Онлайн определение сходимости ряда – Сходимость ряда — исследование онлайн · Как пользоваться Контрольная Работа РУ

Сходимость ряда онлайн

Проверить сходимость ряда можно несколькими способами. Во-первых можно просто найти сумму ряда. Если в результате мы получим конечное число, то такой ряд сходится. Например, поскольку

то ряд сходится. Если нам не удалось найти сумму ряда, то следует использовать другие методы для проверки сходимости ряда.

Одним из таких методов является признак Даламбера, который записывается следующим образом:

здесь и соответственно n-ый и (n+1)-й члены ряда, а сходимость определяется значением D: Если D < 1 — ряд сходится, если D > 1 — расходится. При D = 1 — данный признак не даёт ответа и нужно проводить дополнительные исследования.

В качестве примера, исследуем сходимость ряда с помощью признака Даламбера. Сначала запишем выражения для и . Теперь найдем соответствующий предел:

Поскольку , в соответствии с признаком Даламбера, ряд сходится.

Еще одним методом, позволяющим проверить сходимость ряда является радикальный признак Коши, который записывается следующим образом:

здесь n-ый член ряда, а сходимость, как и в случае признака Даламбера, определяется значением D: Если D < 1 — ряд сходится, если D > 1 — расходится. При D = 1 — данный признак не даёт ответа и нужно проводить дополнительные исследования.

В качестве примера, исследуем сходимость ряда с помощью радикального признака Коши. Сначала запишем выражение для . Теперь найдем соответствующий предел:

Поскольку , в соответствии с радикальным признаком Коши, ряд расходится.

Стоит отметить, что наряду с перечисленными, существуют и другие признаки сходимости рядов, такие как интегральный признак Коши, признак Раабе и др.

Наш онлайн калькулятор, построенный на основе системы Wolfram Alpha позволяет протестировать сходимость ряда. При этом, если калькулятор в качестве суммы ряда выдает конкретное число, то ряд сходится. В противном случае, необходимо обращать внимание на пункт «Тест сходимости ряда». Если там присутствует словосочетание «series converges», то ряд сходится. Если присутствует словосочетание «series diverges», то ряд расходится.

Ниже представлен перевод всех возможных значений пункта «Тест сходимости ряда»:

Текст на английском языке	Текст на русском языке
By the harmonic series test, the series diverges.	При сравнении исследуемого ряда с гармоническим рядом , исходный ряд расходится.
The ratio test is inconclusive.	Признак Даламбера не может дать ответа о сходимости ряда.
The root test is inconclusive.	Радикальный признак Коши не может дать ответа о сходимости ряда.
By the comparison test, the series converges.	По признаку сравнения, ряд сходится
By the ratio test, the series converges.	По признаку Даламбера, ряд сходится
By the limit test, the series diverges.	На основнии того, что , или указанный предел не существует, сделан вывод о том, что ряд расходится.

www.mathforyou.net

Сходимость рядов — 24 Декабря 2012 — Примеры решений задач

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ К КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЕ № 3
 1. Дайте определение сходящегося и расходящегося рядов. 
2. Сформулируйте необходимый признак сходимости рядов. 

3. Сформулируйте признаки Даламбера, Коши и интегральный признак

сходимости рядов положительными членами. Приведите примеры. 
4. Дайте определение признака Лейбница сходимости знакочередующихся

рядов.

 Приведите пример применения этого признака.
5. Сформулируйте теорему Абеля о сходимости степенных рядов. Выведите

формулу радиуса сходимости ряда. 

Определение. Ряд называется сходящимся, если сходится последовательность

его частных сумм. Сумма сходящегося ряда – предел последовательности его

частных сумм.
 Определение. Если последовательность частных сумм ряда расходится, т.е.

не имеет предела, или имеет бесконечный предел, то ряд называется расходящимся

 и ему не ставят в соответствие никакой суммы.

1. Основные понятия

     Определение. Пусть задана бесконечная последовательность чисел.   называются  частичными суммами ряда (1).
     Определение. Если последовательность  частичных сумм имеет

предел,торяд (1) называется сходящимся. Этот предел называется суммой ряда.

2. Признаки сходимости

     Необходимый признак сходимости. Если ряд (1) сходится, то . Обратное

 утверждение неверно, то есть данное условие может выполняться, но ряд будет

 расходиться.
     Достаточные признаки сходимости
     1. Признак сравнения. Имеем два ряда с положительными членами
     ;                                    (2)
     .                                    (3)
     Пусть имеется такой номер N, что для всех членов ряда, у которых   выполняется . Тогда из сходимости ряда (3) следует сходимость  ряда (2), а из расходимости ряда (2) следует расходимость ряда (3).
     2. Признак Даламбера
     Пусть дан ряд с положительными членами  и существует  . Тогда при   ряд сходится, а при  расходится, а при  вопрос остается открытым.

3. Знакопеременные ряды

     Ряд, содержащий как положительные, так и отрицательные  члены, называется

 знакопеременным.
     Знакочередующимся называется ряд вида
     , где . 
     Ряды вида  также называются  знакочередующимися.
     Признак абсолютной сходимости
     Знакопеременный ряд 
        (4)
     сходится, если сходится ряд
                                             (5)
     Ряд (4) называется в этом случае абсолютно сходящимся. Если ряд (4) сходится,

 а ряд(5) расходится, то ряд (4) называется условно сходящимся.

При этом сходимость ряда (4)можно в ряде случаев установить без исследования

 ряда (5).
     Признак сходимости Лейбница
     Пусть имеется знакочередующийся ряд 

.
     Если одновременно выполняются следующие два условия:
     1) ,
     2) , то такой ряд сходится и его сумма не превосходит первого члена:  .

4. Степенные ряды

     Определение . Ряд вида  называется

степенным рядом. Здесь постоянные величины a₁, a₂, …, a_k,… – коэффициенты ряда,

 a₀ – свободный член. Степенные ряды являются одним из видов функциональных

 рядов вида
                       (6)
     Очевидно, любой степенной ряд сходится при х=0. Для любого степенного ряда

 имеется интервал (–R, R), называемый интервалом сходимости, в каждой точке которого

 ряд сходится, а вне интервала ряд расходится. На границах интервала ряд может либо

 сходится, либо расходится. Число R называется радиусом сходимости степенного ряда, он

 находится по формуле:
     .                                                           (7)
     Таким образом, поиск области сходимости степенного ряда заключается в определении

 его радиуса сходимости R и исследования сходимости ряда на границах интервала

 

видим,что, начиная с n=2, выполняется- неравенство ,

 

поэтому по признаку сравнения ряд расходится (так как расходится гармонический ряд). Область сходимости ряда 

.
     Пример. Вычислить  с точностью до 0,0001, используя разложение   в ряд Маклорена.
     Решение.
     Преобразуем 
     
     Полученный ряд знакочередующийся и его члены убывают по абсолютной величине,  поэтому погрешность не превзойдет первого отброшенного члена.
     Очевидно, что 2∙0,00001
     Следовательно, .

 

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ

1. Что называется суммой сходящегося числового ряда?

2. Почему при исследовании сходимости ряда можно отбрасывать любое конечное

3.  число начальных членов ряда?

4. Можно ли утверждать, что ряд сходится, если предел его общего члена равен

5.  нулю?

6. Сформулируйте теорему сравнения рядов.

7. В чем состоит признак Даламбера сходимости рядов?

8. Какие числовые знакопеременные ряды называются абсолютно сходящимися и

9.  какие условно сходящимися? Приведите примеры.

10. В чем состоит признак Лейбница сходимости рядов?

11. Приведите примеры степенных рядов, имеющих нулевой, конечный и бесконечные

12.  радиусы сходимости.

13. Разложите в ряд Маклорена функции е^ах, sinbx, cosbx, ln(1+x) и найдите область

14.  сходимости полученных степенных рядов.

15. Как оценить погрешность при приближенном суммировании знакочередующегося

16.  числового ряда?

17. Как оценить погрешность при приближенном суммировании знакопостоянного

18.  числового ряда?

19. Можно ли находить приближенные значения функций y=f(x₀), используя их

20.  разложение в ряд Маклорена, если 

    х₀ не входит в область сходимости ряда?

Ответы на вопросы, а также примеры решений, калькулятор для определения сходимости рядов в категории: сходимость рядов.

Онлайн сервис: решение контрольных работ в авторском исполнении без посредников.

www.reshim.su

Сходимость рядов

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 9

ВАРИАНТ 9.3.

9.3.1.

а)

По признаку Лейбница для знакопеременных рядов

ряд сходится условно (соответствующий ряд Дирихле расходиться) .

б)

Отсюда следует, что при

ряд сходится, т.е. при . При ряд расходится.

Рассмотрим случай

Для данного ряда выполняется теорема Лейбница для знакопеременных рядов

Ряд сходится условно, т.к. ряд

При

аналогично получим ряд , ряд сходится условно.

Ответ:

9.3.2.

а)

. По признаку Даламбера ряд сходится, если .

Ряд будет сходится при

Первый случай

или

В промежутке

ряд сходится.

В промежутке 1<x<l ряд сходится. Объединяем интервалы и получим

. Рассмотрим концы интервала.

При x=1 получим ряд

, т.е. ряд вида — -1+1-1+1-1+…

Данный ряд расходится, т.к. его сумма имеет два различных предела (колеблющийся ряд).

При

получим ряд т.е. ряд вида 1+1+1+…; ряд расходится, т.к.

б)

Ряд будет сходиться при

.

1)

в интервале

ряд сходится.

2)

в интервале 3<x<8 ряд сходится.

Общий интервал сходимости –2<x<8.

На концах интервала х=-2, имеем ряд:

— расходящийся гармонический ряд.

в п.9.3.1 б) показано, что ряд сходится условно.

Ответ: (-2,8]

9.3.3.

а)

Ряд сходится при условии

1)

Решим неравенство:

корней нет, следовательно:

— всегда.

Ветви параболы направлены вверх, получаем два интервала:

Здесь ряд сходится.

Исследуем концы интервалов:

1)

. Получаем ряд: . Ряд расходится, т.к. все его члены не меньше расходящегося гармонического ряда .

2)

б)

.

Ряд сходится при

.

1)

интервал сходимости .

2)

интервал сходимости .

Исследуем границы интервала.

1)

По теореме Лейбница ряд сходится, причем условно, т.к. ряд

— расходится.

2)

.

Сравним с рядом

по второму признаку сравнения

расходится, то расходится и ряд

.

3.9.4.

а)

Ряд сходится при

1)

тогда

корней нет,

.

Решаем неравенство:

.

Решаем полученное неравенство:

В промежутке (1,3) ряд сходится.

На концах интервала имеем:

1)

Ряд расходится, т.к.

.

2)

б)

Ряд сходится при условии

или

Интервал сходимости

.

На концах интервала.

1)

— ряд расходится, т.к. расходится ряд

.

2)

Ряд, как предыдущий, но все члены отрицательны.

9.3.5.

а)

Ряд сходится при условии

.

1)

2)

Исследуем концы интервала:

1)

2)

б)

Ряд сходится при условии

откуда

mirznanii.com