Образуют ли векторы базис онлайн – Онлайн калькулятор. Проверить образуют ли вектора базис.

Разложение векторов по векторам базиса

Вектор  называется линейной комбинацией векторов  векторного пространства , если он равен сумме произведений этих векторов на произвольные действительные числа:

где  – какие угодно действительные числа

Векторы  векторного пространства  называются линейно зависимыми, если существуют такие числа , не равные одновременно нулю, что

В противном случае векторы  называются линейно независимыми.

Из приведенных выше определений следует, что векторы  линейно независимы, если последнее равенство справедливо лишь при , и линейно зависимы, если равенство выполняется, когда хотя бы одно из чисел  отлично от нуля.

Можно показать, что если векторы  линейно зависимы, то по крайней мере один из них линейно выражается через все остальные. Верно и обратное утверждение о том, что если один из векторов выражается через остальные, что все эти векторы в совокупности линейно зависимые.

Примеров линейно независимых векторов являются два неколлениарных на плоскости или три некомпланарных в трехмерном пространстве, т.е. определитель, составленный из координат этих векторов должен быть не равен нулю.

Условие задачи

Даны векторы  и  в некотором базисе. Показать, что векторы  образуют базис, и найти координаты вектора  в этом базисе.

Задали объемную контрольную? Скоро важный зачет/экзамен? Нет времени на выполнение работы или подготовку к зачету/экзамену, но есть деньги? На сайте 100task.ru можно заказать решение или онлайн-помощь на зачете/экзамене 〉〉

Решение задачи

Составим из координат векторов определитель и вычислим его:  

Определитель не равен нулю, следовательно, система векторов является линейно-независимой и образует базис трехмерного пространства.

Вектор  единственным образом разлагается по векторам этого базиса.

 

Приравнивая соответствующие координаты векторов, получаем следующую систему 3-х линейных уравнений: 

 

Решим систему уравнений методом Крамера:

Координаты вектора  в базисе векторов  или 

К оглавлению решебника по высшей математике

100task.ru

Как доказать, что вектора образуют базис 🚩 базис трехмерного пространства 🚩 Математика

Вам понадобится

  • - бумага;
  • - ручка.

Инструкция

Пользуясь только лишь основными определениями проверить линейную независимость системы вектор-столбцов, а соответственно и дать заключение о наличии базиса, весьма затруднительно. Поэтому в данном случае вам может помочь использование некоторых специальных признаков. Известно, что векторы линейно независимы, если составленный из них определитель не равен нулю.Исходя из этого, можно достаточно объяснить тот факт, что система векторов образует базис. Итак, для того чтобы обосновать, что векторы образуют базис, следует составить из их координат определитель и убедиться, что он не равен нулю.В дальнейшем, для сокращения и упрощения записей, представление вектор-столбца матрицей-столбцом будем заменять транспонированной матрицей-строкой.

Пример 1. Образуют ли базис в R^3 вектор-столбцы (1, 3, 5)^T, (2, 6, 4)^T, (3, 9, 0)^T.Решение. Составьте определитель |A|, строками которого являются элементы заданных столбцов (см. рис.1).Раскрыв этот определитель по правилу треугольников, получится: |A| = 0+90+36-90-36-0=0. Следовательно, эти векторы не могут образовать базис.

Пример. 2. Система векторов состоит из (10, 3, 6)^T, (1, 3, 4)^T, (3, 9, 2)^T. Могут ли они образовать базис?Решение. По аналогии с первым примером составьте определитель (см. рис.2): |A| =60+54+36-54-360-6=270, т.е. не равно нулю. Следовательно, эта система вектор-столбцов пригодна для использования в качестве базиса в R^3.

Теперь со всей очевидностью становится ясно, что для нахождения базиса системы вектор-столбцов вполне достаточно взять любой определитель подходящей размерности отличный от нуля. Элементы его столбцов образуют базисную систему. Мало того, всегда желательно иметь простейший базис. Так как определитель единичной матрицы всегда отличен от нуля (при любой размерности), то в качестве базиса всегда можно выбрать систему (1, 0, 0,…,0)^T, (0, 1, 0,…,0)^T, (0, 0, 1,…,0)^T,…, (0, 0, 0,…,1)^T.

www.kakprosto.ru

Задание 1 10. Даны векторы. Показать, что векторы образуют базис трехмерного пространства и найти координаты вектора в этом базисе

Задания для контрольной работы

Задание 1 - 10. Даны векторы . Показать, что векторы образуют базис трехмерного пространства и найти координаты вектора в этом базисе:

Даны векторы ε1(3;1;6), ε2(-2;2;-3), ε3(-4;5;-1), X(3;0;1). Показать, что векторы образуют базис трехмерного пространства и найти координаты вектора X в этом базисе.

Данная задача состоит из двух частей. Сначала необходимо проверить образуют ли векторы базис. Векторы образуют базис, если определитель, составленный из координат этих векторов, отличен от нуля, в противном случае вектора не являются базисными и вектор X нельзя разложить по данному базису.

Вычислим определитель матрицы:

∆ = 3*(2*(-1) - 5*(-3)) - -2*(1*(-1) - 5*6) + -4*(1*(-3) - 2*6) = 37

Определитель матрицы равен ∆ =37

Так как определитель отличен от нуля, то векторы образуют базис, следовательно, вектор X можно разложить по данному базису. Т.е. существуют такие числа α1, α2, α3, что имеет место равенство:

X = α1ε1 + α2ε2 + α3ε3

Запишем данное равенство в координатной форме:

(3;0;1) = α(3;1;6) + α(-2;2;-3) + α(-4;5;-1)

Используя свойства векторов, получим следующее равенство:

(3;0;1) = (3α1;1α1;6α1😉 + (-2α2;2α2;-3α2😉 + (-4α3;5α3;-1α3😉

(3;0;1) = (3α1 -2α2 -4α3;1α1 + 2α2 + 5α3;6α1 -3α2 -1α3)

По свойству равенства векторов имеем:

1 -2α2 -4α3 = 3

1 + 2α2 + 5α3 = 0

1 -3α2 -1α3 = 1

Решаем полученную систему уравнений методом Гаусса или методом Крамера.

Ответ:

X = ε1 + 2ε23

Решение было получено и оформлено с помощью сервиса:

Координаты вектора в базисе

Вместе с этой задачей решают также:

Решение матричных уравнений

Метод Крамера

Метод Гаусса

Обратная матрица методом Жордано-Гаусса

Обратная матрица через алгебраические дополнения

Умножение матриц онлайн

Copyright ©

gigabaza.ru

Решим задачи, контрольные, курсовые... - Показать, что векторы a, b, c образуют базис.

        Определение 10.28   Смешанным произведением векторов a,b,c называется число .         

Смешанное произведение будем обозначать abc.

        Предложение 10.26   Смешанное произведение векторов равно нулю тогда и только тогда, когда сомножители a,b,c компланарны.         Доказательство.     По определению . В силу свойства  скалярного произведения  тогда и только тогда, когда векторы a и ортогональны. Если , то вектор ортогонален плоскости векторов b,c, и, следовательно, a лежит в плоскости векторов b,c. Если , то в силу  векторы b и c коллинеарны, но тогда векторы a,b,c компланарны.     

Следующее предложение показывает геометрический смысл смешанного произведения.

        Предложение 10.27   Смешанное произведение abc некомпланарных векторов равно объему параллелепипеда, сторонами которого служат векторы a,b,c, взятому со знаком " ", если векторы образуют правую тройку, и со знаком " ", если -- левую.         Доказательство
.     Пусть .
  равен площади параллелограмма, сторонами которого служат векторы b,c (рис. 10.26, 10.27).

Рис.10.26.Правая тройка

Рис.10.27.Левая тройка

По свойству 7 скалярного произведения 

(10.7)

Пусть  -- высота параллелепипеда (рис. 10.26, 10.27). Если a,b,c -- правая тройка векторов, то (рис. 10.26), если a,b,c -- левая тройка, то . Так как  -- объем параллелепипеда, то из формулы (10.7) получим в случае правой тройки и в случае левой тройки сомножителей.     

Заметим, что если тройка векторов a,b,c является правой, то тройки c,a,b и b,c,a также будут правыми, а тройки b,a,c, c,b,a и a,c,b будут левыми тройками векторов.

Так как объем параллелепипеда не зависит от того, в каком порядке перечисляются его стороны, то

(10.8)

         Линейность операции по какому-то аргументу означает выполнение двух условий:

1) если аргумент умножить на число, то и результат умножится на это число, то есть числовой множитель аргумента можно вынести за знак операции;

2) если аргумент заменить суммой двух слагаемых, то результат будет равен сумме результатов для каждого слагаемого.

Со свойством линейности мы уже встречались при изучении скалярного произведения векторов, векторного произведения , в математическом анализе свойством линейности обладают операции нахождения предела, дифференцирования, интегрирования.

В частности, утверждение, что смешанное произведение линейно по второму аргументу, означает:

1) ;

2) .

        Доказательство       Соотношения и следуют из того, что abc является скалярным произведением a на и из линейности скалярного произведения 

Для второго аргумента: в силу равенства (10.8) выполнено , поэтому

Для третьего аргумента свойство линейности доказывается аналогично.     

        Доказательство.     Построим параллелепипед, три ребра которого совпадают с тремя ребрами пирамиды, выходящими из одной точки (рис. 10.28).

Рис.10.28.Объем пирамиды

Объем параллелепипеда вычисляется по формуле , а объем пирамиды -- . Так как , то .

 получим, что , а .     

Получим формулу для нахождения смешанного произведения по координатам сомножителей.

        Доказательство.      находим координаты вектора :   находим скалярное произведение вектора a на вектор : Правая часть этого равенства совпадает с определением определителя . По определению , формула (10.9) доказана.     

 Предложения 10.26 и 10.30 позволяют устанавливать, компланарны ли три вектора, заданные своими координатами или, другими словами, является ли система из трех векторов линейно зависимой ( предложение 10.10), или образуют ли базис эти три вектора.

        Пример 10.3   Является ли система векторов , , линейно зависимой?

Находим

По  предложению 10.26 векторы
a
,b,c компланарны и по предложению 10.10 линейно зависимы.        

www.reshim.su

Найти любую подсистему векторов, которые образуют базис - 18 Декабря 2014

В системе векторов a1, a2, a3, a4 найти любую подсистему векторов, которые образуют базис, разложить векторы по базису, перейти к другому базису, найти коэффициенты разложения векторов во втором базисе; в обоих случаях определить обратные матрицы, соответствующие векторам базиса. Правильность вычисления в каждом случае проверить с помощью умножения вектора слева на матрицу, обратную матрице вектора базиса.

a1=(1;5;3), a2=(2;1;-1), a3=(4;2;1), a4=(17;13;4),

Решение получаем с помощью калькулятора "Координаты вектора в базисе".

Дан вектор X(17;13;4), который задан в базисе E:


Составим матрицу перехода:


Вычислим определитель матрицы:
∆ = 1*(1*1 - 2*(-1)) - 2*(5*1 - 2*3) + 4*(5*(-1) - 1*3) = -27
Определитель матрицы равен ∆ =-27

Так как S невырожденная матрица, то существует обратная матрица S-1. Тогда координаты вектора X в новом базисе равны: x* = S-1·X
Найдем обратную матрицу S-1.
Транспонированная матрица ST.


Алгебраические дополнения


1,1 = (1*1 - 2*(-1)) = 3


1,2 = -(2*1 - 4*(-1)) = -6


1,3 = (2*2 - 4*1) = 0


2,1 = -(5*1 - 2*3) = 1


2,2 = (1*1 - 4*3) = -11


2,3 = -(1*2 - 4*5) = 18


3,1 = (5*(-1) - 1*3) = -8


3,2 = -(1*(-1) - 2*3) = 7


3,3 = (1*1 - 2*5) = -9
Обратная матрица S-1.

 

* =

Ответ:

X = ε1 + 2ε2 + 3ε3

Решение было получено и оформлено с помощью сервиса:
Координаты вектора в базисе
Вместе с этой задачей решают также:

Решение матричных уравнений

newsemestr.ucoz.ru

Найти координаты вектора в базисе

Задание.
Даны векторы a (1; 2; 1), b (2; —2; 1), c (1; —2; 0) и d (0; 3; 1). Проверить, образуют ли векторы a, b, c базис, и если да, то найти координаты вектора d в этом базисе.

Решение.
Запишем соотношение для векторов , которое будет справедливым для каждой проекции вектора на оси. Для этого подставим соответствующие координаты заданных векторов:

   

   

   

В результате получили алгебраическая система из трёх уравнений с тремя неизвестными. Рассматривать возможные способы решения сейчас не будем. Лишь упомяну, что удобнее в данном случае корни вычислить с помощью нескольких методов, например, метода Крамера или же метода обратной матрицы. Мы же воспользуемся следующим методом:

   

К первому уравнению добавим третье и запишем результат на месте первого:

   

От второго уравнения отнимем первое:

   

Выразим из второго уравнения :

   

Подставим это значение в третье уравнение и вычислим значение :

   

   

   

Подставим последнее полученное значение в первое уравнение, чтобы вычислить значение :

   

   

Запишем решение данной системы:

   

   

   

Следовательно, вектор d также будет иметь разложение в базисе векторов a, b, c:

   

Ответ. .

ru.solverbook.com

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *