Признаки делимости чисел – ПРИЗНАКИ ДЕЛИМОСТИ ЧИСЕЛ

Содержание

Признаки делимости чисел

Признаки делимости

Замечание 1

Признаки делимости применяются к числам с целью определить, делится ли заданное целое число a на целое положительное число $b$ без непосредственного проведения деления $a$ на $b$.

Замечание 2

Признаки делимости обычно применяют не к самому числу, а к числам, состоящим из цифр, которые участвуют в записи этого числа.

Признаки делимости на числа $2, 5$ и $10$ позволяют проверить делимость числа по одной лишь последней цифре числа.

Другие признаки делимости предполагают проведение анализа двух, трех или больше последних цифр числа. Например, признак делимости на $4$ требует анализа двузначного числа, которое составлено из двух последних цифр числа; признак делимости на 8 требует анализа числа, которое образовано тремя последними цифрами числа.

При использовании других признаков делимости необходимо проанализировать все цифры числа. Например, при использовании признака делимости на $3$ и признака делимости на $9$ необходимо найти сумму всех цифр числа, а затем проверить делимость найденной суммы на $3$ или на $9$ соответственно.

Признаки делимости на составные числа объединяют несколько других признаков. К примеру, признак делимости на $6$ представляет собой объединение признаков делимости на числа $2$ и $3$, а признак делимости на $12$ – на числа $3$ и $4$.

Применение некоторых признаков делимости требует проведения значительной вычислительной работы. В таких случаях может оказаться проще выполнить непосредственное деление числа $a$ на $b$, которое приведет к решению вопроса, можно ли разделить данное число $a$ на число $b$ без остатка.

Признак делимости на $2$

Замечание 3

Если последняя цифра целого числа делится на $2$ без остатка, то и число делится на $2$ без остатка. В других случаях данное целое число не делится на $2$.

Пример 1

Определить, какие из предложенных чисел делятся на $2: 10, 6 349, –765 386, 29 567.$

Решение.

Используем признак делимости на $2$, согласно которому можно сделать вывод, что на $2$ без остатка делятся числа $10$ и $–765 \ 386$, т.к. последней цифрой данных чисел является число $0$ и $6$ соответственно. Числа $6 \ 3494$ и $29 \ 567$ не делятся на $2$ без остатка, т.к. последняя цифра числа $9$ и $7$ соответственно.

Ответ: $10$ и $–765 \ 386$ делятся на $2$, $6 \ 349$ и $29 \ 567$ не делятся на $2$.

Замечание 4

Целые числа по результату их делимости на $2$ делят на четные и нечетные.

Признак делимости на $3$

Замечание 5

Если сумма цифр целого числа делится на $3$, то и само число делится на $3$, в других случаях число на $3$ не делится.

Пример 2

Проверить, делится ли число $123$ на $3$.

Решение.

Найдем сумму цифр числа $123=1+2+3=6$. Т.к. полученная сумма $6$ делится на $3$, то по признаку делимости на $3$ число $123$ делится на $3$.

Ответ: $123⋮3$.

Пример 3

Проверить, делится ли число $58$ на $3$.

Решение.

Найдем сумму цифр числа $58=5+8=13$. Т.к. полученная сумма $13$ не делится на $3$, то по признаку делимости на $3$ число $58$ не делится на $3$.

Ответ: $58$ не делится на $3$.

Иногда для проверки делимости числа на 3 нужно несколько раз применить признак делимости на $3$. Обычно такой подход используется в случае применения признаков делимости к очень большим числам.

Пример 4

Проверить, делится ли число $999 \ 675 \ 444$ на $3$.

Решение.

Найдем сумму цифр числа $999 \ 675 \ 444 = 9 + 9 + 9 + 6 + 7 + 5 + 4 + 4 + 4 = 27 + 18 + 12 = 57$. Если по полученной сумме сложно сказать, делится ли она на $3$, нужно еще раз применить признак делимости и найти сумму цифр полученной суммы $57=5+7=12$. Т.к. полученная сумма $12$ делится на $3$, то по признаку делимости на $3$ число $999 \ 675 \ 444$ делится на $3$.

Ответ: $999 \ 675 \ 444 ⋮3$.

Признак делимости на $4$

Замечание 6

Целое число делится на $4$, если число, которое составлено из двух последних цифр данного числа (в порядке их следования) делится на $4$. В обратном случае данное число не делится на$4$.

Пример 5

Проверить, делятся ли числа $123 \ 567$ и $48 \ 612$ на $4$.

Решение.

Двухзначное число, которое составлено из двух последних цифр числа $123 \ 567$, составляет $67$. Число $67$ не делится на $4$, т.к. $67\div 4=16 (ост. 3)$. Значит и число $123 \ 567$ согласно признаку делимости на $4$ не делится на $44.44.

Двухзначное число, которое составлено из двух последних цифр числа $48 \ 612$, составляет $12$. Число $12$ делится на $4$, т.к. $12\div 4=3$. Значит и число $48 \ 612$ согласно признаку делимости на $4$ делится на $4$.

Ответ: $123 \ 567$ не делится на $4, 48 \ 612$ делится на $4$.

Замечание 7

Если двумя последними цифрами заданного числа являются нули, то число делится на $4$.

Такой вывод делается вследствие того, что данное число делится на $100$, а т.к. $100$ делится на $4$, то и число делится на $4$.

Признак делимости на $5$

Замечание 8

Если последней цифрой целого числа является $0$ или $5$, то данное число делится на $5$ и не делится на $5$ во всех остальных случаях.

Пример 6

Определить, какие из предложенных чисел делятся на $5: 10, 6 349, –765 385, 29 567.$

Решение.

Используем признак делимости на $5$, согласно которому можно сделать вывод, что на $5$ без остатка делятся числа $10$ и $–765 385$, т.к. последней цифрой данных чисел является число $0$ и $5$ соответственно. Числа $6 \ 349$ и $29 \ 567$ не делятся на $5$ без остатка, т.к. последняя цифра числа $9$ и $7$ соответственно.

Ответ: $10$ и $–765 \ 385$ делятся на $5$, $6 \ 349$ и $29 \ 567$ не делятся на $5$.

Признак делимости на $9$

Замечание 9

Если сумма цифр целого числа делится на $9$, то и само число делится на $9$, в других случаях число на $9$ не делится.

Пример 7

Проверить, делится ли число $675$ на $9$.

Решение.

Найдем сумму цифр числа $675=6+7+5=18$. Т.к. полученная сумма $18$ делится на $9$, то по признаку делимости на $9$ число $675$ делится на $9$.

Ответ: $675⋮9$.

Пример 8

Проверить, делится ли число $1 \ 893$ на $9$.

Решение.

Найдем сумму цифр числа $1 \ 893 = 1 + 8 + 9 + 3 = 21$. Т.к. полученная сумма $21$ не делится на $9$, то по признаку делимости на $9$ число $1 \ 893$ не делится на $9$.

Ответ: $1 \ 893$ не делится на $9.$

Признаки делимости на $10$, $100$, $1 \ 000$ и т.д.

Замечание 10

Если последней цифрой целого числа является $0$, то данное число делится на $10$, в других случаях данное число не делится на $10$.

Замечание 11

В случае делимости на $100, 1000$ и т.д. число должно заканчиваться на столько нулей, сколько нулей в числе, на которое оно делится. Например, число $54 \ 600$ делится на $100$, т.к. в числе $100$ два нуля и число заканчивается на $2$ нуля.

spravochnick.ru

Признаки делимости чисел

Для проверки того, является данное число составным или нет, требуется выполнить достаточно большое количество делений его на меньшие числа. Для некоторых делителей существуют признаки, позволяющие установить делимость на них без выполнения самого деления значительно проще. Такие признаки называются признаками делимости.

Для каждой позиционной системы счисления формулируются свои признаки деления на то или иное число.

      1. Признаки делимости чисел в десятичной системе счисления

В десятичной

системе счисления число делится

  • на 2, если на 2 делится число единиц его последнего разряда;

  • на 3, если сумма его цифр делится на 3;

  • на 9, если сумма его цифр делится на 9;

  • на 5, если его последняя цифра 0 или 5;

  • на 10, если число единиц младшего разряда равна 0;

  • на 4, если две последние его цифры образуют число, делящееся на 4;

  • на 8, если три последние цифры его образуют число, делящееся на 8;

  • на 6, если число делится и на 2 и на 3;

  • на 11, если сумма цифр, занимающих нечетные места, либо равна сумме цифр, занимающих четные места, либо разнится от нее на число, делящееся на 11.

      1. Признаки делимости чисел в двенадцатеричной системе счисления

В двенадцатеричнойсистеме счисления число делится

  • на 2, если его последняя цифра делится на 2;

  • на 3, если его последняя цифра делится на 3;

  • на 4, если его последняя цифра делится на 4;

  • на 6, если его последняя цифра делится на 6;

  • на 8, если две последние цифры его образуют число, делящееся на 8;

  • на 9, если две последние цифры его образуют число, делящееся на 9;

  • на 11, если сумма его цифр делится на 11.

      1. Признаки делимости чисел в системах счисления с основанием 2s (т.Е. Четным основанием)

В системе счисления с основанием 2S(т.е. четным основанием) число делится

      1. Признаки делимости в системах счисления с основанием 2S+1 (т.е. нечетным основанием)

В системах счисления с основанием 2S+1(т.е. нечетным основанием) число делится

      1. Признаки делимости чисел в системах счисления с основанием s (s – любое число)

В системе счисления с основанием S(где S – любое число) число делится

studfiles.net

Татьяна Мельничук | Делимость чисел

Признак делимости на 2Число делится на 2 тогда и только тогда, когда его последняя цифра делится на 2, то есть является чётной.
Признак делимости на 3Число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его всех цифр делится на 3.
Признак делимости на 4Число делится на 4 только тогда, когда две его последние цифры – нули или составляют число, которое делится на 4.
Признак делимости на 5Число делится на 5 тогда и только тогда, когда последняя цифра делится на 5, т. е. если она 0 или 5.
Признак делимости на 6Число делится на 6 тогда, когда оно делится и на 2, и на 3 (то есть если оно четное и сумма его цифр делится на 3). Другой признак делимости: число делится на 6 тогда и только тогда, когда учетверённое число десятков, сложенное с числом единиц делится на 6.
Признак делимости на 7Признак 1. число делится на 7 тогда и только тогда, когда утроенное число десятков, сложенное с числом единиц, делится на 7.
Признак 2. число делится на 7 тогда и только тогда, когда модуль алгебраической суммы чисел, образующих нечётные группы по три цифры (начиная с единиц), взятых со знаком «+», и чётных со знаком «-» делится на 7.
Признак делимости на 8Число делится на 8 тогда и только тогда, когда число, образованное тремя его последними цифрами, делится на 8. Трёхзначное число делится на 8 тогда и только тогда, когда число единиц, сложенное с удвоенным числом десятков и учетверённым числом сотен, делится на 8.
Признак делимости на 9Число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9.
Признак делимости на 10Число делится на 10 тогда и только тогда, когда оно оканчивается на нуль.
Признаки делимости на 11Признак 1: число делится на 11 тогда и только тогда, когда модуль разности между суммой цифр, занимающих нечётные позиции, и суммой цифр, занимающих чётные места делится на 11.
Признак 2: число делится на 11 тогда и только тогда, когда на 11 делится сумма чисел, образующих группы по две цифры (начиная с единиц).
Признак делимости на 13Число делится на 13 если сумма числа десятков с учетверенным числом единиц делится на 13.
Признак делимости на 17Число делится на 17 если модуль разности числа десятков и пятикратного числа единиц делится на 17.
Признак делимости на 19Число делится на 19 тогда и только тогда, когда число десятков, сложенное с удвоенным числом единиц, делится на 19.
Признак делимости на 20Число делится на 20 тогда и только тогда, когда число, образованное двумя последними цифрами, делится на 20.
Признаки делимости на 23Признак 1: число делится на 23 тогда и только тогда, когда число сотен, сложенное с утроенным числом, образованным двумя последними цифрами, делится на 23.
Признак 2: число делится на 23 тогда и только тогда, когда число десятков, сложенное с семикратным числом единиц, делится на 23.
Признак 3: число делится на 23 тогда и только тогда, когда число сотен, сложенное с семикратным числом десятков и утроенным числом единиц, делится на 23.
Признак делимости на 25Число делится на 25 тогда и только тогда, когда две его последние цифры составляют число, которое делится на 25.
Признак делимости на 27Число делится на 27 тогда и только тогда, когда на 27 делится сумма чисел, образующих группы по три цифры (начиная с единиц).
Признак делимости на 29Число делится на 29 тогда и только тогда, когда число десятков, сложенное с утроенным числом единиц, делится на 29.
Признак делимости на 30Число делится на 30 тогда и только тогда, когда оно заканчивается на 0 и сумма всех цифр делится на 3.
Признак делимости на 31Число делится на 31 тогда и только тогда, когда модуль разности числа десятков и утроенного числа единиц делится на 31.
Признак делимости на 37Признак 1: число делится на 37 тогда и только тогда, когда при разбивании числа на группы по три цифры (начиная с единиц) сумма этих групп кратна 37.
Признак 2: число делится на 37 тогда и только тогда, когда на 37 делится модуль утроенного числа сотен, сложенного с учетверённым числом десятков, за вычетом числа единиц, умноженного на семь.
Признак 3: число делится на 37 тогда и только тогда, когда на 37 делится модуль суммы числа сотен с числом единиц, умноженного на десять, за вычетом числа десятков, умноженного на 11.
Признак делимости на 41Признак 1: число делится на 41 тогда и только тогда, когда модуль разности числа десятков и четырёхкратного числа единиц делится на 41.
Признак 2: чтобы проверить, делится ли число на 41, его следует справа налево разбить на грани по 5 цифр в каждой. Затем в каждой грани первую справа цифру умножить на 1, вторую цифру умножить на 10, третью — на 18, четвёртую — на 16, пятую — на 37 и все полученные произведения сложить. Если результат будет делиться на 41, тогда и только тогда само число будет делиться на 41.
Признак делимости на 50Число делится на 50 тогда и только тогда, когда число, образованное двумя его младшими десятичными цифрами, делится на 50.
Признак делимости на 59Число делится на 59 тогда и только тогда, когда число десятков, сложенное с числом единиц, умноженное на 6, делится на 59.
Признак делимости на 79Число делится на 79 тогда и только тогда, когда число десятков, сложенное с числом единиц, умноженное на 8, делится на 79.
Признак делимости на 99Число делится на 99 тогда и только тогда, когда на 99 делится сумма чисел, образующих группы по две цифры (начиная с единиц).
Признак делимости на 101Число делится на 101 тогда и только тогда, когда модуль алгебраической суммы чисел, образующих нечётные группы по две цифры (начиная с единиц), взятых со знаком «+», и чётных со знаком «-» делится на 101.

tmel.ru

Признаки делимости на 7 и 13. | Геометрия

Признаки делимости на 7 и 13. | Геометрия - просто!
      Добрый день!
Сегодня мы продолжим рассматривать признаки делимости.
И начнём мы  вот с чего:
Признак делимости на 7.   Берём последнюю цифру числа, удваиваем её и вычитаем из числа, которое осталось без этой последней цифры. Если разность делится на 7, значит всё число делится на 7. Это действие можно продолжать сколь угодно много раз до того момента, пока не станет понятно: делится или нет число на 7.
Пример:  298109.
1-й шаг. Берём 9, умножаем её на 2 и производим вычитание:
29810-18=29792.
2-й шаг. 29792. Берём 2, умножаем её на 2 и производим вычитание:
2979-4 = 2975.
3-й шаг. 2975. Берём 5, умножаем на 2 и производим вычитание: 297-10=287.
4-й шаг. 287. Берём 7, умножаем на 2 и производим вычитание 28-14=14. Делится на 7.
Значит всё число 298109 делится на 7.
Ещё пример. Число 1102283.
1-й шаг. 110228-3*2 = 110222
2-й шаг. 11022-2*2 = 11018.
3-й шаг. 1101-8*2 = 1085.
4-й шаг. 108-5*2 = 98.
5-й шаг. 9-8*2 = -7. Делится на 7. Значит, 1102283 делится на 7.
Признак делимости на 13.  Берём последнюю цифру числа, умножаем её на 4 и складываем с числом без последней цифры.  Если сумма делится на 13, значит все число делится на 13.
Это действие можно продолжать сколь угодно много раз до того момента, пока не станет понятно: делится или нет число на 13.
Пример: Число 595166.
1-й шаг. 59516 + 6*4 = 59540
2-й шаг. 5954 + 0*4 = 5954
3-й шаг. 595 + 4*4 = 611
4-й шаг. 61 + 1*4 = 65
5-й шаг. 6 + 5*4 = 26. Делится на 13.
Значит, число 595166 делится  нацело на  13.
Ещё пример. Число 10221224.
1-й шаг. 1022122 + 4*4 = 1022138
2-й шаг. 102213 + 8*4 = 102245
3-й шаг. 10224 + 5*4 = 10244
4-й шаг. 1024 + 4*4 = 1040
5-й шаг. 104 + 0*4 = 104
6-й шаг. 10 + 4*4 = 26. Делится на 13.
Значит, число 10221224 делится нацело на 13.
         Теперь я бы хотел показать несколько других признаков делимости и не только на простые числа, но и на составные.
Признак делимости на 11. Возьмём число и сложим все цифры, которые стоят на нечётных местах. Затем сложим все цифры числа, которые стоят на чётных местах.
Если разность между первой суммой и второй кратна 11, то всё число делится на 11.
При этом разность может быть как положительна, так и отрицательна.
Примеры: 160369  (Сумма цифр, которые стоят на нечётных местах
1+0+6 = 7.  Сумма цифр, которые стоят на чётных местах 6+3+9 = 18.
18 — 7 = 11. Делится на 11. Значит, число 160369 делится на 11).
Ещё пример:  7527927  (7+2+9+7 = 25.  5+7+2 = 14.   25 — 14 = 11.
Число 7527927 делится на 11).
Признак делимости на 15. Число 15 — составное. Его можно представить в виде произведения простых множителей, а именно 5 и 3.
А мы уже знаем  признаки делимости на 3 и 5.   Значит, число  делится на 15, если
1. — оно заканчивается на 0 или 5;
2. — сумма цифр его делится на 3.
Пример: 36840 (Число оканчивается на 0; сумма цифр его равна 3+6+8+4 = 21. Делится на 3.) Значит, все число делится на 15.
Ещё пример: 113445 Число оканчивается на 5; сумма цифр его равна 1+1+3+4+4+5 = 18. Делится на 3.) Значит, всё число делится на 15.
Признак делимости на 12. Число 12 — составное. Его можно представить в виде произведения следующих множителей: 4 и 3.
Значит, число делится на 12, если
1. — 2 последние цифры его делятся на 4;
2. — сумма цифр его делится на 3.
Примеры: 78864 (Две последние цифры — 64. Число, составленное из них, делится на 4; сумма цифр равна 7+8+8+6+4 = 33. Делится на 3.) Значит, всё число делится на 12.
Ещё пример: 943908 (Две последние цифры — 08. Число, составленное из этих цифр, делится на 4; сумма цифр равна  9+4+3+9+0+8 = 33.
Делится на 3.) Значит, всё число делится на 12.
На этом пока всё. В следующий раз мы продолжим рассматривать признаки делимости чисел.
 

Вам так же будет интересно:

Оставить комментарий

geometriyaprosto.ru

В мире чисел. Признаки делимости

Слайд 1

Проект по математике «В мире чисел» На тему: “ Признаки делимости ” учениц 6Б класса лицея №597 Золоевой Аланы и Волковой Николь

Слайд 2

О признаках делимости Признак делимости – это правило, которое позволяет быстро определить кратность числа заданному. С древности и простые люди, и учёные интересовались признаками делимости чисел и находили их. Но особый вклад в изучение признаков делимости внёс французский математик Блез Паскаль.

Слайд 3

Признак Паскаля Признак Паскаля – это признак делимости для всех натуральных чисел, то есть деление. Также, Блез Паскаль открыл признаки делимости натуральных чисел на определённые натуральные числа. Любое число a разделится на любое число b только в том случае, если сумма произведений цифр числа a на соответствующие остатки, получаемые при делении разрядных единиц на число b , делится на это число.

Слайд 4

Графическое умножение. Двузначные числа. Существует очень удобный способ умножения, графическое умножение . Допустим, нам надо умножить 32 на 21 . Рисуем линии, начинаем с числа 32. Рисуем 3 линии наискосок с правого верхнего угла в левый нижний, а чуть пониже, параллельно им, 2 линии. Затем число 21: проводим 2 линии слева, пониже, и 1 справа, повыше. Отмечаем точки пересечения линий, считаем их в каждой «зоне», и получаем результат . У нас получается вот такая схема:

Слайд 6

Графическое умножение. Многозначные числа. Многозначные числа умножаются графическим способом также, как и двузначные , но суммой точек в 1 «зоне» часто являются двузначные числа . В таких случаях первая цифра двузначного числа прибавляется к предыдущему числу. Например, мы умножаем 123 на 412 . Вот такая получится схема:

Слайд 8

Число 4 Натуральные трёхзначные и большие числа делятся на 4 только тогда , когда две последние их цифры нули или кратны 4. Например, число 497764. Оно делится на 4, так как на 4 делится 64 , то есть 2 последние цифры данного числа. Двузначные натуральные числа делятся на 4 только тогда , когда сумма удвоенного числа десятков и числа единиц делится на 4 . Взять то же число 64. 6∙2= 12 и + 4 = 16 , поэтому 64 делится на 4.

Слайд 9

Число 6 Число делится на 6 тогда , когда оно делится и на 2, и на 3 одновременно, а также когда учетверённое число десятков при сложении с числом единиц делится на 6 . Например , число 144 делится на 6, так как на 6 делится 14∙4+4=60 .

Слайд 10

Число 7 Число делится на 7 тогда , когда утроенное число десятков, сложенное с числом единиц делится на 7 . Например , число 154 делится на 7, так как на 7 делится 15∙3+4=49 .

Слайд 11

Число 8 Трёхзначное число делится на 8 тогда и только тогда , когда число единиц, сложенное с удвоенным числом десятков и учетверённым числом сотен, делится на 8 . Например , число 952 делится на 8, так как на 8 делится 2+5∙2+9∙4=48 .

Слайд 12

Число 11 1 признак: число делится на 11 тогда , когда модуль разности между суммой цифр, занимающих нечётную позицию и занимающих чётную делится на 11 . Например, число 10538. 1+5+8=14, 0+3=3, 14-3=11. │11 │ =11, а 11 делится на 11, значит число 10538 тоже делится на 11. 2 признак: число делится на 11 тогда , когда на 11 делится сумма чисел, образующих группы по 2 цифры, начиная с единиц . Например, число 10593. 93+5+1=99, 99 кратно 11 , значит число 10593 тоже кратно 11.

Слайд 13

Число 13 Число делится на 13 тогда , когда сумма числа десятков с учетверенным числом единиц делится на 13 . Например , число 845 делится 13, так как на 13 делятся 84+5∙4=104 и 10+4∙4=26 .

Слайд 14

Число 17 Число делится на 17 тогда , когда модуль разности числа десятков и пятикратного числа единиц делится на 17 . Например , число 221 делится на 17, так как | 22-5 ∙ 1 |=17 .

Слайд 15

Число 19 Число делится на 19 тогда , когда число десятков, сложенное с удвоенным числом единиц, делится на 19 . Например , число 646 делится на 19, так как 64+6*2=76 и 7+6*2=19 .

Слайд 16

Число 23 Число делится на 23 тогда , когда число десятков, сложенное с семикратным числом единиц, делится на 23 . Например , число 391 делится на 23, так как на 23 делятся 39+1 ∙ 7=46 делится на 23 .

Слайд 17

Число 25 Число делится на 25 тогда , когда число, образованное 2 его последними цифрами, делится на 25 . Например, число 1765375. 75 делится на 25 , значит данное число тоже кратно 25.

Слайд 18

Число 99 Число делится на 99 тогда , когда на 99 делится сумма чисел, образующих группы по 2 цифры, начиная с единиц . Например, число 64449. 49+44+6=99, 99 кратно 99 , поэтому и 64449 кратно 99.

Слайд 19

Число 101 Число делится на 101 тогда , когда модуль суммы чисел, образующих нечётные группы по 2 цифры, (начиная с единиц) взятых со знаком «+» и образующих чётные группы по 2 цифры, взятых со знаком «-», делится на 101 . Например, число 363297. │97+36-32 │=101 , значит данное число кратно 101.

Слайд 20

Спасибо за внимание!

nsportal.ru

Сайт-визитка

 

МЕНЮ

  Гостевая книга Форум  
 

ПРИЗНАКИ ДЕЛИМОСТИ НА ЧИСЛА ОТ 1 ДО 20

            Ну, прежде всего, заметим, что на 1 делится любое число. Это, наверное, самый простой признак делимости. На два делятся четные числа, на пять - числа, оканчивающиеся на цифры 5 или 0, а на десять - числа, оканчивающиеся на 0. Это все знают.
            Также многие знают, что, если сумма цифр числа делится на 3 или 9, то и само число делится на 3 или 9. Например:

Число 432987 - сумма цифр - 4+3+2+9+8+7=33
Сумма цифр делится на 3, значит и само число делится на 3
Сумма цифр НЕ делится на 9, значит и само число НЕ делится на 9

            Продолжим. На 4 число делится, когда две последние цифры числа делятся на 4. На 8 - когда три последние цифры делятся на 8. На 16 - когда 4 последние цифры делятся на 16.

Число 23764 Две последних цифры (64) делятся на 4, значит и само число делится на 4
Три последних цифры (764) НЕ делятся на 8, значит и само число не делится на 8

            Теперь выучим признак делимости на 7: Нужно взять последнюю цифру числа, удвоить ее, и вычесть из "числа, оставшегося без последней цифры". Потом снова проверить, если то, что получилось, делится на 7, то и само число делится на 7.

Число 296492 Берем последнюю цифру "2", удваиваем, получаем 4. Вычитаем 29649-4=29645. Неизвестно, делится ли оно на 7. Поэтому проверим снова.
Берем последнюю цифру "5", удваиваем, получаем 10. Вычитаем 2964-10=2954. Неизвестно, делится ли оно на 7. Поэтому проверим снова.
Берем последнюю цифру "4", удваиваем, получаем 8. Вычитаем 295-8=287. Неизвестно, делится ли оно на 7. Поэтому проверим снова.
Берем последнюю цифру "7", удваиваем, получаем 14. Вычитаем 28-14=14. Число 14 делится на 7, значит и исходное число делится на 7

            Следующие признаки делимости похожи на предыдущий, только меняются числа:

  • Признак делимости на 11: Нужно взять последнюю цифру числа, и вычесть из "числа, оставшегося без последней цифры". Потом снова проверить, если то, что получилось, делится на 11, то и само число делится на 11.

  • Признак делимости на 13: Нужно взять последнюю цифру числа, и умножить ее на 4, и добавить к "числу, оставшегося без последней цифры". Потом снова проверить, если то, что получилось, делится на 13, то и само число делится на 13.

  • Признак делимости на 17: Нужно взять последнюю цифру числа, и умножить ее на 5, и вычесть из "числа, оставшегося без последней цифры". Потом снова проверить, если то, что получилось, делится на 17, то и само число делится на 17.

  • Признак делимости на 19: Нужно взять последнюю цифру числа, и умножить ее на 2, и добавить к "числу, оставшегося без последней цифры". Потом снова проверить, если то, что получилось, делится на 19, то и само число делится на 19.

            Ну и признаки делимости оставшихся чисел: На 6 число делится, если оно одновременно делится на 3 и на 2. На 12 число делится, если оно одновременно делится на 3 и на 4. На 15 число делится, если оно одновременно делится на 3 и на 5. На 18 число делится, если оно одновременно делится на 2 и на 9.
            Ну и на 20 число делится, если оно делится на 10, и предпоследняя цифра у него четная (2369720 делится на 20, а 236579050 - не делится).

Назад  
 

bigblueboar.narod.ru

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *