Пределы формулы – Таблица пределов. Таблица пределов функций, формулы.

Содержание

Таблица пределов. Таблица пределов функций, формулы.


Техническая информация тут
  • Перевод единиц измерения величин
  • Таблицы числовых значений
  • Алфавиты, номиналы, единицы
  • Математический справочник тут
  • Физический справочник
  • Химический справочник
  • Материалы
  • Рабочие среды
  • Оборудование
  • Инженерное ремесло
  • Инженерные системы
  • Технологии и чертежи
  • Личная жизнь инженеров
  • Калькуляторы
  • Поиск на сайте DPVAПоставщики оборудованияПолезные ссылкиО проектеОбратная связьОтветы на вопросы.Оглавление


    Адрес этой страницы (вложенность) в справочнике dpva.ru:  главная страница  / / Техническая информация / / Математический справочник / / Предел функции, суммы ряда. Ограниченность функции, замечательные пределы, односторонние и бесконечные пределы, необходимые и достаточные условия существования предела функции в точке. Правила вычисления.  / / Таблица пределов. Таблица пределов функций, формулы.

    Таблица пределов. Таблица пределов функций, формулы.  Версия для печати.

    Основные правила вычисления пределов.

    Примечательные пределы:

    Значимые специальные пределы:

    Пределы простейших функций:

    Пределы просте

    dpva.ru

    Формулы пределов функций

    При вычислении пределов зачастую используют понятия непрерывности функции в точке, предела функции на бесконечности, а также свойства пределов непрерывной функции.

    Замечание. Таким образом, для элементарных функций, предел в любой точке из их области определения, кроме граничных, можно вычислять как значение соответствующей функции в этих точках.

    Замечание. В граничных точках области определения вычисляются односторонние пределы.

    Свойства пределов функций

    1. Константу можно выносить за знак предела:

       

    Пример.

       

    2. Предел произведения функций равен произведению пределов от каждого из сомножителей при условии, что последние пределы существуют:

       

    Пример.

       

    3. Для непрерывных функций знак предельного перехода и знак функции можно менять местами:

       

    Пример.

       

    Таблица пределов функций

    1. Предел константы равен этой константе:

       

    где – некоторое действительное число, конечное или бесконечное.

    2. Предел коренной функции :

    , для любого натурального n

       

       

    3. Предел степенной функции :

       

       

       

       

       

    4. Предел показательной функции :

       

       

    5. Предел логарифмической функции :

       

       

       

    6. Предел тригонометрических функций:

    не существуют;

       

       

       

    7. Предел обратных тригонометрических функций:

       

       

       

       

    Примеры решения задач

    Понравился сайт? Расскажи друзьям!

    ru.solverbook.com

    Таблица пределов. Таблица пределов функций, формулы.

    Основные правила вычисления пределов.

    Примечательные пределы:

    Значимые специальные пределы:

    Пределы простейших функций:

    Пределы логарифмических и степенных функций:

    Пределы тригонометрических функций:

    Если is выражена в радианах:

    Пределы при стремлении переменной к бесконечности:

    dpva.ru

    Таблица пределов функций, формулы и примеры

    Пусть . Тогда

    1) Предел суммы/разности равен сумме/разности пределов от каждого из слагаемых:

       

    2) Предел произведения равен произведению пределов, если последние существуют:

       

    3) Предел частного равен частному пределов, если последние существуют и предел знаменателя не равен нулю:

       

    4)

    5) Правило Лопиталя: если или , то

       

    6) Первый замечательный предел:

       

    7) Второй замечательный предел:

       

    где – число Эйлера (или постоянная Непера).

    8)

    9)

    10) Предел константы равен этой константе:

       

    Пример:

    11) Предел многочлена при стремлении аргумента к некоторому значению равен значению многочлена в точке :

       

    Пример

       

    12)

    13)

    14)

    15)

    16)

    17)

    18)

    19)

    20)

    21)

    22)

    23)

    Понравился сайт? Расскажи друзьям!

    ru.solverbook.com

    Теория пределов, формулы и примеры решений

    Дальнейшее свое активное применение теория пределов получила при создании дифференциального и интегрального исчислений в 17 в., прежде всего в работах английского физика, математика, механика и астронома Исаака Ньютона (1642-1727). Впервые определение понятия предела было введено в работе английского математика Джона Валлиса (1616-1703) «Арифметика бесконечных величин». Хотя все же исторически понятие предела не лежало в основе дифференциального и интегрального исчислений. Только лишь в 19 веке в работах великого французского математика и механика Огюстена Луи Коши (1789-1857) теория пределов была использована для строгого обоснования математического анализа. Дальнейшим развитием этой теории занимались немецкий математик Карл Теодор Вильгельм Вейерштрасс (1815-1897) и чешский математик, философ и теолог Бернард Больцано (1781-1848).

    Предел последовательности

    Свойства предела последовательности

    1. Если предел последовательности существует, то он единственный.

    2.

    3. (если оба предела в правой части существуют).

    4. .

    5. (если оба предела в правой части существуют).

    6. (если оба предела в правой части существуют и предел знаменателя не равен нулю).

    7. Теорема про двухстороннее ограничение (Теорема про двух милиционеров): если , то и

    Предел функции

    Замечание. Для пределов функций справедливы аналогичные свойства, как и для пределов последовательностей, которые приведены выше.

    Понравился сайт? Расскажи друзьям!

    ru.solverbook.com

    Подготовка школьников к ЕГЭ в учебном центре «Резольвента» (Справочник по математике - Элементы математического анализа

    Предел числовой последовательности

          Определение 1. Число   a   называют пределом числовой последовательности

    a1 ,  a2 , … an , …

    если для любого положительного числа   ε   найдется такое натуральное число   N ,   что при всех   n > N   выполняется неравенство

    | an – a | < ε .

          Условие того, что число   a   является пределом числовой последовательности

    a1 ,  a2 , … an , … ,

    записывают с помощью обозначения

    и произносят так: «Предел   an   при   n ,   стремящемся к бесконечности, равен   a ».

          То же самое соотношение можно записать следующим образом:

    ana   при .

    Словами это произносится так: «an   стремится к   a   при   n ,   стремящемся к бесконечности».

          Замечание. Если для последовательности

    a1 ,  a2 , … an , …

    найдется такое число   a ,   что   ana   при , то эта последовательность ограничена.

          Определение 2. Говорят, что последовательность

    a1 ,  a2 , … an , …

    стремится к бесконечности, если для любого положительного числа   C   найдется такое натуральное число   N ,   что при всех   n > N   выполняется неравенство

    | an| > C .

          Условие того, что числовая последовательность

    a1 ,  a2 , … an , … ,

    стремится к бесконечности, записывают с помощью обозначения

    или с помощью обозначения

     при .

          Пример 1. Для любого числа   k > 0   справедливо равенство

          Пример 2 . Для любого числа   k > 0   справедливо равенство

          Пример 3. Для любого числа   a   такого, что   | a | < 1,   справедливо равенство

          Пример 4. Для любого числа   a   такого, что   | a | > 1,   справедливо равенство

          Пример 5 . Последовательность

    – 1 , 1 , – 1 , 1 , … ,

    заданная с помощью формулы общего члена

    an = (– 1)n ,

    предела не имеет.

    Свойства пределов числовых последовательностей

          Рассмотрим две последовательности

    a1 ,  a2 , … an , … ,   и   b b, … bn , … .

    Если при существуют такие числа   a   и   b ,  что

      и   ,

    то при существуют также и пределы суммы, разности и произведения этих последовательностей, причем

          Если, кроме того, выполнено условие

    то при существует предел дроби

    причем

          Для любой непрерывной функции   f (x)   справедливо равенство

    Вывод формулы для суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии

          Рассмотрим геометрическую прогрессию

    b1 ,  b2 , … bn , … ,

    знаменатель которой равен   q .  

          Для суммы первых   n   членов геометрической прогрессии

    Sn = b1 + b2 + … + bn  ,       n = 1, 2, 3, …

    справедлива формула

          Если для суммы всех членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии ввести обозначение

    S = b1 + b2 + … + bn + … ,

    то будет справедлива формула

          В случае бесконечно убывающей геометрической прогрессии знаменатель   q   удовлетворяет неравенству

    | q | < 1 ,

    поэтому, воспользовавшись cвойствами пределов числовых последовательностей и результатом примера 3, получаем

          Итак,

    Примеры вычисления пределов последовательностей. Раскрытие неопределенностей

          Определение 3. Если при нахождении предела дроби выясняется, что и числитель дроби, и знаменатель дроби стремятся к, то вычисление такого предела называют раскрытием неопределенности типа .

          Часто неопределенность типа удается раскрыть, если и в числителе дроби, и в знаменателе дроби вынести за скобки «самое большое» слагаемое. Например, в случае, когда в числителе и в знаменале дроби стоят многочлены, «самым большим» слагаемым будет член с наивысшей степенью.

          Пример 6. Найти предел последовательности

          Решение. Сначала преобразуем выражение, стоящее под знаком предела, воспользовавшись свойствами степеней:

          Ответ.

          Пример 7 . Найти предел последовательности

          Ответ.

          В следующих двух примерах показано, как можно раскрыть неопределенности типа.

          Пример 8 . Найти предел последовательности

          Решение. Сначала преобразуем выражение, стоящее под знаком предела, приводя дроби к общему знаменателю:

          Преобразуем дробь, вынося за скобки «самое большое» слагаемое в числителе дроби и «самое большое» слагаемое в каждой из скобок знаменателя дроби:

    Теперь, используя cвойства пределов последовательностей и результат примера 1, получаем

          Ответ.

          Пример 9. Найти предел последовательности

          Решение. В рассматриваемом примере неопределенность типа возникает за счет разности двух корней, каждый из которых стремится к. Для того, чтобы раскрыть неопределенность, домножим и разделим выражение, стоящее под знаком предела, на сумму этих корней и воспользуемся формулой сокращенного умножения «разность квадратов».

          Из-за большого размера формул подробные вычисления видны только на устройствах с разрешением экрана по ширине не менее 768 пикселей (например, на стационарных компьютерах, ноутбуках и некоторых планшетах). На Вашем мобильном устройстве отображается только результат описанных операций.

          Преобразуем дробь, вынося за скобки «самое большое» слагаемое в числителе дроби и «самое большое» слагаемое из-под каждого корня в знаменателе дроби,а затем сокращая дробь на n2:

    Теперь, используя cвойства пределов последовательностей и результат примера 1, получаем

          Ответ.

          Пример 10. Найти предел последовательности

          Решение. Замечая, что для всех   k = 2, 3, 4, …   выполнено равенство

    ,

    получаем

          Ответ.   1 .

    Число e. Второй замечательный предел

          Рассмотрим последовательность

    (1)

          В дисциплине «Математический анализ», которую студенты естественнонаучных и технических направлений высших учебных заведений изучают на 1 курсе, доказывают, что последовательность (1) монотонно возрастает и ограничена сверху. Из теоремы Вейерштрасса о монотонных и ограниченных последовательностях, доказательство которой выходит за рамки школьного курса математики, вытекает, что последовательность (1) имеет конечный предел. Этот предел принято обозначать буквой   e.

          Таким образом, справедливо равенство

    (2)

    причем расчеты показывают, что число

    e = 2,718281828459045…

    и является иррациональным и трансцендентным числом.

          Число   e   играет исключительно важную роль в естествознании и, в частности, служит основанием натуральных логарифмов и основанием показательной функции

    y = e x,

    которую называют «экспонента».

          Число   e   также является пределом последовательности

    (3)

    что позволяет вычислять число   e   с любой точностью. Конечно же, доказательство формулы (3) выходит за рамки школьного курса математики.

          Замечание. Предел (2), в котором для последовательностей раскрывается неопределенность типа , называют вторым замечательным пределом. В разделе нашего справочника «Пределы функций» можно ознакомиться со вторым замечательным пределом для функций.

     

          На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра «Резольвента» учебными материалами для подготовки к ЕГЭ по математике.

        Приглашаем школьников (можно вместе с родителями) на бесплатное тестирование по математике, позволяющее выяснить, какие разделы математики и навыки в решении задач являются для ученика «проблемными».

    Запись по телефону (495) 509-28-10

          Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ по математике или русскому языку на высокий балл, учебный центр «Резольвента» проводит

          У нас также для школьников организованы

    МОСКВА, СВАО, Учебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

    www.resolventa.ru

    Свойства пределов функций и последовательностей

    Основные свойства пределов с примерами

    Ниже подробно описаны свойства пределов, которые помогут вам решать задачи с даже самыми сложными пределами функций и последовательностей!

    1. Предел суммы двух функций равен сумме пределов от каждой из функций-слагаемых:

       

    Замечание. Данное свойство распространяется и на большее число слагаемых:

       

    2. Предел константы равен самой этой константе:

       

    3. Константу можно выносить за знак предела:

       

    4. Предел произведения двух функций равен произведению пределов этих функций при условии, что последние существуют:

       

    Замечание. Данное свойство выполняется и для большего числа множителей:

       

    5. Предел частного двух функций равен отношению пределов этих функций при условии, что предел знаменателя не равен нулю:

       

    6. Знак предела можно вносить в степень:

       

    Замечание. Также имеет место равенство

       

    7. Предел можно вносить в степень показательной функции:

       

    8. Предел можно вносить в подлогарифмическую функцию:

       

    9. Теорема про двухстороннее ограничение («Теорема про двух милиционеров»)

    10. Одна и та же функция в одной и той же точке может иметь только один предел:

       

    Понравился сайт? Расскажи друзьям!

    ru.solverbook.com

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *