| Техническая информация тут | Адрес этой страницы (вложенность) в справочнике dpva.ru: главная страница / / Техническая информация / / Математический справочник / / Предел функции, суммы ряда. Ограниченность функции, замечательные пределы, односторонние и бесконечные пределы, необходимые и достаточные условия существования предела функции в точке. Правила вычисления.
|
dpva.ru
Формулы пределов функций
При вычислении пределов зачастую используют понятия непрерывности функции в точке, предела функции на бесконечности, а также свойства пределов непрерывной функции.
Замечание. Таким образом, для элементарных функций, предел в любой точке из их области определения, кроме граничных, можно вычислять как значение соответствующей функции в этих точках.
Замечание. В граничных точках области определения вычисляются односторонние пределы.
Свойства пределов функций
1. Константу можно выносить за знак предела:
Пример.
2. Предел произведения функций равен произведению пределов от каждого из сомножителей при условии, что последние пределы существуют:
Пример.
3. Для непрерывных функций знак предельного перехода и знак функции можно менять местами:
Пример.
Таблица пределов функций
1. Предел константы равен этой константе:
где – некоторое действительное число, конечное или бесконечное.
2. Предел коренной функции :
, для любого натурального n
3. Предел степенной функции :
4. Предел показательной функции :
5. Предел логарифмической функции :
6. Предел тригонометрических функций:
не существуют;
7. Предел обратных тригонометрических функций:
Примеры решения задач
| Понравился сайт? Расскажи друзьям! | |||
ru.solverbook.com
Основные правила вычисления пределов. |
Примечательные пределы: |
Значимые специальные пределы: |
Пределы простейших функций: |
Пределы логарифмических и степенных функций: |
Пределы тригонометрических функций: |
| Если is выражена в радианах: |
Пределы при стремлении переменной к бесконечности: |
dpva.ru
Таблица пределов функций, формулы и примеры
Пусть . Тогда
1) Предел суммы/разности равен сумме/разности пределов от каждого из слагаемых:
2) Предел произведения равен произведению пределов, если последние существуют:
3) Предел частного равен частному пределов, если последние существуют и предел знаменателя не равен нулю:
4)
5) Правило Лопиталя: если или , то
6) Первый замечательный предел:
7) Второй замечательный предел:
где – число Эйлера (или постоянная Непера).
8)
9)
10) Предел константы равен этой константе:
Пример:
Пример
12)
13)
14)
15)
16)
17)
18)
19)
20)
21)
22)
23)
| Понравился сайт? Расскажи друзьям! | |||
ru.solverbook.com
Теория пределов, формулы и примеры решений
Дальнейшее свое активное применение теория пределов получила при создании дифференциального и интегрального исчислений в 17 в., прежде всего в работах английского физика, математика, механика и астронома Исаака Ньютона (1642-1727). Впервые определение понятия предела было введено в работе английского математика Джона Валлиса (1616-1703) «Арифметика бесконечных величин». Хотя все же исторически понятие предела не лежало в основе дифференциального и интегрального исчислений. Только лишь в 19 веке в работах великого французского математика и механика Огюстена Луи Коши (1789-1857) теория пределов была использована для строгого обоснования математического анализа. Дальнейшим развитием этой теории занимались немецкий математик Карл Теодор Вильгельм Вейерштрасс (1815-1897) и чешский математик, философ и теолог Бернард Больцано (1781-1848).
Предел последовательности
Свойства предела последовательности
1. Если предел последовательности существует, то он единственный.
2.
3. (если оба предела в правой части существуют).
4. .
5. (если оба предела в правой части существуют).
7. Теорема про двухстороннее ограничение (Теорема про двух милиционеров): если , то и
Предел функции
Замечание. Для пределов функций справедливы аналогичные свойства, как и для пределов последовательностей, которые приведены выше.
| Понравился сайт? Расскажи друзьям! | |||
ru.solverbook.com
Подготовка школьников к ЕГЭ в учебном центре «Резольвента» (Справочник по математике — Элементы математического анализа
Предел числовой последовательности
Определение 1. Число a называют пределом числовой последовательности
a1 , a2 , … an , …
если для любого положительного числа ε найдется такое натуральное число N , что при всех n > N выполняется неравенство
| an – a | < ε .
Условие того, что число a является пределом числовой последовательности
a1 , a2 , … an , … ,
записывают с помощью обозначения
и произносят так: «Предел an при n , стремящемся к бесконечности, равен a ».
То же самое соотношение можно записать следующим образом:
an → a при .
Словами это произносится так: «an стремится к a при n , стремящемся к бесконечности».
Замечание. Если для последовательности
a1 , a2 , … an , …
найдется такое число a , что an → a при , то эта последовательность ограничена.
Определение 2. Говорят, что последовательность
a1 , a2 , … an , …
стремится к бесконечности, если для любого положительного числа C найдется такое натуральное число N , что при всех n > N выполняется неравенство
| an| > C .
Условие того, что числовая последовательность
a1 , a2 , … an , … ,
стремится к бесконечности, записывают с помощью обозначения
или с помощью обозначения
при .
Пример 1. Для любого числа k > 0 справедливо равенство
Пример 2 . Для любого числа k > 0 справедливо равенство
Пример 3. Для любого числа a такого, что | a | < 1, справедливо равенство
Пример 4. Для любого числа a такого, что | a | > 1, справедливо равенство
Пример 5 . Последовательность
– 1 , 1 , – 1 , 1 , … ,
заданная с помощью формулы общего члена
an = (– 1)n ,
предела не имеет.
Свойства пределов числовых последовательностей
Рассмотрим две последовательности
a1 , a2 , … an , … , и b1 , b2 , … bn , … .
Если при существуют такие числа a и b , что
и ,
то при существуют также и пределы суммы, разности и произведения этих последовательностей, причем
Если, кроме того, выполнено условие
то при существует предел дроби
причем
Для любой непрерывной функции f (x) справедливо равенство
Вывод формулы для суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии
Рассмотрим геометрическую прогрессию
b1 , b2 , … bn , … ,
знаменатель которой равен q .
Для суммы первых n членов геометрической прогрессии
Sn = b1 + b2 + … + bn , n = 1, 2, 3, …
справедлива формула
Если для суммы всех членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии ввести обозначение
S = b1 + b2 + … + bn + … ,
то будет справедлива формула
В случае бесконечно убывающей геометрической прогрессии знаменатель q удовлетворяет неравенству
| q | < 1 ,
поэтому, воспользовавшись cвойствами пределов числовых последовательностей и результатом примера 3, получаем
Итак,
Примеры вычисления пределов последовательностей. Раскрытие неопределенностей
Определение 3. Если при нахождении предела дроби выясняется, что и числитель дроби, и знаменатель дроби стремятся к, то вычисление такого предела называют раскрытием неопределенности типа .
Часто неопределенность типа удается раскрыть, если и в числителе дроби, и в знаменателе дроби вынести за скобки «самое большое» слагаемое. Например, в случае, когда в числителе и в знаменале дроби стоят многочлены, «самым большим» слагаемым будет член с наивысшей степенью.
Пример 6. Найти предел последовательности
Решение. Сначала преобразуем выражение, стоящее под знаком предела, воспользовавшись свойствами степеней:
Ответ.
Пример 7 . Найти предел последовательности
Ответ.
В следующих двух примерах показано, как можно раскрыть неопределенности типа.
Пример 8 . Найти предел последовательности
Решение. Сначала преобразуем выражение, стоящее под знаком предела, приводя дроби к общему знаменателю:
Преобразуем дробь, вынося за скобки «самое большое» слагаемое в числителе дроби и «самое большое» слагаемое в каждой из скобок знаменателя дроби:
Теперь, используя cвойства пределов последовательностей и результат примера 1, получаем
Ответ.
Пример 9. Найти предел последовательности
Решение. В рассматриваемом примере неопределенность типа возникает за счет разности двух корней, каждый из которых стремится к. Для того, чтобы раскрыть неопределенность, домножим и разделим выражение, стоящее под знаком предела, на сумму этих корней и воспользуемся формулой сокращенного умножения «разность квадратов».
Из-за большого размера формул подробные вычисления видны только на устройствах с разрешением экрана по ширине не менее 768 пикселей (например, на стационарных компьютерах, ноутбуках и некоторых планшетах). На Вашем мобильном устройстве отображается только результат описанных операций.
Преобразуем дробь, вынося за скобки «самое большое» слагаемое в числителе дроби и «самое большое» слагаемое из-под каждого корня в знаменателе дроби,а затем сокращая дробь на n2:
Теперь, используя cвойства пределов последовательностей и результат примера 1, получаем
Ответ.
Пример 10. Найти предел последовательности
Решение. Замечая, что для всех k = 2, 3, 4, … выполнено равенство
,
получаем
Ответ. 1 .
Число e. Второй замечательный предел
Рассмотрим последовательность
| (1) |
В дисциплине «Математический анализ», которую студенты естественнонаучных и технических направлений высших учебных заведений изучают на 1 курсе, доказывают, что последовательность (1) монотонно возрастает и ограничена сверху. Из теоремы Вейерштрасса о монотонных и ограниченных последовательностях, доказательство которой выходит за рамки школьного курса математики, вытекает, что последовательность (1) имеет конечный предел. Этот предел принято обозначать буквой e.
Таким образом, справедливо равенство
| (2) |
причем расчеты показывают, что число
e = 2,718281828459045…
и является иррациональным и трансцендентным числом.
Число e играет исключительно важную роль в естествознании и, в частности, служит основанием натуральных логарифмов и основанием показательной функции
y = e x,
которую называют «экспонента».
Число e также является пределом последовательности
| (3) |
что позволяет вычислять число e с любой точностью. Конечно же, доказательство формулы (3) выходит за рамки школьного курса математики.
Замечание. Предел (2), в котором для последовательностей раскрывается неопределенность типа , называют вторым замечательным пределом. В разделе нашего справочника «Пределы функций» можно ознакомиться со вторым замечательным пределом для функций.
На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра «Резольвента» учебными материалами для подготовки к ЕГЭ по математике.
Приглашаем школьников (можно вместе с родителями) на бесплатное тестирование по математике, позволяющее выяснить, какие разделы математики и навыки в решении задач являются для ученика «проблемными». Запись по телефону (495) 509-28-10 |
Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ по математике или русскому языку на высокий балл, учебный центр «Резольвента» проводит
У нас также для школьников организованы
МОСКВА, СВАО, Учебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»
www.resolventa.ru
Свойства пределов функций и последовательностей
Основные свойства пределов с примерами
Ниже подробно описаны свойства пределов, которые помогут вам решать задачи с даже самыми сложными пределами функций и последовательностей!
1. Предел суммы двух функций равен сумме пределов от каждой из функций-слагаемых:
Замечание. Данное свойство распространяется и на большее число слагаемых:
2. Предел константы равен самой этой константе:
3. Константу можно выносить за знак предела:
4. Предел произведения двух функций равен произведению пределов этих функций при условии, что последние существуют:
Замечание. Данное свойство выполняется и для большего числа множителей:
5. Предел частного двух функций равен отношению пределов этих функций при условии, что предел знаменателя не равен нулю:
6. Знак предела можно вносить в степень:
Замечание. Также имеет место равенство
7. Предел можно вносить в степень показательной функции:
8. Предел можно вносить в подлогарифмическую функцию:
9. Теорема про двухстороннее ограничение («Теорема про двух милиционеров»)
10. Одна и та же функция в одной и той же точке может иметь только один предел:
| Понравился сайт? Расскажи друзьям! | |||
ru.solverbook.com