Онлайн калькулятор: Метод хорд
Немного теории о методе хорд под калькулятором.
Критерий останова (тип)Отличие функции от нуля Точность вычисленияЗнаков после запятой: 4
Сохранить share extension
Метод хорд
Метод хорд можно рассматривать как комбинацию метода секущих (Метод секущих) и метода дихотомии — отличие от метода секущих состоит в том, что если в методе секущих в качестве точек следующей итерации выбираются последние рассчитанные точки, то в методе хорд выбираются те точки, в которых функция имеет разный знак, и соответственно, выбранный интервал содержит корень.
Вывод итерационной формулы аналогичен выводу формулы для метода секущих:
Положим, что у нас есть две точки, x0 и x1, в которых значения функции равны соответственно f(x0) и f(x1). Тогда уравнение прямой, проходящей через эти точки, будет
Для точки пересечения с осью абсцисс (у=0) получим уравнение
Но в отличие от метода секущих, после расчета следующего приближения в качестве второй точки выбирается не последняя, а та, в которой функция имеет разный знак со значением функции в вычисленной точке. Проиллюстрировано это ниже.
Источник
Метод хорд является двухшаговым, то есть новое приближение определяется двумя предыдущими итерациями. Поэтому необходимо задавать два начальных приближения корня.
Метод требует, чтобы начальные точки были выбраны по разные стороны от корня (то есть корень содержался в выбранном интервале), при этом величина интервала в процессе итераций не стремится к 0.
В качестве критерия останова берут один из следующих:
— значение функции на данной итерации стало меньше заданого ε.
— изменение хk в результате итерации стало меньше заданого ε. При этом имеется в виду не интервальные значения, а два вычисленных значения, так как величина интервала не стремится к 0.
Подробнее: Метод хорд
planetcalc.ru
калькулятор онлайн метод хорд
Вы искали калькулятор онлайн метод хорд? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос. Подробное решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и метод хорд калькулятор онлайн, не исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению в вуз. И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели — у нас уже есть решение. Например, «калькулятор онлайн метод хорд».
Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который может решить задачи, такие, как калькулятор онлайн метод хорд,метод хорд калькулятор онлайн,метод хорд онлайн,метод хорд онлайн калькулятор,онлайн калькулятор метод хорд,онлайн метод хорд. На этой странице вы найдёте калькулятор, который поможет решить любой вопрос, в том числе и калькулятор онлайн метод хорд. Просто введите задачу в окошко и нажмите «решить» здесь или введите в окно ввода ниже свой запрос (например, метод хорд онлайн).
Где можно решить любую задачу по математике, а так же калькулятор онлайн метод хорд Онлайн?
Решить задачу калькулятор онлайн метод хорд вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на этой странице.
www.pocketteacher.ru
Метод хорд — приближенное нахождение корня уравнения.
Калькулятор вычисляет корень уравнения по известному методу хорд, так называемому итерационному численному методу, который приближенно находит корень уравнения.
Данный метод также можно и рассмотреть как комбинацию 2 методов: метода секущий (который вы можете посмотреть также на нашем сайте на странице:
Основным отличием метода хорд от метода секущих есть то, что в методе хорд последующими итерациями используются все точки, функция которых имеет разный знак, а в методе секущих — последние рассчитанные точки.
The field is not filled.
Please fill in this field.
The field must contain at least% 1 characters.
The value must not be longer than% 1 characters.
Field value does not coincide with the field ‘%1’
An invalid character. Valid characters:’%1′.
Expected number.
It is expected a positive number.
Expected integer.
It is expected a positive integer.
The value should be in the range of [%1 .. %2]
The ‘% 1’ is already present in the set of valid characters.
The field must be less than 1%.
The first character must be a letter of the Latin alphabet.
Su
Mo
Tu
We
Th
Fr
Sa
January
February
March
April
May
JuneJuly
August
September
October
November
December
century
B.C.
%1 century
An error occurred while importing data on line% 1. Value: ‘%2’. Error: %3
Unable to determine the field separator. To separate fields, you can use the following characters: Tab, semicolon (;) or comma (,).
%3.%2.%1%4
%3.%2.%1%4 %6:%7
s.sh.
u.sh.
v.d.
z.d.
yes
no
Wrong file format. Only the following formats: %1
Please leave your phone number and / or email.
hostciti.net
Решение высшей математики онлайн
‹— Назад
Идея метода состоит в том, что по двум точкам и построить прямую (то есть хорду, соединяющую две точки графика ) и взять в качестве следующего приближения абсциссу точки пересечения этой прямой с осью . Иными словами, приближённо заменить на этом шаге функцию её линейной интерполяцией, найденной по двум значениям : и . (Линейной интерполяцией функции назовём такую линейную функцию , значения которой совпадают со значениями в двух фиксированных точках, в данном случае — в точках и .)
В зависимости от того, лежат ли точки и по разные стороны от корня или же по одну и ту же сторону, получаем такие чертежи:
Рис.9.14.Построение последовательного приближения по методу хорд: два случая
Итак, очередное последовательное приближение будет зависеть от двух предыдущих: . Найдём выражение для функции .
Интерполяционную линейную функцию будем искать как функцию с угловым коэффициентом, равным разностному отношению
построенному для отрезка между и , график которой проходит через точку : Решая уравнение , находим то естьЗаметим, что величина может рассматриваться как разностное приближение для производной в точке . Тем самым полученная формула (9.3) — это разностный аналог итерационной формулы метода Ньютона.
Вычисление по формуле (9.3) гораздо предпочтительнее вычисления по другой полученной нами формуле
хотя эти две формулы математически тождественны, поскольку при использовании формулы (9.3) в случае вычислений с округлениями (например, на компьютере) достигается меньшая потеря значащих цифр.Имеются две разновидности применения формулы (9.3).
Первая разновидность: вычисления ведутся непосредственно по формуле (9.3) при , начиная с двух приближений и , взятых, по возможности, поближе к корню . При этом не предполагается, что лежит между и (и что значения функции в точках и имеют разные знаки). При этом не гарантируется, что корень попадёт на отрезок между и на каком-либо следующем шаге (хотя это и не исключено). В таком случае затруднительно дать оценку погрешности, с которой приближает истинное значение корня , и поэтому довольствуются таким эмпирическим правилом: вычисления прекращают, когда будет выполнено неравенство , где — желаемая точность нахождения корня. При этом полагают приближённое значение корня равным .
Вторая разновидность применения формулы (9.3) называется методом ложного положения. Предположим, что корень отделён на отрезке между и , то есть значения и — разных знаков. После вычисления по формуле (9.3) на очередном, -м, этапе из двух отрезков: между и и между и — выбирают тот, в концах которого функция принимает значения разных знаков. Если это отрезок между и , то производят перенумерацию предыдущих приближений, то есть полагают равным , а затем повторяют вычисления по формуле (9.3). Этим достигается, что при любом корень располагается на отрезке между и , так что при выполнении условия , где — желаемая точность нахождения корня, вычисления можно прекратить и взять приближённое значение корня равным . При этом гарантируется, что будет выполнено неравенство , то есть корень будет определён с нужной точностью.
Такое усложнение алгоритма не даёт, на самом деле, сколько-нибудь заметного преимущества. Проиллюстрируем это на примере.
Пример 9.10 В ситуации примера 9.8 применим метод ложного положения. Тогда последовательные приближения будут такими:Как мы видим, отличаются от вычислений в примере 9.8 только приближения . (Заметим, что если бы в примере 9.8 мы взяли , см. упражнение 9.3, то вдобавок совпали бы значения .)
Математика, вышка, высшая математика, математика онлайн, вышка онлайн, онлайн математика, онлайн решение математики, ход решения, процес решения, решение, задачи, задачи по математике, математические задачи, решение математики онлайн, решение математики online, online решение математики, решение высшей математики, решение высшей математики онлайн, матрицы, решение матриц онлайн, векторная алгебра онлайн, решение векторов онлайн, система линейных уравнений, метод Крамера, метод Гаусса, метод обратной матрицы, уравнения, системы уравнений, производные, пределы, интегралы, функция, неопределенный интеграл, определенный интеграл, решение интегралов, вычисление интегралов, решение производных, интегралы онлайн, производные онлайн, пределы онлайн, предел функции, предел последовательности, высшие производные, производная неявной функции
mathserfer.narod.ru
Моделирование в электроэнергетике — Численные методы решения нелинейных уравнений. Метод хорд.
Численные методы решения нелинейных уравнений. Метод хорд.
Метод хорд (метод также известен как Метод секущих) один из методов решения нелинейных уравнений и основан на последовательном сужении интервала, содержащего единственный корень уравнения . Итерационный процесс выполняется до того момента, пока не будет достигнута заданная точность .
В отличие от метода половинного деления, метод хорд предлагает, что деление рассматриваемого интервала будет выполняться не в его середине, а в точке пересечения хорды с осью абсцисс (ось — Х). Следует отметить, что под хордой понимается отрезок, который проведен через точки рассматриваемой функции по концам рассматриваемого интервала. Рассматриваемый метод обеспечивает более быстрое нахождение корня, чем метод половинного деления, при условии задания одинакового рассматриваемого интервала.
Геометрически метод хорд эквивалентен замене кривой хордой, проходящей через точки и (см. рис.1.).
Рис.1. Построение отрезка (хорды) к функции .
Уравнение прямой (хорды), которая проходит через точки А и В имеет следующий вид:
Данное уравнение является типовым уравнением для описания прямой вы декартовой системе координат. Наклон кривой задается по ординате и абсциссе с помощью значений в знаменателе и , соответственно.
Для точки пресечения прямой с осью абсцисс записанное выше уравнение перепишется в следующем виде:
В качестве нового интервала для прохождения итерационного процесса выбираем один из двух или , на концах которого функция принимает значения разных знаков. Противоположность знаков значений функции на концах отрезка можно определить множеством способов. Один из множества этих способов — умножение значений функции на концах отрезка и определение знака произведения путём сравнения результата умножения с нулём:
или .
Итерационный процесс уточнения корня заканчивается, когда условие близости двух последовательных приближений станет меньше заданной точности, т.е.
.
Рис.2. Пояснение к определению погрешности расчета.
Следует отметить, что сходимость метода хорд линейная, однако более быстрая, чем сходимость метода половинного деления.
Алгоритм нахождения корня нелинейного уравнения по методу хорд
1. Найти начальный интервал неопределенности одним из методов отделения корней. Задать погрешность расчета (малое положительное число ) и начальный шаг итерации ().
2. Найти точку пересечения хорды с осью абсцисс:
3. Необходимо найти значение функции в точках , и . Далее необходимо проверить два условия:
— если выполняется условие , то искомый корень находится внутри левого отрезка положить, ;
— если выполняется условие , то искомый корень находится внутри правого отрезка принять , .
В результате находится новый интервал неопределенности, на котором находится искомых корень уравнения:
4. Проверяем приближенное значение корня уравнения на предмет заданной точности, в случае:
— если разность двух последовательных приближений станет меньше заданной точности , то итерационный процесс заканчивается. Приближенное значение корня определяется по формуле:
— если разность двух последовательных приближений не достигает необходимой точности , то необходимо продолжить итерационный процесс и перейти к п.2 рассматриваемого алгоритма.
В качестве примера, рассмотрим решение нелинейного уравнения методом хорд. Корень необходимо найти в рассматриваемом диапазоне с точностью .
Вариант решения нелинейного уравнения в программном комплексе MathCAD.
Результаты расчетов, а именно динамика изменения приближенного значения корня, а также погрешности расчета от шага итерации представлены в графической форме (см. рис.1).
Рис.1. Результаты расчета по методу хорд
Для обеспечения заданной точности при поиске уравнения в диапазоне необходимо выполнить 6 итераций. На последнем шаге итерации приближенное значение корня нелинейного уравнения будет определяться значением: .
Примечание:
Модификацией данного метода является метод ложного положения (False Position Method), который отличается от метода секущих только тем, что всякий раз берутся не последние 2 точки, а те точки, которые находятся вокруг корня.
Следует отметить, что в случае если от нелинейной функции можно взять вторую производную алгоритм поиска может быть упрощен. Предположим, что вторая производная сохраняет постоянный знак, и рассмотрим два случая:
Случай №1:
Из первого условия получается, что неподвижной стороной отрезка является – сторона a.
Случай №2:
Из второго условия получается, что неподвижной стороной отрезка является – сторона b.
В общем виде, для выявления неподвижного конца можно записать следующее условие: , где или .
Рис. 3. Примеры убывающей или возрастающей функции
Таким образом, в зависимости от вида функции получаются два выражения для упрощения поиска корня функции:
— если функция соответствует первому случаю (см. рис. 3), тогда формула будет иметь следующий вид:
, где k=0,1,2,…
— если функция соответствует второму случаю (см. рис. 3), тогда формула будет иметь следующий вид:
, где k=0,1,2,…
Случай сводится к рассматриваемому, если уравнение записать в форме: .
Для того, чтобы добавить Ваш комментарий к статье, пожалуйста, зарегистрируйтесь на сайте.
simenergy.ru
Онлайн калькулятор: Метод бисекции
Калькулятор, который находит приближенное решение уравнения методом бисекции или методом деления отрезка пополам. Небольшая теория под калькулятором.
Критерий останова (тип)Отличие функции от нуля Точность вычисленияЗнаков после запятой: 4
Сохранить share extension
Метод бисекции
Существует довольно очевидная теорема: «Если непрерывная функция на концах некоторого интервала имеет значения разных знаков, то внутри этого интервала у нее есть корень (как минимум, один, но может быть и несколько)». На базе этой теоремы построено несколько методов численного нахождения приближенного значения корня функции. Обобщенно все эти методы называются методами дихотомии, т. е. методами деления отрезка на две части (необязательно равные).
Здесь уже были рассмотрены Метод хорд и Метод секущих, теперь дошла очередь и до самого простого метода дихотомии, называемого методом бисекции, или методом деления отрезка пополам. Как следует из названия, именно в этом методе отрезок делится каждый раз на две равные части. Середина отрезка считается следующим приближением значения корня. Вычисляется значение функции в этой точке, и, если критерий останова не достигнут, выбирается новый интервал. Интервал выбирается таким образом, чтобы на его концах значения функции по прежнему имели разный знак, то есть чтобы он по прежнему содержал корень. Такой подход обеспечивает гарантированную сходимость метода независимо от сложности функции — и это весьма важное свойство. Недостатком метода является то же самое — метод никогда не сойдется быстрее, т. е. сходимость метода всегда равна сходимости в наихудшем случае.
Итерационная формула проста:
Метод бисекции является двухшаговым, то есть новое приближение определяется двумя предыдущими итерациями. Поэтому необходимо задавать два начальных приближения корня.
Метод требует, чтобы начальные точки были выбраны по разные стороны от корня (то есть корень содержался в выбранном интервале).
В качестве критерия останова берут один из следующих:
— значение функции на данной итерации стало меньше заданого ε.
— изменение хk в результате итерации стало меньше заданого ε. Поскольку интервал на каждом шаге уменьшается в два раза, вместо проверки x можно рассчитать количество требуемых итераций.
Подробнее: Метод бисекции.
planetcalc.ru