогает выявить у экзаменуемого сразу несколько умений и навыков: умение решать уравнения, работать со знаком неравенства, оценить полученное решение с точки зрения постановки неравенства. Поэтому неравенства включены в ОГЭ (ГИА).
Как решать простейшие неравенства из ОГЭ (ГИА)
Итак, первое неравенство:
3х-4<6x-6
Решаем неравенство как уравнение — перенесем все неизвестные в левую часть, а все числа — в правую. Неизвестные — это все выражения с х: 3х и 6х.
3х уже находится слева, а вот 6х — справа, и 6х мы перенесем в левую часть нашего неравенства. Не забываем, что когда мы переносим любые выражения и числа из одной части неравенства, как и равенства, в другую, то мы обязательно меняем знак. То есть слева у нас запишется:
3х-6х.
Что будет справа? Справа останется число -6 (со знаком минус), и еще мы перенесем 4 из левой части в правую. Перед четверкой в левой части неравенства стоит знак минус, значит, при переносе мы получим четверку со знаком +. Смотрите, что получилось:
3х-6х<-6+4
Упростим левую и правую части, получим:
-3х<-2
Если бы у нас вместо неравенства было уравнение: -3х=-2, то x мы бы нашли разделив -2 на -3. Точно также поступают и в неравенстве, но, помнят одно простое правило, если мы делим или умножаем на отрицательное число (число со знаком минус), то знак неравенства меняется на противоположный. То есть мы запишем решение нашего неравенства вот так:
Мы поменяли знак, так как делили на отрицательное число — -3. При этом знак бы не менялся, если бы мы делили отрицательное число на положительное. Знак неравенства меняется только тогда — когда отрицательным является число на которое делят или умножают.
Итак, ответ у нас будет таким:
Как решать нестрогое неравенство
Нестрогим неравенством называется неравенство, у которого вместо строгого знака «больше» или «меньше», стоит знак «больше или равно» или «меньше или равно». Например, давайте решим нестрогое неравенство:
Решаем аналогично — только сначала упростим правую часть нашего неравенства. Раскрываем скобки в правой части неравенства:
Упрощаем правую часть:
Переносим неизвестные в левую часть неравенства, а известные (числа) в правую часть неравенства:
Посчитаем, получим:
Теперь получим интервал для неизвестной х (не забываем, что когда мы делим или умножаем на отрицательное число — то знак неравенства меняется на противоположный).
Запишем ответ:
Обратите внимание на запись ответа. Так как у нас неравенство нестрогое, то число -7/6 будет входить в решение этого неравенства, поэтому мы его включаем в ответ, отмечая квадратной скобкой.
Теперь вы знаете, как решать неравенства, которые даны в части «Алгебра» ОГЭ (ГИА).
repetitor-mathematics.ru
Иррациональные неравенства. Часть 1
Всякое неравенство, в состав которого входит функция, стоящая под корнем, называется иррациональным. Существует два типа таких неравенств:
В первом случае корень меньше функции g(x), во втором — больше. Если g(x) —константа, неравенство резко упрощается. Обратите внимание: внешне эти неравенства очень похожи, но схемы решения у них принципиально различаются.
Сегодня научимся решать иррациональные неравенства первого типа — они самые простые и понятные. Знак неравенства может быть строгим или нестрогим. Для них верно следующее утверждение:
Теорема. Всякое иррациональное неравенство вида
Равносильно системе неравенств:
Неслабо? Давайте рассмотрим, откуда берется такая система:
- f (x) ≤ g2 (x) — тут все понятно. Это исходное неравенство, возведенное в квадрат;
- f (x) ≥ 0 — это ОДЗ корня. Напомню: арифметический квадратный корень существует только из неотрицательного числа;
- g(x) ≥ 0 — это область значений корня. Возводя неравенство в квадрат, мы сжигаем минусы. В результате могут возникнуть лишние корни. Неравенство g(x) ≥ 0 отсекает их.
Многие ученики «зацикливаются» на первом неравенстве системы: f (x) ≤ g2 (x) — и напрочь забывают два других. Результат предсказуем: неправильное решение, потерянные баллы.
Поскольку иррациональные неравенства — достаточно сложная тема, разберем сразу 4 примера. От элементарных до действительно сложных. Все задачи взяты из вступительных экзаменов МГУ им. М. В. Ломоносова.
Примеры решения задач
Задача. Решите неравенство:
Из трех неравенств к концу решения осталось только два. Потому что неравенство 2 ≥ 0 выполняется всегда. Пересечем оставшиеся неравенства:
Итак, x ∈ [−1,5; 0,5]. Все точки закрашены, поскольку неравенства нестрогие.
Задача. Решите неравенство:
Применяем теорему:
Решаем первое неравенство. Для этого раскроем квадрат разности. Имеем:
2x2 − 18x + 16 < (x − 4)2;
2x2 − 18x + 16 < x2 − 8x + 16:
x2 − 10x < 0;
x(x − 10) < 0;
x ∈ (0; 10).
Теперь решим второе неравенство. Там тоже квадратный трехчлен:
2x2 − 18x + 16 ≥ 0;
x2 − 9x + 8 ≥ 0;
(x − 8)(x − 1) ≥ 0;
x ∈ (−∞; 1]∪[8; +∞).
Наконец, решаем третье неравенство. Оно совсем простое:
x − 4 ≥ 0;
x ∈ [4; +∞).
Осталось пересечь полученные множества. Отметим их на координатных прямых:
Поскольку мы решаем систему неравенств, выбираем отрезки, которые одновременно заштрихованы на всех трех осях.
Задача. Решите неравенство:
Сначала немного перепишем исходное неравенство:
Теперь применяем теорему:
Все неравенства нестрогие. Решаем отдельно первое из них:
x2 − 3x + 2 ≤ (3x − 3)2;
…
x ∈ (−∞; 7/8]∪[1; +∞).
Затем — второе:
x2 − 3x + 2 ≥ 0;
(x − 2)(x − 1) ≥ 0;
x ∈ (−∞; 1]∪[2; +∞).
Наконец, последнее неравенство. Оно совсем легкое:
3x − 3 ≥ 0;
x ≥ 1;
x ∈ [1; +∞).
Пересекаем найденные множества и получаем ответ:
Обратите внимание: на пересечении возникает изолированная точка x = 1. В каждом множестве она является концом отрезка.
Задача. Решите неравенство:
Перепишем иррациональное неравенство, а затем работаем по теореме:
Первое неравенство сводится к линейному:
x2 + x − 2 < x2;
x − 2 < 0;
x < 2;
x ∈ (−∞; 2).
Второе — классическое квадратное неравенство:
x2 + x − 2 ≥ 0;
(x + 2)(x − 1) ≥ 0;
x ∈ (−∞; −2]∪[1; +∞).
Последнее неравенство — тоже линейное:
x ≥ 0;
x ∈ [0; +∞).
Отмечаем эти множества на координатных прямых и пересекаем:
Смотрите также:
- Иррациональные неравенства. Часть 2
- Особенности решения неравенств с радикалами
- Решение задач B1: № 1—16
- 4 совета: как избежать глупых ошибок на ЕГЭ по математике
- Как считать логарифмы еще быстрее
- Семинар: ЕГЭ по математике, задачи B3 на площади
www.berdov.com
Строгие и нестрогие неравенства, свойства числовых неравенств
Свойства
числовых
неравенств
(8 класс)
А. Нивен
в ( а в ) Такие неравенства называются строгими.»
Определение
Действительное число а больше ( меньше ) действительного числа в , если их разность (а-в)- положительное ( отрицательное ) число.
Пишут: а в ( а в )
Такие неравенства называются строгими.
Строгие неравенства
- а 0
- а 0 означает, что а – отрицательное число
- а в означает, что (а-в)- положительное число, т.е. (а-в) 0
- а в означает, что (а-в)- отрицательное число, т.е. (а-в) 0
Нестрогие неравенства
- а ≥ 0 означает, что а больше нуля или равно нулю , т.е. а – неотрицательное число , или что а не меньше нуля
- а ≤ 0 означает, что а меньше нуля или равно нулю , т.е. а – неположительное число , или что а не больше нуля
Нестрогие неравенства
- а ≥ в означает, что а больше в или равно в , т.е. а-в – неотрицательное число, или что а не меньше в; а-в ≥ 0
- а ≤ в означает, что а меньше в или равно в , т.е. а-в – неположительное число, или что а не больше в; а-в ≤ 0
в, в с, то а с 2) если а в, то а+с в+с 3) если а в и m0 , то а m в m 4) если а в и m , то а m в m 5) если а в, то -а -в Например: если 5 3, 3 -4, то 5 -4 если 5 3, то 5+2 3+2 если 5 3 и 10 0 , то 5 · 10 3 · 10, т.е. 50 30 если 5 3 и -2 , то 5 · (-2) 3 · (-1), т.е. -10 -3 5) если 5 3, то -5 -3″
Свойства числовых неравенств
Свойства:
1) если а в, в с, то а с
2) если а в, то а+с в+с
3) если а в и m0 , то а m в m
4) если а в и m , то а m в m
5) если а в, то -а -в
Например:
- если 5 3, 3 -4, то 5 -4
- если 5 3, то 5+2 3+2
- если 5 3 и 10 0 , то 5 · 10 3 · 10, т.е. 50 30
- если 5 3 и -2 , то
5 · (-2) 3 · (-1), т.е. -10 -3
5) если 5 3, то -5 -3
в, с d , то а + с в + d 7) если а в 0 и с d 0, то ас в d 8) если а в≥0, n є N , то аⁿ вⁿ 9) если а в 0, то 1/а 1/в 6) если 5 3, 4 2, то 5 + 4 3 + 2, т.е. 7 5 7) если 5 3 0 и 4 2 0, то 5 · 4 3 · 2, т.е. 12 6 8) если 5 3≥0, 2є N , то 5 ² 3 ² , т.е. 25 9 9) если 5 3 0, то 1/5 1/3″
Свойства числовых неравенств
6) если а в, с d , то
а + с в + d
7) если а в 0 и с d 0,
то ас в d
8) если а в≥0, n є N ,
то аⁿ вⁿ
9) если а в 0, то
1/а 1/в
6) если 5 3, 4 2, то
5 + 4 3 + 2, т.е. 7 5
7) если 5 3 0 и 4 2 0,
то 5 · 4 3 · 2, т.е. 12 6
8) если 5 3≥0, 2є N ,
то 5 ² 3 ² , т.е. 25 9
9) если 5 3 0, то 1/5 1/3
-3 · в -3 · 3,8 -11,1 -3в — 11,4 — 11,4 -3в -11,1″
Известно, что 2,1 а 2,2 и 3,7 в 3,8. Найти оценку чисел: а) 2а б) -3в в) а+в г) а-в д) а ² е) в ³ ж) 1/а
Решение: а) 2а ?
2,1 а 2,2
2 · 2,1 2 а 2
4,2 2а 4,4
Решение: б) -3в ?
3,7 в 3,8
-3 · 3,7 -3 · в -3 · 3,8
-11,1 -3в — 11,4
— 11,4 -3в -11,1
-1 · в -1 · 3,8 -3,7 — в — 3,8 — 3,8 — в -3,7 Сложим почленно неравенства одинакового смысла 2,1 а 2,2 — 3,8 — в -3,7 — 1,7 а — в — 1,5 Решение: в) а+в ? Сложим почленно неравенства одинакового смысла 2,1 3,7 5,8 а+в 6,0″
Известно, что 2,1 а 2,2 и 3,7 в 3,8. Найти оценку чисел: а) 2а б) -3в в)а+в г) а-в д) а ² е) в ³ ж) 1/а
Решение: г) а-в ?
3,7 в 3,8. -1 · 3,7 -1 · в -1 · 3,8
-3,7 — в — 3,8
— 3,8 — в -3,7
Сложим почленно неравенства одинакового смысла
2,1 а 2,2
— 3,8 — в -3,7
— 1,7 а — в — 1,5
Решение: в) а+в ?
Сложим почленно
неравенства одинакового
смысла
2,1
3,7
5,8 а+в 6,0
Известно, что 2,1 а 2,2 и 3,7 в 3,8. Найти оценку чисел: а) 2а б) -3в в)а+в г) а-в д) а ² е) в ³ ж) 1/а
Решение: д) а ²
Обе части двойного
неравенства 2,1 а 2,2
положительны, значит
(2,1) ² ( а ) ² (2,2) ²
4,41 а ² 4,84
Решение: е) в ³
Возведем все части неравенства
3,7 в 3,8 в куб
(3,7) ³ (в) ³ (3,8) ³
50,653 (в) ³ 54,872
0; в о и а в, то 1/а 1/в Значит, если 2,1 а 2,2, то 1 : 2,1 1 : а 1 : 2,2 10/21 1 : а 5/11 Т.к. 110/231 1 : а 105/231 105/231 1/а 110/231 5/11 1/а 10/21″
Известно, что 2,1 а 2,2 и 3,7 в 3,8. Найти оценку чисел: а) 2а б) -3в в)а+в г) а-в д) а ² е) в ³ ж) 1/а
Решение: ж) 1/а
По свойствам неравенств
если а 0; в о и а в, то 1/а 1/в
Значит, если 2,1 а 2,2, то
1 : 2,1 1 : а 1 : 2,2
10/21 1 : а 5/11
Т.к. 110/231 1 : а 105/231
105/231 1/а 110/231
5/11 1/а 10/21
kopilkaurokov.ru
Решение иррациональных и логарифмических неравенств методом интервалов
Решение комбинированных неравенств методом интервалов
В этой статье я расскажу, как решать неравенства вида V, где P(x) и G(x) — произвольные функции, а V — один из знаков >, <, ≥ или ≤.
Принцип решение этих неравенств практически идентичен решению рациональных неравенств методом интервалов с одним важным отличием: после того, как мы нанесем корни на числовую ось, НЕОБХОДИМО УЧЕСТЬ ОБЛАСТЬ ДОПУСТИМЫХ ЗНАЧЕНИЙ неравенства, и затем расставить знаки.
Собственно, и вся премудрость.
Решим неравенство:
Начнем с нахождения ОДЗ.
Подкоренное выражение может принимать только неотрицательные значения, и знаменатель дроби не может быть равен нулю. Получим систему неравенств:
Вспомним об этой системе чуть позже.
Теперь нам нужно найти точки, в которых выражение, стоящее в левой части неравенства меняет знак — это нули числителя и знаменателя.
Чтобы их найти, нам нужно решить два иррациональных уравнения:
и
Решим первое уравнение. Оно равносильно системе:
Решим первое уравнение системы:
. Корень этого уравнения удовлетворяет условию .
Внимание! Корень х=3 — корень четной кратности. В этом месте нужно быть внимательными — в корнях четной кратности функция знак не меняет.
Решим второе уравнение . Оно равносильно системе:
Решим первое уравнение системы:
. Корни этого уравнения и удовлетворяют условию .
Нанесем корни числителя и знаменателя на числовую ось. Вспомним, что точки, соответствующие корням знаменателя мы всегда «выкалываем» (тем самым мы учтем последнее условие ОДЗ), а корни числителя в случае нестрогого неравенства закрашиваем:
Теперь самое время вспомнить об ОДЗ. Оно представляет из себя систему неравенств:
Последнее условие системы мы учли, «выколов» нули знаменателя. Первые два условия: и
Учтем их:
Теперь нужно аккуратно расставить знаки. В нашем случае знаки не столь очевидны, как при решении рациональных неравенств.
Возьмем число, больше большего корня, например, 10. (Мы можем это сделать, так как х=10 принадлежит ОДЗ неравенства) Подставим число 10 вместо х в левую часть неравенства, и выясним, какой знак она принимает в этой точке.
Получим:
Числитель и знаменатель дроби отрицательны, поэтому вся дробь больше нуля, т.е. левая часть неравенства при х=10 больше нуля. Теперь расставим знаки, учитывая, что в точке х=3 смены знака не происходит.
Нас интересует промежуток, где выполняется условие ≥0.
Внимание! В случае нестрогого неравенства условие равенства нулю проверяем отдельно, то есть при записи ответа не забываем х=3.
Ответ: [){3}
И, в заключение, я предлагаю вам посмотреть видеоурок с решением неравенства
И.В. Фельдман, репетитор по математике.
ege-ok.ru
Решение неравенств, методы решения различных неравенств
Дата публикации
Любая школьная программа по математике включает в себя материал о неравенствах. Они окружают школьника повсюду: в формулах, алгебраических аксиомах и задачах. Что же такое неравенства и как выглядит решение неравенств?
Неравенство предполагает в своем условии различие между двумя частями выражения. Всего их два типа: строгие и нестрогие. Нестрогие неравенства допускают вариант, в котором их части равны (в данном случае используются знаки «больше или равно» и «меньше или равно»). Строгие неравенства не позволяют использовать ответы, при которых их части становятся равны. В этом случае решение неравенств включает в себя знаки «больше», «меньше» и «не равно».
Чаще всего неравенства имеют в ответе целый диапазон значений, включая как целые числа, так и множество дробных. Чтобы дать полный и единственно верный ответ, записывают не точные значения, а их интервалы. Решение неравенств происходит чаще всего методом промежутков, где проверяется, в какой части отрезка координат выполняются все условия, позволяющие составить правильное неравенство. Ответ записывается в форме «неизвестное принадлежит отрезку координат с данными границами». Пример записи ответа – х Є (7; 10], где круглая скобка обозначает строгое неравенство, а квадратная – нестрогое (то есть 10 является одним из возможных вариантов ответа, а 7 – нет). Если интервал возможных решений неравенства уходит в бесконечность, то знак бесконечности в ответе всегда выделяется круглой скобкой.
Неравенств бывает множество видов, однако самые сложные вопросы возникают в двух случаях: это решение иррациональных и дробных неравенств.
Что такое иррациональное неравенство? Это неравенство, одна из частей которого является корнем функции. Выглядит такое неравенство достаточно сложно как для неопытного школьника, так и для многих студентов математических кафедр. Однако решение иррациональных неравенств достаточно простое: необходимо просто возвести все неравенство в степень, в корне которой находится одна из его частей. Стоит соблюдать лишь одно правило: если одна из функций является отрицательной, возведение в четную степень исказит неравенство и сделает его отличным от оригинала по самой его сути. Поэтому решение иррациональных неравенств является одним из тех моментов, на которых ошибается львиная доля экзаменуемых школьников и студентов.
Решение дробных неравенств тоже достаточно простое. Дробное неравенство – это такое, в котором одна из частей является дробью. Что же сделать, чтобы составить верное решение дробных неравенств? Попросту умножить обе части неравенства на величину знаменателя одной из функций. Это приведет функцию в более простой вид, что позволит быстро и без особых усилий рассчитать верный диапазон решений неравенства.
Существует огромное количество видов неравенств, и решения многих из них разнятся между собой. Необходимо знать и представлять правильный метод решения каждого из них, чтобы грамотно уметь составить условие, записать ответ и получить высокие баллы за работу. Чем похожи решение иррациональных и дробных неравенств? В первую очередь тем, что для их решения применяется упрощение путем уничтожения неудобного фактора (в одном случае – корня, во втором – знаменателя функции).
Поэтому каждый школьник и студент обязан помнить: едва заметив в неравенстве корень либо знаменатель, он должен среагировать и либо возвести обе части неравенства в нужную степень, либо умножить обе части неравенства на знаменатель. Данный метод решения работает в большинстве случаев, кроме задач исключительной сложности (которые, между прочим, встречаются крайне редко). Поэтому можно с уверенностью сказать, что решение неравенств, предложенное выше, будет верным практически в ста процентах случаев.
Опубликовано в Образование и наука
Добавить комментарий
www.vigivanie.com
Нестандартные иррациональные неравенства
В этом уроке мы рассмотрим два очень похожих иррациональных неравенства. Однако ответы в них будут принципиально различаться.
И если с первым неравенством у большинства учеников не возникает никаких проблем, то вторую задачу многие (даже старшеклассники!) решить не смогут.
Сегодняшний видеоурок будет, с одной стороны, очень простым, а, с другой стороны, очень важным, потому что на тот материал, который мы сегодня рассмотрим, почему-то, не обращается внимание в школьной программе. Однако именно на знание и четкое понимание этих фактов рассчитано большинство самостоятельных и контрольных работ. И, конечно, без знания того, о чем мы сегодня поговорим, вам будет крайне проблематично сдать любой, хоть сколь-нибудь серьезный экзамен по математике. Итак, речь пойдет о сложных неравенствах с радикалами.
Решаем реальные примеры неравенств с радикалами
Пример № 1
Под «сложным» я подразумеваю такое, которое состоит из двух частей, из двух множителей. Один из этих множителей является обычной квадратичной функцией, а вот второй является корнем. Именно отсюда и название — «неравенства с радикалами». Итак, давайте попробуем решить первое из них:
(5x+24−x2)x2−5x−14−−−−−−−−−−√≥0\left( 5x+24-{{x}^{2}} \right)\sqrt{{{x}^{2}}-5x-14}\ge 0
В одном из предыдущих видеоуроков я рассказывал, что если перед нами конструкция, содержащая радикалы, т.е. f(x)⋅g(x)−−−−√≥0f\left( x \right)\cdot \sqrt{g\left( x \right)}\ge 0, то при решении такого неравенства мы можем избавиться от корня, предварительно убедившись, что он отличен от нуля. Другими словами, давайте, в первую очередь, еще до каких-либо преобразований, до каких-либо методов интервалов обязательно будем смотреть, при каких условиях подкоренная конструкция равна нулю. Давайте сейчас это и выпишем:
x2−5x−14=0
{{x}^{2}}-5x-14=0
Полученное квадратное уравнение легко решается как через дискриминант, так и через теорему Виета. Однако я предлагаю еще более хитрый способ: давайте заметим, что поскольку любая конструкция вида x2+bx+c=(x−x0)(x−x1){{x}^{2}}+bx+c=(x-{{x}_{0}})(x-{{x}_{1}}), то мы сразу можем записать наш многочлен как произведение двух множителей. На месте x0{{x}_{0}} и x1{{x}_{1}} стоят значения, произведение которых равно четырнадцати, а сумма равна пяти, без всяких изменений знаков. Мы считаем не корни, а числа, которые будут стоять внутри скобок. Очевидно, что это -7 и 2. Давайте так и запишем:
( − 7) ( + 2) = 0
\left( \text{ }-\text{ }7 \right)\text{ }\left( \text{ }+\text{ }2 \right)\text{ }=\text{ }0
Чтобы понять, почему перед 7 стоит «минус», а перед 2 —«плюс», просто посмотрите: -5 — отрицательное, следовательно, наибольшее по модулю из этих двух чисел должно быть именно отрицательным. Если бы мы поставили 7 и -2, то в сумме они давали бы 5, а не -5. А в произведении они очевидно дают -14. Находим xx:
\[\begin{array}{·{35}{l}}
\text{ }=\text{ }7 \\\text{ }=\text{ }-2 \\\end{array}\]
Что дают нам эти числа? На самом деле, это уже кусочек ответа. Судите сами: в нашей задаче требуется найти все xx, когда выражения больше или равно 0. Однако, если подкоренная конструкция равна 0, то в этом случае сам xx также обращается в 0. А если ноль умножить на какой-то квадратный трехчлен, все равно будет 0. Следовательно, сейчас мы уже нашли часть ответа: x=7x=7 и x=2x=2.
Идем далее и предположим, что
\[\begin{array}{·{35}{l}}
\text{ }\ne \text{ }7 \\\text{ }\ne \text{ }-2 \\\end{array}\]
В этом случае под знаком радикала стоит число, отличное от 0 и, следовательно сам корень также отличен от 0. А это значит, что мы можем разделить обе части этого неравенства на значение, которое получили. При этом знак неравенства не поменяется, просто потому что корень является неотрицательным числом, а при соблюдении описанных выше условий и вовсе положительным. Давайте так и запишем:
f(x)−−−−√>05x+24−x2≥0(−1)x2−5x−24≤0\begin{align}& \sqrt{f\left( x \right)}>0 \\& 5x+24-{{x}^{2}}\ge 0\left( -1 \right) \\& {{x}^{2}}-5x-24\le 0 \\\end{align}
Перед нами приведенное квадратное уравнение и можем разложить его на скобки точно так же, как и в прошлый раз. Нам нужно найти два таких значения, которые в произведении дают 24, а в сумме дают -5. Очевидно, это числа -8 и 3, т. е. мы можем записать следующее:
( − 8) ( + 3) ≤ 0
\left( \text{ }-\text{ }8 \right)\text{ }\left( \text{ }+\text{ }3 \right)\text{ }\le \text{ }0
Перед нами неравенство, которое уже не имеет знака радикала и очень легко решается методом интервалов. Давайте начертим прямую и отметим на ней нули выражений, стоящих в скобках:
Отмечаем знаки. Для этого берем любое число, большее 8. Первым знаком будет «плюс». Далее знаки везде меняются, поскольку корней четной кратности нет. Атак как от нас требуется найти значение функции меньше ли равно 0, то нас интересует интервал [−3;8][-3;8].
Однако если мы запишем в ответе [−3;8][-3;8], то мы получим за такую задачу 0 баллов, потому что мы не учли область определения радикала. Необходимость определения корня возникает на том шаге, когда мы делим на корень. Дело в том, что исходное неравенство содержало в себе корень и, следовательно, содержало в себе все ограничения, накладываемые на подкоренное значение. А во втором выражении никаких дополнительных ограничений нет, следовательно, мы должны проверить их отдельно. Подкоренное выражение должно быть больше или равно 0:
\[\begin{array}{·{35}{l}}
\left( \text{ }-\text{ }7 \right)\text{ }\left( \text{ }+\text{ }2 \right)\text{ }\ge \text{ }0 \\\text{ }=\text{ }7 \\\text{ }=\text{ }-2 \\\end{array}\]
Отметим эти точки на параллельной прямой к тому, что мы уже отметили:
Мы можем записать:
∈[−3; −2]∪[7; 8]
\in \left[ -3;\text{ }-2 \right]\cup \left[ 7;\text{ }8 \right]
Это уже с учетом области определения. Кроме того, заметим, что значения, которые мы отмечали в самом начале, также входят в наше множество, следовательно, это множество является окончательным ответом. Все, наше неравенство с радикалами решено.
Пример № 2
Переходим ко второму примеру, который содержит радикал:
(x2−3x+8)x2−x−56−−−−−−−−−√≤0\left( {{x}^{2}}-3x+8 \right)\sqrt{{{x}^{2}}-x-56}\le 0
Первый шаг абсолютно идентичен предыдущему неравенству: мы выписываем подкоренное выражение и приравниваем его к 0:
x2−x−56=0
{{x}^{2}}-x-56=0
Это приведенное квадратное уравнение, раскладываем его на множители согласно той же технологии, которую мы сегодня изучали:
( − 8) ( + 7) = 0
\left( \text{ }-\text{ }8 \right)\text{ }\left( \text{ }+\text{ }7 \right)\text{ }=\text{ }0
Итого, таким способом мы разложили квадратный трехчлен на множители и теперь можем найти иксы:
\[\begin{array}{·{35}{l}}
\text{ }=\text{ }7 \\\text{ }=\text{ }8 \\\end{array}\]
Как и в прошлый раз, полученные числа уже являются частью итогового результата. И вот на этом этапе у многих учеников возникает вопрос: а зачем вообще учитывать эти числа, ведь они все равно войдут в итоговый ответ?
Итак, решаем подкоренное выражение с предположением, что
\[\begin{array}{·{35}{l}}
\text{ }\ne \text{ }8 \\\text{ }\ne \text{ }-7 \\\end{array}\]
В этом случае получим довольно простую конструкцию:
x2−3x+8≤0
{{x}^{2}}-3x+8\le 0
Поскольку данное неравенство не раскладывается с первого взгляда на множители с помощью теоремы Виета и с помощью того приема, который мы сегодня разобрали, давайте решать его методом интервалов с помощью дискриминанта. Итак:
D= 9 − 4 ⋅ 8 = 9 − 32 = −23
D=\text{ }9\text{ }-\text{ }4\text{ }\cdot \text{ }8\text{ }=\text{ }9\text{ }-\text{ }32\text{ }=\text{ }-23
Мы получили, что дискриминант отрицательный. Прекрасно, иксов нет.
Немного теории
С точки зрения алгебры это означает, что наша парабола, направлена ветвями вверх, нигде не пересекает ось OxOx. Следовательно, во всех своих точках она лежит в положительной полуплоскости. Но тогда получается, что данное неравенство вообще не имеет ответа. Другими словами, убрав радикал из исходного неравенства, мы получили конструкцию, которая имеет пустое множество решений. И как раз в этой ситуации кроется ответ на вопрос, который я озвучил в самом начале решения это неравенства.
Дело в том, что, не выполняя проверки, т.е. не изучая тот случай, когда подкоренное выражение равно 0, легко не заметить и записать в ответе, что в исходном неравенстве корней нет. Но это неправда, потому что они есть, и их, как минимум, два — мы их только что нашли.
Таким образом, незначительная деталь оказалась в итоге очень важной, потому что дискриминант нашей функции меньше 0. Таким образом, еще раз обращаю ваше внимание: если вы собираетесь разделить неравенство на конструкцию с радикалом, содержащую корень, обязательно предварительно убедитесь, что подкоренное выражение отлично от 0. А все нули этого подкоренного значения автоматически записываются в кандидаты на ответ при условии, что неравенство является нестрогим.
И вообще, вспомните, что такое нестрогое неравенство. Когда мы пишем что-то из разряда f≤g, это означает, что в ответе мы должны указать сразу два множества, объединенных в одно. С одной стороны, мы решаем неравенство\[f\],>
Ключевые моменты
В заключении хотел бы еще раз пробежаться по всем ключевым моментам сегодняшнего видеоурока:
- Подкоренное выражение нужно приравнивать к 0 и проверять, не являются ли полученные значения решениями исходного неравенства.
- Мы можем убирать эти корни, после того как убедимся, что подкоренные выражения отличны от 0, и полученные неравенства решать по стандартным методикам, например, методом интервалов. Однако и здесь есть один опасный подводный камень. Дело в том, что избавляясь от радикала (например, в первой неравенстве), мы расширяем область определения нашего выражения. Таким образом, чтобы не допустить в ответе лишних значений, в полученном после удаления иррациональной функции выражении необходимо обязательно добавить область определения исходного корня. С одной стороны, это может привести к существенному сокращению итогового ответа, а с другой — избавит вас от обидных ошибок, которые допускаются практически на пустом месте. Ведь подкоренную функцию мы уже приравнивали к 0, а, следовательно, для решения соответствующего неравенства очень удобно использовать метод интервалов, что мы и сделали в конце решения первого неравенства с радикалом.
Надеюсь, данный урок поможет вам не допускать глупых и обидных ошибок при решении неравенств, которые содержат в себе радикалы.
Смотрите также:
- Иррациональные неравенства. Часть 2
- Иррациональные неравенства. Часть 1
- Тест к уроку «Площади многоугольников на координатной сетке» (средний)
- Задача B15 — исследование функции с помощью производной
- Тест: простейшие показательные уравнения (2 вариант)
- Симметрия корней и оптимизация ответов в тригонометрии
www.berdov.com