онлайн калькулятор, формулы, примеры решений
Круг — самая древняя геометрическая фигура, волновавшая умы античных ученых на протяжении многих веков. Геометрически окружность — это замкнутая кривая, все точки которой равноудалены от заданного центра. Расстояние от центра окружности до каждой из ее точек называется радиусом.
Геометрия круга и окружности
Окружность — это фигура, которая представляет собой совокупность точек на плоскости, равноудаленных от некоторой точки, которая называется центром окружности. Круг — это часть плоскости, ограниченная окружностью. Окружность, как и прямая — наиболее распространенные кривые во всех областях человеческой деятельности. История изучения окружности берет начало из древних времен. Длину окружности или периметр круга с разной степенью точности люди научились вычислять еще в глубокой древности: согласно историческим данным первая формула определения периметра круга была составлена вавилонскими учеными в 19 веке до нашей эры.
Античные ученые считали круг совершенной фигурой. Круг на латыни произносится как «циркулус», и именно от него произошло название циркуля — инструмента, без которого невозможно построить идеальную окружность. Круг и прямая, циркуль и линейка — это самые первые фигуры и самые необходимые вещи для построения любого геометрического тела. Для построения фигур используются следующие элементы окружности:
- радиус — отрезок, который соединяет центр с любой ее точкой;
- хорда — отрезок, соединяющие любые две точки;
- диаметр — хорда, которая проводится через центр;
- дуга — часть, заключенная между двумя точками кривой.
С окружностью и ее частями мы сталкиваемся ежедневно.
Круг в реальности
Круг — одна из наиболее распространенных геометрических фигур в реальной жизни. Мы живем в трехмерном пространстве, а круг — это двухмерная фигура, которая в реальном измерении превращается в шар или представляет собой часть других трехмерных объектов. К примеру, окружность как основание присутствует в конических и цилиндрических вещах, таких как стаканы, пожарные ведра, колеса, цистерны, дорожные конусы и многое другое. Окружность широко используется и в абстрактных вещах, таких как ядра атомов, меридианы и параллели, круговые процессы или орбиты вращения небесных тел.
Длина окружности
На практике вам может понадобиться определить периметр круга, что представляет собой сложную задачу, так как окружность — кривая линия, которую нельзя измерить стандартной линейкой. Античные математики выяснили, что отношение длины окружности к ее диаметру постоянно для любых кругов и равно приблизительно 3,1. Архимед одним из первых начал изучение свойств круга и при помощи описания вокруг окружности правильных многоугольников вычислил, что данное соотношение можно приблизительно выразить дробью 22/7.
Только в 18 веке математики поняли, что это соотношение нельзя выразить конечным числом. Леонард Эйлер обозначил это число как pi (от греческого слова «периферия», то есть окружность). Сегодня мы знаем, что число pi грубо равно 3,14, однако точное его значение выразить невозможно — пи содержит в себе бесконечное количество знаков после запятой. Формула же длины окружности l предельно проста:
где R – радиус круга.
При помощи нашего онлайн-калькулятора вы можете определить длину окружности, зная ее радиус или диаметр. Рассмотрим пару абстрактных примеров.
Примеры из жизни
Длина экватора
Наша планета не является идеальным шаром, однако ученые приняли решение считать экватор окружностью, не учитывая при этом рельеф поверхности. Зная это, вы можете легко определить длину окружности экватора. Согласно Википедии экваториальный радиус Земли составляет 6 378,1 км. Введите данный параметр в ячейку «Радиус» и вы получите результат в виде:
l = 40 074, 7
Это означает, что длина окружности экватора составляет 40 074 км. Если сверить полученный результат с данными из Википедии, то мы увидим, что наш расчет не сильно отличается от установленного учеными значения 40 075, 6 км.
Размер кольца
Среди нескольких способов определения размеров ювелирных колец существует метод, оперирующий длиной окружности пальца. Таблицы размеров учитывают именно этот параметр, поэтому желающие приобрести новое колечко, могут взять старое украшение и замерить его диаметр при помощи линейки. Если ввести полученное значение в ячейку калькулятора «Диаметр» (допустим, 19 мм), то мы получим ответ в виде:
l = 59,69
Зная это значение легко определить размер кольца без посещения ювелирного магазина.
Заключение
Круг занимает в жизни человека важное место: данная фигура встречается повсеместно, и задачу определения периметра круга часто приходится решать инженерам, создающим планы машин, агрегатов и механизмов, а также строителям и проектировщикам, которые занимаются возведением архитектурных объектов. Для решения более простых задач вы можете воспользоваться калькулятором, который мгновенно выдаст вам правильный результат.
Периметра круга, онлайн калькулятор
Наш онлайн калькулятор позволяет вычислить периметр круга двумя способами: через его диаметр или через его радиус. Для того чтобы найти периметр круга выберите подходящий способ, введите длину диаметра или радиуса и нажмите кнопку «Вычислить», калькулятор выдаст ответ и подробное решение!
Введите данные для вычисления периметраВыберите способ расчета периметра:
через радиус через диаметр
Формула через радиус: |
r =
Решили сегодня: раз, всего раз| Понравился сайт? Расскажи друзьям! | |||
ru.solverbook.com
Формула периметра круга
Периметр круга радиуса r равен удвоенному произведению радиуса r на число пи (~3.1415)
Определение круга часто звучит, как часть плоскости, которая ограничена окружностью. Окружность круга является плоской замкнутой кривой. Все точки, расположенные на кривой, удалены от центра круга на одинаковое расстояние. В круге его длина и периметр одинаковы. Соотношение длины любой окружности и ее диаметра постоянное и обозначается числом π = 3,1415.
Определение периметра круга
Периметр круга радиуса r равен удвоенному произведению радиуса r на число π(~3.1415)
Формула периметра круга
Периметр круга радиуса \(r\) :
\[ \LARGE{P} = 2 \cdot \pi \cdot r \]
или\[ \LARGE{P} = \pi \cdot d \]
где
\( P \) – периметр (длина окружности).
\( r \) – радиус.
\( d \) – диаметр.
Окружностью будем называть такую геометрическую фигуру, которая будет состоять из всех таких точек, которые находятся на одинаковом расстоянии от какой-либо заданной точки.
Центром окружности будем называть точку, которая задается в рамках определения 1.
Радиусом окружности будем называть расстояние от центра этой окружности до любой ее точки.
В декартовой системе координат \( xOy \) мы также можем ввести уравнение любой окружности. Обозначим центр окружности точкой \( X \) , которая будет иметь координаты \( (x_0,y_0) \) . Пусть радиус этой окружности равняется \( τ \) . Возьмем произвольную точку \( Y \) , координаты которой обозначим через \( (x,y) \) (рис. 2).
По формуле расстояния между двумя точками в заданной нами системе координат, получим:
\( |XY|=\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2} \)
С другой стороны, \( |XY| \) — это расстояние от любой точки окружности до выбранного нами центра. То есть, по определению 3, получим, что \( |XY|=τ \) , следовательно
\( \sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}=τ \)
\( (x-x_0)^2+(y-y_0)^2=τ^2 \) (1)
Таким образом, мы и получаем, что уравнение (1) является уравнением окружности в декартовой системе координат.
Длина окружности (периметр круга)
Будем выводить длину произвольной окружности \( C \) с помощью её радиуса, равного \( τ \) .
Будем рассматривать две произвольные окружности. Обозначим их длины через \( C \) и \( C’ \) , у которых радиусы равняются \( τ \) и \( τ’ \) . Будем вписывать в эти окружности правильные \( n \) -угольники, периметры которых равняются \( ρ \) и \( ρ’ \) , длины сторон которых равняются \( α \) и \( α’ \) , соответственно. Как мы знаем, сторона вписанного в окружность правильного \( n \) – угольника равняется
\( α=2τsin\frac{180^0}{n} \)
Тогда, будем получать, что
\( ρ=nα=2nτ\frac{sin180^0}{n} \)
\( ρ’=nα’=2nτ’\frac{sin180^0}{n} \)
Значит
\( \frac{ρ}{ρ’}=\frac{2nτsin\frac{180^0}{n}}{2nτ’\frac{sin180^0}{n}}=\frac{2τ}{2τ’} \)
Получаем, что отношение \( \frac{ρ}{ρ’}=\frac{2τ}{2τ’} \) будет верным независимо от значения числа сторон вписанных правильных многоугольников. То есть
\( \lim_{n\to\infty}(\frac{ρ}{ρ’})=\frac{2τ}{2τ’} \)
С другой стороны, если бесконечно увеличивать число сторон вписанных правильных многоугольников (то есть \( n→∞ \) ), будем получать равенство:
\( lim_{n\to\infty}(\frac{ρ}{ρ’})=\frac{C}{C’} \)
Из последних двух равенств получим, что
\( \frac{C}{C’}=\frac{2τ}{2τ’} \)
То есть
\( \frac{C}{2τ}=\frac{C’}{2τ’} \)
Видим, что отношение длины окружности к его удвоенному радиусу всегда одно и тоже число, независимо от выбора окружности и ее параметров, то есть
\( \frac{C}{2τ}=const \)
Эту постоянную принять называть числом «пи» и обозначать \( π \) . Приближенно, это число будет равняться \( 3,14 \) (точного значения этого числа нет, так как оно является иррациональным числом). Таким образом
\( \frac{C}{2τ}=π \)
Окончательно, получим, что длина окружности (периметр круга) определяется формулой
\( C=2πτ \)
В вашем браузере отключен Javascript.Чтобы произвести расчеты, необходимо разрешить элементы ActiveX!
calcsbox.com