ТЕМА 1.1 ОПРЕДЕЛИТЕЛИ И МАТРИЦЫ.
⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 8Следующая ⇒
Краткие теоретические сведения:
Матрицей размера n x m, где n – это число строк, m – число столбцов, называется таблица чисел, расположенных в определенном порядке. Элементы матрицы обозначаются aij, где i – номер строки, j – номер столбца.
Матрица может состоять как из одной строки, так и из одного столбца и из одного элемента. Матрица, состоящая только из одной строки (только из одного столбца) называется матрицей-строкой или вектор-строкой (вектор-столбцом).
Если n=m, то матрица называется квадратной.
Матрица вида = Е, называется единичной.
Если anm=amn, то матрица называется симметрической.
Матрица, все элементы которой выше или ниже главной диагонали равны нулю, называется треугольной.
Сложение и вычитание матриц сводится к соответствующим операциям над их элементами. Данные операции определены только для матриц одинакового размера.
Операции умножения (деления) матрицы на произвольное число (≠0) число сводятся к умножению (делению) каждого элемента матрицы на это число.
Произведением матрицы называется матрица, элементы которой могут быть вычислены как сумма произведений элементов i-той строки первой матрицы на элементы j-ого столбца второй матрицы.
Умножение матриц не коммутативно, т.е. АВ≠ВА. Но, если для каких либо матриц АВ≠ВА, то матрицами называются перестановочными.
Умножение матриц справедливо, если число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы.
Матрицу В называют транспонированной
матрице А, а переход от А к В транспонированием, если элементы каждой строки матрицы А записать в том же порядке в столбцы матрицы В.
Определителем квадратной матрицы называется число, которое может быть вычислено по элементам матрицы с помощью миноров и алгебраических дополнений по теореме: «Определитель матрицы равен произведению элементов какой-либо строки или какого-либо столбца на соответствующие алгебраические дополнения этих элементов».
Следует обратить внимание на то, что определители имеют только квадратные матрицы, т.е. матрицы, у которых число строк равно числу столбцов.
Определитель единичной матрицы равен 1.
Определитель матрицы второго порядка равен разности произведений элементов главной и побочной диагоналей.
Определитель треугольной матрицы равен произведению элементов главной диагонали.
Минор произвольного элемента квадратной матрицы равен определителю матрицы, полученному из исходного вычеркиванием
Алгебраическим дополнением называется минор матрицы, умноженный на (-1) в степени, равной сумме номеров строк и столбцов минора матрицы.
Определитель матрицы обладает следующими свойствами:
- Определитель не меняется при транспонировании матрицы.
- Определитель суммы матриц равен сумме определителей матриц.
- Определитель произведения матриц равен произведению определителей матриц.
- При перестановке двух строк или двух столбцов матрицы определитель поменяет знак, не изменившись по абсолютной величине.
- Если какую-либо строку или столбец матрицы умножить на отличное от нуля число, то и определитель умножится на это число.
- Определитель, содержащий две пропорциональных строки или два пропорциональных столбца равен нулю.
- Определитель, содержащий две одинаковых строки или два одинаковых столбца равен нулю.
8. Определитель, содержащий нулевую строку или нулевой столбец равен нулю.
9. Определитель не изменится, если к элементам какой-либо строки или столбца прибавить элементы другой строки или столбца, умноженные на одно и то же, отличное от нуля число.
Задача 1.Вычислите определитель матицы A=
Решение:
Det=
Элементарными преобразованиями матрицы называют следующие преобразования:
- умножение строки на число, отличное от нуля;
- прибавление к одной строке другой строки;
- перестановка строк;
- вычеркивание одной из одинаковых строк;
- транспонирование.
Данные операции применимы и для столбцов.
Если существуют квадратные матицы Х иА, удовлетворяющие условию: ХА=АХ=Е, гдеЕ – единичная матрица того же самого порядка, то матрица Х называется обратнойк матрице
Задача 2.Найдите обратную матрицу для матрицы
Решение:
detA=4-6=-2
A11=4, A12=-3, A21=-2, A22=1
Рассмотрим прямоугольную матрицу. Если в этой матрице выделить произвольно k строк и k столбцов, то элементы, стоящие на пересечении выделенных строк и столбцов, образуют квадратную матрицу k-го порядка. Определитель этой матрицы называется минором k-го порядка матрицы А. Очевидно, что матрица А обладает минорами любого порядка от 1 до наименьшего из чисел m и n. Среди всех отличных от нуля миноров матрицы А найдется по крайней мере один минор, порядок которого будет наибольшим. Наибольший из порядков миноров данной матрицы, отличных от нуля, называется рангом матрицы. Если ранг матрицы А равен r, то это означает, что в матрице А имеется отличный от нуля минор порядка r, но всякий минор порядка, большего чем r, равен нулю. Ранг матрицы А обозначается через r(A).
Ранг матрицы находится либо методом окаймления миноров, либо методом элементарных преобразований. При вычислении ранга матрицы первым способом следует переходить от миноров низших порядков к минорам более высокого порядка. Если уже найден минор D k-го порядка матрицы А, отличный от нуля, то требуют вычисления лишь миноры (k+1)-го порядка, окаймляющие минор D, т.е. содержащие его в качестве минора. Если все они равны нулю, то ранг матрицы равен k.
Две матрицы называются эквивалентными, если одна из них получается из другой с помощью конечного множества элементарных преобразований. Эквивалентные матрицы не являются, вообще говоря, равными, но их ранги равны. Если матрицы А и В эквивалентны, то это записывается так: A ~ B.
Самостоятельная работа №1.
Вид работы: подготовка доклада на тему «История численности и таблиц».
Форма организации работы: индивидуальная.
Порядок выполнения работы:
- Подготовьте устный доклад по теме.
Указание: выступление с докладом по времени не должно занимать более 10 минут; доклад должен сопровождаться соответствующими иллюстрациями, картинками, оформленными в виде слайд-шоу.
Самостоятельная работа №2.
Вид работы: подготовка к практической работе №1 на тему «Выполнение простейших операций над матрицами».
Форма организации работы: коллективная.
Порядок выполнения работы:
- Повторите теоретический материал по теме работы (с.5).
- Ответьте на вопросы:
— Что называется матрицей?
— Какие виды матриц вы знаете? Охарактеризуйте их.
— Какие операции можно выполнять над матрицами?
— Перечислите свойства этих операций?
— В каком случае операция умножения матриц невыполнима?
Самостоятельная работа №3.
Вид работы: подготовка к практической работе №2 на тему «Вычисление определителей матриц».
Форма организации работы: коллективная.
Порядок выполнения работы:
- Повторите теоретический материал по теме работы (с.5-6).
- Ответьте на вопросы:
— Что называется определителем матрицы?
— Сформулируйте правила для вычисления определителей второго и третьего порядка.
— Какими свойствами обладает определитель?
— Что называется алгебраическим дополнением? Минором матрицы?
— Сформулируйте правило для вычисления определителя высшего порядка.
Самостоятельная работа №4.
Вид работы: подготовка к практической работе №3 на тему «Нахождение обратной матрицы».
Форма организации работы: коллективная.
Порядок выполнения работы:
- Повторите теоретический материал по теме работы (с.5-7).
- Ответьте на вопросы:
— Какая матрица называется обратной по отношению к данной?
— В каком случае матрица не имеет обратную?
— Сформулируйте алгоритм обращения матрицы.
Самостоятельная работа №5.
Вид работы: подготовка к практической работе №4 на тему «Вычисление ранга матрицы».
Форма организации работы: коллективная.
Порядок выполнения работы:
- Повторите теоретический материал по теме работы (с.5-7).
- Ответьте на вопросы:
— Что называется рангом матрицы?
— Что называется дефектом матрицы? Как найти дефект матрицы?
— Как вычислить ранг матрицы методом окаймления?
— Какие преобразования называют элементарными преобразованиями матрицы?
— В чем заключается суть метода вычисления ранга матрицы с помощью элементарных преобразований?
Самостоятельная работа №6.
Вид работы: решение задач по образцу.
Форма организации работы: коллективная.
Порядок выполнения работы:
- Решите задачи:
1.1
Найдите 2А2 +В
Вычислите определитель матрицы В.
Найдите ранг матрицы, обратной к матрице А.
Рекомендуемые страницы:
lektsia.com
Матрицы и определители 3
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РЕСПУБЛИКИ КАЗАХСТАН
Рудненский индустриальный институт
ДИСТАНЦИОННОЕ ОБРАЗОВАНИЕ
МАТЕМАТИКА
ЮНИТА № 1
Матрицы и определители.
Рудный 2005
ББК 22.1я73
Рецензент: Т.А.Калдыбиев
Рекомендовано к изданию УМС РИИ
Курс: Математика. Базовый курс.
Юнита 1. Матрицы и определители
Юнита 2 Системы линейных уравнений
Юнита 3 Векторная алгебра
Юнита 4 Аналитическая геометрия на плоскости
Юнита 5 Аналитическая геометрия в пространстве
Юнита 6 Предел функции и непрерывность
Юнита 7 Дифференцирование
Юнита 8 Исследование функций и построение графиков
Юнита 9 Неопределенный интеграл.
Юнита 10 Определенный интеграл
Юнита 11 Дифференциальное исчисление функции многих переменных.
Юнита 12 Диффференциальные уравнения (1 и высших порядков) Юнита 13 Дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.
Юнита 14 Числовые и функциональные ряды
Юнита 15 Ряды Фурье
Юнита 16 Кратные интегралы
Юнита 17 Криволинейные интегралы
Юнита 18 Линейное программирование
Юнита 19 Теория вероятностей
Юнита 20 Математическая статистика
ЮНИТА 1
В данном учебном пособии содержится материал, включающий понятия матриц, определителей, их основных свойств, понятие обратной матрицы. Комплектуется файлом материалов.
Для студентов технических специальностей: 050707, 050709, 050726, 050730, 050729, 050724, 050713, 050718, 050702, 050731, 050901, 050703.
Для студентов экономических специальностей: 050506, 050511
Юнита соответствует типовой образовательной программе
Для внутривузовского использования
© Рудненский индустриальный институт 2005
Содержание
Тематический план………………………………………………………..4
Литература…………………………………………………………………5
Тематический обзор……………………………………………………….6
Глава 1. Матрицы………………………………………………………….7
§1. Основные определения………………………………………………..7
§2. Линейные операции над матрицами…………………………………..8
§3. Умножение матриц………….…………………………………………8
Глава 2. Определители……………………………………………………10
§1. Определители второго и более высоких порядков……………………………………………………………………10
§2. Свойства определителей………………………………………………12
Глава 3. Обратная матрица. Существование и структура обратной матрицы…………………………………………………………………….13
Файл материалов….………………………………………………………16
Перечень умений……………………………………………………………21
Тренинг умений…………………………………………………………….23
Задания для самостоятельной работы……………………………………………………………………….30
Глоссарий
Тематический план
Матрицы, действия над матрицами (сложение, умножение на число, умножение матриц).
Определители 2го и 3го порядков.
Правило Саррюса (треугольника).
Свойства определителей. Обратная матрица.
Литература
Основная
- И.В. Виленкин, В.М. Гробер Высшая математика. Ростон-на-Дону, 2002
- В.Е. Шнейдер, А.И. Слуцкий, А.С. Шумов Краткий курс высшей математики. Т. 1, М. 1978
Дополнительная
3. П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч. 1. М. 1980
Тематический обзор
Широкое применение математических методов в самых различных областях науки, техники, экономики и практической деятельности инженеров предъявляет повышенные требования к изучению математических приемов. Особенно важны методы и приемы линейной алгебры, наиболее простые и важные из которых рассматриваются в этом курсе.
В задачи нашего курса входит ознакомление с действиями над матрицами, изучение вычисления определителей, нахождения обратной матрицы.
Глава 1. Матрицы
§1. Основные определения.
МАТРИЦЕЙ размера m. n называется прямоугольная таблица чисел
,содержащая m строк и n столбцов. Каждый элемент матрицы а ik имеет два индекса: i – номер строки и k – номер столбца. Краткая форма записи матрицы:
А = (а ik )m,n
Матрица называется КВАДРАТНОЙ порядка n , если она состоит из n строк, и n столбцов.
Матрица размера 1 . n называется МАТРИЦЕЙ-СТРОКОЙ , а матрица размера m. 1 — МАТРИЦЕЙ-СТОЛБЦОМ .
НУЛЕВОЙ матрицей заданного размера называется матрица, все элементы которой равны нулю.
ТРЕУГОЛЬНОЙ матрицей n-го порядка называется квадратная матрица, все элементы которой, расположенные ниже главной диагонали, равны нулю:
.ЕДИНИЧНОЙ называется квадратная матрицаn-го порядка, у которой элементы главной диагонали равны единице, а в се остальные элементы – нули:
.Матрицы А = (а ik )m,n и В = (в ik )m,n называются РАВНЫМИ , если а ik = в ik i = 1,…,m
k = 1,…,n.
§2. Линейные операции над матрицами.
СУММОЙ матриц А = (а ik )m,n и В = (в ik )m,n называются матрица А + В = (а ik + в ik )m,n .
ПРОИЗВЕДЕНИЕМ матрицы А = (а ik )m,n на число l называется матрица lА = (lа ik )m,n .
Для любых матриц одинакового размера и любых чисел l и m выполняются свойства:
1) А + В = В +А 2) А + (В + С) = (А + В) + С
3) А + 0 = А 4) l(mА) = (lm)А
5) l(А + В) = lА + lВ 6) (l + m)А = lА + mА
Докажем свойство 5):
l(А + В) = (l(а ik + в ik ))m,n = (lа ik + lв ik )m,n = (lа ik )m,n + lв ik )m,n = lА + lВ
Доказательство Остальных свойств читатель проведет самостоятельно.
ТРАНСПОНИРОВАННОЙ для матрицы А называется матрица АТ , строки которой являются столбцами матрицы А, а столбцы – строками матрицы А.
ПРИМЕР 1. Даны матрицы
иПостроить матрицу С = 2А – 3В + АТ .
РЕШЕНИЕ .
-++
=.§3. Умножение матриц.
ПРОИЗВЕДЕНИЕМ матрицы А = (а ik )m,р на матрицу В = (в ik )р,n называется матрица D размера m. n с элементами
Иными словами, для получения элемента, стоящего в i -ой строке результирующей матрицы и в k -ом ее столбце, следует вычислить сумму попарных произведений элементовi -ой строки матрицы А на k -ый столбец матрицы В.
ПРИМЕР 2. Найти произведение матрицы
на матрицу .РЕШЕНИЕ.
т.е.
.В самом определении произведения матриц заложено, что число столбцов первой матрицы равно числу строк второй. Это – условие согласования матриц при умножении. Если оно нарушено, матрицы перемножить нельзя. Поэтому возможна ситуация, когда произведение А*В существует, а произведение В*А – нет. Кроме того, когда существуют оба произведения, то чаще всего они не совпадают, т.е. в большинстве случаев произведение матриц некоммутативно: А*В¹В*А. Если А, В, С – квадратные матрицы одинакового порядка и Е – единичная матрица того же размера, то справедливы тождества:
Свойство 1) оставим без доказательства ввиду его громоздкости.
Докажем 2):
Свойство 3) доказывается аналогично, а 4) следует из определения умножения матриц.
Глава 2. Определители
§1. Определители второго и более высоких порядков.
Пусть
— квадратная матрица 2-го порядка.Определителем 2-го порядка (матрицы а) называется число
D(А) =
.Пример . Вычислить определитель матрицы
.РЕШЕНИЕ . D(А) =
.Пусть
— матрица 3-го порядка.Определителем 3-го порядка (матрицы А) называется число
D(А) =
mirznanii.com
03. Пример решения Заданий из раздела №1
Задание 1. Для данного определителя найти миноры и алгебраические дополнения элементов . Вычислить определитель : а) разложив его по элементам I-ой строки; б) разложив его по элементам J-го столбца; в) получив предварительно нули в I-ой строки.
I = 1, J = 2
Решение: 1. Находим миноры к элементам :
Алгебраические дополнения элементов соответственно равны:
2. а). Вычислим определитель, разложив его по элементам первой строки:
Б) Вычислим определитель, разложив его по элементам второго столбца:
В) Вычисли определитель , Получив предварительно нули в первой строке. Используем свойство определителей: определитель Не ИЗмеНиТся, ЕСлИ ко всЕМ эЛеМентам кАКой-либо строки (столбца) прибавить СоотВЕтстВУющие эЛеМЕНтЫ другой строки (столбца), умноженНЫе на одно И то же произвольное число. Умножим третий столбец определителя на 3 и прибавим к первому, затем умножим на (-2) и прибавим ко второму. Тогда в первой строке все элементы, кроме одного, будут нулями. Разложим полученный таким образом опредЕЛитель по элемЕНтам первой строки и вычислим его:
В опрЕДЕЛитЕЛе трЕТьЕГо порядка получили нули в ПеРвом столбце по свойству тому же свойству определителей.
Задание 2.
Даны две матрицы A и B. Найти: а) AB; б) BA; в) ; г) .
Решение: а) Произведение АВ имеет смысл, так как число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В. Находим матрицу С=АВ, элементы которой определяются по формуле . ИмеЕМ:
Б) Вычислим
ОчЕВидНО, что ;
В) Обратная матрица матрицы А имеет виД
,
Где — алгебраическое дополнение, -минор, т. е. определитель полученный из основного определителя вычёркивание i-строки, j-столбца.
,
Т. е. матрица A — Невырожденная, и, значит, существуЕТ матрица . Находим:
Тогда
;
Г) Проверка
;
Задание 3. Проверить совместность линейной системы уравнений и в случае совместности решить ее а) по формулам Крамера б) методом Гаусса.
Решение: Совместность данной системы проверим по теореме Кронекера — Капелли. С помощью элементарных преобразований найдем ранг матрицы
Данной системы и ранг расширенной матрицы
Для этого умножим первую строку матрицы В на (-2) и сложим со второй, затем умножим первую строку на (-3) и сложим с третьей, поменяем местами второй и третий столбцы. Получим
.
Следовательно, (т. е. числу неизвестных). Значит, исходная система совместна и имеет единственное решение.
А) По формулам Крамера
,
Где -главный определитель, который мы посчитаем, например, по правилу треугольника
,
Аналогично найдем
,
,
,
Находим: .
Б) Решим систему методом Гаусса. Исключим из второго и третьего уравнений. Для этого первое уравнение умножим на 2 и вычтем из второго, затем первое уравнение умножим на 3 и вычтем из третьего:
Из полученной системы находим .
Задание 4
Решить матричное уравнение
Пусть ,
решение матричного уравнения находим по формуле
Х=А -1В, где А -1 обратная матрица
— алгебраическое дополнение, где
— определитель, полученный из основного вычеркивание i-строки, j-столбца, — определитель матрицы.
Найдем обратную матрицу.
(-1)1+14=4
А12=(-1)1+23=-3
А21= (-1)2+12=-2
А22=(-1)2+21=1
DetA==1*4-2*3=4-6=-2
Итак,
Задание 5
Предприятие выпускает три вида продукции, используя сырье трёх видов: . Необходимые характеристики указаны в таблице .
Вид сырья | Нормы расхода сырья на изготовление одного вида продукции, усл. ед. | Расход сырья за один день, усл. ед. | ||
Сапог | Кроссовок | Ботинок | ||
S1 S2 S3 | 5 2 3 | 3 1 2 | 4 1 2 | 2700 900 1600 |
Найти ежедневный объем выпуска каждого вида продукции.
Решение: Пусть ежедневно фабрика выпускает x1 – единиц продукции первого вида, x2 — единиц продукции второго вида, x3 — единиц продукции третьего вида. Тогда в соответствии с расходом сырья каждого вида имеем систему.
Решаем систему линейных уравнений любым способом. Решим данную систему, например, методом Гаусса. Составим матрицу из коэффициентов стоящих перед неизвестными и из свободных членов.
Обнуляем первый столбец, кроме первого элемента
1. Первую строчку оставляем без изменения
2. Вместо второй записываем сумму первой, умноженной на -2 и второй, умноженной на 5
3. Вместо третьей записываем сумму первой, умноженной на -3 и третьей, умноженной на 5
Аналогично обнуляем второй столбец под элементом второй строки второго столбца
˜˜
Вернемся к системе
Т. е. фабрика выпускает 200- единиц продукции первого вида, 300- единиц продукции второго вида и 200- единиц продукции третьего вида.
Задание 6. Решить однородную систему линейных алгебраических
Уравнений.
Решение: Так как определитель системы
,
То система ИМЕЕт бЕСчисленное множество решений. Поскольку , , возьмем любые два уравнения системы (наПРИМЕР, ПЕрвое И второе) и найдем ее рЕШение. ИмЕеМ:
Так как определитель из коэффициентов при неизвестных и не равен нулю, то в качестве базисных нЕИзвестных ВОзьмЕМ и (хотя можно брать и другие пары нЕИзвЕСтных) И ПеРЕМЕСтим члЕНы с в правые частИ УравнЕНИЙ:
РЕШаЕМ пОСлЕдНюю систЕМу по формулам КрамЕРа :
Где
,
,
.
Отсюда находим, что Полагая , где K—Произвольный коэффициент пропорциональности (произвольная постоянная), получаем решение исходной сИСтЕМы: .
| < Предыдущая | Следующая > |
|---|
matica.org.ua