Способ сложения графиков функций
СЛОЖЕНИЕ ГРАФИКОВ
Иногда функция, график которой должен быть построен, представляется как сумма двух или нескольких простейших функций. Графики простейших функций уже известны и без труда могут быть построены. В этом случае, рассмотрим способ сложения графиков.
Алгоритм. 1) Строим графики функций каждого слагаемого
2) Ординаты второго графика откладывают от соответствующих
ординат первого графика (можно пользоваться измерительным
циркулем).
Пример 1. Построить график функции
Представим эту функцию в виде суммы двух функций: , где
. На одной системе координат строим графики этих функций.
Затем, каждую точку графика функции смещаем параллельно оси Оу на расстояние, равное ординате графика функции в соответствующей абсциссе. То есть, при ордината графика функции равна 2, а ордината графика функции равна 0, поэтому ставим точку . Далее, при ордината графика функции равна 0, а ордината графика функции равна 1, поэтому ставим точку . При ордината графика функции равна -2, а ордината графика функции равна 8, поэтому ставим точку . При ордината графика функции равна 4, а ордината графика функции равна -1, поэтому ставим точку . И так далее. Получаем график функции
Для того, чтобы график был как можно точнее, необходимо брать значимые точки, т.е. те, в которых происходит значимое событие для графика (пересечение с осями, точки перегиба, или точки, в которых график меняет своё направление).
Определим свойства функции
Область определения:
Область значений:
Чётность функции:
Значит, функция не является ни чётной, ни нечётной и её график не обладает симметрией ни относительно оси Оу, ни относительно начала координат.
Точка пересечения с осью Оу:
Найдём точки экстремума:
.
.
Найдём экстремумы функции:
.
.
Функция возрастает при .
Функция убывает при .
Представим эту функцию в виде суммы двух функций: , где
. На одной системе координат строим графики этих функций.
Производим аналогичные действия:
И так далее…
Получаем график функции .
Определим свойства функции
Область определения:
Область значений:
Чётность функции:
Значит, функция не является ни чётной, ни нечётной и её график не обладает симметрией ни относительно оси Оу, ни относительно начала координат.
Точка пересечения с осью Оу:
Точки пересечения с осью Ох:
Значит, точки пересечения с осью Ох —
Найдём точки экстремума:
. .
Найдём экстремумы функции:
.
Функция убывает при .Функция возрастает при .
Пример 3. Построить график функции
Представим эту функцию в виде суммы двух функций: , где
. На одной системе координат строим графики этих функций. Затем производим сложение.
Определим свойства функции
Область определения:
Область значений:
Чётность функции: Значит, функция является чётной, и её график симметричен относительно оси Оу.
Точка пересечения с осью Оу:
Точки пересечения с осью Ох:
Значит, точки пересечения с осью Ох —
Найдём точки экстремума:
. .
Найдём экстремумы функции:
.
Функция возрастает при .
Функция убывает при .
Пример 4. Построить график функции
Представим эту функцию в виде суммы двух функций: , где
. На одной системе координат строим графики этих функций. Затем производим сложение.
Аналогичные вычисления для отрицательного аргумента. Получаем график функции
Определим свойства функции
Область определения:
Область значений:
Чётность функции: Значит, функция не является ни чётной, ни нечётной, и её график не обладает симметрией ни относительно оси Оу, ни относительно начала координат.
Точка пересечения с осью Оу:
Точки пересечения с осью Ох:
. Значит, точки пересечения с осью Ох —
Найдём точки экстремума:
. .
Найдём экстремумы функции:
.
Функция возрастает при .
Функция убывает при .
Особый случай представляется при сочетании обратной пропорциональности с каким-нибудь другим графиком. Приведём такой пример.
Пример 5. Построить график функции
Представим эту функцию в виде суммы двух функций: , где
. На одной системе координат строим графики этих функций.
Что происходит? Так как график обратной пропорциональности не пересекает оси координат, то он и будет исходным. К его ординатам будем прибавлять ординаты графика функции .
График функции-суммы при значениях х, бесконечно близких к 0, практически сливается с графиком функции , располагаясь чуть выше его. А при очень больших значениях график функции-суммы почти сливается с графиком , располагаясь чуть выше его при положительных х, и чуть ниже при отрицательных х.
Определим свойства функции
Область определения:
Область значений:
Чётность функции:
Значит, функция не является ни чётной, ни нечётной, и её график не обладает симметрией ни относительно оси Оу, ни относительно начала координат.
Точек пересечения с осью Оу нет.
Точки пересечения с осью Ох:
Значит, точка пересечения с осью Ох
Найдём точки экстремума:
;
Найдём экстремумы функции:
.
Функция возрастает при .
Функция убывает при .
infourok.ru
Сложение — график — Большая Энциклопедия Нефти и Газа, статья, страница 1
Сложение — график
Cтраница 1
Сложение графиков производится следующим образом: для каждого часа суток складываются нагрузки всех групп потребителей. Так, например, если от 9 до 10 часов средняя нагрузка промышленности составляет 160 кет, сельскохозяйственных процессов — 60 кет, коммунальная нагрузка ( например, водопровод) — 30 кет, освещение — 10 кет, то суммарная нагрузка потребителей с 9 до 10 часов составит 260 кет. Таким же образом определяется нагрузка потребителей для всех часов суток. [1]
При сложении элементарных графиков обязательно соблюдение правила точки отсчета. Для операций без холостого перебега инструмента за точку отсчета принимается крайнее ( нижнее, верхнее, переднее) положение исполнительного органа, от него влево откладывают Umax и слева направо строится график усилий. Для операций с холостым перебегом ( захождением) инструмента ( операции вырубки и пробивки всегда, а также вытяжки и гибки напроход) от крайнего положения откладывается влево захождение и3, а уже строится график усилий. [3]
Построение методом сложения графиков, явно проще. [4]
Сложение таких вектор-функций означает сложение графиков этих функций в R3 над D. Но далеко не каждая поверхность в R3 может быть задана графиком однозначной функции. [5]
Не всегда целесообразно график суммы двух функций строить сложением графиков слагаемых. [6]
График переходного тока ( рис. 15.3) можно получить сложением графиков принужденного и свободного токов. [7]
График рис. 1 — 12 5 может быть получен путем сложения графиков рис. 1 — 12 а и рис. 1 — 12 6 с измененным в k раз наклоном ветвей. [8]
Для многоцилиндровых насосов тангенциальная сила может быть найдена графически, сложением графиков, характеризующих изменение тангенциальных сил, полученных для каждого цилиндра с учетом их сдвига по фазе. [10]
Представив заданную функцию в виде у х — — ( / х), мы применим прием, называемый сложением графиков. [11]
Рекомендуется построить графики этих функций, при этом для построения графи ков функций sh x и ch x можно использовать сложение графиков функций ех и е-х, а при построении графика функции th x — использовать ее нечетность, а также следующие ее свойства: 1) thO0, 2) 0th l при х0 и 3) th — 1 при — оо. [12]
Представив заданную функцию в виде у — ( — ( l / Jt), мы применим прием, называемый сложением графиков. [13]
Для построения графика функции y f ( x) р ( х) при условии, что графики функций y f ( x) и y q ( x) уже известны, можно воспользоваться сложением графиков, которое производится следующим образом. [14]
Страницы: 1 2
www.ngpedia.ru
| Построим на одном чертеже графики прямой и гиперболы . | |
| Далее складываем ординаты двух графиков при каждом значении
. Определим значениния функций (синяя ордината) и (зеленая ордината) в точке x=0,8. Для наглядности ординаты несколько смещены относительно друг друга. | |
| Значение функции в этой точке получим, сложив ординаты функций и . | |
| Полученное значение суммы обозначено желтой точкой. (Теперь ординаты показаны без смещения.) | |
| Аналогично получаем значения суммарной функции в других точках. Начиная с , близких к нулю и положительных, складываем ординаты графиков двух данных функций в соответствующих точках (причем для удобства мы прибавляем ординату той фкнкции, значение которой в данной точке по абсолютной величине меньше), получаем точки для посторения графика суммы при >0. Аналогично строим точки для посторения графика суммы при <0. |
or-gr2005.narod.ru
Правила сложения и вычитания. — Инженерный справочник DPVA.ru / Технический справочник ДПВА / Таблицы для инженеров (ex DPVA-info)
Правила сложения и вычитания.
1. От перемены мест слагаемых сумма не изменится (коммутативное свойство сложения)
Пример:
13+25=38, можно записать как: 25+13=38
2. Результат сложения не изменится, если соседние слагаемые заменить их суммой (ассоциативное свойство сложения).
Пример:
10+13+3+5=31 можно записать как: 23+3+5=31; 26+5=31; 23+8=31 и т.д.
3. Единицы складываются с единицами, десятки с десятками и т.д.
Пример:
34+11=45 (3 десяка плюс еще 1 десяток; 4 единицы плюс 1 единица).
4. Единицы вычитаются из единиц, десятки из десятков и т.д.
Пример:
53-12=41 (3 единицы минус 2 единицы; 5 десятков минус 1 десяток)
примечание: 10 единиц составляют один десяток. Это надо помнить при вычитании, т.к. если количество единиц у вычитаемого больше, чем у уменьшаемого, то мы можем «занять» один десяток у уменьшаемого.
Пример:
41-12=29 (Для того чтобы и 1 вычесть 2, мы сначала должны «занять» единицу у десятков, получаем 11-2=9; помним, что у уменьшаемого остается на 1 десяток меньше, следовательно, остается 3 десятка и от него отнимается 1 десяток. Ответ 29).
5. Если из суммы двух слагаемых вычесть одно из них, то получится второе слагаемое.
Это значит, что сложение можно проверить с помощью вычитания.
Пример:
42+7=49
Для проверки из суммы вычитают одно из слагаемых: 49-7=42 или 49-42=7
Примечание:
Если в результате вычитания вы не получили одно из слагаемых, значит в вашем сложении была допущена ошибка.
6. Если к разности прибавить вычитаемое, то получится уменьшаемое.
Это значит, что вычитание можно проверить сложением.
Пример:
69-50=19
Для проверки к разности прибавим вычитаемое: 19+50=69.
Примечание:
Если в результате описанной выше процедуры вы не получили уменшьшаемое, значит в вашем вычитании была допущена ошибка.
dpva.ru
Сложение графиков
Образование Сложение графиков
Количество просмотров публикации Сложение графиков — 836
| Наименование параметра | Значение |
| Тема статьи: | Сложение графиков |
| Рубрика (тематическая категория) | Образование |
Иногда функция, график которой должен быть построен, представлена как сумма двух простейших функций, графики которых известны.
В этом случае применяют прие графического сложения ординат.
Общий метод построения состоит по сути в том, что предварительно строится два графика для обеих функций, а затем складывают или вычитают ординаты этих кривых при одних и тех же значениях х (удобно в характеристических точках). По полученным точкам строят искомый график и осуществляют проверку в нескольких контрольных точках.
Иногда делают иначе. Строят вначале график одной, более простой функции, затем к нему прибавляют график второй функции, ординаты которого откладывают от соответствующих точек первого графика.
В случае если нужно построить график разности двух функций, то строят сначала график- уменьшаемого, а затем от него откладывают ординаты функции – вычитаемого, взятые с противоположным знаком.
Пример: y= x – sinx
1) y= x;
2) От графика функции y= x откладываем ординаты второй функции. Т.к. , то целесообразно провести две вспомогательные прямые y= x+1 и y= x-1
Сложение графиков — понятие и виды. Классификация и особенности категории «Сложение графиков» 2017, 2018.
referatwork.ru
1.5 Правила построения графиков
Графики дают визуальное представление о связи между величинами, что крайне важно при интерпретации полученных данных, так как графическая информация легко воспринимается, вызывает больше доверия, обладает значительной емкостью. На основе графика легче сделать вывод о соответствии теоретических представлений данным эксперимента.
Графики строят на миллиметровой бумаге. Допускается построение графиков на тетрадном листе в клеточку. Размерграфика – не менее чем 1012 см. Графики строят в прямоугольной системе координат, где по горизонтальной оси (оси абсцисс) откладывают аргумент, независимую физическую величину, а по вертикальной оси (оси ординат) – функцию, зависимую физическую величину.
Обычно график строят на основании таблицы экспериментальных данных, откуда легко установить интервалы, в которых изменяются аргумент и функция. Их наименьшее и наибольшее значения задают значения масштабов, откладываемых вдоль осей. Не следует стремиться поместить на осях точку (0,0), используемую как начало отсчета на математических графиках. Для экспериментальных графиков масштабы по обеим осям выбирают независимо друг от друга и, как правило, соотносят с погрешностью измерения аргумента и функции: желательно, чтобы цена наименьшего деления каждой шкалы примерно равнялась соответствующей погрешности.
Масштабная шкала должна легко читаться, а для этого необходимо выбрать удобную для восприятия цену деления шкалы: одной клетке должно соответствовать кратное 10 количество единиц откладываемой физической величины: 10n, 210n или 510n , где n – любое целое число, положительное или отрицательное. Так, числа 2; 0,5; 100; 0,02 – подходят, а числа 3; 7; 0,15 – не подходят для этой цели.
При необходимости масштаб по одной и той же оси для положительных и отрицательных значений откладываемой величины может быть выбран разным, но только в том случае, если эти значения отличаются не менее чем на порядок, т.е. в 10 раз и более. Примером может служить вольтамперная характеристика диода, когда прямой и обратный токи отличаются не менее чем в тысячу раз: прямой ток составляет миллиамперы, обратный – микроамперы.
Стрелки, задающие положительное направление, на координатных осях обычно не указывают, если выбрано принятое положительное направление осей: снизу – вверх и слева – направо. Оси подписывают: ось абсцисс – справа внизу, ось ординат – слева вверху. Против каждой оси указывают название или символ откладываемой по оси величины, а через запятую – единицы ее измерения, причем все единицы измерения приводят в русском написании в системе СИ. Числовой масштаб выбирают в виде равноотстоящих по значению «круглых чисел», например: 2; 4; 6; 8 … или 1,82; 1,84; 1,86 …. Масштабные риски проставляют по осям на одинаковом расстоянии друг от друга, чтобы они выходили на поле графика. По оси абсцисс цифры числового масштаба пишут под рисками, по оси ординат – слева от рисок. Координаты экспериментальных точек возле осей проставлять не принято.
Экспериментальные точки аккуратно наносят на поле графика карандашом. Их всегда проставляют так, чтобы они были отчетливо различимы. Если в одних осях строят различные зависимости, полученные, например, при измененных условиях эксперимента или на разных этапах работы, то точки таких зависимостей должны отличаться друг от друга. Их следует отмечать разными значками (квадратами, кружками, крестиками и т.п.) или наносить карандашами разного цвета.
Расчетные точки, полученные путем вычислений, размещают на поле графика равномерно. В отличие от экспериментальных точек, они должны слиться с теоретической кривой после ее построения. Расчетные точки, как и экспериментальные, наносят карандашом – при ошибке неверно поставленную точку легче стереть.
На рисунке 1.5 приведена полученная по точкам экспериментальная зависимость, которая построена на бумаге, имеющей координатную сетку.
Через экспериментальные точки с помощью карандаша проводят плавную кривую так, чтобы точки в среднем были одинаково расположены по обе стороны от проведенной кривой. Если известно математическое описание наблюдаемой зависимости, то теоретическая кривая проводится точно так же. Нет смысла стремиться провести кривую через каждую экспериментальную точку – ведь кривая является только интерпретацией результатов измерений, известных из эксперимента с погрешностью. По сути, есть только экспериментальные точки, а кривая – произвольное, не обязательно верное, домысливание эксперимента. Представим, что все экспериментальные точки соединены и на графике получилась ломаная линия. Она не имеет ничего общего с истинной физической зависимостью! Это следует из того, что форма полученной линии не будет воспроизводиться при повторных сериях измерений.
Рисунок 1.5 – Зависимость коэффициента динамической
вязкости воды от температуры
Напротив, теоретическую зависимость строят на графике таким образом, чтобы она плавно проходила по всем расчетным точкам. Это требование очевидно, так как теоретические значения координат точек могут быть вычислены сколь угодно точно.
Правильно построенная кривая должна заполнять все поле графика, что будет свидетельством правильного выбора масштабов по каждой из осей. Если же значительная часть поля оказывается незаполненной, то необходимо заново выбрать масштабы и перестроить зависимость.
Результаты измерений, на основании которых строят экспериментальные зависимости, содержат погрешности. Чтобы указать их значения на графике, используют два основных способа.
Первый упоминался при обсуждении вопроса выбора масштабов. Он состоит в выборе цены деления масштабной шкалы графика, которая должна равняться погрешности откладываемой по данной оси величины. В таком случае точность измерений не требует дополнительных пояснений.
Если достичь соответствия погрешности и цены деления не удается, используют второй способ, заключающийся в прямом отображении погрешностей на поле графика. А именно, вокруг проставленной экспериментальной точки строят два отрезка, параллельные осям абсцисс и ординат. В выбранном масштабе длина каждого отрезка должна равняться удвоенной погрешности величины, откладываемой по параллельной оси. Центр отрезка должен приходиться на экспериментальную точку. Вокруг точки образуются как бы ”усы”, задающие область возможных значений измеряемой величины. Погрешности становятся зримыми, хотя “усы” могут невольно засорить поле графика. Отметим, что указанный способ чаще всего применяют тогда, когда погрешности меняются от измерения к измерению. Иллюстрацией способа служит рисунок 1.6.
Рисунок 1.6 – Зависимость ускорения тела от силы,
приложенной к нему
studfiles.net
Основные правила построения графиков
Каждый график должен содержать следующие основные элементы:
Графический образ – геометрические знаки, совокупность точек, линий, фигур, с помощью которых изображаются статистические величины; язык графики.
Поле графика – пространство, в котором размещаются геометрические знаки.
Система координат – необходима для размещения геометрических знаков на поле графика.
Масштабные ориентиры – определяются масштабом и масштабной шкалой.
Масштаб– мера перевода числовой величины в графическую.
Масштабная шкала– линия, отдельные точки которой могут быть прочитаны как определенные числа. Шкалы бываютравномернымиинеравномерными. Масштаб равномерной шкалы – это длина отрезка, принятого за единицу измерения и измеренного в каких-либо определенных мерах.
Средние величины Сущность и задачи средних величин
Средняя величина – это обобщающая количественная характеристика совокупности однотипных явлений по одному варьирующему признаку.
Она отражает объективный уровень, достигнутый в процессе развития явления к определенному моменту или периоду.
Средняя представляет значение определенного признака в совокупности одним числом и элиминирует индивидуальные различия значений отдельных величин совокупности.
Необходимость сочетается со случайностью, поэтому средние величины связаны с Законом больших чисел. Суть этой связи в том, что при осреднении случайные отклонения индивидуальных величин от средней погашаются, а в средней отчетливо выявляется основная тенденция развития.
Важнейшая особенность средней величины – в том, что она относится к единице изучаемой совокупности и через характеристику единицы характеризует всю совокупность в целом.
Основные свойства средней величины:
Она обладает устойчивостью, что позволяет выявлять закономерности развития явлений. Средняя облегчает сравнение двух совокупностей, обладающих различной численностью.
Она помогает характеризовать развитие уровня явления во времени.
Она помогает выявить и охарактеризовать связь между явлениями.
Средние позволяют исключить влияние индивидуальных значений признака, т.е. они являются абстрактными величинами. Поэтому средние должны употребляться на основе сгруппированных данных.
Расчет средней
К расчету средней предъявляются два основных требования:
Среднюю нужно рассчитывать так, чтобы она погашала то, что мешает выявлению характерных черт и закономерностей в развитии явления, а не затушевывала развитие.
Средняя может быть вычислена только для однородной совокупности. Средняя, вычисленная для неоднородной совокупности, называется огульной.
Одинаковые по форме и технике вычисления средние в одних случаях могут быть огульными, а в других – общими в зависимости от того, с какой целью они интерпретируются.
Говоря о методологии исчисления средних, не надо забывать, что средняя всегда дает обобщенную характеристику лишь по одному признаку. Каждая же единица совокупности имеет много признаков. Поэтому необходимо рассчитывать систему средних, чтобы охарактеризовать явление со всех сторон.
Расчет средних величин производится по правилам, которые разрабатываются математической статистикой. Задача ОТС – дать смысловую, преимущественно экономическую интерпретацию результатам расчетов, произведенных по формулам.
Признак, по которому производится осреднение, называется осредняемым признаком – . Величина осредняемого признака у каждой единицы совокупности называется ее индивидуальным значением.
Значение признака, которое встречается у групп единиц или у отдельных единиц и не повторяется, называется вариантом признака –
Средняя величина этих вариантов, или просто средняя, обозначается .
studfiles.net