Рациональные числа | Математика
Что такое рациональные числа? Как связаны рациональные и целые числа? Рациональные и натуральные?
Определение.
Рациональные числа — это числа, которые могут быть представлены в виде
где m — целое, n — натуральное число:
Любое целое число a является рациональным, так как его можно записать в виде
Например,
Любая обыкновенная отрицательная дробь является числом рациональным, так как может быть записана в виде
Например,
Любая десятичная дробь является рациональным числом, так как ее можно перевести в обыкновенную (если надо, то сократить).
Например,
Любое смешанное число является рациональным, так как его можно перевести в неправильную дробь.
Например,
Сумма, разность, произведение рациональных чисел также являются рациональными числами.
Частное двух чисел является рациональным числом при условии, что делитель отличен от нуля.
Множество рациональных чисел обозначают буквой Q. Чтобы показать, что некоторое число, например, 4/11, является рациональным, пишут
Читают: «4/11 принадлежит множеству рациональных чисел» или просто «4/11 принадлежит ку» (в математике используют латинский алфавит).
Связь между множествами рациональных, целых и натуральных чисел наглядно иллюстрирует схема:
www.for6cl.uznateshe.ru
Определение рациональных чисел как классов эквивалентности — КиберПедия
Определение:
Будем говорить, что пара эквивалентна паре , если . Обозначается .
Пример:
Теорема: Отношение « » определенное таким образом, является отношением эквивалентности.
Доказательство: 1) Рефлексивность:
2) Симметричность: ?
3) Транзитивность:
⊠
Свойство:
Доказательство: ⊠
Следствие:
Доказательство: симметрия относительно « » ⊠
Определение: рациональными числами будем называть классы эквивалентности
Обозначения:
Множество
Пример: ,
,
Определение суммы рациональных чисел и его корректность. Аддитивная абелева группа рациональных чисел
Определение: Суммой рациональных чисел и называется рациональное число
Пример:
Теорема (корректность определения): Сумма рациональных чисел не зависит от выбора пар, которые определяют слагаемые.
Доказательство:
докажем:
⊠
Теорема (коммутативность сложения):
Доказательство:
Теорема (ассоциативность сложения):
Доказательство:
⊠
Теорема:Множество рациональных чисел имеет нейтральный элемент относительно сложения: : , где
Доказательство:
⊠
Теорема: Противоположным относительно сложения для элемента является число
Доказательство:
⊠
Следствие: абелева группа.
43. Определение произведения рациональных чисел и его корректность. Поле рациональных чисел
Определение: произведение рациональных чисел.
Теорема: определение произведения рациональных чисел корректно.
Доказательство:
докажем:
Перемножим равенства
⊠
Теорема: умножение рациональных чисел коммутативно, ассоциативно, дистрибутивно относительно сложения.
Доказательство:
1) ?
Умножение целых чисел коммутативно
2)
3)
⊠
Утверждение: рациональное число является нейтральным элементом относительно умножения в множестве Q.
Утверждение: для любого рационального числа обратным является число
Следствие: поле
44. Отношение « » в поле рациональных чисел и его корректность. Плотность множества рациональных чисел. Свойство трихотомии. Отношение “ ” как отношение порядка в
Утверждение. Произвольное рациональное число является классом пары, где , .
Доказательство: ⊠
Поэтому дальше будем использовать пары только с положительным вторым элементом.
Определение: Пусть , . Будем говорить если .
Теорема (корректность определения): Определение корректно.
Доказательство: ,
докажем:
⊠
Теорема: могут находиться только в одном соотношении:
Доказательство:
Целые числа и могут находиться только в одном из трех соотношений: или или ⊠
Теорема: Отношение « » является отношением порядка на .
Доказательство:
· Рефлексивность
· Антисимметричность и
· Транзитивность: и
(1)
(2)
Докажем:
⊠
Свойство (плотность множества рациональных чисел):
Множество рациональных чисел плотно, т. е. между произвольными неравными рациональными числами a и b существует по крайней мере одно рациональное число.
Док-во:
Пусть находится между ними
⊠
cyberpedia.su
Положительные рациональные числа — КиберПедия
Отношение равенства является отношением эквивалентности на множестве дробей, поэтому оно порождает на нем классы эквивалентности. В каждом таком классе содержатся равные между собой дроби. Например, множество дробей — это один класс, множество дробей — это другой класс и т.д.
Дроби одного класса выражают длину одного и того же отрезка. Но длина отрезка должна представляться единственным числом. Поэтому считают, что равные дроби — это различные записи одного и того же положительного рационального числа.
Определение. Положительным рациональным числом называется класс равных дробей, а каждая дробь, принадлежащая этому классу, есть запись (представление) этого числа.
Например, о дроби мы должны говорить, что она является записью некоторого рационального числа. Однако часто для краткости говорят: — это рациональное число.
Множество всех положительных рациональных чисел принято обозначать символом Q+. Определим на этом множестве отношение равенства.
Определение. Если положительное рациональное число а представлено дробью , а положительное рациональное число b — другой дробью , то а=b тогда и только тогда, когда mq=np.
Из данного определения следует, что равные рациональные числа представляются равными дробями. Среди всех записей любого положительного рационального числа выделяют дробь, которая является несократимой, и доказывают, что любое рациональное число представимо единственным образом несократимой дробью (мы это доказательство опускаем).
Для того чтобы рациональное число представить несократимой дробью, достаточно числитель m и знаменатель n разделить на их наибольший общий делитель.
Выясним теперь, как определяются арифметические действия с положительными рациональными числами.
Пусть при некотором единичном отрезке е длина отрезка х выражается дробью , а длина отрезка у — дробью , и пусть отрезок z состоит из отрезков х и у. Тогда n -ая часть отрезка е укладывается в отрезке z m+р раз, т.е. длина отрезка z выражается дробью . Поэтому полагают, что + = .
Определение. Если положительное рациональное число а представлено дробью , а положительное рациональное число b — дробью , то их суммой называется число а + b, которое представляется дробью .
Таким образом, по определению, + = (1).
Можно доказать, что при замене дробей и , представляющих числа а и b, равными им дробями, дробь заменяется равной ей дробью. Поэтому сумма рациональных чисел не зависит от выбора представляющих их дробей.
В определении суммы рациональных чисел мы использовали их представления в виде дробей с одинаковыми знаменателями. Если же числа а и b представлены дробями с различными знаменателями, то сначала надо привести их к одному знаменателю, а затем применять правило (1).
Сложение положительных рациональных чисел коммутативно и ассоциативно,
( a, b Q+) а + b = b + а;
( а, b, с Q+) (а + b) + с = а (b + с).
Докажем, например, коммутативность сложения. Представим числа а и b дробями и . Тогда сумма а + b представляется дробью , а сумма о + b — дробью . Так как m,р, n- натуральные числа, то m + р = р + n и, следовательно, а + b = b + а. Таким образом, коммутативность сложения положительных рациональных чисел вытекает из коммутативности сложения натуральных чисел.
Прежде чем сформулировать определение умножения положительных рациональных чисел, рассмотрим следующую задачу: известно, что длина отрезка X выражается дробью при единице длины Е, а длина единичного отрезка измерена при помощи единицы Е1 и выражается дробью . Как найти число, которым будет представлена длина отрезка X, если измерить ее при помощи единицы длины Е1?
Так как X = · Е , то n·X = m·Е, а из того, что Е= ·Е1 следует, что q·E=p·E1. Умножим первое полученное равенство на q, а второе — на m. Тогда (nq) ·X = (mq) ·E и (mq) ·E = (mр) ·Е1, откуда (nq) ·X = (mp) ·E1. Это равенство показывает, что длина отрезка х при единице длины Е выражается дробью
, а значит · = , т.е. умножение дробей связано с переходом от одной единицы длины к другой при измерении длины одного и того же отрезка.
Определение. Если положительное число а представлено дробью , а положительное рациональное число b — дробью ,то их произведением называется число ab, которое представляется дробью .
Таким образом, по определению, · = (2).
Можно доказать, что при замене дробей и , представляющих числа а и b, равными им дробями, дробь заменяется равной ей дробью. Поэтому произведение чисел а и b не зависит от выбора представляющих их дробей.
Умножение положительных рациональных чисел коммутативно, ассоциативно и дистрибутивно относительно сложения и вычитания. Доказательство этих свойств основывается на определении умножения и сложения положительных рациональных чисел, а также на соответствующих свойствах сложения и умножения натуральных чисел.
Определение сложения положительных рациональных чисел дает возможность определить отношение «меньше» на множестве Q+.
Определение. Пусть а и b — положительные рациональные числа. Считают, что число b меньше числа а, если существует такое положительное рациональное число с, что а = b + с.
В этом же случае считают, что число а больше числа b. Пишут b <а, а> b.
Так определенное отношение «меньше» обладает рядом свойств, которые мы приводим без доказательства.
1. Отношение «меньше» на множестве Q+ антисимметрично и транзитивно, т.е. является отношением порядка, а множество Q+ упорядоченным множеством.
2. Если рациональные числа а и b представлены дробями и (т.е. дробями, имеющими одинаковые знаменатели), то а < b в том и только в том случае, когда mq<nр.
3. Если рациональные числа а и b представлены дробями и (т.е. дробями, имеющими разные знаменатели), то а < b в том и только в том случае, когда mq < nр.
4. В множестве положительных рациональных чисел нет наименьшего числа.
5. Между любыми двумя различными числами а и b из Q+ заключено бесконечно много чисел этого же множества. Это свойство называют свойством плотности множества Q+.
6. В множестве положительных рациональных чисел нет наибольшего числа.
Вычитание положительных рациональных чисел определяется как операция, обратная сложению, т.е. это такая операция, которая удовлетворяет условию: a-b=с тогда и только тогда, когда а=b + с.
Разность а-b положительных рациональных чисел существует тогда и только тогда, когда b < а. Если разность а-b существует, то она единственна.
Используя определение и условие существования разности, можно получить правило вычитания положительных рациональных чисел, представленных дробями и , где m<р:
— = (3)
Деление положительных рациональных чисел определяется как операция, обратная умножению, т.е. это такая операция, которая удовлетворяет условию: а: b = с тогда и только тогда, когда а = be.
Из этого определения и правила нахождения произведения положительных рациональных чисел можно получить правило деления положительных рациональных чисел, представленных дробями и : : = (4). Из этого правила следует, что частное положительных рациональных чисел всегда существует.
cyberpedia.su