Формула теоремы Виета, и примеры решения
Перед тем как перейти к теореме Виета, введем определение. Квадратное уравнение вида x² + px + q = 0 называется приведенным. В этом уравнении старший коэффициент равен единице. Например, уравнение x² — 3x — 4 = 0 является приведенным. Всякое квадратное уравнение вида ax² + bx + c = 0 можно сделать приведенным, для этого делим обе части уравнения на а ≠ 0. Например, уравнение 4x² + 4x — 3 = 0 делением на 4 приводится к виду: x² + x — 3/4 = 0. Выведем формулу корней приведенного квадратного уравнения, для этого воспользуемся формулой корней квадратного уравнения общего вида: ax² + bx + c
Приведенное уравнение x² + px + q = 0 совпадает с уравнением общего вида, в котором а = 1, b = p, c = q. Поэтому для приведенного квадратного уравнения формула принимает вид:
или
последнее выражение называют формулой корней приведенного квадратного уравнения, особенно удобно пользоваться этой формулой когда р — четное число. Для примера решим уравнение x² — 14x — 15 = 0
В ответ запишем уравнение имеет два корня.
Для приведенного квадратного уравнения с положительным дискриминантом справедлива следующая теорема.
Теорема Виета
Если x1 и x2 — корни уравнения x² + px + q = 0, то справедливы формулы:
x1 + x 2 = — р
x1 * x2 = q, то есть сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.
Исходя из формулы корней приведенного квадратного уравнения имеем:
Складывая эти равенства, получаем: x1 + x2 = —р.
Перемножая эти равенства, по формуле разности квадратов получаем:
Отметим, что теорема Виета справедлива и тогда, когда дискриминант равен нулю, если считать, что в этом случае квадратное уравнение имеет два одинаковых корня: x1 = x2 = — р/2.
Не решая уравнения x² — 13x + 30 = 0 найдем сумму и произведение его корней x1 и x2. Дискриминант этого уравнения D
Не решая уравнения x² + 2x — 4 = 0 найдем сумму квадратов его корней. Пусть x1 и x2 — корни уравнения. По теореме Виета x1 + x2 = — 2, x1 * x2 = — 4. Так как x1²+ x2² = (x1 + x2)² — 2x1x2, тогда x1²+ x2² =(- 2)² -2 (- 4) = 12.
Найдем сумму и произведение корней уравнения 3x² + 4x — 5 = 0. Данное уравнение имеет два различных корня, так как дискриминант D = 16 + 4*3*5 > 0. Для решения уравнения воспользуемся теоремой Виета. Эта теорема доказана для приведенного квадратного уравнения. Поэтому разделим данное уравнение на 3.
Следовательно, сумма корней равна -4/3, а их произведение равно -5/3.
В общем случае корни уравнения ax² + bx + c = 0 связаны следующими равенствами: x1 + x
Теорема, обратная теореме Виета
Если числа р, q, x1, x2 таковы, что x1 + x2 = — р, x1 * x2 = q, то x1 и x2 — корни уравнения x² + px + q = 0. Подставим в левую часть x² + px + q вместо р выражение — (x1 + x2), а вместо q — произведение x1 * x2. Получим: x² + px + q = x² — (x1 + x2) х + x1x2 = x² — x1x — x2x + x1x2 = (x — x1) (x — x2). Таким образом, если числа р, q, x1 и x2 связаны этими соотношениями, то при всех
Автор публикации
0 Комментарии: 3Публикации: 80 Регистрация: 04-09-2015prostoi-sovet.ru
Теорема Виета: формула, следствия и примеры
ТЕОРЕМА Теорема Виета формула. Если и – корни квадратного уравнения , то
Следствие
Если и – корни приведенного квадратного уравнения , то
то есть сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.
Обратная теорема Виета
ТЕОРЕМА Если числа и такие, что , то эти числа являются корнями квадратного уравнения .Следствие. Если числа и такие, что , то эти числа являются корнями приведенного квадратного уравнения .
Примеры решения задач
ПРИМЕР 2| Задание | Используя теорему Виета, решить следующие квадратные уравнения
б) |
| Решение | а) Пусть и – корни квадратного уравнения, по следствию из теоремы Виета имеем, что
Проанализируем эти два равенства. Произведение корней положительно, следовательно, корни одного знака. Сумма корней число отрицательные, следовательно, корни – отрицательные числа. Далее разложим на множители, учитывая, что они должны быть отрицательными. Возможны такие варианты: и и . Так как сумма корней равна –, то подходящими будут числа и . б) Пусть и – корни квадратного уравнения, по следствию из теоремы Виета:
Проанализируем полученные равенства. Произведение корней отрицательно, следовательно, корни имеют разные знаки. Разложим на множители, учитывая, что они должны быть числами разного знака. Возможны такие варианты: и и . Так как сумма корней равна , то корнями будут числа и . |
| Ответ | а) и б) и |
| Понравился сайт? Расскажи друзьям! | |||
ru.solverbook.com
Решение квадратных уравнений с применением теоремы Виета
Разделы: Математика
Цель: Применение теоремы Виета и ей обратной теоремы при нахождении коэффициентов в квадратных уравнениях, при решении заданий из вариантов ЕГЭ.
Воспитательные задачи: Способствовать формированию умений, применять приемы сравнений, обобщения, выделения главного, переноса знаний в новую ситуацию, развитию творческих способностей. Побуждать учащихся к самоконтролю и взаимоконтролю, самоанализу своей учебной деятельности.
Оборудование: плакаты, компьютер, экран, видеопроектор.
Ход урока
I. Вводная беседа. Устные упражнения (5 мин.)
Сегодня на уроке мы с вами вместе подведем итог, как важно применение теоремы Виета. В каких упражнениях применяется теорема и как важно ее знать и применять. (Учитель показывает презентацию, в которой сформулированы цели, задачи, структура урока). <Приложение 1>
Учащиеся формулируют теорему Виета и ей обратную теорему. У доски два ученика записывают формулы теоремы Виета для приведенного и полного квадратных уравнений:
– формулы для полного квадратного уравнения;
– формулы для приведенного квадратного уравнения;
Трое учащихся решают на дополнительных досках индивидуальные задания.
Решите уравнения и выполните проверку по теореме, обратной теореме Виета:
II. Устные упражнения (5 мин.)
Затем с учащимися решаем устные упражнения:
Найдите корни уравнения:
3. Если в квадратном уравнении сумма коэффициентов a + b + c = 0,
То Используя это свойство, решите уравнения:
4. Теорема Виета применяется при нахождении суммы и произведения корней. Покажите, как это выглядит. Перед вами уравнения:
У какого из данных уравнений:
- Сумма корней равна 6, а произведение – 16?
- Корни равны?
- Один из корней уравнения равен 6?
- Каждый из корней на 2 больше, чем корни уравнения ? Ответ обосновать.
III. Лабораторная работа (3 мин.)
Учащимся предлагается выполнить лабораторную работу.
Составьте квадратные уравнения, которые:
- не имеют корней;
- имеет один из корней, равный 0;
- имеет два корня, равных по модулю, но противоположных по знаку;
- имело бы один корень;
- сумма коэффициентов уравнения равна 0.
Учащиеся выполняют это задание по группам (4–5 учащихся в группе).
Пример лабораторной работы:
IV. Работа с таблицей (3 мин.)
Выполнив лабораторную работу, три группы озвучивают свою лабораторную работу, а остальные группы сдают лабораторные работы на плакатах на проверку (2 мин.).
Один из учащихся (Евсеев А.) заранее готовит презентацию об исследовании знаков в приведенных квадратных уравнениях. <Приложение 2>
Все учащиеся работают с таблицей и отвечают на вопросы о знаках в квадратных уравнениях:
- Когда корни квадратного уравнения имеют одинаковые знаки?
- Когда оба корня положительные, отрицательные?
- Когда корни имеют разные знаки?
- Когда больший по модулю корень отрицателен?
- Когда больший по модулю корень положителен?
Сформулируйте выводы о знаках корней квадратных уравнений.
V. Тренировочные упражнения. Работа у доски (23 мин.)
Следующий этап урока: двое учащихся решают у доски задания о нахождении неизвестных коэффициентов в квадратных уравнениях.
1. В уравнении один из корней равен 7. Найдите другой корень и коэффициент р. Ответ:
2. Один из корней уравнения равен 12,5. Найдите другой корень уравнения и коэффициент с. Ответ:
Такого вида уравнения часто встречаются на экзаменах. Поэтому сейчас Слинько В. предлагает просмотреть презентацию о нахождении коэффициентов в квадратных уравнениях. <Приложение 3>
А после просмотра презентации учащимся предлагается решить 2 уравнения самостоятельно с последующей проверкой.
1. Разность корней квадратного уравнения равна 2. Найдите с.
Ответ: c = 35.
2. Разность корней квадратного уравнения равна 6. Найдите с.
Ответ: c = –8,75.
Использование теоремы Виета дает возможность решать более сложные задания.
Трое учащихся решают задания у доски, комментируя и объясняя ход решения:
1. Один из корней уравнения равен 8. Найдите другой корень и коэффициент в.
Ответ: .
2. Один из корней уравнения равен 5,3. Найдите другой корень и коэффициент с.
Ответ: .
3. В уравнении квадратов корней равна . Найдите с. Ответ: с = 9.
VI. Заключение (6 мин.)
В заключение урока подводим итоги. Учащиеся формулируют применение теоремы Виета.
Теорема Виета применяется:
- при нахождении суммы и произведения корней квадратных уравнений;
- при составлении квадратных уравнений;
- при решении уравнений методом подбора;
- при нахождении коэффициентов в уравнении, свободного члена;
- при сравнении знаков коэффициентов в квадратном уравнении.
Один из учащихся рассказывает стихотворение.
По праву достойна в стихах быть воспета
О свойстве корней теорема Виета.
Что проще скажи постоянства такого?
Умножишь ты корни и дробь уж готова!
В числителе с, в знаменателе а,
А сумма корней тоже дроби равна.
Хоть с минусом дробь эта – что за беда?!
В числителе в, в знаменателе а.
Домашнее задание: № 645, № 667, № 671 из учебника «Алгебра 8», автор Макарычев Ю. Н.
Учитель выставляет оценки за урок, благодарит учащихся за работу на уроке.
Также предлагается посмотреть презентацию о решении квадратных уравнений с параметром, в которой рассматриваются задания повышенной сложности, применяемые на экзаменах и малом ЕГЭ. <Приложение 4>
19.01.2009
xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai
примеры ее использования при работе с квадратными уравнениями :: SYL.ru
При изучении способов решения уравнений второго порядка в школьном курсе алгебры, рассматривают свойства полученных корней. Они в настоящее время известны под названием теоремы Виета. Примеры использования ее приводятся в данной статье.
Квадратное уравнение
Уравнение второго порядка представляет собой равенство, которое показано на фото ниже.
Здесь символы a, b, c являются некоторыми числами, носящими название коэффициентов рассматриваемого уравнения. Чтобы решить равенство, необходимо найти такие значения x, которые делают его истинным.
Заметим, что поскольку максимальное значение степени, в которую возводится икс, равно двум, тогда число корней в общем случае также равно двум.
Для решения этого типа равенств существует несколько способов. В данной статье рассмотрим один из них, который предполагает использование так называемой теоремы Виета.
Формулировка теоремы Виета
В конце XVI известный математик Франсуа Виет (француз) заметил, анализируя свойства корней различных квадратных уравнений, что определенные их комбинации удовлетворяют конкретным соотношениям. В частности, этими комбинациями является их произведение и сумма.
Теорема Виета устанавливает следующее: корни квадратного уравнения при их сумме дают отношение коэффициентов линейного к квадратичному взятое с обратным знаком, а при их произведении приводят к отношению свободного члена к квадратичному коэффициенту.
Если общий вид уравнения записан так, как это представлено на фото в предыдущем разделе статьи, тогда математически эту теорему можно записать в виде двух равенств:
- r2 + r1 = -b / a;
- r1 х r2 = c / a.
Где r1, r2 — это значение корней рассматриваемого уравнения.
Приведенные два равенства можно использовать для решения ряда самых разных математических задач. Использование теоремы Виета в примерах с решением приведены в следующих разделах статьи.
Задача №1: восстановите уравнение
Приведем следующую задачу на использование теоремы Виета. Пример уравнения дан следующий: -3,4 * x — 3 * s * x2 + k = 0. Необходимо найти значения s и k, зная, что решениями этого уравнения являются два числа: -1,2 и 4.
Для начала необходимо определиться со значением коэффициентов в этом выражении. Из него следует, что a = -3 * s, b = -3,4 и c = k.
Теперь можно использовать теорему Виета. Для суммы корней мы получим следующее равенство: -1,2 + 4=-(-3,4) / (-3 * s), откуда получаем, что s = -0,40476 (для вычисления этого выражения рекомендуется воспользоваться калькулятором). То есть a = -3*s = 1,21429. Для произведения корней имеем:
(-1,2) * 4 = k / 1,21429, откуда k = -5.82859.
Восстановленное уравнение будет соответствовать виду: -3,4 * x + 1,21429 * x2 — 5,82859=0. Чтобы проверить, правильно ли решена задача, и не допущена ли ошибка при ее решении, необходимо подставить известные значения корней в восстановленное выражение. Получаем: -3,4 * (-1,2) + 1,21429 * (-1,2)2 — 5,82859 = 0,00001 ≈ 0 и -3,4 * (4) + 1,21429 * (4)2 — 5,82859 = 0,00005 ≈ 0.
Как видим, полученные равенства действительно выполняются. Небольшая ошибка связана с тем, что при восстановлении уравнения мы округляли полученные цифры до 5 знаков после запятой.
Задача №2: найдите корни уравнения
Решение квадратных уравнений теоремой Виета (пример см. ниже) возможно осуществить не во всех случаях. То есть этот метод не является универсальным, поскольку если коэффициенты уравнения окажутся «неудобными», тогда его использовать не получится.
Универсальными способами решения этого типа выражения являются использование дискриминанта или дополнение до полного квадрата. Тем не менее, важность теоремы Виета в этом случае заключается в том, что она позволяет догадаться о неизвестных корнях, не осуществляя при этом сложных математических выкладок.
Например, дано выражение следующее: -x2 + 2 * x + 3 = 0. Следует воспользоваться Виета теоремой, чтобы найти решения этого равенства. Пусть его корнями являются числа r1 и r2. Тогда можно записать следующую систему уравнений:
r1 + r2 = -2 /(-1) = 2;
r1*r2 = 3 / (-1) = -3.
Теперь необходимо догадаться, сумма каких чисел равна двум, а их произведение будет -3. Очевидно, что таковыми являются числа 3 и -1. Они и будут корнями названного уравнения.
Если немного углубиться в тему, то следует отметить, что любое уравнение второго порядка, которое легко представляется в виде произведения двух множителей, может быть решено с помощью обсуждаемой теоремы. Действительно, в данном случае можно записать (3-x) *(x+1), если раскрыть скобки, то мы получим исходное выражение.
Задача №3: сумма квадратов
Приведем еще один пример теоремы Виета с решением. Дано уравнение:
6 * x2 — 13 * x + 11 = 0. Необходимо найти сумму квадратов его двух корней, то есть (r1)2 + (r2)2.
Конечно, можно решить сначала это уравнение одним из способов, а затем ответить на вопрос задачи. Однако, если вспомнить про теорему Виета и про свойство квадрата суммы, то в этом нет никакой необходимости.
Следует вспомнить, как вычисляется сумма двух чисел, возведенная в квадрат. Тогда получаем, что для нахождения неизвестной суммы квадратов, необходимо вычислить значение выражения (r1 + r2)2 — 2 * r1 * r2. Воспользуемся обоими равенствами рассматриваемой теоремы, получим: (13/6)2 — 2 * 11 / 6 = 1,02(7) (7 в периоде).
Таким образом, применяя теорему Виета, мы сэкономили время на решение уравнения. В общем случае свойства корней можно использовать для любых задач, которые предполагают вычисление их различных комбинаций.
www.syl.ru
теорема Виета в примерах | математика-повторение
Часто требуется найти сумму квадратов (x12+x22) или сумму кубов (x13+x23) корней квадратного уравнения, реже — сумму обратных значений квадратов корней или сумму арифметических квадратных корней из корней квадратного уравнения:
Помочь в этом может теорема Виета:
Сумма корней приведенного квадратного уравнения x2+px+q=0 равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену:
x1+x2=-p; x1∙x2=q.
Выразим через p и q:
1) сумму квадратов корней уравнения x2+px+q=0;
2) сумму кубов корней уравнения x2+px+q=0.
Решение.
1) Выражение x12+x22 получится, если взвести в квадрат обе части равенства x1+x2=-p;
(x1+x2)2=(-p)2; раскрываем скобки: x12+2x1x2+ x22=p2; выражаем искомую сумму: x12+x22=p2-2x1x2=p2-2q. Мы получили полезное равенство: x12+x22=p2-2q.
2) Выражение x13+x23 представим по формуле суммы кубов в виде:
(x13+x23)=(x1+x2)(x12-x1x2+x22)=-p·(p2-2q-q)=-p·(p2-3q).
Еще одно полезное равенство: x13+x23=-p·(p2-3q).
Примеры.
3) x2-3x-4=0. Не решая уравнение, вычислите значение выражения x12+x22 .
Решение.
По теореме Виета сумма корней этого приведенного квадратного уравнения
x1+x2=-p=3, а произведение x1∙x2=q=-4. Применим полученное нами (в примере 1) равенство:
x12+x22=p2-2q. У нас -p=x1+x2=3 → p2=32=9; q=x1x2=-4. Тогда x12+x22=9-2·(-4)=9+8=17.
Ответ: x12+x22=17.
4) x2-2x-4=0. Вычислить: x13+x23.
Решение.
По теореме Виета сумма корней этого приведенного квадратного уравнения x1+x2=-p=2, а произведение x1∙x2=q=-4. Применим полученное нами (в примере 2) равенство: x13+x23=-p·(p2-3q)=2·(22-3·(-4))=2·(4+12)=2·16=32.
Ответ: x13+x23=32.
Вопрос: а если нам дано не приведенное квадратное уравнение? Ответ: его всегда можно «привести», разделив почленно на первый коэффициент.
5) 2x2-5x-7=0. Не решая, вычислить: x12+x22.
Решение. Нам дано полное квадратное уравнение. Разделим обе части равенства на 2 (первый коэффициент) и получим приведенное квадратное уравнение: x2-2,5x-3,5=0.
По теореме Виета сумма корней равна 2,5; произведение корней равно -3,5.
Решаем так же, как пример 3), используя равенство: x12+x22=p2-2q.
x12+x22=p2-2q=2,52-2∙(-3,5)=6,25+7=13,25.
Ответ: x12+x22=13,25.
6) x2-5x-2=0. Найти:
Преобразуем это равенство и, заменив по теореме Виета сумму корней через -p, а произведение корней через q, получим еще одну полезную формулу. При выводе формулы использовали равенство 1): x12+x22=p2-2q.
В нашем примере x1+x2=-p=5; x1∙x2=q=-2. Подставляем эти значения в полученную формулу:
7) x2-13x+36=0. Найти:
Преобразуем эту сумму и получим формулу, по которой можно будет находить сумму арифметических квадратных корней из корней квадратного уравнения.
У нас x1+x2=-p=13; x1∙x2=q=36. Подставляем эти значения в выведенную формулу:
Совет: всегда проверяйте возможность нахождения корней квадратного уравнения по подходящему способу, ведь 4 рассмотренные полезные формулы позволяют быстро выполнить задание, прежде всего, в тех случаях, когда дискриминант — «неудобное» число. Во всех простых случаях находите корни и оперируйте ими. Например, в последнем примере подберем корни по теореме Виета: сумма корней должна быть равна 13, а произведение корней 36. Что это за числа? Конечно, 4 и 9. А теперь считайте сумму квадратных корней из этих чисел: 2+3=5. Вот так то!
www.mathematics-repetition.com
Обратная теорема Виета
Мы с вами уже знаем теорему Виета. Вспомним её формулировку: сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.
Справедлива также теорема обратная теореме Виета. Запишем её формулировку. Если числа и таковы, что их , а , то эти числа являются корнями квадратного уравнения .
С помощью обратной теоремы Виета удобно проверять, правильно ли найдены корни квадратного уравнения, а также по указанным корням составлять уравнения.
Задание: найдите корни уравнения и выполните проверку по теореме, обратной теореме Виета.
И выполним обратное задание: составьте квадратное уравнение по его корням.
Задание: один из корней уравнения равен четырем. Найдите другой корень и коэффициент .
Решение:
Задание: один из корней уравнения равен минус пяти. Найдите другой корень и коэффициент .
Итоги:
Сегодня на уроке мы познакомились с обратной теоремой Виета, которая имеет следующую формулировку: если числа и таковы, что их сумма равна , а произведение равно , то эти числа являются корнями квадратного уравнения .
videouroki.net
Решение квадратных уравнений, примеры, тесты. Особые случаи. Разложение квадратного трехчлена на множители. Теорема Виета прямая, обратная
Тестирование онлайн
Решение квадратных уравнений
Квадратным уравнением называется уравнение вида
a, b и c — числа, х — переменная
Для нахождения корней квадратного уравнения необходимо найти дискриминант по формуле
1) Если D>0, то уравнение имеет два корня, которые находятся по формулам
2) Если D=0, то уравнение имеет один корень, который находится по формуле
3) Если D, то уравнение не имеет корней.
Особые случаи
Неполное квадратное уравнение:
Решать неполное квадратное уравнение можно способом, описанным выше, но можно использовать простые методы решения
Разложение квадратного трехчлена на множители
Квадратный трехчлен с дискриминантом можно разложить на множители по формуле
Теорема Виета
Приведенное квадратное уравнение имеет вид
т.е. коэффициент a=1.
Если x1 и x2 — корни приведенного квадратного уравнения, то
Теорема, обратная теореме Виета
Если p, q, x1, x2 таковы, что
то x1, x2 — корни уравнения
fizmat.by