Проекция графика функции на ось y показывает область значения функции – Укажите неверное утверждение. 1) проекция графика функции на ось X показывает область определения функции 2) графики прямой и обратной функций симметричны относительно прямой у = — х 3) проекция графика функции на ось Y показывает область значения функции

Домашнее задание:

Дан график функции .(слайд11)

Перерисуйте его и укажите следующие свойства:

1. Область определения функции
2. Область значений функции
3. Промежутки монотонности, или промежутки возрастания и убывания функции
4. Наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке
5. Нули функции
6. Точки экстремума
7. Промежутки постоянного знака функции

Список литературы

1. Башмаков М.И. Математика: учебник для учреждений нач. и среднего профессионального. Образования/ М.И. Башмаков. – М.: Академия, 2010
2. Дорофеев Г.В. Сборник заданий для подготовки и проведения письменного экзамена по математике/ Г.В. Дорофеев. — М.: Дрофа, 2010. – 160 с.
3. Колмогоров А.Н. Алгебра и начала анализа: учебник для общеобразовательных учреждений для 10-11 классов/ А.Н. Колмогоров. — М.: Просвещение, 2010. – 383 с.
4. Островский C.Л. Как сделать презентацию к уроку?/ С.Л. Островский: Первое сентября, 2010.

1.04.2014

xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai

Исследование графика функции. Минимум и максимум

На рисунке изображен график функции . Посмотрим, как исследовать функцию с помощью графика. Оказывается, глядя на график, можно узнать всё, что нас интересует, а именно:

• область определения функции
• область значений функции
• нули функции
• промежутки возрастания и убывания
• точки максимума и минимума
• наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке.

Уточним терминологию:

Абсцисса

Аргумент — независимая переменная, от которой зависят значения функции. Чаще всего обозначается .
Другими словами, мы сами выбираем , подставляем в формулу функции и получаем .

Область определения функции — множество тех (и только тех) значений аргумента , при которых функция существует.
Обозначается: или .

На нашем рисунке область определения функции  — это отрезок . Именно на этом отрезке нарисован график функции. Только здесь данная функция существует.

Область значений функции — это множество значений, которые принимает переменная . На нашем рисунке это отрезок  — от самого нижнего до самого верхнего значения .

Нули функции — точки, где значение функции равно нулю, то есть . На нашем рисунке это точки и .

Значения функции положительны там, где . На нашем рисунке это промежутки и .
Значения функции отрицательны там, где . У нас это промежуток (или интервал) от до .

Важнейшие понятия — возрастание и убывание функции на некотором множестве . В качестве множества  можно взять отрезок , интервал , объединение промежутков или всю числовую прямую.

Функция возрастает на множестве , если для любых и , принадлежащих множеству , из неравенства следует неравенство .

Иными словами, чем больше , тем больше , то есть график идет вправо и вверх.

Функция убывает на множестве , если для любых и , принадлежащих множеству , из неравенства следует неравенство .

Для убывающей функции большему значению  соответствует меньшее значение . График идет вправо и вниз.

На нашем рисунке функция возрастает на промежутке и убывает на промежутках и .

Определим, что такое точки максимума и минимума функции.

Точка максимума — это внутренняя точка области определения, такая, что значение функции в ней больше, чем во всех достаточно близких к ней точках.
Другими словами, точка максимума — такая точка, значение функции в которой больше, чем в соседних. Это локальный «холмик» на графике.

На нашем рисунке  — точка максимума.

Точка минимума — внутренняя точка области определения, такая, что значение функции в ней меньше, чем во всех достаточно близких к ней точках.
То есть точка минимума — такая, что значение функции в ней меньше, чем в соседних. На графике это локальная «ямка».

На нашем рисунке  — точка минимума.

Точка  — граничная. Она не является внутренней точкой области определения и потому не подходит под определение точки максимума. Ведь у нее нет соседей слева. Точно так же и  на нашем графике не может быть точкой минимума.

Точки максимума и минимума вместе называются точками экстремума функции. В нашем случае это  и .

А что делать, если нужно найти, например, минимум функции на отрезке ? В данном случае ответ: . Потому что минимум функции — это ее значение в точке минимума.

Аналогично, максимум нашей функции равен . Он достигается в точке .

Можно сказать, что экстремумы функции равны  и .

Иногда в задачах требуется найти наибольшее и наименьшее значения функции на заданном отрезке. Они не обязательно совпадают с экстремумами.

В нашем случае наименьшее значение функции на отрезке равно  и совпадает с минимумом функции. А вот наибольшее ее значение на этом отрезке равно . Оно достигается в левом конце отрезка.

В любом случае наибольшее и наименьшее значения непрерывной функции на отрезке достигаются либо в точках экстремума, либо на концах отрезка.

Звоните нам: 8 (800) 775-06-82 (бесплатный звонок по России)                        +7 (495) 984-09-27 (бесплатный звонок по Москве)

Или нажмите на кнопку «Узнать больше», чтобы заполнить контактную форму. Мы обязательно Вам перезвоним.

ege-study.ru

11 кл урок 1 алгебра

Учитель Толчева Оксана Николаевна

Предмет Алгебра

Класс 11-Б

Тема №1 Повторение и систематизация учебного материала.

Урок 1

Числовые функции их свойства и графики..

Цель: Обобщить и систематизировать знания учащимися числовых функций, их свойства(область определения, область значений, нули функции, промежутки постоянства знака и монотонности, четности) и графиков.

I. Повторение и анализ фактов

1. Определение числовой функции

Числовой функцией с областью определения D называется соответствие, при которой каждому числу x из множества D ставится в соответствие единственное число у, которая обозначается y=f(x), х-аргумент (независимая переменная), у-функция (зависимая переменная).

2.Свойства числовых функций

3. Как найти область определения функции

4. График функции

Графиком функции у=f(x) называется множество всех точек плоскости с координатами , где первая координата «пробегает» всю область определения функцииf, а другая– соответственное значение функции в точке х.

5.Основные виды элементарных функций и их графики

II. Усовершенствование умений

Алгоритм исследования функции на четность и нечетность

1. Найти область определения функции и проверить будет ли она симметричной относительно нуля.

2. Если область определения симметрична относительно нуля, то найти :

1. если , то функция четная;

1. если , то функция нечетная.

Примеры:

1. Доказать, что функция четная.

Решение.1) — симметрична относительно нуля;

2) ,,.

Вывод: функция четная.

2. Доказать, что функция нечетная.

Решение.1) — симметрична относительно нуля;

2) ,,

, .

Вывод: функция нечетная

3. Исследуйте функцию ина четность и нечетность.

Решение.1) ,не симметрична относительно нуля, значит функция ни четная, ни нечетная.

2) ,,,,,

, , значит функция ни четная, ни нечетная.

III. Самостоятельное выполнение практических заданий

№1 Найдите значения функции в заданной точке x₀.

1),; 2),; 3),.

№2 Найдите область определения функции:

1); 2); 3); 4); 5);

№3 Найдите область значения функции:

1); 2);

№4 Исследуйте на четность или нечетность функции, которые заданы формулой:

1); 2);

№5 Какая из приведенных функций есть убывающей на множестве действительных чисел?

1) ; 2); 3); 4).

№6 Какая из линейных функций возрастает?

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

3

studfiles.net

Асимптоты графика функции

Но если хотя бы один из этих пределов не существует или равен бесконечности, то кривая y =f (x) наклонных асимптот не имеет.

Отметим, что следует отдельно рассмотреть случаи х→ +∞ их → − ∞. Частным случаем

наклонной асимптоты при k = 0 иb = limf (x) будет горизонтальная асимптота. Поэтомуy = b –

x→∞

уравнение горизонтальной асимптоты.

Рассмотрим график функции на рис. 15. Точки х = х2,х = х4 – точки экстремумов функции, точках = х1 – это точка перегиба. Точках = х3 является особенной точкой для функции, в нейf (x) терпит разрыв, а прямаях = х3 является вертикальной асимптотой

графика функции. Прямая y = kx + b тоже будет асимптотой графика, только наклонной, прямаяу = 0 – горизонтальная асимптота графика.

Если точка М (х, у) лежит на графике и неограниченно удаляется от начала координат, то она приближается к одной из этих прямых; расстояние от точкиМ (х, у) до асимптот стремится к нулю.

Общая схема исследования функции и построения графика

Для общего исследования функции и построения графика полезно придерживаться следующего плана.

Найти область определения функции, точки разрыва функции и интервалы непрерывности Найти (если это возможно) точки пересечения графика с осями координат.

Найти интервалы знакопостоянства функции (промежутки, на которых f (x) > 0 илиf (x) < 0). Решить вопрос о чётности, нечётности, симметрии, периодичности функции.

Если есть точки разрыва 2-города, найти вертикальные асимптоты. Найти, если они есть, наклонные и горизонтальные асимптоты.

Спомощью 1-ойпроизводной найти точки экстремума и области возрастания и убывания данной функции. Найти экстремальные значения функции.

Спомощью 2-ойпроизводной найти точки перегиба, области выпуклости и вогнутости. Построить график.

Функция определена на всей числовой оси за исключением точки х = 1, где знаменатель дроби обращается в нуль. Так как область определения не симметрична относительно начала координат, то не имеет смысла говорить о чётности (нечётности) функции.

Точка х = 1 является точкой разрыва функции. Найдём пределыy = f (x) прих → 1 (слева и справа) (рис. 16).

studfiles.net

Функции Область определения и значения Четность и нечетность Периодичность Возрастание, убывание функции Преобразования графиков функций — СПРАВОЧНИК ПО МАТЕМАТИКЕ, ШКОЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА, ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

Функции

Числовой функцией с областью определения D называется соответствие, при котором каждому числу x из множества D сопоставляется по некоторому правилу единственное число y, зависящее от x.

Обозначение: y = f(x)

Независимая переменная x – аргумент функции f.
Число y, соответствующее x – значение функции f в точке x.

График функции

График функции f – множество всех точек (x; y) координатной плоскости, где y=f(x), а x «пробегает» всю область определения функции f.

Графики элементарных функций

Область определения функции

Область определения функции – множество значений x, для которых выполнимы действия, указанные в правиле f.
Обозначается: ООФ или D(f).
С геометрической точки зрения ООФ есть проекция графика этой функции на ось ОХ.

Область значения функции

Область значений функции – множество значений функции f(x), которые она принимает при изменении x на ООФ.
Обозначается: ОЗФ или E(f).
С геометрической точки зрения ОЗФ – проекция графика на ось OY.

Четность и нечетность функций

Функция f называется четной, если для любых x из ООФ
f(-x) = f(x)

График четной функции симметричен относительно оси OY.

Функция f называется нечетной, если для любых x из ООФ f(-x) = — f(x)

График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Алгоритм определения четности функции одной переменной

Периодичность функций

Функция называется периодической с периодом Т ≠ 0, если для любого x из ООФ
f(x + T) = f(x) = f(x — T).

Для построения графика периодичностью функции с периодом T достаточно провести построение на отрезке длиной T и полученный график параллельно перенести на расстояние nT вправо и влево вдоль оси OX (n – любое натуральное число).

Возрастание, убывание функций

Функция f возрастает на множестве P, если для любых x1 и x2 из множества P, таких, что x2 > x1, выполнено неравенство f(x2) > f(x1).

Функция f убывает на множестве P, если для любых x1 и x2 из множества P, таких, что x2 > x1, выполнено неравенство f(x2) < f(x1).

Преобразования графиков функций

Пусть дан график функции y = f(x)

Тогда:

1 . График функции y = f(–x) получается симметричным отображением графика y = f(x) относительно оси OY:

2 . График функции y = –f(x) получается симметричным отображением графика y = f(x) относительно оси OX:

3 . График функции y = |f(x)| получается следующим образом: обводим ту часть графика функции y = f(x), которая лежит выше оси OX, а часть лежащую ниже отобразить симметрично оси OX:

4 . График функции y =f(|x|) получается следующим образом: отбрасываем часть графика функции y = f(x), лежащую левее оси OY, обводим ту часть графика функции y = f(x), которая лежит правее оси OY и отображаем ее симметрично оси OY:

5 .График функции y =f(x–a) + b получается построением графика функции y = f(x) в новой системе координат X`0`Y`, где 0`(a, b), 0`X` || 0X, 0`Y` || 0Y:

6 . График функции y =f(m*x), m > 0, получается из данного растяжением в 1/m раз (если m < 0) от оси OY (вдоль оси OX) и сжатием в m раз (m > 1) к оси OY:

7 . График функции y =k* f(x), k > 0, получается из данного растяжением в k раз (k > 1) относительно оси OX (вдоль оси OY) и сжатием в 1/k раз (при k < 1) к оси OX:

intellect.icu

параллельный перенос (сдвиг), отображение, растяжение, сжатие, отражение. Курсы по математике

Тестирование онлайн

• Преобразование графиков

Параллельный перенос

График функции y=f(x)+B получается параллельным переносом графика функции y=f(x) в положительном направлении вдоль оси Оу на расстояние В, если В>0 и в отрицательном направлении вдоль оси Оу, если B.

График функции y=f(x+b) получается параллельным переносом графика функции y=f(x) в положительном направлении вдоль оси Оx на расстояние b, если b и в отрицательном направлении вдоль оси Оx, если b>0.

Отображение

График функции y=-f(x) получается симметричным отображением графика y=f(x) относительно оси Ох.

График функции y=f(-x) получается симметричным отображением графика y=f(x) относительно оси Оу.

Деформация (растяжение и сжатие) графика

График функции y=Af(x), получается растяжением графика y=f(x) вдоль оси Оу от оси Ох в A раз при A>1 или сжатием вдоль оси Оу к оси Ох в раз при A.

График функции y=f(ax), получается сжатием графика y=f(x) вдоль оси Ох к оси Оу в а раз при а>1 или растяжением вдоль оси Ох к оси Оу в раз при а.

Отражение

График функции получается из графика функции y=f(x) следующим образом: часть графика функции y=f(x), лежащая над осью Ох и на оси, остается без изменений, а часть графика, лежащая под осью Ох, отражается симметрично относительно оси Ох на верхнюю полуплоскость.

График функции получается из графика функции y=f(x) следующим образом: часть графика функции y=f(x), соответствующая неотрицательным значениям аргумента , остается без изменений, а отрицательным значениям аргумента будет соответствовать график, полученный путем симметричного относительно оси Оy отображения части графика, оставленной без изменений.

Примеры

fizmat.by

No related posts.