Решение задач через х – Решение задач с помощью уравнений

Решение задач с помощью составления уравнений

Нередко уравнения выручают нас при решении самых разнообразных задач – по математике, физике, механике, экономики и других областей.

Рассмотрим общий порядок решения задач с помощью уравнений.

1. Вводим переменные. Иными словами, буквами x, y, z мы обозначаем неизвестные нам величины, которые нам необходимо найти по условию задачи либо которые необходимы для отыскания искомых величин.

2. Составляем уравнение (систему уравнений) – при помощи введенных переменных и данных в условии задачи величин.

3. Решаем составленное уравнение (систему уравнений) и анализируем полученные данные (отбираем из решений те, которые подходят по смыслу задачи).

4. Если буквами x, y, z были обозначены не искомые величины, то при помощи полученных результатов находим ответ на вопрос задачи.

Применим полученные знания на практике и решим задачи.

Задача 1.

Для перевозки 60 т груза понадобилось некоторое количество машин. Из-за ремонта на дороге на каждую машину пришлось грузить на 0,5 т меньше, чем предполагалось, что привело к увеличению общего числа машин на 4 единицы. Какое количество машин было необходимо первоначально?

Решение.

1. Обозначим через х первоначальное количество машин. Тогда всего было использовано (х + 4) машин.

2. Предполагалось, что каждая машина равномерно празделит 60 т груза, т.е. на одну машину будет погружено 60/х т, но фактически на 1 машину было погружено 60/(х + 4) т, что на 0,5 меньше, чем планировалось.

3. На основе введенных переменных и выведенных выражений составим и решим уравнение:

60/х – 60/(х + 4) = 0,5

60/х – 60/(х + 4) = 0,5 ∙ 2х(х + 4)

120(х + 4) – 120х = х(х + 4)

120х + 480 – 120х = х2 + 4х

х2 + 4х – 480 = 0.

По теореме Виетта, х1 + х2 = -4, а х1 ∙ х2 = -480. Значит, х1 = -24, х2 = 20.

4. Анализируем полученные результаты. Число -24 не подходит по смыслу задачи (количество машин не может быть выражено отрицательным числом). Значит, наше решение – х

2 = 20, т.е. первоначально понадобилось 20 машин.

Ответ: 20.

Задача 2.

Моторная лодка, двигаясь со скоростью 20 км/ч, прошла расстояние между А и В по реке туда и обратно без остановок за 6 ч 15 мин. Расстояние между А и В составляет 60 км. Найти скорость течения реки.

Решение.

1. Примем за х скорость течения реки.

2. Т.к. по условию задачи лодка двигалась в обоих направлениях (туда и обратно), то по течению она шла со скоростью (20 + х) км/ч, против течения – со скоростью (20 – х) км/ч.

3. Чтобы найти время, нужно расстояние разделить на скорость, т.е. t = s/v. Иными словами, путь по течению займет у лодки 60/(20 + х) ч, а обратный путь – путь против течения займет 60/(20 – х) ч. По условию известно, что весь путь занял 6 ч 15 мин, т.е. 25/4 ч.

4. Используя вышеизложенные сведения, составим и решим уравнение:

60/(20 + х) + 60/(20 – х) = 25/4

60/(20 + х) + 60/(20 – х) = 25/4 ∙ 4(20 + х)(20 – х)

240(20 – х) + 240(20 + х) = 25(20 + х)(20 – х)

4800 – 240х + 4800 + 240х = 25(400 – х2)

9600 = 10000 – 25х2

25 х2 = 10000 – 9600

25 х2 = 400

х2 = 16

х1 = -4, х2 = 4.

5. Анализируем полученные результаты. Число -4 не подходит по смыслу задачи (скорость течения не может быть выражена отрицательным числом). Значит, наше решение – х2 = 4, т.е. скорость течения реки составляет 4 км/ч.

Ответ: 4.

Задача 3.

Есть кусок сплава меди с оловом массой 12 кг, содержащий 45% меди. Сколько чистого олова необходимо прибавить к этому куску , чтобы получившийся новый сплав содержал 40% меди?

Решение.

1. Примем за х массу добавленного олова. Тогда массу получившегося сплава мы обозначим как (12 + х) кг. Этот сплав содержит 40% меди, значит в новом сплаве меди будет 0,4(12 + х).

2. Исходный сплав массой 12 кг содержал 45% меди, значит, в нем было меди 0,45 ∙ 12 кг.

3. Т.к. масса меди в исходном и в новом сплаве одинакова, приходим к уравнению:

0,4(12 + х) = 0,45 ∙ 12

4,8 + 0,4х = 5,4

0,4х = 5,4 – 4,8

0,4х = 0,6

х = 0,6 : 0,4

х = 1,5.

Значит, к исходному сплаву необходимо добавить 1,5 кг олова.

Ответ: необходимо 1,5 кг олова.

© blog.tutoronline.ru, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

blog.tutoronline.ru

Уравнения. Решение задач с помощью уравнений. Видеоурок. Математика 5 Класс

Для начала дадим краткое определение уравнению. Разберем, в каких областях математики оно встречается. Слово «уравнение» производное от слов «уравнивать», «равняться». Также оно является однокоренным со словом «равенство», которое нам уже встречались неоднократно. Приведем примеры равенств:

Важно вспомнить, что равенства бывают верные и неверные. Рассмотрим пример неверного равенства: . Отметим, что в левой и правой частях равенств, приведенных в примерах, написаны только числовые выражения. Мы знаем, что есть еще и буквенные выражения. Например, .

Возникает вопрос, откуда может взяться такое выражение и зачем приравнивать такое выражение к какому-нибудь числу (). В таком равенстве мы уже не можем проверить, верное оно или нет. Давайте разберем на примере, откуда такое равенство может взяться, зачем нам оно нужно и что за  в нем стоит.

Дано: нам нужно взвесить арбуз. Мы знаем, что если на одну чашу весов положить арбуз и гирю массой  килограмма, а на другую гирю массой  килограммов, то весы уравновесятся. Найдите массу арбуза.

Путем нехитрых вычислений мы определяем, что масса арбуза  кг. Может возникнуть вопрос, почему мы взвешивали арбуз именно так, ведь можно было просто уравновесить весы, поставив на другую чашу гирю массой  кг. Ответ простой, ведь может быть и так, что в нашем распоряжении есть только гири по  и  кг.

Давайте попробуем решить данную задачу через составление уравнения.

Решение: пусть  – вес арбуза, тогда на чаше весов с арбузом будет вес . По условию мы знаем, что на противоположной чаше находится  кг и весы уравновешены. Можем составить уравнение.

Ответ:  кг.

Теперь становится понятно, в каком случае мы можем вводить в равенства переменные.

Уравнением называется равенство двух выражений, в которых есть буквенная переменная.

Выходит, что уравнения нужны для того, чтобы находить значение буквенной переменной, которая обращает уравнение в верное равенство. Это приводит нас к определению того, что же означает решить уравнение.

Решить уравнение – значит найти все значения буквенной переменной, при подстановке которых уравнение обращается в верное равенство (или доказать, что таких значений нет).

Важно отметить, что уравнение может иметь больше одного решения, но с такими уравнениями мы познакомимся позже. В некоторых уравнениях вам может встретиться несколько переменных, но решить такое уравнение вам пока будет сложно, так как найти все возможные корни достаточно затруднительно. Пример такого уравнения: .

Можно сказать, что уравнение чаще всего составляют при решении каких-то практических задач. Таким образом, составив уравнение, мы можем решить его и найти неизвестную величину.

Иногда уравнение можно решить подбором, но легче всего пользоваться несколькими правилами, которые упростят для вас вычисления. Разберемся с ними на примере.

Дано: через  лет Коле исполнится . Сколько лет Коле в данный момент?

Решение: пусть  – возраст Коли (на данный момент в годах), тогда через  лет ему будет . Из условия задачи известно, что ему через  лет будет  год. Составим и решим уравнение: .

Стоит отметить, что уравнение не меняется, если применить любое действия к обеим его частям. В данном случае отнимем с каждой стороны по : .

Ответ: Коле сейчас  лет.

Действие, которое мы применили для решения уравнения, называется переносом слагаемого из одной части уравнения в другую

. Важно помнить, что при переносе выражения знак перед ним меняется на противоположный.

Рассмотрим еще один пример: . В этом уравнении нам нужно перенести тройку. Чтобы избавиться от нее в левой части уравнения, нужно прибавить три, соответственно, и к правой части прибавляем тройку:

Решим еще одну задачу.

Дано: Ксения задумала натуральное число, к этому числу она прибавила , после чего из суммы вычла задуманное число. Далее к полученному числу она прибавила  и в итоге получила . Какое число задумала Ксения?

Решение: пусть  – число, которое задумала Ксения, тогда мы можем составить уравнение с учетом преобразований задуманного числа.

Потренируем перенос, начнем с восьмерки:

В итоге мы пришли к верному числовому равенству, значит, оно верное для любого икса. Можно сделать вывод, что, какое бы число ни задумала Ксения, у нее все равно выйдет одиннадцать.

Ответ: Ксения могла задумать любое число.

Рассмотрим подобную задачу и решим ее составив уравнение.

Дано: Дмитрий задумал натуральное число, прибавил к нему , вычел из него , вычел задуманное число и получил . Какое число задумал Дмитрий?

Решение: пусть  – задуманное Дмитрием число, тогда можем составить уравнение.

В итоге мы получили неверное равенство, и это приводит нас к заключению, что решений это уравнение не имеет.

Значит, в условии задачи ошибка и  получить в результате указанных действий Дмитрий не мог.

На этом уроке мы познакомились с понятием уравнения. Выяснили, что значит решить уравнение, познакомились с методами решения уравнений. Также мы выяснили, для чего нужны уравнения и как решать с их помощью задачи.

 

Список рекомендованной литературы

  1. Математика 5 класс. Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И., 31-е изд., стер. — М: Мнемозина, 2013.- 280с.
  2. Математика 5 класс. Ерина Т.М.. Рабочая тетрадь к учебнику Виленкина Н.Я., М.: Экзамен, 2013. — 128 с.
  3. Математика 5 класс. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С., М.: Вентана — Граф, 2013.

 

Рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

  1. School-assistant.ru (Источник).            
  2. Mat-zadachi.ru (Источник).      
  3. Uroki.tv (Источник).     

 

Домашнее задание

1) Решите уравнения.

1.

2. 

3.          

4.

2) На правой чашке уравновешенных весов лежат дыня и гиря массой  кг, а на левой чашке – гиря массой  кг. Какова масса дыни?

3) Составьте и решите уравнение:

1. Сумма удвоенного числа

interneturok.ru

Решение задач с помощью составления систем уравнений

Решая задачи при помощи уравнений, мы искали, как правило, одно неизвестное. Но встречаются и задачи, где есть несколько неизвестных. Такие задачи принято решать посредством составления систем уравнений.

Задача 1.

Навстречу друг другу из одного города в другой, расстояние между которыми составляет 30 км, едут два велосипедиста. Предположим, что если велосипедист 1 выедет на 2 ч раньше своего товарища, то они встретятся через 2,5 часа после отъезда велосипедиста 2; если же велосипедист 2 выедет 2мя часами ранее велосипедсита 1, то встреча произойдет через 3 часа после отъезда первого. С какой скоростью движется каждый велосипедист?

Решение.

1. Определим скорость велосипедиста 1 как х км/ч, а скорость велосипедиста 2 как у км/ч.

2. Если первый велосипедист выедет на 2 ч раньше второго, то, согласно условию, он будет ехать до встречи 4,5 ч, тогда как второй 2,5 часа. За 4,5 ч первый проедет путь 4,5х км, а за 2,5 ч второй проедет путь 2,5у км.

3. Встреча двух велосипедистов означает, что суммарно они проехали путь 30 км, т.е. 4,5х + 2,5 у = 30. Это и есть наше первое уравнение.

4. Если второй выедет на 2 ч раньше первого, то, согласно условию, он будет ехать до встречи 5 ч, тогда как первый – 3 ч. Используя рассуждения, аналогичные изложенным выше рассуждениям, приходим к уравнению:

3х + 5у = 30.

5. Итак, мы получили систему уравнений

{4,5х + 2,5 у = 30,
{3х + 5у = 30.

6. Решив полученную систему уравнений, мы найдем корни: х = 5, у = 3.

Т.о., первый велосипедист едет со скоростью 5 км/ч, а второй – 3 км/ч.

Ответ: 5 км/ч, 3 км/ч.

Задача 2.

Вкладчику на его сбережения через год было начислено 6 $ процентных денег. Добавив 44 $, вкладчик оставил деньги еще на год. По истечении года вновь было произведено начисление процентов, и теперь вклад вместе с процентами составил 257,5 $. Какая сумма составляла вклад первоначально и сколько процентов начисляет банк?

Решение.

1. Пусть х ($) – первоначальный вклад, а у (%) – это проценты, которые начисляются ежегодно.

2. Тогда к концу года к первоначальному вкладу добавится (у/100) ∙ х $.
Из условия получаем уравнение (ух/100) = 6.

3. По условию известно, что в конце года вкладчик внес еще 44 $, так что вклад в начале второго года составил х + 6 + 44, т.е. (х + 50) $. Таким образом, сумма, полученная к концу второго года с учетом начисления, равнялась (х + 50 + (у/100)(х + 50)) $. По условию эта сумма равна 275,5 $. Это позволило нам составить второе уравнение:

х + 50 + (у/100)(х + 50) = 257,5

4. Итак, мы получили систему уравнений:

{(ух/100) = 6,
{х + 50 + (у/100)(х + 50) = 257,5

После преобразования системы уравнений мы получим:

{ху = 600,
{100х + 50у + ху = 20750.

Решив систему уравнений, мы нашли два корня: 200 и 1,5. Только первое значение удовлетворяет нашему условию.

Подставим значение х в уравнение и найдем значение у:
если х = 200, то у = 3.

Таким образом, первоначальный вклад составлял 200 $, а банк в год производит начисление а размере 3 %.

Ответ: 200 $; 3 %.

© blog.tutoronline.ru, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

blog.tutoronline.ru

Решение задач с помощью уравнений

Тема урока: Решение задач с помощью уравнений

Цели урока:

1)образовательные: повторение и закрепление ЗУН учащихся по теме «Уравнения. Решение задач с помощью уравнений», навыков устных и письменных вычислений, упрощения алгебраических выражений;

2)развивающие: продолжить работу по развитию устной и письменной речи, изложению своих мыслей с применением математической терминологии, самостоятельного мышления, навыка самооценки и самопроверки;

3)воспитательные: содействовать формированию и развитию нравственных, трудовых, эстетических качеств личности учащихся.

Планируемые результаты:

Личностные:

• умение ясно, точно, грамотно излагать свои мысли, критичность и креативность мышления,

• активность при решении задач.

Предметные:

• умение применять изученные понятия, результаты и методы при решении уравнений и задач на составление уравнений.

• умение самостоятельно выбирать наиболее эффективные способы решения учебных задач, адекватно оценивать правильность или ошибочность выполнения учебной задачи,

Метапредметные:

• Умение видеть математическую задачу в контексте проблемной ситуации в других дисциплинах, в окружающей жизни;

• усиление прикладной направленности курса алгебры через решение различных текстовых задач.

Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор, тематическое планирование, конспект урока.

Тип урока: комбинированный урок

Формы работы учащихся на уроке: индивидуальная, фронтальная, групповая.

Структура урока:

  1. Организационный момент

  2. Проверка домашнего задания

  3. Актуализация опорных знаний.

  4. Работа по карточкам

  5. Историческая справка

  6. Физкультминутка

  7. Самостоятельная работа

  8. Рефлексия

  9. Домашнее задание

Ход урока

Организационный момент, вступительное слово учителя

Математику не зря называют «царицей наук», ей больше, чем какой-либо другой науке, свойственны красота, изящность и точность. Одно из замечательных качеств математики — любознательность. Постараемся доказать это на уроке. Мы изучили очень важную главу в курсе алгебры «УРАВНЕНИЯ». Вы знаете и умеете решать уравнения, приводимые к линейным, составлять различные уравнения по условию задачи. Знания не только надо иметь, но и надо уметь их показать, что вы и сделаете на сегодняшнем уроке, а я вам в этом помогу.

И начнем наш урок с проверки домашней работы

Проверка выполнения домашней работы

(двое учащихся заранее записывают решение на доске)

«В клетке находится неизвестное число фазанов и кроликов. Известно, что вся клетка содержит 35 голов и 94 ноги. Узнать число фазанов и число кроликов.»

Решение.

б) Пусть х кроликов в клетке, тогда (35 — х) фазанов в клетке, 4х ног у кроликов, 2(35 — х) ног у фазанов. Всего 94 ноги.

Составим и решим уравнение:

4х + 2(35 — х) = 94,

4х +70 — 2х =94,

2х = 24,

х = 12 кроликов в клетке,

35 — 12 = 23 фазана в клетке.

Ответ: 12 кроликов, 23 фазана.

г) Пусть х ног у кроликов, х /4 кроликов, тогда (94 — х) ног у фазанов, (94 — х) / 2 фазанов.

Всего 35 кроликов и фазанов.

Составим и решим уравнение:

х/4 + (94 — х)/2 = 35,

х + 188-2х=140,

-х = — 48,

х = 48 ног у кроликов,

1) 48 : 4 = 12 кроликов,

2) 35 — 12 =23 фазана.

Ответ: 12 кроликов, 23 фазана.

Учитель: Мы составили и решили 4 уравнения к одной задаче.

Несмотря на то, что уравнения а) и б) имели более простой вид

и решение, полезно рассматривать все случаи.

Актуализация опорных знаний.

(Устная работа с использованием мультимедийного проектора)

1) Решите уравнения: (Рис.1)

х + 23 = 50;

у-20 = -у.

Какое правило преобразования уравнений применяли при решении уравнений?

Какое число называется корнем уравнения?

Что значит решить уравнение?

Как называются уравнения вида:

= 60;

12 t = 96.

Какое правило преобразования уравнений применяли при решений этих уравнений?

2) Найдите ошибку (Рис.2)

Раскройте скобки:

9 — (8 -х) = 9 — 8 — х;

3 + (- х- 1) = 3 + х-1;

2(х — 5) = 2х -5.

3) Используя верное равенство 5*2 — 3=2*3 + 1, составьте уравнение, корень которого равен 2. (Рис 4)

Самостоятельная работа

Учитель: Итак, мы повторили правила преобразования уравнений, умеем раскрывать скобки, перед которыми стоят знаки «+» или «-«, приводить подобные слагаемые и, сейчас, каждому из вас предстоит выполнить самостоятельную работу по карточкам.Решите в тетради уравнения, внесите корень уравнения во второй столбик. Внизу есть таблица выбора ответов, запишите соответствующую букву в третий столбик и получите слово.Найдите корни каждого уравнения и впишите в третий столбец соответствующие им буквы.

1 вариант

Таблица выбора ответов:

2 вариант

Уравнение

Корень

Буква

6х + 10 = 28

— 5p = 16 -7p

-15 — 9у = 6у

6t — 26 = 2t + 2

16t — 5 = 15t — 10

7z + 40 = 3z

8х — 25 = 3х

Таблица выбора ответов:

Корень

-10

8

-1

3

-5

7

5

Буква

М

О

Р

X

3

Е

И

А знаете ли вы кто такие Диофант Александрийский и Мухаммед аль — Хорезми (демонстрируются портреты ученых на рисунках при помощи проектора)

Историческая справка (выступления учащихся)

Диофант Александрийский

Диофант — древнегреческий математик из Александрии.

Мы очень мало знаем о нем. Автор трактата Арифметика в 13 книгах (сохранились 6 книг) посвященного главным образом исследованию неопределенных уравнений (т.е. диофантовых уравнений). Одним из первых Диофант стал использовать при записи алгебраических рассуждений специальные знаки. Это был важный шаг в создании символического языка математики. На результаты, полученные Диофантом, впоследствии опирались Ферма, Эйлер, Гаусс и др. великие математики.

Мухаммед Аль Хорезми

Мухаммад ибн Муса Хорезми — великий персидский математик, астроном и географ, основатель классической алгебры — жил на рубеже IX — X веков. Сведений о жизни ученого сохранилось крайне мало. Значительный период своей жизни он провел в Багдаде. Одно из главных сочинений аль — Хорезми называлось «Китаб аль-джебр вальмукабала», в переводе на русский: «Учение о переносах и сокращениях», то есть техника решения алгебраических уравнений. По-арабски это звучит « аль-джебр»; отсюда произошло название «алгебра».

Другое известное слово — «алгоритм», то есть четкое правило решения задач определенного типа — произошло от прозвания «аль-Хорезми». Третий известный термин, введенный в математику знаменитым согдийцем — это «синус».

Физкультминутка

Упражнения для головы, шейного и грудного отделов позвоночника «Имитации».

Для проведения физкультминутки используются упражнения для головы, шейного и грудного отделов позвоночника.

Упражнения:

1) «Черепаха»: наклоны головы вперед -назад.

2) «Маятник»: наклоны головы вправо-влево.

3) «Собачка»: вращение головы вокруг воображаемой оси, проходящей через нос и затылок.

4) «Сова»: поворот головы вправо-влево.

5) «Ёжик нахмурился» (плечи вперёд, подбородок к груди) —> «Ёжик весёлый» (плечи назад, голову назад).

6) «Весы»: левое плечо вверх, правое вниз. Поменять положение рук.

7) «Тянемся — потянемся»: руки вверх, вытягиваем позвоночник.

Решение задач.

  1. В «геометрической алгебре» древних греков решение уравнений сводилось к построению отрезков, представляющих положительные корни уравнений. Зачатки новой, арифметической алгебры встречаются лишь у Диофанта. Рассмотрим задачу из «Арифметики» Диофанта.

Задача Диофанта

Если прибавить к 20 и отнять от 100 одно и то же число, то полученная сумма будет в 4 раза больше полученной разности. Найти неизвестное число.

Решение

Пусть х — неизвестное число,

по условию задачи составим уравнение:

х + 20 — (100 — х)*4,

х +20 = 400 — 4х;

х + 4х =400 — 20;

5х = 380; х = 380 : 5;

х =76 — неизвестное число.

Ответ. 76

  1. Решить задачу по вариантам (Задача отображается на экране при помощи мультимедийного проектора)

«Турист за два дня прошёл 32 км, причём во второй день он прошёл

на 2 км меньше, чем в первый. Какое расстояние он прошёл в первый

день?»

Вариант 1

Решение:

Пусть х км прошел турист в первый день, тогда …

Вариант 2

Решение:

Пусть х км прошел турист во второй день, тогда …

Двое учеников решают задачу на доске

(Оба ученика верно составили уравнения. Но эти уравнения оказались разными:

1) х + (х-2) = 32;

2) х +(х + 2) = 32. Почему? (Закончить решение задачи дома)

Подведение итогов урока (учитель дает оценку работе обучаемых)

Рефлексия (ученикам раздаются карточки на которых они дописывают фразу)

1. Я научился (лась) …

2. Мне нравится …

3. Я умею …

4. Мне было интересно …

5. Я повторил (а) …

6. Я уверен (а), что …

Домашнее задание

№ 433(а, в), № 440, закончить задачу

infourok.ru

Решение задач при помощи уравнений

Разделы: Математика


Тип урока: усвоение нового материала.

Цели урока:

  • создать алгоритм решения задач алгебраическим способом;
  • совершенствовать навыки решения уравнений разными способами;
  • развивать умение анализировать и обобщать.

ХОД УРОКА

1. Организационный момент (Приложение 1, слайд 1)

2. Актуализация знаний

а) На доске:

1971+ х : 7 = 2139                        1224 – х : 6 = 859

– Что записано на доске?
– Что такое уравнение?
– Предлагаю вам решить уравнение.
– Что значит решить уравнение?
– Что такое корень уравнения?

б) Самостоятельная работа (Приложение 1, слайд 2)

– Составьте уравнения и решите их.

  • Сумма неизвестного числа и 126 равна разности чисел 316 и 169.
  • Разность неизвестного числа и 254 равна сумме чисел 179 и 236.

Проверка самостоятельной работы (Приложение 1, слайд 3)
Проверка уравнений у доски – дети с места.

– Каждая группа получила задание, найти информацию по определенным вопросам.
– Что такое арифметика? (Приложение 1, слайд 4)
– Как называется раздел математики, который изучает уравнения? (Приложение 1, слайд 5)

3. Работа над новым материалом

– Я предлагаю рассмотреть задачу (Приложение 1, слайд 6)
– Как называется способ решения данной задачи?
– Почему?
– А теперь предлагаю решить следующую задачу? (Приложение 1, слайд 7)
– Эти задачи похожи?
– Можно ли решить эту задачу арифметическим способом?
– А теперь послушаем учащихся, которые рассматривали вопрос об области применения уравнений. (Приложение 1, слайд 8)
– Что же это за способ? Мы с вами сейчас составим алгоритм решения задач алгебраическим способом. (Приложение 1, слайд 9)
– Прочитаем задачу и определим способ ее решения.
– Напомните мне, что такое уравнение?
– С чего начнем решение задачи? (Приложение 1, слайд 10)
– Какую неизвестную величину обозначим буквой х? Удобно ли обозначить буквой количество бананов в первом ящике?

Пусть х б. во 2 ящике,

– Что делаем следующим шагом? Как выразить через неизвестное число количество бананов в первом ящике, в третьем ящике?

Тогда  х + 20 б. – в1 ящике,
2х б. в 3 ящике.

– Прочитайте условие задачи. Какое выражение соответствует всем бананам? Как будет выглядеть уравнение?

х + х + 20 + 2х = 140

– Можем решить это уравнение? Решаем.

4х + 20 = 140
4х = 120
х = 120 : 4
х = 30
30 бананов – во 2 ящике.
30 + 20 = 50 (б.) – в 1 ящике
2 х 30 = 60 (б.) – в 3 ящике

Ответ: 50 бананов в 1 ящике, 30 бананов во 2 ящике, 60 бананов в 3 ящике.

Физминутка

4. Закрепление

– А теперь решим задачу №216 из учебника, пользуясь алгоритмом .

Ученик решает у доски задачу №216.

5. Итог урока

– О каком новом способе решения задач вы узнали?
– Зачем нам нужен этот способ?
– Заинтересовал ли вас этот способ?

6. Домашнее задание

– Пользуясь алгоритмом, который вы получили, решите задачу № 221.

30.01.2011

Поделиться страницей:

xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai

Ł Решение задач с помощью системы уравнений

ШВЕЦОВ К.И., БЕВЗ Г.П.
СПРАВОЧНИК ПО ЭЛЕМЕНТАРНОЙ МАТЕМАТИКЕ
АРИФМЕТИКА, АЛГЕБРА, 1965


СОДЕРЖАНИЕ ДАННОЙ СТАТЬИ

21. Решение задач с помощью системы уравнений

Задача. На корм 8 лошадям и 15 коровам отпускали ежедневно 162 кг сена. Сколько сена ежедневно выдавали каждой лошади и каждой корове, если 5 лошадей съедали ежедневно сена на 3 кг больше, чем 7 коров?

Решение. Пусть для лошади отпускали ежедневно х кг сена, а для коровы — у.

Тогда из первой части условия следует:

8 x + 15 у = 162, а из второй части условия — еще одно уравнение:

5 х — 7 у = 3.

Решим систему этих уравнений:

Ответ. 9 кг и 6 кг сена.

Задача. Латунь состоит из сплава меди и цинка. Кусок латуни весом 124 г при погружении в воду «потерял» 15 г. Сколько в нем содержится меди и цинка отдельно, если известно, что 89 г меди «теряют» в воде 10 г, а 7 г цинка — 1 г.

Решение. Пусть в латуни было х граммов меди и у граммов цинка. Тогда х + у = 124. Так как медь «теряет» своего веса, а цинк , то х граммов меди потеряет , а у граммов цинка . Следовательно, . Решив систему уравнений, получим: х = 89, у = 35.

Ответ. 89 г меди и 35 г цинка.

Задача. Пароход прошел 100 км по течению реки и 64 км против течения за 9 ч. В другой раз за это время он прошел 80 км против течения и 80 км по течению реки. Определить скорость парохода в стоячей воде и скорость течения реки.

Указание. Скорость движения по течению равна сумме собственной скорости парохода и скорости течения. Скорость движения против течения равна разности между собственной скоростью парохода и скоростью течения.

Решение. Принимаем собственную скорость парохода в км/ч за х, а скорость течения за у.

Используем табличную запись решения.

ЭтапыНаправление движенияПуть (км)Скорость (км/ч)Время (ч)Израсходовано времени
ПервыйПо течению
Против течения
100
64
х + y
xy

9 ч
ВторойПротив течения
По течению
80
80
ху
x + y

9 ч

Имеем систему

Это не линейная система, но способом замены ее можно привести к линейной. Обозначим

Тогда получим

Следовательно,

или

Решив эту систему, получим: х = 18, у = 2. Ответ. 18 км/ч и 2 км/ч.

Задача. Два трактора различной мощности при совместной работе вспахали за 15 ч всего поля. Если бы первый трактор работал один 12 ч, а второй трактор — 20 ч, то они вспахали бы 20% всего поля. За сколько времени может вспахать все поле каждый трактор отдельно?

⇦ Ctrl предыдущая страница / страница 98 из 168 / следующая страница Ctrl ⇨
мобильная версия страницы Смотрите также на этом сайте:
ГАДАНИЯ, СОННИКИ, ЗАГОВОРЫ, НУМЕРОЛОГИЯ, ХИРОМАНТИЯ, ВУДУ, МАЯТНИК, ДЕНЕЖНАЯ МАГИЯ
ВЯЗАНИЕ НА СПИЦАХ, КРЮЧКОМ, ТУНИССКОЕ ВЯЗАНИЕ, МОДЕЛИ ВЯЗАНОЙ ОДЕЖДЫ; ШИТЬЕ; МАШИННОЕ ВЯЗАНИЕ
РАЗНООБРАЗНЫЕ КУЛИНАРНЫЕ РЕЦЕПТЫ; ГОРШОЧКИ, МИКРОВОЛНОВКА; КОНСЕРВИРОВАНИЕ
СПРАВОЧНИКИ ПО ФИЗИКЕ, МАТЕМАТИКЕ, АНГЛИЙСКОМУ ЯЗЫКУ; ПОХУДЕНИЕ, АКУПУНКТУРА; НЕИСПРАВНОСТИ АВТОМОБИЛЯ
МНОЖЕСТВО ИСТОРИЧЕСКИХ ФАКТОВ О СОБЫТИЯХ, ОРУЖИИ И ОБМУНДИРОВАНИИ ВТОРОЙ МИРОВОЙ ВОЙНЫ; АРМЕЙСКИЕ БОТИНКИ ВСЕХ ВРЕМЕН
ПОПУЛЯРНЫЕ ПЕСЕННИКИ 1963-1987 гг.; ТОСТЫ, РОЗЫГРЫШИ, КОНКУРСЫ

Пользуйтесь поиском вверху страницы! Все, что будет найдено со значком Ł — относится к данному сайту




cartalana.org

Уравнения. Решение задач уравнением. 5-й класс

Разделы: Математика


Цели:

  • Образовательная
: систематизировать знания о способах решения уравнений; обобщить знания об алгоритме решения задачи при помощи уравнения; закрепить умения составлять уравнение по условию задачи
  • Воспитательная
  • : воспитывать аккуратность, уважение к окружающим, бережное отношение, настойчивость в достижении цели, культуру математической речи; рассмотреть меры профилактики сердечно-сосудистых заболеваний
  • Развивающая
  • : совершенствовать умения решать уравнения; закрепить навыки составления уравнения к условию задачи; развивать умения выделять главное, сравнивать, анализировать и делать выводы; развивать умения формулировать познавательные задачи; развивать креативные умений, учиться применять знания самостоятельно;

    Тип урока: повторительно-обобщающий урок.
    Вид урока:
    урок-соревнование.
    Оборудование:
    доска ActivInspireт, карточки для ИКР, лист оценивания, учебник.

    Приложение 2

    Ход урока

    1. Организационный момент

    (Приложение 1) (стр. 1)

    Долгожданный дан звонок,
    Начинается урок.
    Тут затеи и задачи,
    Игры, шутки, –
    Всё для вас
    Пожелаю вам удачи-
    За работу, в добрый час!

    Давайте улыбнёмся друг другу и с хорошим настроением начнём наш урок (стр2)

    Начать урок я хочу с вопроса к вам. Как вы думаете, что самое ценное на Земле? (выслушиваются варианты ответов учеников). Этот вопрос волновал человечество не одну тысячу лет. Вот какой ответ дал известный учёный Ал – Бируни: (стр3) «Знание – самое превосходное из владений. Все стремятся к нему, само же оно не приходит». Пусть эти слова станут девизом нашего урока

    2. Мотивация урока (стр4)

    Разгадайте анаграмму и определите, какое слово лишнее. Что связывает оставшиеся слова между собой?

    зачада
    гукр
    варунение
    извененаяст

    Ответ: задача, круг, уравнение, неизвестная. Лишнее слово – круг – геометрическая фигура, остальные слова не являются названиями геометрических фигур.

    Какая связь между оставшимися словами? (условие задачи содержит неизвестную величину, значение которой нужно определить, уравнение тоже содержит неизвестную величину; многие задачи решают, составляя по условию уравнение)

    На уроках математики вы действительно учитесь решать задачи, в том числе и при помощи составления уравнения. Уравнения у вас могут получиться самые разные, поэтому так важно умение решать любые уравнения. (стр5)

    (Сообщение целей и задач, объяснение вида урока и правило оценивания по листу самооценки (Приложение 5)

    Загадка: (стр6)

    Он есть у дерева, цветка,
    Он есть у уравнений
    И знак особый –
    Связан с ним, конечно без сомнений.
    Заданий многих он итог.
    И с этим мы не спорим
    Надеемся что каждый смог
    Ответить: это… (Корень)

    3. Проверка домашнего задания (стр7)

    138 – 5; 8 (взаимопроверка) У-5 Р-8 А-7 О-4 П-9
    №126 – 7

    4. Актуализация опорных знаний

    Решить уравнения, повторяя правила нахождения неизвестного компонента

    (стр8)
    (стр9)
    а) х+15=40;
    б) у-10= 32;
    в) 8-х=2;
    г) 70:у=7;
    д) х:20=3;
    е) 25х=100

    Что же такое уравнение? (Равенство, содержащее букву, значение которой нужно найти.)
    Что такое корень уравнения? (Значение буквы, при котором из уравнения получается верное числовое равенство.)
    Что значит решить уравнение? (Найти все его корни или убедиться в том, что корней нет.)

    (Одновременно с устной работой ИКЗ индивидуально.) (Приложение 3), (Приложение 4)

    5. Закрепление материала

    А вот каким способом решения мы займемся сегодня – нам поможет узнать следующее задание: заполните таблицу буквами, соответствующими полученным ответам: (стр10)

    3х-45=15 У -20
    13х-23-5х=9 Р – 8
    (х-12)*8=56 А – 19
    51-3х=48 В – 1
    13х-х=60 Н -5
    (12х-5х)*4=252 Е – 9
    (х+67):18=4 Н – 5
    130-4х=70 И – 15
    124:(х-5)=31 Е – 9

    Ответ: УРВАНЕНИЕ (стр11)

    29 сентября – всемирный день профилактики сердечно-сосудистых заболеваний. (стр12)

    1. Масса человеческого сердца у взрослых составляет 250–300 грамм и зависит от величины тела и от физического развития и возраста человека.
    2. Размер сердца соответствует в среднем сложенной в кулак кисти руки.
    3. За одну минуту сердце взрослого человека, находящегося в покое, выталкивает в кровеносные сосуды 5–5,5 литров крови, при физической работе количество увеличивается до 15–20 литров. Всего за сутки сердце взрослого человека перекачивает до 10000 литров крови.
    4. К 16 годам объём сердца у человека увеличивается в 3–3,5 раза.
    5. В истории современной медицины известен случай, когда сердце человека остановилось и снова начало биться через 4 дня.
      Древние египтяне считали, что четвертый палец руки связан с сердцем специальным каналом. Именно из-за этого пошёл обычай носить обручальное кольцо на безымянном пальце.
    6. Как считают специалисты, сердце обладает такой высокой надежностью и большим запаса прочности, которой вполне достаточно на жизнь в течении 150 лет
    • Продукты полезные для сердца – Шпинат, Овёс, Орехи, Красная рыба (стр13–20)
    • Калий –
    • главный внутриклеточный элемент, оказывающий многогранное воздействие на функционирование сердца. Мы часто “теряем” калий при стрессах, избыточном потреблении поваренной соли, алкоголя, сахара, кофе.
    • Магний –
    • После кислорода, воды и пищи, магний, возможно, является самым важным для организма элементом. необходима для правильного функционирования организма
    • Что противопоказано сердцу:
    • Алкоголь –
    • Являясь клеточным ядом, алкоголь повреждает клетки сердечной мышцы и повышает давление, отравляя нервную и сердечно – сосудистую систему. Все 5–7 часов, пока выпитый алкоголь циркулирует в крови, сердце работает в неблагоприятном режиме. Пульс увеличивается до 100 ударов в минуту, в организме нарушается обмен веществ и питание сердечной мышцы Алкоголь нарушает кровообращение в кожных капиллярах, испытывает кислородное голодание.

    Задача: Чтобы определить массу сердца взрослого человека, решите логический тест: (стр21)

    Простые физические упражнения (Приложение 6)

    1. Руки опущены вдоль туловища. Вдох. С напряжением поднять прямые руки через стороны вверх. Выдох. Вдох. Опустить руки через стороны вниз. Выдох. Вдох. Свести прямые руки перед собой, ладонями друг к другу. Выдох. Вдох. Развести руки в стороны ладонями назад. Выдох.
    2. Руки согнуты в локтях. Ладони у груди. Вдох. Выбросить левую руку вперёд согнутой кистью, как бы отталкивая воздух. Выдох. Вдох. Вернуть руку к груди ладонью к себе. Выдох. Вдох. Выбросить правую руку вперёд. Выдох. Вдох. Вернуть руку к груди. Выдох. Вдох. Выбросить обе руки вперёд, ладонями от себя. Выдох. Вдох. Вернуться в исходное положение. Выдох.
    3. Как бы косим косой траву. Вдох. Движение косой влево с одновременным выдохом. Вдох делается медленный, во время возврата в исходное положение. Сделав несколько движений влево, начинаем делать те же движения, но вправо.
    4. Как бы вытряхиваем тяжелое одеяло, держа его за концы. Вдох. Резкое встряхивание. Выдох.

    (стр22)

    Задача 1: Бассейн вмещает 300 м3 воды и наполняется двумя трубами. Через первую трубу вода вливается со скоростью 20 м3/ч, а через вторую трубу – со скоростью 30 м3/ч. За сколько времени наполнится бассейн при одновременном включении двух труб? (Сколько м3 воды вольется в бассейн за 4 ч? Какой объем при этом останется незаполненным?)

    Задача 2: Морковь дороже картофеля на 25т., за 3 кг картофеля и 4 кг моркови заплатили 520 тенге. Сколько стоит морковь, картофель?

    Задача 3: Два поезда вышли одновременно навстречу друг другу из двух городов, расстояние между которыми 600 км. Скорость первого поезда 70 км/ч, а скорость второго 80 км/ч. Какое расстояние было между поездами через 3 ч после выхода?

    х – расстояние между поездами через 3 ч после выхода
    (70+80)*3+х=600
    х = 150(км)

    Задача 4: Пассажирский и товарный поезд вышли в одном направлении одновременно с двух станций, расстояние между которыми 512 км. Скорость пассажирского поезда была в 2 раза быстрее скорости товарного и через 8ч после выхода пассажирский поезд догнал товарный. С какими скоростями они шли?

    2х*8-8х=512
    х=64км/ч

    Задача 5: В клетке находятся фазаны и кролики. Известно, что у них 35 голов и 94 ноги. Узнайте число фазанов и число кроликов.

    Что мы можем взять за x в этой задаче – число фазанов или число кроликов?

    Давайте возьмем за x сначала число фазанов, и решим задачу с помощью уравнения.

    Решение:

    1) Пусть x фазанов в клетке. Тогда кроликов в клетке 35-x. Всего у фазанов 2x ног, а у кроликов 4·(35-x) ног. Зная, что всего у них 94 ноги составим уравнение:

    2x+ 4·(35-x) =94
    2x+140-4x=94
    2x=46,
    х=23,
    23 фазана в клетке

    2) 35-23=12 (кроликов) в клетке,

    Ответ: 23фазана и 12 кроликов в клетке

    6. Физкультурная пауза (стр23)

    Что-то мы засиделись! Надо бы нам размяться. Сейчас мы проведем с вами физкультминутку в виде эстафеты.

    На доске примеры с пропущенными числами. Их нужно заполнить так, чтобы равенства были верными. Эстафетной палочкой будет кусок мела. По правилам нашей эстафеты можно: подсказывать своим товарищам, исправлять их ошибки, болеть за команду. Побеждает та команда, которая первая правильно заполнит все свободные клетки. Начинаем бегать по очереди под звуки музыки.

    7 * 8 =
    : 4 =
    + 86 =
    : 4 =
    17 =
    * 12 =
    + 204 =

     

    7 * 8 = 56
    56 : 4 = 14
    14 + 86 = 100
    100 : 4 = 25
    25 17 = 8
    8 * 12 = 96
    96 + 204 = 300

    7. Контроль ЗУН (работа в группах) (стр24)

    Решить задачу по карточке, работая в группе(всего 4 группы, задания устно проговариваются после его решения)

    Задача 1 (уровень А)

    Задача 2 (уровень А)

    Туристы прошли пешком х км. И проехали на автомобиле3х км. Весь путь равен 124 км.

    Вопрос: __________________________
    Решение: _________________________

    Задача 1 (уровень В)

    Ученик задумал число. Умножил его на 2, к произведению прибавил 19 и получил сумму, равную 37. Какое число задумал ученик?
    Отец старше сына на 20 чет, а сын моложе отца в 5 раз. Сколько лет отцу и сколько лет сыну?

    8. Домашнее задание

    (стр25)

    Уровень А – №128, 125(2)
    Уровень В – №112(3), 114(6)

    9. Рефлексия

    «Умение решать задачи – такое же практическое искусство, как умение плавать или бегать на лыжах. Ему можно научиться только путём подражания или упражнения» Пойа (стр26)

    Что нового узнали? Ребята, сравните по вкусу мандарин и лимон. У кого настроение на этом уроке соответствует вкусу лимона? А вкусу мандарина? (стр27)

    Поднимите руку, кто ответил на уроке хотя бы раз.
    Поднимите руку, кто достиг желаемого.
    Поаплодируйте себе.

    10. Итог урока

    Самооценка. Подведение итогов и выставление оценок

    Спасибо за урок! (стр28)

    Список литературы:

    1. Математика 5, Т. Алдамуратова, Алматы «Атамүра», 2010.
    2. Далингер В.А
    3. . Обучение учащихся решению текстовых задач методом составления уравнений. – Омск, 19.
    4. Колягин Ю.М
    5. . Задачи в обучении математике: т.2. – М.: Просвещение, 1997.
    6. Орехов Ф.А
    7. . Решение задач методом составления уравнений. – М.: Просвещение, 1971.

    14.05.2012

    xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *