Примеры умножение комплексных чисел – Умножение комплексных чисел | Математика

Умножение комплексных чисел | Математика

Как умножить комплексные числа?

Рассмотрим, как следует выполнять умножение комплексных чисел, в теории и на конкретных примерах.

Произведением комплексных чисел

   

и

   

записанными а алгебраической форме, называется комплексное число

   

На практике умножение комплексных чисел выполняют по правилу умножения двучленов, с последующей заменой i² на -1.

Примеры.

Найти произведение комплексных чисел, записанных в алгебраической форме:

   

   

   

   

Решение:

Перемножаем комплексные числа, как обыкновенные многочлены:

   

приводим подобные слагаемые и заменяем i² на -1:

   

   

   

   

   

   

Утверждение.

Произведение комплексно-сопряженных чисел равно квадрату модуля одного из них.

Доказательство:

   

   

   

Что и требовалось доказать.

Соответственно, чтобы умножить комплексно-сопряженные числа, пользуются правилом:

   

Например,

   

   

Умножение комплексных чисел подчиняется коммутативному (переместительному):

   

ассоциативному (сочетательному):

   

и дистрибутивному (распределительному относительно сложения)

   

законам умножения.

 

 

www.matematika.uznateshe.ru

Умножение комплексных чисел, формула и примеры

Рассмотрим умножение комплексных чисел записанных в алгебраической, тригонометрической и показательной формах.

Умножение в алгебраической форме

Умножение комплексных чисел и выполняется непосредственным произведением чисел в алгебраической форме, учитывая свойство мнимой единицы :

   

   

Умножение в тригонометрической форме

Для произведения комплексных чисел в тригонометрической форме верно равенство:

   

Умножение в показательной форме

Для произведения комплексных чисел в тригонометрической форме верно равенство:

   

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

ru.solverbook.com

Умножение комплексных чисел

Умножение на число и умножение заданных комплексных чисел выполняются для чисел, представленных в любой форме записи.

Определение 1

Произведением заданного комплексного числа $z=a+b\cdot i$ на действительное число $k$ является комплексное число, которое определяется равенством \[k\cdot z=k\cdot (a+b\cdot i)=k\cdot a+k\cdot b\cdot i.\]

Пример 1

Выполнить умножение комплексных чисел на число $k=\sqrt{3} $:

1) $z_{1} =\sqrt{3} +\sqrt{3} \cdot i$; 2) $z_{2} =5-4\cdot i$; 3) $z_{3} =\sqrt{3} \cdot i$.

Решение:

Для умножения комплексных чисел на число воспользуемся определением и получим:

1) $k\cdot z_{1} =\sqrt{3} \cdot z_{1} =\sqrt{3} \cdot \left(\sqrt{3} +\sqrt{3} \cdot i\right)=\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} +\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} \cdot i=3+3\cdot i$;

2) $k\cdot z_{2} =\sqrt{3} \cdot z_{2} =\sqrt{3} \cdot (5-4\cdot i)=\sqrt{3} \cdot 5-\sqrt{3} \cdot 4\cdot i=5\sqrt{3} -4\sqrt{3} \cdot i$;

3) $k\cdot z_{3} =\sqrt{3} \cdot z_{3} =\sqrt{3} \cdot (0+\sqrt{3} \cdot i)=\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} \cdot i=3i$.

Примечание 1

При умножении заданного комплексного числа $z=a+b\cdot i$ на число $k\, \, (|k|>1)$ модуль этого числа увеличивается в $|k|$ раз:

\[|k\cdot z|=|k|\cdot \sqrt{a^{2} +b^{2} } .\]

Примечание 2

При умножении заданного комплексного числа $z=a+b\cdot i$ на число $k\, \, (|k|

\[|k\cdot z|=\frac{\sqrt{a^{2} +b^{2} } }{\left|\frac{1}{k} \right|} .\]

Примечание 3

Графическая интерпретация операции умножения заданного комплексного числа $z=a+b\cdot i$ на число $k\, \, (|k|>1)$: длина радиус-вектора, изображающего исходное комплексное число, увеличивается в $|k|$ раз (радиус-вектор становится длиннее в $|k|$ раз).

Примечание 4

Графическая интерпретация операции умножения заданного комплексного числа $z=a+b\cdot i$ на число $k\, \, (|k|

Иллюстрация примера умножения заданного комплексного числа $z=a+b\cdot i$ на число $k_{1} =2,\, \, k_{2} =\frac{1}{4} $ с использованием комплексной плоскости приведена на рис.1-2.

Рис. 1

Рис. 2

Определение 2

Произведением двух заданных комплексных чисел $z_{1} =a_{1} +b_{1} i$ и $z_{2} =a_{2} +b_{2} i$ является комплексное число, которое получается перемножением данных чисел по правилам алгебры с учетом того, что $i^{2} =-1$.

Пример 2

Вычислить $i^{k} $ для $k=3..7$.

Решение:

\[i^{2} =-1\]

\[i^{3} =i^{2} \cdot i=-1\cdot i=-i\]

\[i^{4} =i^{2} \cdot i^{2} =-1\cdot (-1)=1\]

\[i^{5} =i^{2} \cdot i^{3} =-1\cdot (-i)=i\]

\[i^{6} =(i^{2} )^{3} =(-1)^{3} =-1\]

\[i^{7} =(i^{2} )^{3} \cdot i=(-1)^{3} \cdot i=-1\cdot i=-i\]

Пример 3

Выполнить умножение комплексных чисел:

1) $z_{1} =1+3i$ и $z_{2} =3-5i$; 2) $z_{1} =\sqrt{3} +2i$ и $z_{2} =\sqrt{5} \cdot i$.

Решение:

Для умножения комплексных чисел воспользуемся определением и получим:

1) $z_{1} \cdot z_{2} =(1+3i)\cdot (3-5i)=1\cdot 3+3\cdot 3i+1\cdot (-5i)+3i\cdot (-5i)=3+9i-5i-15i^{2} =3+4i+15=18+4i$

2)\[\begin{array}{l} {z_{1} \cdot z_{2} =(\sqrt{3} +2i)\cdot (0+\sqrt{5} \cdot i)=\sqrt{3} \cdot 0+0\cdot 2i+\sqrt{3} \cdot \sqrt{5} \cdot i+2i\cdot \sqrt{5} \cdot i=0+0+\sqrt{15} \cdot i+2\sqrt{5} \cdot i^{2} =\sqrt{15} \cdot i-2\sqrt{5} =-2\sqrt{5} +\sqrt{15} \cdot i} \end{array}\]

Замечание 1

Произведение комплексно-сопряженных чисел $z=a+b\cdot i$ и $\overline{z}=a-b\cdot i$ определяется равенством

\[z\cdot \overline{z}=a^{2} +b^{2} \]

или

\[z\cdot \overline{z}=|z|^{2} =|\overline{z}|^{2} .\]

Другими словами, произведение комплексно-сопряженных чисел есть квадрат модуля каждого из них.

Пример 4

Выполнить умножение комплексно-сопряженных чисел, используя замечание 1 и определение:

1) $z=1+3i$ и $\overline{z}=1-3i$; 2) $z=\sqrt{3} +2i$ и $\overline{z}=\sqrt{3} -2i$.

Решение:

Для умножения комплексных чисел воспользуемся замечанием 1 и получим:

1) $z\cdot \overline{z}=(1+3i)\cdot (1-3i)=1^{2} +3^{2} =1+9=10$

2) \[z\cdot \overline{z}=(\sqrt{3} +2i)\cdot (\sqrt{3} -2i)=(\sqrt{3} )^{2} +2^{2} =3+4=7\]

Для умножения комплексных чисел воспользуемся определением и получим:

1) $z\cdot \overline{z}=(1+3i)\cdot (1-3i)=1\cdot 1+1\cdot 3i+1\cdot (-3i)+3i\cdot (-3i)=1+3i-3i-9i^{2} =1+9=10$

2) $\begin{array}{l} {z\cdot \overline{z}=(\sqrt{3} +2i)\cdot (\sqrt{3} -2i)=\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} +\sqrt{3} \cdot 2i-\sqrt{3} \cdot 2\cdot i+2i\cdot (-2)\cdot i=3+2\sqrt{3} \cdot i-2\sqrt{3} \cdot i-2^{2} \cdot i^{2} =3+4=7} \end{array}$

Результаты выполнения операции умножения комплексных чисел совпадают.

Определение 3

Произведением двух заданных комплексных чисел в тригонометрической форме $z_{1} =r_{1} \cdot (\cos \varphi _{1} +i\sin \varphi _{1} )$ и $z_{2} =r_{2} \cdot (\cos \varphi _{2} +i\sin \varphi _{2} )$ является комплексное число, которое определяется равенством

\[z_{1} \cdot z_{2} =r_{1} \cdot r_{2} \cdot [\cos (\varphi _{1} +\varphi _{2} )+i\sin (\varphi _{1} +\varphi _{2} )].\]

Пример 5

Выполнить умножение комплексных чисел:

1) $z_{1} =\sqrt{3} \cdot (\cos \frac{\pi }{4} +i\cdot \sin \frac{\pi }{4} )$ и $z_{2} =2\cdot (\cos \frac{2\pi }{3} +i\cdot \sin \frac{2\pi }{3} )$;

2) $z_{1} =4\cdot (\cos \pi +i\cdot \sin \pi )$ и $z_{2} =5\cdot (\cos \frac{\pi }{2} +i\cdot \sin \frac{\pi }{2} )$.

Решение:

Для умножения комплексных чисел воспользуемся определением и получим:

1) $\begin{array}{l} {z_{1} \cdot z_{2} =\left(\sqrt{3} \cdot (\cos \frac{\pi }{4} +i\cdot \sin \frac{\pi }{4} )\right)\cdot \left(2\cdot (\cos \frac{2\pi }{3} +i\cdot \sin \frac{2\pi }{3} )\right)=2\cdot \sqrt{3} \cdot [\cos (\frac{\pi }{4} +\frac{2\pi }{3} )+i\cdot \sin (\frac{\pi }{4} +\frac{2\pi }{3} )]=2\sqrt{3} \cdot (\cos \frac{11\pi }{12} +i\cdot \sin \frac{11\pi }{12} )} \end{array}$

2) \[\begin{array}{l} {z_{1} \cdot z_{2} =\left(4\cdot (\cos \pi +i\cdot \sin \pi )\right)\cdot \left(5\cdot (\cos \frac{\pi }{2} +i\cdot \sin \frac{\pi }{2} )\right)=4\cdot 5\cdot [\cos (\pi +\frac{\pi }{2} )+i\cdot \sin (\pi +\frac{\pi }{2} )]=20\cdot (\cos \frac{3\pi }{2} +i\cdot \sin \frac{3\pi }{2} )} \end{array}\]

Определение 4

Произведением двух заданных комплексных чисел в показательной форме $z_{1} =r_{1} \cdot e^{i\varphi _{1} } $ и $z_{2} =r_{2} \cdot e^{i\varphi _{2} } $ является комплексное число, которое определяется равенством

\[z_{1} \cdot z_{2} =r_{1} \cdot e^{i\varphi _{1} } \cdot r_{2} \cdot e^{i\varphi _{2} } =r_{1} \cdot r_{2} \cdot e^{i(\varphi _{1} +\varphi _{2} )} .\]

Пример 6

Выполнить умножение комплексных чисел:

1) $z_{1} =\sqrt{3} \cdot e^{i\cdot \frac{\pi }{4} } $ и $z_{2} =2\cdot e^{i\cdot \frac{\pi }{3} } $; 2) $z_{1} =\sqrt{5} \cdot e^{i\cdot \frac{2\pi }{3} } $ и $z_{2} =2\cdot e^{i\cdot \frac{\pi }{2} } $.

Решение:

Для умножения комплексных чисел воспользуемся определением и получим:

1) \[z_{1} \cdot z_{2} =\left(\sqrt{3} \cdot e^{i\cdot \frac{\pi }{4} } \right)\cdot \left(2\cdot e^{i\cdot \frac{\pi }{3} } \right)=2\cdot \sqrt{3} \cdot e^{i\cdot (\frac{\pi }{4} +\frac{\pi }{3} )} =2\sqrt{3} \cdot e^{i\cdot \frac{7\pi }{12} } \]

2) \[z_{1} \cdot z_{2} =\left(\sqrt{5} \cdot e^{i\cdot \frac{2\pi }{3} } \right)\cdot \left(2\cdot e^{i\cdot \frac{\pi }{2} } \right)=2\cdot \sqrt{5} \cdot e^{i\cdot (\frac{2\pi }{3} +\frac{\pi }{2} )} =2\sqrt{3} \cdot e^{i\cdot \frac{7\pi }{6} } \]

spravochnick.ru

Комплексные числа, примеры решений

Теория про комплексные числа

ОПРЕДЕЛЕНИЕ Комплексным числом называется число вида , где и действительные числа, а – мнимая единица такая, что .

При этом такая запись комплексного числа называется алгебраической; является действительной частью комплексного числа, а – мнимою. Каждое комплексное число может быть так же представлено в тригонометрической форме

   

или показательной форме:

   

где – модуль комплексного числа, а – аргумент комплексного числа такой, что , где или .

Комплексные числа изображаются на комплексной плоскости. Для них введены операции сложения, умножения, вычитания и деления. Так же их можно возводить в степень и извлекать из них корень, для этого используют формулу Муавра.

Примеры

ПРИМЕР 1

Задание	Представить в показательной и тригонометрической формах комплексное число .
Решение	Найдем модуль заданного комплексного числа, по условию действительная часть , а мнимая , тогда подставляя в формулу для нахождения модуля, получим     Вычислим аргумент заданного комплексного числа:     Тогда тригонометрическая форма этого комплексного числа будет иметь вид:     показательная:
Ответ

ПРИМЕР 2

Задание	Найти разность и сумму комплексных чисел и .
Решение	Найдем сумму комплексных чисел, при этом отдельно складываем действительные и мнимые части заданных чисел:     Вычислим разность заданных комплексных чисел, при этом действительные и мнимые части чисел вычитаются отдельно:
Ответ

ПРИМЕР 3

Задание	Найти произведение и частное чисел и .
Решение	Найдем произведение заданных комплексных чисел:     Учитывая, что , окончательно получим:     Вычислим частное комплексных чисел и :     умножим числитель и знаменатель полученной дроби на сопряженное комплексное число к знаменателю, то есть на , получим:     Учитывая, что , окончательно получим:
Ответ

ПРИМЕР 4

Задание	Возвести комплексное число в степень : а) ; б) .
Решение	а) Возведем заданное комплексное число в квадрат, используя формулы сокращенного умножения:     б) Для возведения комплексного числа в шестую степень, воспользуемся формулой Муавра. Чтобы её применить, необходимо представить комплексное число в тригонометрической или показательной формах. Найдем модуль заданного комплексного числа:     Далее находим его аргумент:     Запишем тригонометрическую форму заданного комплексного числа:     По формуле Муавра     Преобразовывая это выражение, получим алгебраическую форму шестой степени заданного комплексного числа :
Ответ

ПРИМЕР 5

Задание	Вычислить и изобразить корни на комплексной плоскости.
Решение	Представим число в тригонометрической форме, для этого найдем его модуль и аргумент:         Тогда     Корни четвертой степени найдем, используя формулу Муавра     В нашем случае . Найдем значения этого выражения для каждого :                 Полученные корни можно изобразить на комплексной плоскости. Они будут точками, лежащими на окружности с центром в начале координат и радиусом , а центральные углы между радиусами, проведенными в соседние точки, равны (рис. 1).
Ответ

ru.solverbook.com

Умножение комплексных чисел — МегаЛекции

Вопрос 1

Натуральные числа, противоположные им и ноль называют целыми числами. Множество целых чисел обозначают символом Z.

Рациональные числа — это числа вида m/n , где m — целое число, а n — натуральное число.

Множество рациональных чисел принято обозначать буквой Q.

Выполняется соотношение Z⊂Q , поскольку любое число m можно представить в виде m1.

Итак, можно сказать, что

Рациональные числа — это все целые числа, а также положительные и отрицательные обыкновенные дроби.

 

Действительные числа

Множество всех рациональных и всех иррациональных чисел называется множеством действительных (вещественных) чисел.

Действительные числа обозначаются символом R.

 

Вопрос 2

Комплексные числа записываются в виде: a+ bi. Здесь a и b – действительные числа, а i – мнимая единица, т.e. i^2 = –1. Число a называется абсциссой, a b – ординатой комплексного числа a+ bi.

 

Виды комплексных чисел:

1. Алгебраическая форма комплексного числа

Запись комплексного числа в виде z=a+bi , где a и b — действительные числа, называется алгебраической формой комплексного числа.

Например: z=1-i

2. Тригонометрическая форма комплексного числа

Если — модуль комплексного числа z=a+bi , а — его аргумент, то тригонометрической формой комплексного числа z называется выражение:

3. Показательная форма комплексного числа.

Показательной формой комплексного числа называется выражение:

 

Геометрический смысл комплексных чисел:

Геометрическая интерпретация комплексных чисел заключается в том, что комплексному числу z = х + yi сопоставляется точка на плоскости с координатами х, у. Именно действительная часть числа мыслится как х-координата, а мнимая — как y-координата. Таким образом устанавливается взаимно однозначное соответствие между комплексными числами и точками «числовой плоскости».

Вопрос 3

Сложение комплексных чисел

Сложить два комплексных числа ,

Для того чтобы сложить два комплексных числа нужно сложить их действительные и мнимые части:

Таким нехитрым способом можно найти сумму любого количества слагаемых: просуммировать действительные части и просуммировать мнимые части.

Для комплексных чисел справедливо правило первого класса: – от перестановки слагаемых сумма не меняется.

Вычитание комплексных чисел

Пример 2

Найти разности комплексных чисел и , если ,

Действие аналогично сложению, единственная особенность состоит в том, что вычитаемое нужно взять в скобки, а затем – стандартно раскрыть эти скобки со сменой знака:

Результат не должен смущать, у полученного числа две, а не три части. Просто действительная часть – составная: . Для наглядности ответ можно переписать так: .

Рассчитаем вторую разность:

Здесь действительная часть тоже составная:

Чтобы не было какой-то недосказанности, приведу короткий пример с «нехорошей» мнимой частью: . Вот здесь без скобок уже не обойтись.

Умножение комплексных чисел

Настал момент познакомить вас со знаменитым равенством:

Пример 3

Найти произведение комплексных чисел ,

Очевидно, что произведение следует записать так:

Что напрашивается? Напрашивается раскрыть скобки по правилу умножения многочленов. Так и нужно сделать! Все алгебраические действия вам знакомы, главное, помнить, что и быть внимательным.

Повторим, школьное правило умножения многочленов: Чтобы умножить многочлен на многочлен нужно каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена.

Я распишу подробно:

Надеюсь, всем было понятно, что

Внимание, и еще раз внимание, чаще всего ошибку допускают в знаках.

Как и сумма, произведение комплексных чисел перестановочно, то есть справедливо равенство: .

В учебной литературе и на просторах Сети легко найти специальную формулу для вычисления произведения комплексных чисел. Если хотите, пользуйтесь, но мне кажется, что подход с умножением многочленов универсальнее и понятнее. Формулу приводить не буду, считаю, что в данном случае – это забивание головы опилками.

Деление комплексных чисел

Даны комплексные числа , . Найти частное .

Составим частное:

Деление чисел осуществляется методом умножения знаменателя и числителя на сопряженное знаменателю выражение.

Вспоминаем бородатую формулу и смотрим на наш знаменатель: . В знаменателе уже есть , поэтому сопряженным выражением в данном случае является , то есть

Согласно правилу, знаменатель нужно умножить на , и, чтобы ничего не изменилось, домножить числитель на то же самое число :

Далее в числителе нужно раскрыть скобки (перемножить два числа по правилу, рассмотренному в предыдущем пункте). А в знаменателе воспользоваться формулой (помним, что и не путаемся в знаках!!!).

Распишу подробно:

Пример я подобрал «хороший», если взять два числа «от балды», то в результате деления почти всегда получатся дроби, что-нибудь вроде .

В ряде случаев перед делением дробь целесообразно упростить, например, рассмотрим частное чисел: . Перед делением избавляемся от лишних минусов: в числителе и в знаменателе выносим минусы за скобки и сокращаем эти минусы: . Для любителей порешать приведу правильный ответ:

 

Вопрос 4

Степенью называется выражение вида: , где:

§ — основание степени;

§ — показатель степени.

Степень с натуральным показателем {1, 2, 3,…}

Определяем понятие степени, показатель которой — натуральное число (т.е. целое и положительное).

1. По определению: .

2. Возвести число в квадрат — значит умножить его само на себя:

3. Возвести число в куб — значит умножить его само на себя три раза: .

Возвести число в натуральную степень — значит умножить число само на себя раз:

Степень с целым показателем {0, ±1, ±2,…}

Если показателем степени является целое положительное число:

, n > 0

Возведение в нулевую степень:

, a ≠ 0

Если показателем степени является целое отрицательное число:

,a ≠ 0

Прим: выражение не определено, в случае n ≤ 0. Если n > 0, то

Пример 1.

---

Рекомендуемые страницы:

Воспользуйтесь поиском по сайту:

megalektsii.ru

Сложение комплексных чисел

Пример 1

Сложить два комплексных числа ,

Для того чтобы сложить два комплексных числа нужно сложить их действительные и мнимые части:

Просто, не правда ли? Действие настолько очевидно, что не нуждается в дополнительных комментариях.

Таким нехитрым способом можно найти сумму любого количества слагаемых: просуммировать действительные части и просуммировать мнимые части.

Для комплексных чисел справедливо правило первого класса:

–от перестановки слагаемых сумма не меняется.

Вычитание комплексных чисел

Пример 2

Найти разности комплексных чисел и, если,

Действие аналогично сложению, единственная особенность состоит в том, что вычитаемое нужно взять в скобки, а затем – стандартно раскрыть эти скобки со сменой знака:

Результат не должен смущать, у полученного числа две, а не три части. Просто действительная часть – составная: . Для наглядности ответ можно переписать так:.

Рассчитаем вторую разность:

Здесь действительная часть тоже составная:

Чтобы не было какой-то недосказанности, приведу короткий пример с «нехорошей» мнимой частью: . Вот здесь без скобок уже не обойтись.

Умножение комплексных чисел

Настал момент познакомить вас со знаменитым равенством:

Пример 3

Найти произведение комплексных чисел  ,

Очевидно, что произведение следует записать так:

Что напрашивается? Напрашивается раскрыть скобки по правилу умножения многочленов. Так и нужно сделать! Все алгебраические действия вам знакомы, главное, помнить, что и быть внимательным.

Повторим, школьное правило умножения многочленов: Чтобы умножить многочлен на многочлен нужно каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена.

Я распишу подробно:

Надеюсь, всем было понятно, что

Внимание, и еще раз внимание, чаще всего ошибку допускают в знаках.

Как и сумма, произведение комплексных чисел перестановочно, то есть справедливо равенство: .

В учебной литературе и на просторах Сети легко найти специальную формулу для вычисления произведения комплексных чисел. Если хотите, пользуйтесь, но мне кажется, что подход с умножением многочленов универсальнее и понятнее. Формулу приводить не буду, считаю, что в данном случае – это забивание головы опилками.

Деление комплексных чисел

Пример 4

Даны комплексные числа ,. Найти частное.

Составим частное:

Деление чисел осуществляется методом умножения знаменателя и числителя на сопряженное знаменателю выражение.

Вспоминаем бородатую формулу и смотрим на нашзнаменатель: . В знаменателе уже есть, поэтому сопряженным выражением в данном случае является, то есть

Согласно правилу, знаменатель нужно умножить на , и, чтобы ничего не изменилось, домножить числитель на то же самое число:

Далее в числителе нужно раскрыть скобки (перемножить два числа по правилу, рассмотренному в предыдущем пункте). А в знаменателе воспользоваться формулой (помним, чтои не путаемся в знаках!!!).

Распишу подробно:

В ряде случаев перед делением дробь целесообразно упростить, например, рассмотрим частное чисел: . Перед делением избавляемся от лишних минусов: в числителе и в знаменателе выносим минусыза скобки и сокращаем эти минусы: . Для любителей порешать приведу правильный ответ:

Редко, но встречается такое задание:

Пример 5

Приём тот же самый – умножаем знаменатель и числитель на сопряженное Дано комплексное число . Записать данное число в алгебраической форме (т.е. в форме).

знаменателю выражение. Снова смотрим на формулу . В знаменателе уже есть, поэтому знаменатель и числитель нужно домножить на сопряженное выражение, то есть на:

Пример 6

Даны два комплексных числа ,. Найти их сумму, разность, произведение и частное.

studfiles.net

Примеры действий над комплексными числами

Формулы и уравнения с комплексными числами здесь.

Пример. Сумма комплексных чисел.

Дано:
Найти:

Решение:
Исходя из того, что сумма комплексных чисел — это комплексное число, действительная часть которого равна сумме действительных частей, а мнимая часть равна сумме мнимых частей суммируемых комплексных чисел , получим:

.

Ответ: .

Пример. Разность комплексных чисел.

Дано:
Найти:

Решение:
Исходя из того, что разность комплексных чисел — это комплексное число, действительная часть которого равна разности действительных частей, а мнимая часть равна разности мнимых частей вычитаемых комплексных чисел , получим:

.

Ответ: .

Пример. Произведение комплексных чисел.

Дано:
Найти:

Решение:
Исходя из того, что перемножение комплексных чисел выполняется с помощью обычного раскрытия скобок с последующим выделением вещественной и мнимой частей (следует учесть i²=-1)

получим:

Ответ: .

Пример. Деление комплексных чисел.

Дано:
Найти:

Решение:
Исходя из того, что при делении комплексных чисел результат представляют в виде дроби, после чего числитель и знаменатель этой дроби умножают на число, комплексно сопряженное знаменателю:

получим:

Ответ: .

Пример. Возведение комплексного числа в степень.

Дано: .
Найти:

Решение:
Исходя из того, что для возведения комплексного числа в степень его представляют в тригонометрической форме, после чего модуль комплексного числа возводится в эту степень, а аргумент умножается на эту степень:
получим:

Модуль комплексного числа: .

Аргумент: .

Тригонометрическая форма числа: .

В итоге:

Ответ:

Действия над комплексными числами рассмотрены здесь.

matematika.electrichelp.ru

No related posts.