Площадь поверхности формула – Формулы площади поверхности геометрических фигур

Содержание

Подготовка школьников к ЕГЭ в учебном центре «Резольвента» (Справочник по математике — Стереометрия

      Введем следующие обозначения:

      Используя эти обозначения, составим таблицу с формулами для вычисления объемов, площадей боковой поверхности и площадей полной поверхности различных видов призм.

ПризмаРисунокФормулы для объема, площади боковой и полной поверхности
Куб

V = a3,

Sбок = 4a2,

Sполн = 6a2,

где  a – длина ребра куба.

Прямоугольный параллелепипед

V = abc,

Sбок = 2ac + 2bc,

Sполн = 2ac + 2bc +2ab,

где 
a, b  – длины ребер основания параллелепипеда,
c — высота параллелепипеда.

Прямой параллелепипед,
в основании которого лежит параллелограмм со сторонами   a, b и углом φ

Sосн = ab sin φ,

V = Sоснh = abh sin φ,

Sбок = 2ah + 2bh,

Sполн = 2ab sin φ + 2ah +2bh,

где
a, b – длины ребер основания параллелепипеда,
φ – угол между ребрами основания параллелепипеда,
h — высота параллелепипеда.

Произвольный параллелепипед

Sосн = ab sin φ,

V = Sоснh = abh sin φ,

V = Sперпс,

Sбок = Pперпс,

Sполн = 2ab sin φ + Pперпс,

где
a, b – длины ребер основания параллелепипеда,
φ – угол между ребрами основания параллелепипеда,
c – длина бокового ребра параллелепипеда,
h — высота параллелепипеда.

Прямая призма

V = Sоснh,

Sбок = Pоснh,

Sполн = 2Sосн + Sбок,

где
h — высота прямой призмы.

Правильная
n – угольная призма

(см. раздел «правильные многоугольники»),

V = Sоснh,

Sбок = Pоснh = anh,

Sполн = 2Sосн + Sбок,

где
a – длина ребра основания правильной призмы,
h — высота правильной призмы.

Произвольная призма

V = Sоснh,

V = Sперпl,

Sбок = Pперпl,

Sполн = 2Sосн + Sбок,

где
l – длина бокового ребра призмы,
h — высота призмы.

Куб

Формулы для объема, площади боковой и полной поверхности:

V = a3,

Sбок = 4a2,

Sполн = 6a2,

где  a  – длина ребра куба.

Прямоугольный параллелепипед

Формулы для объема, площади боковой и полной поверхности:

V = abc,

Sбок = 2ac + 2bc,

Sполн = 2ac + 2bc +2ab,

где 
a, b  – длины ребер основания параллелепипеда,
c — высота параллелепипеда.

Прямой параллелепипед, в основании которого лежит параллелограмм со сторонами   a, b и углом φ

Формулы для объема, площади боковой и полной поверхности:

Sосн = ab sin φ,

V = Sоснh = abh sin φ,

Sбок = 2ah + 2bh,

Sполн =
= 2ab sin φ + 2ah + 2bh,

где
a, b – длины ребер основания параллелепипеда,
φ – угол между ребрами основания параллелепипеда,
h — высота параллелепипеда.

Произвольный параллелепипед

Формулы для объема, площади боковой и полной поверхности:

Sосн = ab sin φ,

V = Sоснh = abh sin φ,

V = Sперпс,

Sбок = Pперпс,

Sполн =
= 2ab sin φ + Pперпс,

где
a, b – длины ребер основания параллелепипеда,
φ – угол между ребрами основания параллелепипеда,
c – длина бокового ребра параллелепипеда,
h — высота параллелепипеда.

Прямая призма

Формулы для объема, площади боковой и полной поверхности:

V = Sоснh,

Sбок = Pоснh,

Sполн = 2Sосн + Sбок,

где
h — высота прямой призмы.

Правильная n – угольная призма

Формулы для объема, площади боковой и полной поверхности:

(см. раздел «правильные многоугольники»),

V = Sоснh,

Sбок = Pоснh = anh,

Sполн = 2Sосн + Sбок,

где
a – длина ребра основания правильной призмы,
h — высота правильной призмы.

Произвольная призма

Формулы для объема, площади боковой и полной поверхности:

V = Sоснh,

V = Sперпl,

Sбок = Pперпl,

Sполн = 2Sосн + Sбок,

где
l – длина бокового ребра призмы,
h — высота призмы.

      Замечание 1. С понятием призмы и различными видами призм можно ознакомиться в разделе «Призмы».

      Замечание 2. С определением сечения призмы и способами построения сечений призмы можно ознакомиться в разделе «Сечения призмы. Перпендикулярные сечения призмы».

      На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра «Резольвента» учебными материалами для подготовки к ЕГЭ по математике.

    Приглашаем школьников (можно вместе с родителями) на бесплатное тестирование по математике, позволяющее выяснить, какие разделы математики и навыки в решении задач являются для ученика «проблемными».

Запись по телефону (495) 509-28-10

      Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ по математике или русскому языку на высокий балл, учебный центр «Резольвента» проводит

      У нас также для школьников организованы

МОСКВА, СВАО, Учебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

www.resolventa.ru

Формулы объема и площади поверхности. Призма, пирамида

Изучение стереометрии начинается со знания формул. Для решения задач ЕГЭ по стереометрии нужны всего две вещи:

  1. Формулы объёма — например, объём куба, объём призмы, объем пирамиды — и формулы площади поверхности.
  2. Элементарная логика.

Все формулы объёма и формулы площади поверхности многогранников есть в нашей таблице.

Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!

Проще всего найти объём куба — это куб его стороны. Вот, оказывается, откуда берётся выражение «возвести в куб».

Объём параллелепипеда тоже легко найти. Надо просто перемножить длину, ширину и высоту.

Объём призмы — это произведение площади её основания на высоту. Если в основании треугольник — находите площадь треугольника. Если квадрат — ищите площадь квадрата. Напомним, что высота — это перпендикуляр к основаниям призмы.

Объём пирамиды — это треть произведения площади основания на высоту. Высота пирамиды — это перпендикуляр, проведенный из её вершины к основанию.

Некоторые задачи по стереометрии решаются вообще без формул! Например, эта.

Объём куба равен . Найдите объём четырёхугольной пирамиды, основанием которой является грань куба, а вершиной — центр куба.

Обойдёмся без формул! Просто посчитайте, сколько нужно таких четырёхугольных пирамидок, чтобы сложить из них этот куб 🙂

Иногда в задаче  надо посчитать площадь поверхности куба или призмы.

Напомним, что площадь поверхности многогранника — это сумма площадей всех его граней.

В некоторых задачах каждое ребро многогранника увеличили, например, в три раза. Очевидно, что при этом площадь поверхности увеличится в девять раз, а объём — в раз.

Стереометрия — это просто! Для начала выучите формулы объёма и площади поверхности многогранников и тел вращения. А дальше — читайте о приемах решения задач по стереометрии.


Звоните нам: 8 (800) 775-06-82 (бесплатный звонок по России)                        +7 (495) 984-09-27 (бесплатный звонок по Москве)

Или нажмите на кнопку «Узнать больше», чтобы заполнить контактную форму. Мы обязательно Вам перезвоним.

ege-study.ru

Площадь поверхности и объем геометрических тел. Прямые призмы. Правильные пирамиды. Круговые цилиндры. Круговые конусы. Шар и его части. Примерно 8 класс (14 лет)

Прямые призмы (Sполн=2Sосн+Sбок; V=Sосн•H)

Куб
Прямоугольный параллелепипед

Правильная треугольная призма
Правильная шестиугольная призма

Правильные пирамиды (Sполн=Sосн+Sбок; V=1/3•Sосн•H)

Тертраэдр
Правильная треугольная пирамида
Правильная четырехугольная пирамида
Правильная шестиугольная пирамида
Sбок— площадь боковой поверхности многогранника, Sполн — площадь полной поверхности многогранника, Sосн — площадь основания многогранника, V — объем многогранника.

Круговые цилиндры (Sполн=2Sосн+Sбок; V=Sосн•H)

Прямой цилиндр
Прямой полый цилиндр

Круговые конусы

Прямой конус

dpva.ru

Площадь поверхности и объём призмы — урок. Геометрия, 11 класс.

 

Площадь полной поверхности призмы — сумма площадей всех граней призмы.

Она состоит из площади боковой поверхности и площади оснований

Sполн.=Sбок.+2⋅Sосн.

 

Все грани куба — квадраты, поэтому рациональнее использовать формулу

Sполн. пов. куба=6⋅a2.

  

Объём прямой призмы находится по формуле:

V=Sосн.⋅H.

 

Для прямоугольного параллелепипеда можно использовать формулу \(V = abc\) , где \(a\), \(b\), \(c\) — измерения прямоугольного параллелепипеда (длина, ширина, высота).

 

Для куба используется формула V=a3, где \(a\) — ребро куба.

 

Основанием призмы может быть любой \(n\)-угольник, поэтому важно знать формулы вычисления их площадей.

 

Важные формулы нахождения площади \(n\)-угольников

  

 Квадрат a2 
 Прямоугольник a⋅b 
 Ромб a⋅b⋅sinαa⋅hd1⋅d22
 Параллелограмм a⋅b⋅sinαa⋅h 
 Равносторонний треугольник a234 
 Прямоугольный треугольник a⋅b2a⋅h3 
 Произвольный треугольник a⋅b⋅sinα2a⋅h3p⋅p−ap−bp−c
 Трапеция a+b2⋅h 

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

 

 

  

  

  

  

  

  

  

  

Формула нахождения площади правильного шестиугольника

 

Правильный шестиугольник состоит из \(6\) правильных треугольников.

 

Sправ. ш.=6⋅a234, где \(a\) — сторона шестиугольника

  

www.yaklass.ru

Площадь поверхности конуса — формулы, пример расчета

Пусть α– плоскость, точка S– точка, не лежащая в этой плоскости. Возьмем на плоскости произвольный круг с радиусом R. Соединим произвольную точку A этого круга с точкой S отрезком AS. Если точка А будет описывать круг с радиусом R, то отрезки AS будут заполнять некоторое тело. Это тело называют

круговым конусом.

Границей конуса является круг радиуса R и боковая поверхность конуса.
Боковую поверхность описывает отрезок AS , когда точка A описывает круг.
Точка S является вершиной конуса. Множество отрезков AS, соединяющих вершину с окружностью основания являются направляющими конуса.Если перпендикуляр, опущенный из точки S, совпадает с центром основания, то конус называется прямым.Очень часто говорят, что прямой конус образуется в результате вращения прямоугольного треугольника вокруг оси, содержащий его катет.
На данном рисунке прямой конус получился в результате вращения прямоугольного треугольника AOS вокруг катета SO. Тогда говорят, что

  • Катет SO –это высота конуса;
  • Гипотенуза AS –образующая конуса;
  • Катет AO – радиус конуса.

Площадь боковой поверхности конуса через его радиус и направляющую

Пусть дан конус с радиусом R и образующей L
AS=L, AO=R

Разрежем конус по образующей L и развернем его боковую поверхность.

В результате получим криволинейный треугольник ASA` , где AS=L, A`S=L.
Дуга AA` -это вытянутая окружность основания конуса с радиусом R. Следовательно, длина дуги AA` будет равна 2πR
Площадь боковой поверхности будет равна площади сектора круга с радиусом R.
Если угол α – радиальная мера угла, то:
где α=∠{ASA`}
Чтобы найти угол ∠{ASA`} воспользуемся формулой длины дуги, которая стягивает данный угол:
Но с другой стороны:
Приравняем правые части равенств. Имеем:
Выразим α:
Подставим полученное выражение в формулу площади сектора:
Следовательно, боковая поверхность конуса равна произведению числа π на радиус конуса и его образующую.
Формула боковой поверхности конуса будет иметь следующий вид:

Пример расчета площади боковой поверхности конуса, если известны его радиус и направляющая
Найти площадь боковой поверхности конуса с радиусом равным 3 см, образованным направляющей равной 7 см
По условию задачи L = 5см, R=3см
Формула боковой поверхности конуса:

Подставив в формулу значения из условия задачи, имеем:

Площадь боковой поверхности конуса через его радиус и высоту

Очень часто в задачах на вычисление площади боковой поверхности конуса известна высота конуса вместо его направляющей.
Так как конус прямой, то треугольник AOS – прямоугольный, где AO и OS – катеты, а AS –гипотенуза. Воспользовавшись теоремой Пифагора, получаем:
Отсюда:
Но
Тогда:
Подставим данное выражение в формулу площади боковой поверхности конуса:
Боковая поверхность конуса равна произведению числа на радиус конуса и корень квадратный из суммы квадратов радиуса и высоты конуса

Пример расчета площади боковой поверхности конуса, если известны его радиус и высота.
Найти площадь боковой поверхности конуса с радиусом равным 1 см и высотой, равной 5 см
По условию задачи Н = 5см, R=1см
Формула боковой поверхности конуса:

Подставив в формулу значения из условия задачи, имеем:

Полная поверхность конуса

Полная поверхность конуса – это сумма площади его боковой поверхности и площади основания конуса:

Основанием конуса является круг с радиусом R. Его площадь равна произведению числа π на квадрат его радиуса:
Площадь боковой поверхности вычисляется по формуле: или
Тогда площадь полной поверхности конуса равна:
или
Таким образом, площадь полной поверхности конуса равна произведению числа {pi} на радиус конуса и сумму направляющей и радиуса.
Формула имеет следующий вид:
Площадь полной поверхности конуса равна произведению числа π на радиус конуса и сумму корня квадратного из суммы квадратов радиуса и высоты конуса и радиуса конуса.
Формула имеет следующий вид:

2mb.ru

Площадь поверхности сфероида — Циклопедия

Сфероид вытянутый Сфероид сплюснутый

Площадь сфероида

 — это число, характеризующее сфероид в единицах измерения площади.

Сфероид — это тело, ограниченное эллипсоидом вращения.

Эллипсоид вращения — это поверхность в трёхмерном пространстве, образованная вращением эллипса вокруг одной из его осей.

[править] Виды сфероидов

  • вытянутый;
  • сплюснутый;
  • нормальный.

Вытянутый сфероид ограничен вытянутым эллипсоидом вращения.

Вытянутый эллипсоид вращения — это геометрическое место точек пространства, для которых сумма расстояний до двух заданных точек (фокусов) постоянна (равна большой оси). Вытянутый эллипсоид вращения получается вращением эллипса вокруг большой оси. У вытянутого эллипсоида вращения одна большая ось и две малые оси.

Сплюснутый сфероид ограничен сплюснутым эллипсоидом вращения.

Сплюснутый эллипсоид вращения — это геометрическое место точек пространства, для которых сумма расстояний до ближайшей и до наиболее удалённой точки заданной окружности постоянна (равна малой оси). Сплюснутый эллипсоид вращения получается вращением эллипса вокруг малой оси. У сплюснутого эллипсоида вращения две большие оси и одна малая ось.

Нормальный сфероид — это шар (ограничен сферой).

Введём обозначения:

a — большая полуось;

b — малая полуось;

Sсфер.вытян — площадь вытянутого сфероида.

Sсфер.сплюсн — площадь сплюснутого сфероида.

[править] Формула 1

[править] Формула 2

[править] Другие формулы

cyclowiki.org

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *