Примеры 8 класс дроби – Сокращение алгебраических дробей — урок. Алгебра, 8 класс.

Выполнение действий с алгебраическими дробями. 8 класс

Выполните действия 1 вариант

а); б)

в).

——————————————————————————————-

Выполните действия 2 вариант а)

В); г)

———————————————————————————————————————-

Выполните действия 3 вариант а)

В)

——————————————————————————————————-

Выполните действия 1 вариант

а); б)

в)

——————————————————————————————-

Выполните действия 2 вариант а)

В); г)

———————————————————————————————————————-

Выполните действия 3 вариант а)

В)

——————————————————————————————————— Выполните действия 1 вариант

а); б)

в)

——————————————————————————————-

Выполните действия 2 вариант а)

В); г)

———————————————————————————————————————-

Выполните действия 3 вариант а)

В)

—————————————————————————————

Выполните действия 1 вариант

а); б)

в)

——————————————————————————————-

Выполните действия 2 вариант а)

В); г)

———————————————————————————————————————-

Выполните действия 3 вариант а)

В).

Найди правильный ответ и зашифруй его

-4а

2

3

4

—

-2у(х+у)

Найди правильный ответ и зашифруй его

-4а

2

3

4

—

-2у(х+у)

Найди правильный ответ и зашифруй его

-4а

2

3

4

—

-2у(х+у)

infourok.ru

Тематическая проверка по теме»Алгебраические дроби» (8 класс)

Алгебраические дроби 8 класс

Проверочная работа за 1 четверть

(по учебнику А.Г.Мордкович)

Вариант 1

1. Сократите дробь:

2. Сложите дроби с одинаковыми знаменателями:

3. Выполните действие:

4. Сложите алгебраические дроби:

5. Преобразуйте данное выражение в дробь:

6. Выполните умножение:

7. Представьте в виде дроби частное:

8. Представьте в виде дроби:

9. Выполните действия:

10. Решите уравнение:

Часть 2

В1. Сократите алгебраическую дробь:

В2. Выполните действия:

В3. Выполните действия:

В4. Упростите выражение: .

В5. Найдите корень уравнения:

B6. Найдите значение выражения    при 

В ответе запишите найденное значение.

Алгебраические дроби 8 класс

Проверочная работа за 1 четверть

(по учебнику А.Г.Мордкович)

Вариант 2

1. Сократите дробь:

2. Сложите дроби с одинаковыми знаменателями:

3. Выполните действие:

4. Сложите алгебраические дроби:

5. Преобразуйте данное выражение в дробь:

6. Выполните умножение:

7. Представьте в виде дроби частное:

8. Представьте в виде дроби:

9. Выполните действия:

10. Решите уравнение:

Часть 2

В1. Сократите алгебраическую дробь:

В2. Выполните действия:

В3. Выполните действия:

В4. Упростите выражение: .

В5. Найдите корень уравнения:

B6. Упростите выражение    и найдите его значение при  . В ответе запишите найденное значение.

Алгебраические дроби 8 класс

Проверочная работа за 1 четверть

(по учебнику А.Г.Мордкович)

Вариант 3

1. Сократите дробь:

2. Сложите дроби с одинаковыми знаменателями:

3. Выполните действие:

4. Сложите алгебраические дроби:

5. Преобразуйте данное выражение в дробь:

6. Выполните умножение:

7. Представьте в виде дроби частное:

8. Представьте в виде дроби:

9. Выполните действия:

10. Решите уравнение:

Часть 2

В1. Сократите алгебраическую дробь:

В2. Выполните действия:

В3. Выполните действия:

В4. Упростите выражение: .

В5. Найдите корень уравнения:

B6. Упростите выражение , найдите его значение при  ; . В ответ запишите полученное число.

Алгебраические дроби 8 класс

Проверочная работа за 1 четверть

(по учебнику А.Г.Мордкович)

Вариант 4

1. Сократите дробь:

2. Сложите дроби с одинаковыми знаменателями:

3. Выполните действие:

4. Сложите алгебраические дроби:

5. Преобразуйте данное выражение в дробь:

6. Выполните умножение:

7. Представьте в виде дроби частное:

8. Представьте в виде дроби:

9. Выполните действия:

10. Решите уравнение:

Часть 2

В1. Сократите алгебраическую дробь:

В2. Выполните действия:

В3. Выполните действия:

В4. Упростите выражение: .

В5. Найдите корень уравнения:

B6. Найдите значение выражения    при а = 75 и х = -25

В ответе запишите найденное значение.

Спецификация административной контрольной работы

по алгебре 8 класса за 1 четверть.

Цель работы:

1. Проверить уровень усвоения изученного материала.

2. Определить уровень ликвидации пробелов в знаниях по теме «Степень»

3. Выявить пробелы в знаниях изученного материала

Содержание работы. Работа содержит 16 заданий из изученных тем алгебры 8 класса: сокращение алгебраических дробей, действия с алгебраическими дробями, решение рациональных уравнений. Работа разделена на две части: в первой части 10 заданий и во второй части 6 заданий. Все задания базового уровня. Задания № 1 – 16 оцениваются 1 баллом, за исключением № 13- оцениваемое по максимуму в 2 балла при верном решении и 0 баллов – если не верно или не приступали. №13 может быть оценен в 1 балл, если выполнено задание не до конца.

Продолжительности работы: контрольная работа рассчитана на 45 минут

Итого за всю работу 17 баллов.

Характеристика заданий АКР в 8 классе по математике

Спецификация контрольной работы

№ п/п

КЭС

Проверяемый материал по КЭС

Уровень сложности

Баллы за задание

1

2.4.1

2.3.3

Алгебраическая дробь. Сокращение дробей

Разложение многочлена на множители

Б

1

2

2.4.2

2.4.1

Действия с алгебраическими дробями

Алгебраическая дробь. Сокращение дробей

Б

1

3

2.4.2

Действия с алгебраическими дробями

Б

1

4

2.4.2

Действия с алгебраическими дробями

Б

1

5

2.4.2

Действия с алгебраическими дробями

Б

1

6

2.4.2

2.2.1

Действия с алгебраическими дробями

Свойства степени с целым показателем

Б

1

7

2.4.2

2.3.2

2.3.3

Действия с алгебраическими дробями

Формулы сокращенного умножения: квадрат суммы и квадрат

разности; формула разности квадратов

Разложение многочлена на множители

Б

1

8

2.2.1

Свойства степени с целым показателем

Б

1

9

2.4.3

Рациональные выражения и их преобразования

Б

1

10

3.1.4

Решение рациональных уравнений

Б

1

11

2.4.3

2.4.1

Рациональные выражения и их преобразования

Сокращение дробей

П

1

12

2.4.3

2.3.2

Рациональные выражения и их преобразования

Формулы сокращенного умножения: квадрат суммы и квадрат

разности; формула разности квадратов

П

1

13

2.4.3

Рациональные выражения и их преобразования

П

2

14

2.2.1

Свойства степени с целым показателем

Б

1

15

3.1.4

Решение рациональных уравнений

Б

1

16

2.1.1

2.4.3

Буквенные выражения. Числовое значение буквенного выражения

Рациональные выражения и их преобразования

Б

1

Оценивание работы

Оценка

5

4

3

2

Количество набранных баллов

15-17

12-14

8-11

0-7

infourok.ru

Основное свойство алгебраической дроби (продолжение) . Видеоурок. Алгебра 8 Класс

На уроке продолжается тема предыдущего урока и более подробно рассматриваются методы приведения дробей к общему знаменателю с использованием основного свойства дроби. Умение приводить дроби к общему знаменателю является важнейшим для сложения и вычитания дробей, что будет рассмотрено на дальнейших уроках. Основной упор сделан на сложные случаи, в которых для приведения дробей к общему знаменателю требуется умение разложения многочленов на множители и нахождения наименьшего общего знаменателя для двух многочленов. В ходе изложения материала приводится большое количество примеров, что позволяет развить и наработать навыки обращения со сложными дробными выражениями. В конце урока делается анонс дальнейших тем и демонстрируется пример вычитания дробей с одинаковыми знаменателями.

Вспомним основные понятия, упомянутые в предыдущих уроках, которые пригодятся нам сегодня.

Определение. Рациональная (алгебраическая) дробь – дробное выражение вида , где  многочлены.  – числитель,   – знаменатель.

Основное свойство алгебраической дроби – и числитель и знаменатель дроби можно умножать и делить на один и тот же многочлен (одночлен) или число, отличное от нуля.

Рассмотрим примеры.

Пример 1. Привести дроби  и  к общему знаменателю.

Решение. Т.к. общим знаменателем дроби является , то и приведем эти обе дроби к знаменателю 12. Для этого знаменатель и числитель первой дроби умножим на 2, а первую дробь оставим без изменения.

.

Ответ.  и .

Пример 2. Привести дроби  и  к общему знаменателю.

Решение.  — это и будет общий знаменатель дробей. Чтобы его получить, числитель и знаменатель первой дроби умножим на 3, а второй дроби на 2.

; .

Ответ. и .

Как мы видим, в указанных примерах для приведения дробей к общему знаменателю необходимо было их умножить на определенные числа, их удобно называть дополнительные множители.

Определение.Дополнительный множитель – результат деления общего знаменателя на знаменатель соответствующей дроби. В школе обычно учат писать их над числителями соответствующих дробей, отделяя от них своеобразными «палочками» (см. рис. 1), это действительно удобно, и позволяет не забывать, на что следует домножить числитель дроби.

    

Рис. 1.

Далее мы уже рассмотрим примеры, когда в качестве дополнительных множителей будут выступать и числа, а буквенные выражения.

Пример 3. Привести дроби  и  к общему знаменателю.

Решение. Знаменатель первой дроби  делится на знаменатель второй дроби , т.е. уже сам по себе является общим знаменателем для дробей. Следовательно, первую дробь мы оставим без изменений, а для второй дроби дополнительным множителем будет .

.

Ответ. и .

Пример 4. Привести дроби  и  к общему знаменателю.

Решение. Т.к. у знаменателей дробей нет общих множителей, то для нахождения общего знаменателя их следует просто перемножить. В таком случае дополнительным множителем для первой дроби будет знаменатель второй дроби, аналогично для второй дроби.

; .

Ответ. и .

На данном примере мы вспомнили удобное правило для нахождения общего знаменателя для дробей со знаменателями, не имеющими общих делителей. Это правило, как работало для случая обыкновенных дробей, так же работает для алгебраических и является универсальным для всех случаев нахождения общего знаменателя, даже, если у знаменателей есть общие делители. Просто в таком случае, применяя это правило, мы найдем не наименьший общий делитель, что не так оптимально для решения. Изобразить это правило нахождения общего знаменателя удобно с помощью рисунка 2.

  

Рис. 2.

Пример. 5. Привести дроби  и  к общему знаменателю.

Решение. Задача полностью аналогична предыдущей, только в качестве дополнительно множителя для первой дроби выступает уже многочлен , поэтому поступаем таким же образом.

; .

Ответ.  и.

Перейдем теперь к примерам, в которых для нахождения общего знаменателя необходимо будет знаменатели дробей раскладывать на множители.

Пример 6. Привести дроби  и  к общему знаменателю.

Решение. Рассматривая предыдущие примеры, мы могли убедиться в том, что для нахождения общего знаменателя у дробей удобно видеть на какие множители их знаменатели можно разложить. Если процедура разложения не проведена еще в условии задачи, то необходимо ее провести при решении. Это поможет нам находить дополнительные множители для дробей.

В нашем случае видно, что можно разложить на множители (вынести общий множитель) знаменатель второй дроби:

 . Мы провели сокращение и уже получили знаменатель такой же, как и у первой дроби. Следовательно, задача уже решена.

 

Ответ. и .

Как мы видим, для нахождения общего знаменателя полезны простейшие действия, такие как разложение на множители, сокращение и все остальные арифметические действия, кстати, тоже. Т.е. до проведения дополнительных процедур по приведению дробей к общему знаменателю следует их сначала просто упростить, если это возможно.

Рассмотрим теперь аналогичные примеры, но уже с тремя дробями.

Пример. 7. Привести дроби ,  и  к общему знаменателю.

Решение. У знаменателей каждой из дробей присутствует численный коэффициент, наименьшим общим кратным для чисел 2, 4 и 6 является число 12. Буквенные множители знаменателей, в свою очередь, являются делителями выражения . Следовательно, наименьшим общим знаменателем дробей будет . Дополнительные множители для числителей дробей находим, как и ранее: для первой дроби , для второй  , для третьей .

; ; .

Ответ.,  и .

Пример 8. Привести дроби ,  и

interneturok.ru

Сложение и вычитание алгебраических дробей с разными знаменателями (более сложные случаи)

Тема: Алгебраические дроби. Арифметические операции над алгебраическими дробями

Урок: Сложение и вычитание алгебраических дробей с разными знаменателями (более сложные случаи)

 

На уроке мы продолжим тему предыдущего урока и будем рассматривать задачу сложения и вычитания алгебраических дробей с разными знаменателями, т.е. упрощение выражений вида: , где . В основном, задача сводится к нахождению наименьшего общего знаменателя дробей, а это делается, как мы уже знаем, по аналогии с обыкновенными дробями. Рассмотрим примеры.

Пример 1. Выполнить действие .

Решение. Для нахождения наименьшего общего знаменателя дробей воспользуемся основной теоремой арифметики и разложим знаменатели на простые множители.

 и . Следовательно,  и .

Вспомним, что наименьший общий знаменатель должен содержать множители всех знаменателей, причем так, чтобы множителей было минимально возможное количество. В нашем случае необходимы множители . Следовательно, общий знаменатель , а дополнительные множители: к первой дроби , ко второй дроби .

.

Как видно из решения, удобно даже не перемножать простые множители в знаменателе до получения числителя общей дроби, чтобы потом было легче сокращать дробь.

Ответ..

Теперь рассмотрим аналогичные операции с алгебраическими дробями. Не сложно догадаться, что самой трудоемкой частью сложения или вычитания дробей с разными знаменателями является нахождение наименьшего общего знаменателя. Если в случае обыкновенных дробей можно было пользоваться разложением чисел на множители, то в алгебраических дробях на множители необходимо будет раскладывать многочлены. Для этого существует несколько известных нам методов: вынесение общего множителя, применение формул сокращенного умножения и метода группировки слагаемых. Рассмотрим более подробно их применение для решения сложных задач на сложение и вычитание алгебраических дробей с разными знаменателями.

Пример 2. Выполнить действия .

Решение. Для нахождения наименьшего общего знаменателя и дополнительных множителей разложим знаменатели на множители. Первый знаменатель уже представляет собой простое выражение, а второй раскладывается по формуле разности квадратов:

. Как видно по ходу решения, в качестве наименьшего общего знаменателя выбран знаменатель второй дроби, который делится и на первый знаменатель и сам на себя. Дополнительный множитель в таком случае пригодился только для первой дроби. Во втором переходе можно обратить внимание на внесение минуса перед дробью в один из множителей знаменателя для того, чтобы сделать знаменатели дробей максимально похожими друга на друга; такой прием нам уже знаком из темы «сложение алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями (более сложные случаи)» (урок №5).

Ответ..

Пример 3. Выполнить действия .

Решение. Поступим аналогично с предыдущим примером и разложим по ходу решения знаменатель второй дроби на множители по формуле разности квадратов, перед этим внесем минус перед дробью в знаменатель для того, чтобы он получил более удобный вид:

.

Ответ..

Рассмотрим теперь более сложные примеры на сложение/вычитание трех дробей.

Пример 4. Выполнить действия .

Решение. Как и ранее, разложим на множители каждый знаменатель, найдем наименьший общий знаменатель и дополнительные множители.

.

Как и ранее, для приведения выражения к удобному виду, вынесем минус из знаменателя второй дроби. Поскольку в выражении присутствует три дроби, чтобы не запутаться, выпишем наименьший общий знаменатель отдельно, составив его из множителей, входящих во все знаменатели: . Исходя из него, укажем и дополнительные множители для каждой из дробей, как те множители, которых не хватает знаменателю, чтобы стать общим.

 .

Последний переход (раскрывание скобок) не принципиален, и можно было указать в ответ выражение, записанное предпоследним.

Ответ..

Пример 5. Выполнить действия .

Решение. Поступаем уже известным для нас образом: раскрываем знаменатели на множители, при необходимости меняем знаки в знаменателях дробей, находим наименьший общий знаменатель и дополнительные множители.

.

Наименьший общий знаменатель: .

.

Можно заметить, что выражение в числителе представимо в виде  по формуле квадрата суммы, аналогично выражение .

В конце проведено сокращение на , значит необходимо обязательно записать область недопустимых значений переменной, связанную с этим сокращением:  и  являются недопустимыми значениями переменных. Во всех остальных случаях выражение равно .

Ответ..

На следующем уроке мы подробно остановимся на технике разложения на множители знаменателей дробей для их последующего сложения и вычитания. Эта техника чрезвычайно важна, т.к. мы видим, что она активно используется во всех рассмотренных ранее операциях с дробями.

 

Список рекомендованной литературы

1. Башмаков М.И. Алгебра 8 класс. М.: Просвещение. 2004 г.

2. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 8. 5 издание. М.: Просвещение. 2010 г.

3. Никольский С.М., Потапов М.А., Решетников Н.Н., Шевкин А.В. Алгебра 8 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. М.: Просвещение. 2006 г.

 

Рекомендованные ссылки на ресурсы интернет

1. ЕГЭ оп математике (Источник).

2. Так то ЕНТ. Методическая копилка (Источник).

3. Презентации для школьников (Источник).

 

Рекомендованное домашнее задание

1. № 55, 56, 63, 66, 68. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 8. 5 издание. М.: Просвещение. 2010 г.

2. Выполнить действия .

3. Выполнить действия .

4. Доказать тождество: .

interneturok.ru

Основное свойство дроби. Сокращение дробей.

Основные свойства алгебраической дроби 8 класс, правила и примеры

Правило 1 1.  Основное свойство дроби: , где многочлены a ? 0 и c ? 0.

Используются при приведении дроби к новому знаменателю.

Пример 1
1) Привести дробь:

 5a 3b² к знаменателю 21a³b².

Так как 21a³b² = 3b² • 7a³, то  5a 3b² =  5a • 7a³ 3b² • 7a³ =    35a⁴   21a³b²;
Где 7a² — дополнительный множитель.

Пример 2
2)   Привести дробь:

    2b    x — 4b к занаменателю x² — 16b².

Так как x² — 16b² = ( x — 4b ) ( x + 4b ), то     2b    x — 4b =      2b( x + 4b )     ( x — 4b )( x + 4b ) =  2xb + 8b²x² — 16b².

Правило 2 2.   Основное свойство дроби: , где b ? 0 и c ? 0.

Используя для сокращения дроби на общий множитель c числителя и знаменателя.

Пример 1
1) Сократить дробь:

3ab5bz = 3a5z;

Пример 2
2) Сократить дробь:

7a² + 14 aba + 2b = 7a(a + 2b)a + 2b = 7a.

Правило 3 3.

Пример
 5x — 6y 2xy² — 1 =  6y — 5x 1 — 2xy² =  6y — 5x  2xy² — 1 =  5x — 6y 1 — 2xy².

formula-xyz.ru