Площадь и средняя линия треугольника – Свойства средней линии треугольника, с примерами

Средняя линия — Википедия. Что такое Средняя линия

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Средняя линия фигур в планиметрии — отрезок, соединяющий середины двух сторон данной фигуры. Понятие употребляется для следующих фигур: треугольник, четырёхугольник, трапеция.

Средняя линия треугольника

Средняя линия треугольника

Средняя линия треугольника — отрезок, соединяющий середины двух сторон этого треугольника[1].

Свойства

  • средняя линия треугольника параллельна основанию и равна его половине.
  • при пересечении всех трёх средних линий образуются 4 равных треугольника, подобных (даже гомотетичных) исходному с коэффициентом 1/2.
  • средняя линия отсекает треугольник, который подобен данному, а его площадь равна одной четвёртой площади исходного треугольника.
  • Три средние линии треугольника разбивают его на 4 равных (одинаковых) треугольника, подобных исходному треугольнику. Все 4 таких одинаковых треугольника называют серединными треугольниками. Центральный из этих 4 одинаковых треугольников называется дополнительным треугольником.

Признаки

  • если отрезок параллелен одной из сторон треугольника и соединяет середину одной стороны треугольника с точкой, лежащей на другой стороне треугольника, то это средняя линия.

Средняя линия четырёхугольника

Средняя линия четырёхугольника — отрезок, соединяющий середины противолежащих сторон четырёхугольника.

Свойства

Первая линия соединяет 2 противоположные стороны. Вторая соединяет 2 другие противоположные стороны. Третья соединяет центры двух диагоналей (не во всех четырёхугольниках диагонали пунктом пересечения делятся пополам).

  • Если в выпуклом четырёхугольнике средняя линия образует равные углы с диагоналями четырёхугольника, то диагонали равны.
  • Длина средней линии четырёхугольника меньше полусуммы двух других сторон или равна ей, если эти стороны параллельны, и только в этом случае.
  • Середины сторон произвольного четырёхугольника — вершины параллелограмма. Его площадь равна половине площади четырёхугольника, а его центр лежит на точке пересечения средних линий. Этот параллелограмм называется параллелограммом Вариньона;
  • Последний пункт означает следующее: В выпуклом четырёхугольнике можно провести четыре
    средние линии второго рода
    . Средние линии второго рода - четыре отрезка внутри четырёхугольника, проходящие через середины его смежных сторон параллельно диагоналям. Четыре средние линии второго рода выпуклого четырёхугольника разрезают его на четыре треугольника и один центральный четырёхугольник. Этот центральный четырёхугольник является параллелограммом Вариньона.
  • Точка пересечения средних линий четырёхугольника является их общей серединой и делит пополам отрезок, соединяющий середины диагоналей. Кроме того, она является центроидом вершин четырёхугольника.
  • В произвольном четырёхугольнике вектор средней линии равен полусумме векторов оснований.

Средняя линия трапеции

Средняя линия трапеции

Средняя линия трапеции — отрезок, соединяющий середины боковых сторон этой трапеции. Отрезок, соединяющий середины оснований трапеции, называют второй средней линией трапеции.

Она рассчитывается по формуле: EF=AD+BC2{\displaystyle EF={\frac {AD+BC}{2}}}, где AD и BC — основания трапеции.

Свойства

  • средняя линия параллельна основаниям
  • средняя линия равна полусумме оснований
  • cредняя линия разбивает фигуру на две трапеции, площади которых соотносятся как [1]
S1S2=3BC+ADBC+3AD{\displaystyle {\frac {S_{1}}{S_{2}}}={\frac {3\,BC+AD}{BC+3\,AD}}}

См. также

Примечания

wiki.sc

Средняя линия треугольника Википедия

Средняя линия фигур в планиметрии — отрезок, соединяющий середины двух сторон данной фигуры. Понятие употребляется для следующих фигур: треугольник, четырёхугольник, трапеция.

Средняя линия треугольника

Средняя линия треугольника

Средняя линия треугольника — отрезок, соединяющий середины двух сторон этого треугольника[1].

Свойства

  • средняя линия треугольника параллельна основанию и равна его половине.
  • средняя линия отсекает треугольник, подобный и гомотетичный исходному с коэффициентом 1/2; его площадь равна одной четвёртой площади исходного треугольника.
  • три средние линии делят исходный треугольник на четыре равных треугольника. Центральный из этих треугольников называется дополнительным или серединным треугольником.

Признаки

  • Если отрезок в треугольнике проходит через середину одной из его сторон, пересекает вторую и параллелен третьей, то этот отрезок – средняя линия.

Средняя линия четырёхугольника

Средняя линия четырёхугольника — отрезок, соединяющий середины противолежащих сторон четырёхугольника.

Свойства

Первая линия соединяет 2 противоположные стороны. Вторая соединяет 2 другие противоположные стороны. Третья соединяет центры двух диагоналей (не во всех четырёхугольниках диагонали пунктом пересечения делятся пополам).

  • Если в выпуклом четырёхугольнике средняя линия образует равные углы с диагоналями четырёхугольника, то диагонали равны.
  • Длина средней линии четырёхугольника меньше полусуммы двух других сторон или равна ей, если эти стороны параллельны, и только в этом случае.
  • Середины сторон произвольного четырёхугольника — вершины параллелограмма. Его площадь равна половине площади четырёхугольника, а его центр лежит на точке пересечения средних линий. Этот параллелограмм называется параллелограммом Вариньона;
  • Последний пункт означает следующее: В выпуклом четырёхугольнике можно провести четыре средние линии второго рода. Средние линии второго рода - четыре отрезка внутри четырёхугольника, проходящие через середины его смежных сторон параллельно диагоналям. Четыре средние линии второго рода выпуклого четырёхугольника разрезают его на четыре треугольника и один центральный четырёхугольник. Этот центральный четырёхугольник является параллелограммом Вариньона.
  • Точка пересечения средних линий четырёхугольника является их общей серединой и делит пополам отрезок, соединяющий середины диагоналей. Кроме того, она является центроидом вершин четырёхугольника.
  • В произвольном четырёхугольнике вектор средней линии равен полусумме векторов оснований.

Средняя линия трапеции

Средняя линия трапеции

Средняя линия трапеции — отрезок, соединяющий середины боковых сторон этой трапеции. Отрезок, соединяющий середины оснований трапеции, называют второй средней линией трапеции.

Она рассчитывается по формуле: EF=AD+BC2{\displaystyle EF={\frac {AD+BC}{2}}}, где AD и BC — основания трапеции.

Свойства

  • средняя линия параллельна основаниям
  • средняя линия равна полусумме оснований
  • cредняя линия разбивает фигуру на две трапеции, площади которых соотносятся как [1]
S1S2=3BC+ADBC+3AD{\displaystyle {\frac {S_{1}}{S_{2}}}={\frac {3\,BC+AD}{BC+3\,AD}}}

См. также

Примечания

wikiredia.ru

Средняя линия треугольника - Википедия

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

(перенаправлено с «»)
Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 23 февраля 2018; проверки требуют 8 правок. Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 23 февраля 2018; проверки требуют 8 правок.

Средняя линия фигур в планиметрии — отрезок, соединяющий середины двух сторон данной фигуры. Понятие употребляется для следующих фигур: треугольник, четырёхугольник, трапеция.

Средняя линия треугольника[ | ]

Средняя линия треугольника

Средняя линия треугольника — отрезок, соединяющий середины двух сторон этого треугольника[1].

Свойства[ | ]

  • средняя линия треугольника параллельна основанию и равна его половине.
  • при пересечении всех трёх средних линий образуются 4 равных треугольника, подобных (даже гомотетичных) исходному с коэффициентом 1/2.
  • средняя линия отсекает треугольник, который подобен данному, а его площадь равна одной четвёртой площади исходного треугольника.
  • Три средние линии треугольника разбивают его на 4 равных (одинаковых) треугольника, подобных исходному треугольнику. Все 4 таких одинаковых треугольника называют . Центральный из этих 4 одинаковых треугольников называется дополнительным треугольником.

Признаки[ | ]

  • если отрезок параллелен одной из сторон треугольника и соединяет середину одной стороны треугольника с точкой, лежащей на другой стороне треугольника, то это средняя линия.

Средняя линия четырёхугольника[ | ]

Средняя линия четырёхугольника — отрезок, соединяющий середины противолежащих сторон четырёхугольника.

Свойства[ | ]

Первая линия соединяет 2 противоположные стороны. Вторая соединяет 2 другие противоположные стороны. Третья соединяет центры двух диагоналей (не во всех четырёхугольниках диагонали пунктом пересечения делятся пополам).

  • Если в выпуклом четырёхугольнике средняя линия образует равные углы с диагоналями четырёхугольника, то диагонали равны.
  • Длина средней линии четырёхугольника меньше полусуммы двух других сторон или равна ей, если эти стороны параллельны, и только в этом случае.
  • Середины сторон произвольного четырёхугольника — вершины параллелограмма. Его площадь равна половине площади четырёхугольника, а его центр лежит на точке пересечения средних линий. Этот параллелограмм называется параллелограммом Вариньона;
  • Последний пункт означает следующее: В выпуклом четырёхугольнике можно провести четыре средние линии второго рода. Средние линии второго рода - четыре отрезка внутри четырёхугольника, проходящие через середины его смежных сторон параллельно диагоналям. Четыре средние линии второго рода выпуклого четырёхугольника разрезают его на четыре треугольника и один центральный четырёхугольник. Этот центральный четырёхугольник является параллелограммом Вариньона.
  • Точка пересечения средних линий четырёхугольника является их общей серединой и делит пополам отрезок, соединяющий середины диагоналей. Кроме того, она является центроидом вершин четырёхугольника.
  • В произвольном четырёхугольнике вектор средней линии равен полусумме векторов оснований.

Средняя линия трапеции[ | ]

encyclopaedia.bid

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *