Привести квадратичную форму к каноническому виду онлайн калькулятор – Привести к каноническому виду — Калькулятор с подробным решением онлайн

Содержание

>>> Привести форму к каноническому виду онлайн калькулятор

ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ

ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ 1 1. Матрицы, операции над матрицами. 2. Верхние и нижние грани числовых множеств. Поле действительных чисел. ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ 2 1. Определители. Свойства определителей, методы

Подробнее

Образцы базовых задач по ЛА

Образцы базовых задач по ЛА Метод Гаусса Определенные системы линейных уравнений Решите систему линейных уравнений методом Гаусса x 6 y 6 8, 6 x 6 y 6 Решите систему линейных уравнений методом Гаусса 6

Подробнее

Линейная алгебра. Лекция 2.2

Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика Линейная алгебра Модуль 2. Линейные операторы в евклидовом пространстве.квадратичные

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE Усов В.В. 1 Симметричные и ортогональные матрицы и операторы 1.1 Определения. Основные свойства Действительная матрица A M n n называется симметричной (симметрической),

Подробнее

Учебно-методическое пособие

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРИОРИТЕТНЫЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ПРОЕКТ «ОБРАЗОВАНИЕ» Проект «Инновационная образовательная среда в классическом университете» Пилотный проект «Разработка и внедрение

Подробнее

R. Геометрический смысл

Рабочий учебно-тематический план изучения дисциплины «Линейная алгебра» для профиля «Бухгалтерский учет, анализ и аудит», 1 триместр, лектор — профессор, д.ф.м.н. Тищенко А.В. Наименовани е Содержание

Подробнее

КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ (для заочной и заочно-сокращённой форм обучения) Студент должен выполнять контрольные задания по варианту номер которого совпадает с последней

Подробнее

Тема 2-19: Билинейные и квадратичные формы

Тема 2-19: Билинейные и квадратичные формы А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков

Подробнее

^A на плоскости, и { } 1

Линейные операторы в конечномерных пространствах Будем для простоты рассматривать линейные операторы в линейном пространстве, образованном множеством векторов на плоскости (пространство двух измерений

Подробнее

λ λ λ 2

Вариант 7. Найти ранг матрицы при различных значениях параметра λ λ 4 λ 4 λ. Решить систему линейных уравнений, написать фундаментальную систему решений для соответствующей x x + 6x + 4x 4 = x + x x 7x

Подробнее

Дисциплина «Алгебра и геометрия»

Методические материалы для преподавателей. Примерные планы лекционных занятий. Раздел «Алгебра: основные алгебраические структуры, линейные пространства и линейные отображения» Лекция 1 по теме «Комплексные

Подробнее

ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ

МИНОБРНАУКИ РОССИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Челябинский государственный университет» (ФГБОУ ВПО «ЧелГУ») Костанайский филиал

Подробнее

Алгебра и теория чисел

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Тольяттинский государственный университет ^чё б нтш рб о те Ц L fd & rj t Щ Q frly U. Q -^ УТВЕРЖ ДАЮ Заведующий кафедрой j t Тырыгина

Подробнее

сайты:

Федеральное агентство по образованию Уральский государственный экономический университет Ю. Б. Мельников Билинейные и квадратичные формы Раздел электронного учебника для сопровождения лекции Изд. 3-е,

Подробнее

Кривые второго порядка.

Кривые второго порядка. Определение : Линией кривой) второго порядка называется множество {М} точек плоскости, декартовы координаты X, Y) которых удовлетворяют алгебраическому уравнению второй степени:,

Подробнее

АННОТАЦИЯ РАБОЧЕЙ ПРОГРАММЫ по дисциплине

МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «КУБАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

Кривые второго порядка

Министерство образования и науки Российской Федерации Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова Кафедра алгебры и математической логики С. И. Яблокова Кривые второго порядка Часть Практикум

Подробнее

Сборник тестовых заданий

федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ» КАФЕДРА «МАТЕМАТИКА» М. В. ИШХАНЯН, А.И.

Подробнее

Электронная библиотека

ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «БЕЛОРУССКО-РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Высшая математика» ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Методические указания к практическим занятиям для студентов

Подробнее

Вопросы и задачи к экзамену 1 семестр

Направление: «Строительство» Вопросы и задачи к экзамену семестр. Матрицы: определение, виды. Действия с матрицами: транспонирование, сложение, умножение на число, умножение матриц. 2. Элементарные преобразования

Подробнее

Тема: Кривые второго порядка

Линейная алгебра и аналитическая геометрия Тема: Кривые второго порядка Лектор Рожкова С.В. 01 г. 15. Кривые второго порядка Кривые второго порядка делятся на 1) вырожденные и ) невырожденные Вырожденные

Подробнее

ОГЛАВЛЕНИЕ. Предисловие… 3

ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие………………………………….. 3 Глава1 Элементы линейной алгебры………………………. 5 1.1. Матрицы и определители……………………… 5 1.2. Линейные пространства……………………….

Подробнее

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины» Т В БОРОДИЧ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ БИЛИНЕЙНЫЕ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ

Подробнее

«Линейные отображения и операторы» 1. Убедиться, что отображение пространства R на себя, сопоставляющее строке, ) является линейным оператором.

«Линейные отображения и операторы» 1. Убедиться, что отображение пространства R на себя, сопоставляющее строке ( x 1, x2, x, x ) строку ( x1 2×2 x x, x1 x2 x, x1 2×2 x 2x,, x x 2x ) является линейным оператором.

Подробнее

docplayer.ru

Квадратичная форма канонический вид онлайн калькулятор. Приведение квадратичной формы к каноническому виду. Приведение квадратичных форм

Определение 10.4. Каноническим видом квадратичной формы (10.1) называется следующий вид: . (10.4)

Покажем, что в базисе из собственных векторов квадратичная форма (10.1) примет канонический вид. Пусть

Нормированные собственные векторы, соответствующие собственным числам

λ 1 ,λ 2 ,λ 3 матрицы (10.3) в ортонормированном базисе . Тогда матрицей перехода от старого базиса к новому будет матрица

. В новом базисе матрица А примет диагональный вид (9.7) (по свойству собственных векторов). Таким образом, преобразовав координаты по формулам:

,

получим в новом базисе канонический вид квадратичной формы с коэффициентами, равными собственным числам λ 1 , λ 2 , λ 3 :

Замечание 1. С геометрической точки зрения рассмотренное преобразование координат представляет собой поворот координатной системы, совмещающий старые оси координат с новыми.

Замечание 2. Если какие-либо собственные числа матрицы (10.3) совпадают, к соответствующим им ортонормированным собственным векторам можно добавить единичный вектор, ортогональный каждому из них, и построить таким образом базис, в котором квадратичная форма примет канонический вид.

Приведем к каноническому виду квадратичную форму

x ² + 5y ² + z ² + 2xy + 6xz + 2yz .

Ее матрица имеет вид В примере, рассмотренном в лекции 9, найдены собственные числа и ортонормированные собственные векторы этой матрицы:

Составим матрицу перехода к базису из этих векторов:

(порядок векторов изменен, чтобы они образовали правую тройку). Преобразуем координаты по формулам:


Итак, квадратичная форма приведена к каноническому виду с коэффициентами, равными собственным числам матрицы квадратичной формы.

Лекция 11.

Кривые второго порядка. Эллипс, гипербола и парабола, их свойства и канонические уравнения. Приведение уравнения второго порядка к каноническому виду.

Определение 11.1. Кривыми второго порядка

на плоскости называются линии пересечения кругового конуса с плоскостями, не проходящими через его вершину.

Если такая плоскость пересекает все образующие одной полости конуса, то в сечении получается эллипс , при пересечении образующих обеих полостей – гипербола , а если секущая плоскость параллельна какой-либо образующей, то сечением конуса является парабола .

Замечание. Все кривые второго порядка задаются уравнениями второй степени от двух переменных.

Эллипс.

Определение 11.2. Эллипсом называется множество точек плоскости, для которых сумма расстояний до двух фиксированных точек F 1 и F фокусами , есть величина постоянная.

Замечание. При совпадении точек F 1 и F 2 эллипс превращается в окружность.

Выведем уравнение эллипса, выбрав декартову систему

у М(х,у) координат так, чтобы ось

Ох совпала с прямой F 1 F 2 , начало

r 1 r 2 координат – с серединой отрезка F 1 F 2 . Пусть длина этого

отрезка равна 2с , тогда в выбранной системе координат

F 1 O F 2 x F 1 (-c , 0), F 2 (c , 0). Пусть точка М(х, у ) лежит на эллипсе, и

сумма расстояний от нее до F 1 и F 2 равна 2а .

Тогда r 1 + r 2 = 2a , но ,

поэтому Введя обозначение b ² = a ²-c ² и проведя несложные алгебраические преобразования, получимканоническое уравнение эллипса : (11.1)

Определение 11.3. Эксцентриситетом эллипса называется величина е=с/а (11.2)

Определение 11.4. Директрисой D i эллипса, отвечающей фокусу F i F i относительно оси Оу перпендикулярно оси

Ох на расстоянии а/е от начала координат.

Замечание. При ином выборе системы координат эллипс может задаваться не каноническим уравнением (11.1), а уравнением второй степени другого вида.

Свойства эллипса:

1) Эллипс имеет две взаимно перпендикулярные оси симметрии (главные оси эллипса) и центр симметрии (центр эллипса). Если эллипс задан каноническим уравнением, то его главными осями являются оси координат, а центром – начало координат. Поскольку длины отрезков, образованных пересечением эллипса с главными осями, равны 2а и 2b (2a >2b ), то главная ось, проходящая через фокусы, называется большой осью эллипса, а вторая главная ось – малой осью.

2) Весь эллипс содержится внутри прямоугольника

3) Эксцентриситет эллипса e

Действительно,

4) Директрисы эллипса расположены вне эллипса (так как расстояние от центра эллипса до директрисы равно

а/е , а е а/е>a , а весь эллипс лежит в прямоугольнике )

5) Отношение расстояния r i от точки эллипса до фокуса F i к расстоянию d i от этой точки до отвечающей фокусу директрисы равно эксцентриситету эллипса.

Доказательство.

Расстояния от точки М(х, у) до фокусов эллипса можно представить так:

Составим уравнения директрис:

(D 1), (D 2). Тогда Отсюда r i / d i = e , что и требовалось доказать.

Гипербола.

Определение 11.5. Гиперболой называется множество точек плоскости, для которых модуль разности расстояний до двух фиксированных точек F 1 иF 2 этой плоскости, называемых фокусами , есть величина постоянная.

Выведем каноническое уравнение гиперболы по аналогии с выводом уравнения эллипса, пользуясь теми же обозначениями.

|r 1 — r 2 | = 2a , откуда Если обозначить b ² = c ² — a ², отсюда можно получить

каноническое уравнение гиперболы . (11.3)

Определение 11.6. Эксцентриситетом гиперболы называется величина е = с / а.

Определение 11.7. Директрисой D i гиперболы, отвечающей фокусу F i , называется прямая, расположенная в одной полуплоскости с F i относительно оси Оу перпендикулярно оси Ох на расстоянии а / е от начала координат.

Свойства гиперболы:

1) Гипербола имеет две оси симметрии (главные оси гиперболы) и центр симметрии (центр гиперболы). При этом одна из этих осей пересекается с гиперболой в двух точках, называемых вершинами гиперболы. Она называется действительной осью гиперболы (ось

Ох для канонического выбора координатной системы). Другая ось не имеет общих точек с гиперболой и называется ее мнимой осью (в канонических координатах – ось Оу ). По обе стороны от нее расположены правая и левая ветви гиперболы. Фокусы гиперболы располагаются на ее действительной оси.

2) Ветви гиперболы имеют две асимптоты, определяемые уравнениями

3) Наряду с гиперболой (11.3) можно рассмотреть так называемую сопряженную гиперболу, определяемую каноническим уравнением

для которой меняются местами действительная и мнимая ось с сохранением тех же асимптот.

4) Эксцентриситет гиперболы e > 1.

5) Отношение расстояния r i от точки гиперболы до фокуса F i к расстоянию d i от этой точки до отвечающей фокусу директрисы равно эксцентриситету гиперболы.

Доказательство можно провести так же, как и для эллипса.

Парабола.

Определение 11.8. Параболой называется множество точек плоскости, для которых расстояние до некоторой фиксированной точки F этой плоскости равно расстоянию до некоторой фиксированной прямой. Точка F называется фокусом параболы, а прямая – ее директрисой .

У Для вывода уравнения параболы выберем декартову

систему координат так, чтобы ее началом была середина

D M(x,y) перпендикуляра FD , опущенного из фокуса на директри-

r су, а координатные оси располагались параллельно и

перпендикулярно директрисе. Пусть длина отрезка FD

D O F x равна р . Тогда из равенства r = d следует, что

1kingvape.ru

Матрица квадратичной формы


Матричная форма записи данной квадратичной формы
Результат умножения
   

Расчет квадартичной формы достаточно простая задача, по крайней мере описательная часть примитивна до невозможности и алгоритм расчета, когда известна матрица, заключается в расчете каждого из элемента по формуле

где,  — элемент матрицы

Но все примитивное, не значит удобное и при вычислении квадратичной формы легко ошибиться. Наш калькулятор поможет не делать ошибок в вычислениях.

Как и во всех калькуляторах, матрица может содержать не только вещественные числа, но и комплексные.

При вводе данных, у нас есть два поля:

первое, это матрица;

второе, это способ именования каждого из элемента.

Если мы во втором поле напишем какой то символ (a,b,c….) то каждый элемент будет именоваться 

Рассмотрим несколько примеров.

Ввводим элементы матрицы через пробел (можно каждую строку начинать с новой строки)

и получаем следующие результаты

 

 

 

Расчет в комплексном поле

Удачных расчетов!!

  • Наименьший периметр многоугольника через площадь >>

abakbot.ru

76. Приведение квадратичных форм к каноническому виду

Рассмотрим некоторое линейное преобразование А с матрицей .

Это симметрическое преобразование можно записать в виде:

Y1 = a11x1 + a12x2

Y2 = a12x1 + a22x2

Где у1 и у2 – координаты вектора в базисе .

Очевидно, что квадратичная форма может быть записана в виде

Ф(х1, х2) = х1у1 + х2у2.

Как видно, геометрический смысл числового значения квадратичной формы Ф в точке с координатами х1 и х2 – скалярное произведение .

Если взять другой ортонормированный базис на плоскости, то в нем квадратичная форма Ф будет выглядеть иначе, хотя ее числовое значение в каждой геометрической точке и не изменится. Если найти такой базис, в котором квадратичная форма не будет содержать координат в первой степени, а только координаты в квадрате, то квадратичную форму можно будет привести к каноническому виду.

Если в качестве базиса взять совокупность собственных векторов линейного преобразования, то в этом базисе матрица линейного преобразования имеет вид:

.

При переходе к новому базису от переменных х1 и х2 мы переходим к переменным и . Тогда:

Тогда .

Выражение называется Каноническим видом квадратичной формы. Аналогично можно привести к каноническому виду квадратичную форму с большим числом переменных.

Теория квадратичных форм используется для приведения к каноническому виду уравнений кривых и поверхностей второго порядка.

Пример. Привести к каноническому виду квадратичную форму

Ф(х1, х2) = 27.

Коэффициенты: а11 = 27, а12 = 5, а22 = 3.

Составим характеристическое уравнение: ;

(27 — l)(3 — l) – 25 = 0

L2 — 30l + 56 = 0

L1 = 2; l2 = 28;

Пример. Привести к каноническому виду уравнение второго порядка:

17×2 + 12xy + 8y2 – 20 = 0.

Коэффициенты а11 = 17, а12 = 6, а22 = 8. А =

Составим характеристическое уравнение:

(17 — l)(8 — l) — 36 = 0

136 — 8l — 17l + l2 – 36 = 0

L2 — 25l + 100 = 0

L1 = 5, l2 = 20.

Итого: — каноническое уравнение эллипса.

Пример. Используя теорию квадратичных форм, привести к каноническому виду уравнение линии второго порядка. Схематично изобразить график.

Решение: Составим характеристическое уравнение квадратичной формы : при

Решив это уравнение, получим l1 = 2, l2 = 6.

Найдем координаты собственных векторов:

Полагая m1 = 1, получим n1 =

Полагая m2 = 1, получим n2 =

Собственные векторы:

Находим координаты единичных векторов нового базиса.

Имеем следующее уравнение линии в новой системе координат:

Каноническое уравнение линии в новой системе координат будет иметь вид:

Пример. Используя теорию квадратичных форм, привести к каноническому виду уравнение линии второго порядка. Схематично изобразить график.

Решение: Составим характеристическое уравнение квадратичной формы : при

Решив это уравнение, получим l1 = 1, l2 = 11.

Найдем координаты собственных векторов:

Полагая m1 = 1, получим n1 =

Полагая m2 = 1, получим n2 =

Собственные векторы:

Находим координаты единичных векторов нового базиса.

Имеем следующее уравнение линии в новой системе координат:

Каноническое уравнение линии в новой системе координат будет иметь вид:

Пример. Используя теорию квадратичных форм, привести к каноническому виду уравнение линии второго порядка. Схематично изобразить график.

4ху + 3у2 + 16 = 0

Коэффициенты: a11 = 0; a12 = 2; a22 = 3.

Характеристическое уравнение:

Корни: l1 = -1, l2 = 4.

Для l1 = -1 Для l2 = 4

M1 = 1; n1 = -0,5; m2 = 1; n2 = 2;

= (1; -0,5) = (1; 2)

Получаем: — каноническое уравнение гиперболы.

При использовании компьютерной версии “Курса высшей математики” возможно запустить программу, которая решает рассморенные выше примеры для любых начальных условий.

Для запуска программы дважды щелкните на значке:


В открывшемся окне программы введите коэффициенты квадратичной формы и нажмите Enter.

Примечание: Для запуска программы необходимо чтобы на компьютере была установлена программа Maple (Ó Waterloo Maple Inc.) любой версии, начиная с MapleV Release 4.

< Предыдущая   Следующая >

matica.org.ua

Пример:2 Привести данную квадратичную форму к каноническому виду ортогональным преобразованием координат:

Решение: Составим матрицу этой квадратичной формы:

Составим характеристическое уравнение:

Отсюда получаем: Корни характеристического уравнения:

Для система уравнений, из которой находятся собственные векторы, выглядит так:

Её фундаментальная система решений: Эти векторы не ортогональны друг другу, поэтому применим к нимпроцесс ортогонализации Шмидта. Положими подберёмтак, чтобы было выполнено условиеИмеем:т.е.Следовательно,

Запишем теперь систему уравнений для

Её ф.с.р. состоит из одного вектора: Этот вектор ортогонален векторами

Пронормируем векторы разделив каждый вектор на его длину. Получим ортонормированный базис из собственных векторов:

Матрица перехода от исходного базиса к новому базисуравна:

В новых координатах квадратичная форма будет иметь вид Старые координаты выражаются через новые следующим образом:

Обратные формулы:

т.е.

Упражнение 1.

Привести данную квадратичную форму к каноническому виду ортогональным преобразованием координат средствами MATLAB (создать м-файл, определиться с входящими параметрами):

  1. Применение теории квадратичных форм к кривым и поверхностям второго порядка

Пусть на плоскости задана декартова система координат (декартов базис ,и точка О – начало координат). Рассмотрим общее уравнение второго порядка:

. (5)

Обозначим через сумму старших слагаемых:

и рассмотрим квадратичную форму . Её матрицасимметрическая.

В общем случае преобразование поворота осей координат

(6)

приведёт линию (5) к виду

. (7)

Обозначим ,.

кривая эллиптического типа

и разных знаков

эллипс

и одного знака

мнимый эллипс

точка

кривая гиперболического типа

гипербола

пара пересекающихся прямых

кривая

параболического

типа

и одного знака

пара мнимых

параллельных прямых

и разных знаков

пара параллельных

прямых

пара совпадающих

прямых

парабола

Пример 3:Определить вид и расположение кривой второго порядка

. (8)

Решение. Слагаемые второго порядка в (8) составляют квадратичную форму

,

которую преобразование неизвестных по формулам

(9)

приводит к сумме квадратов

Тогда уравнение кривой (8) преобразованием (9) приведётся к виду

.

Здесь ,и, следовательно,, – кривая эллиптического типа.

Как при рассмотрении выше случая 1, соберём слагаемые, содержащие неизвестное и дополним их до полного квадрата, аналогично поступим со слагаемыми, содержащими:

, или

Полагаем и получим. Это уравнение эллипса с полуосямии центром в точке

Упражнение 2.

Продумать и решить пример 3 средствами MATLAB. Привести геометрическую иллюстрацию.

  1. Критерий Сильвестра.

Определение: Нормальным видом квадратичной формы называется сумма квадратов неизвестных с коэффициентами «» или «».

Определение: Квадратичная форма называется положительно определённой, если при всех за исключениемКвадратичная форма называется отрицательно определённой, если при всех

Теорема: Квадратичная форма является положительно определённой тогда и только тогда, когда приводится к нормальному виду, содержащему n квадратов неизвестных с коэффициентами«+1»: Квадратичная форма является отрицательно определённой тогда и только тогда, когда приводится к виду

Определение: Пусть– квадратичная форма с матрицей, . Миноры , ,, …,называютсяугловыми минорами квадратичной формы

Теорема (Критерий Сильвестра): Квадратичная формаявляется положительно определённой тогда и только тогда, когда все её угловые миноры строго положительны:Квадратичная формаявляется отрицательно определённой тогда и только тогда, когда её угловые миноры удовлетворяют неравенствам:и т.д. (см. Л.4 стр. 149)

studfiles.net

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *