При каких условиях знак неравенства меняется – Линейные неравенства. Подробная теория с примерами.

2.2.5. Расставьте знаки квадратичной функции на следующих рисунках.

3. Результаты работы

Выполнение тождественных преобразований над степенными выражениями.

1. Цель работы

1. 1 Научиться применять свойства степени с действительным показателем и свойства корня n –ой степени для тождественных преобразований выражений

2. Ход работы

2.1 Вариант

Упростите:

Вычислите:

2.1.17 Вынести из под корня :

2.1.18 Внести под корень:

2.1.19 Вынести из под корня:

2.1.20 Вынести из под корня:

2.1.21 Внести под корень:

2.1.23 Вынести из под корня:

2.1.24 Преобразуйте выражение к виду :

2.2

Продолжите равенства:

К работе допускается ______________

3. Результаты работы

Решение показательных уравнений и неравенств.

1. Цель работы

1. 1 Научиться решать показательные уравнения и неравенств, используя свойства показательной функции

2. Ход работы

2.1 Вариант

2.1.1. Решите уравнения:

2.1.1.1.

2.1.1.2.

2.1.1.3

2.1.1.4

2.1.1.5

2.1.2. Решите неравенства:

2.1.2.1.

2.1.2.2.

2.1.2.3

2.1.2.4

2.1.2.5

2.2

2.2.1 Представьте в виде степени с основанием 2:

2.2.2 Укажите вид монотонности функции y = a ^x в зависимости от значения а.

0<a<1 , функция убывает ; a>1 , функция возрастает.

2.2.3 Закончите схему:

a^f(x

^{a > 1 0 < a < 1}

f(x) > g(x) f(x) < g(x)

К работе допускается ______________

3. Результаты работы

Преобразование и вычисление логарифмических выражений.

1. Цель работы

1. 1 Научиться применять определение логарифма и логарифмические тождества для вычисления значений и преобразования логарифмических выражений

2. Ход работы

2.1 Вариант

Найдите х, используя определение логарифма:

Вычислите:

2.1.17 Сравните:

2.1.18 Прологарифмируйте по основанию выражение:

2.1.19 Выразите х из выражения:

2.1.20 Составьте математическую модель фразы и вычислите: ________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2.2

2.2.1 Дайте определение логарифма

Логарифмом положительного числа b по основанию a называется показатель степени в которую нужно возвести число a , чтобы получить число b и обозначается

2.2.2

Продолжите равенства:

К работе допускается ______________

3. Результаты работы

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА 7

Построение графиков степенных, показательных и логарифмических функций.

1. Цель работы

1. 1 Научиться строить графики степных показательных и логарифмических функций

2. Ход работы

2.1 Вариант

Составьте таблицу значений функции и постройте её график:

Изобразите схематически график функции:

2.2

К работе допускается ______________

3. Результаты работы

Решение логарифмических уравнений и неравенств.

1. Цель работы

1. 1 Научиться решать логарифмические уравнения и неравенств, используя определение и свойства логарифмической функции

2. Ход работы

2.1. Вариант

2.1.1 Решите уравнения:

2.1.1.1.

2.1.1.2.

2.1.1.3

2.1.1.4

2.1.1.5

2.1.2. Решите неравенства:

2.1.2.1.

2.1.2.2.

2.1.2.3

2.1.2.4

2.1.2.5

2.2

2.2.1 Представьте в виде логарифма с основанием 2:

2.2.2 Укажите вид монотонности функции y = log _a x в зависимости от значения а.

____________________________________________________________________

____________________________________________________________________

____________________________________________________________________

2.2.3 Закончите схему:

log _a f(x) > log _a g(x)

^{a > 1 0 < a < 1}

f(x) g(x) f(x) g(x)

f(x) f(x)

g(x) g(x)

К работе допускается ______________

3. Результаты работы

Выполнение тождественных преобразований тригонометрических выражений.

1. Цель работы

1. 1 Научиться преобразовывать тригонометрические выражения и вычислять значения тригонометрических функций, используя основные тригонометрические формулы

2. Ход работы

2.1. Вариант

Вычислите:

2.1.1.

2.1.2

Упростите:

2.1.3

Известно, что х = и < x < . Вычислить:

2.1.4

2.1.5

2.1.6

2.1.7

Упростите:

2.1.8

Вычислите:

2.1.9.

Упростите:

2.11

2.11

2.2.

2.2.1. Заполните таблицу:

2.2.2 Заполните схему

Знаки синуса Знаки косинуса Знаки тангенса

2.2.3 Продолжите равенства:

К работе допускается ______________

3. Результаты работы

Построение графиков тригонометрических функций.

1. Цель работы

1. 1 Научиться строить графики тригонометрических функций и выполнять преобразование графиков

2. Ход работы

2.1. Вариант

Постройте графики функций:

2.1.1. Вычислите:

2.2.2 При построении графиков тригонометрических функций часто используют следующий масштаб: — 6 клеток. Заполните таблицу

К работе допускается ______________

3. Результаты работы

Решение тригонометрических уравнений.

1. Цель работы

1. 1 Научиться решать простейшие тригонометрические уравнения;

1.2 Научиться решать тригонометрические уравнения, приводимые к простейшим;

1.3 Научиться решать однородные тригонометрические уравнения первой и второй степени.

2. Ход работы

2.1. Вариант

Решите уравнения:

2.2.1 Заполните таблицу:

2.2.2 Вычислите:

К работе допускается ______________

3. Результаты работы

Последовательности. Способы задания и свойства числовых последовательностей.

1. Цель работы

1.1 Научиться вычислять n-ые члены последовательностей, заданных различными способами;

1.2 Научиться изображать последовательности различными способами;

1.3 Научиться использовать формулу суммы геометрической прогрессии для решения задач

1.3 Научиться вычислять пределы числовых последовательностей.

2. Ход работы

2.1. Вариант

2.1.1 Найдите первые пять членов последовательности y_n =

2.1.2 Найдите минимальный отрезок [m;M] с целочисленными m и M, которому принадлежат все члены последовательности х_n = ^.

2.1.3 Первые четыре члена последовательности а_n = отметьте на оси ОХ и укажите характер монотонности.

2.1.4 Выясните, является ли число b членом последовательности b_n и укажите номер n

b_n = , b=

2.1.5 Вычислите пределы

2.2.1. Дайте определение числовой последовательности

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2.2.2. Перечислите способы задания последовательностей

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2.2.3. Укажите нижнюю границу последовательности 4,5.6,…,n+3,…

________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2.2.4. Укажите верхнюю границу последовательности -6,-7, -8, …, — n — 5

________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2.2.5. Запишите формулу для вычисления суммы геометрической прогрессии, если

________________________________________________________________________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

2.2.6 Продолжите равенства:

Если , то

К работе допускается ______________

3. Результаты работы

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА 13

Нахождение производных функции.

1. Цель работы

1. 1 Научиться вычислять производную функции, используя таблицу производных и правила дифференцирования;

2. Ход работы

2.1. Вариант

Вычислите производную:

2.2.1 Заполните таблицу производных:

2.2.2 Допишите равенства:

К работе допускается ______________

3. Результаты работы

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА 14

Построение графиков функции с помощью производной.

1. Цель работы

1. 1 Научиться исследовать функцию с помощью производной и строить по результатам исследования график

2. Ход работы

2.1. Вариант

Исследовать функцию и построить её график:

2.1.1

2.1.2

2.1.3

2.1.4

2.2.1 Заполните пропуски

А) Если производная дифференцируемой функции положительна на промежутке, то функция на этом промежутке _____________________.

Б) Если производная дифференцированной функции _________________ на промежутке, то функция на этом промежутке убывает.

В) Если для дважды дифференцируемой функции вторая её производная отрицательнавнутри промежутка, то график функции является ______________ на данном промежутке.

Г) Если же вторая производная __________________ внутри промежутка, то график функции является вогнутым на данном промежутке.

3.2.1 Заполните пропуски

Схема исследования функции

1. Найдите область определения функции.

2. Определите четность, нечетность функции. ( f(-x) = f(x) — ____________________

f(-x) = __________ — нечётная)

4 Найти точки пересечения график функции с осями координат. ( с осью ОХ у = ___ , с осью _____ х = 0).

4. Найдите производную функции.

5. Определите стационарные и критические точки производной. Т. е. точки в которых производная равна ________ и не существует.

1. Определите промежутки монотонности (возрастания, _____________ ) и экстремумы (максимумы и ________________ ) функции.

7. Найдите значения функции в _________________________ и критических точках.

1. Найдите вторую производную и исследуйте функцию на выпуклость и ____________.

Рекомендуемые страницы:

Поиск по сайту

poisk-ru.ru

Решение показательных неравенств – Сайт Александра Бабаева

Перед тем, как решать показательное неравенство, я хочу напомнить вам важную формулу:

$\frac{1}{x^{n}}=x^{-n}$

Весь смысл решения показательных неравенств сводится к тому, что нужно левую и правую часть неравенства представить в виде показательной функции с одинаковым основанием (т.е., если слева стоит $2^{…}$, то и справа должно стоять $2^{…}$). Как только мы приходим к такому виду, сразу же мысленно зачёркиваем основания и переходим к степеням. Знак же между степенями подчиняется следующему правилу.

Если основание показательной функции больше 1, то при переходе от показательного неравенства к неравенству степеней знак неравенства сохраняется, а если же меньше 1, то меняется на противоположный.

Дальше получается обычное неравенство, решив которое, мы получим ответ.

Рассмотрим на примерах.

Пример 1. Это самый лёгкий пример. На практике вы его вряд ли встретите, но на нём мы подробно рассмотрим вышеизложенное.

$2^{x} \leq 4$

Давайте посмотрим на правую часть. Очевидно следующее: $4=2^{2}$. Используя это, неравенство перепишется в виде:

$2^{x} \leq 2^{2}$

Итак, слева и справа у нас стоят функции с одинаковым основанием $2$, которое больше $1$. Поэтому мы мысленно зачеркнём $2$ в основании и не меняя знак (основание-то больше $1$), перейдём к следующему неравенству степеней:

$x \leq 2$

Ответ: $x \in (-\infty ; 2]$

Пример 2.

$8^{x} \leq \frac{1}{128}$

$\frac{1}{128}=128^{-1}$

Заметьте, что здесь была применена самая первая формула. А вот далее студенты часто останавливаются. Ведь $128$ не является степенью $8$. Что же делать? В таком случае надо посмотреть что находится с другой стороны неравенства. Часто (а в нами рассматриваемых примерах всегда!) там стоит показательная функция, у которой основание само является степенью какого-то числа. В нашем случае $8$ – это $2^{3}$, поэтому нужно смотреть, является ли $128$ степенью $2$. Да, является. Итак, перепишем (а точнее, допишем) последнее:

$\frac{1}{128}=128^{-1}=\left(2^{7}\right)^{-1}=2^{-7}$

Нельзя забывать, что мы должны изменить и левую часть:

$8^{x}=\left(2^{3}\right)^{x}=2^{3x}$

Подставляем всё в неравенство.

$2^{3x} \leq 2^{-7}$

Основание равно $2$ больше 1, значит знак не меняется.

$3x \leq -7$

$x \leq – \frac{7}{3}$

Ответ: $x \in (-\infty; -\frac{7}{3}]$

Пример 3.

$0,1^{x} \leq 1000$

$1000=10^{3}=\left(\frac{1}{10}\right)^{-3}=0,1^{-3}$

$0,1^{x} \leq 0,1^{-3}$

Основание равно $0,1$ меньше 1, значит знак меняется на противоположный.

$x \geq -3$

Ответ: $x\in [-3; +\infty)$

babaev-an.ru

Свойства неравенств, с примерами

Неравенства отношений называют строгими, неравенства , называют нестрогими.

В неравенства могут сравниваться числа – это числовые неравенства, также неравенство может зависеть от переменной, например, сравнение функций и . Неравенства с переменной могут быть линейными, дробно-линейными, квадратными, логарифмическими, показательными, тригонометрическими и т.д.

Неравенства, содержащие два знака отношения, называются двойными неравенствами.

Пример.

Решением неравенства называется отыскание всех значений переменной, при котором данное неравенство верно.

Свойства неравенств

1. К обеим частям неравенства можно прибавить или отнять любое выражение:

      

2. Неравенства одного знака можно почленно складывать

      

3. Неравенства разных знаков можно почленно вычитать:

      

4. Обе части неравенства можно умножать или делить на одно и тоже положительное число:

      

5. Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и тоже отрицательное число, то при этом изменится знак неравенства на противоположный:

      

Примеры решения задач

ru.solverbook.com

Свойства, действия с неравенствами. Перенос слагаемого, умножение, деление на выражение. Тесты