Произведение косинусов, синусов и синуса на косинус
- Главная
- Алгебра
- Тригонометрия
- Произведение косинусов, синусов и синуса на косинус
Онлайн-тест по уроку
Формулы произведений косинусов cos(α)×cos(β), синусов sin(α)×sin(β) и синуса на косинус sin(α)×cos(β) можно выразить из четырех базовых формул — косинуса разности cos(α−β), косинуса суммы cos(α+β), синуса разности sin(α−β) и синуса суммы sin(α+β):
cos(α−β) = cos(α)×cos(β) + sin(α)×sin(β) (I)cos(α+β) = cos(α)×cos(β) − sin(α)×sin(β) (II)sin(α−β) = sin(α)×cos(β) − cos(α)×sin(β) (III)sin(α+β) = sin(α)×cos(β) + cos(α)×sin(β) (IV)
Эти четыре формулы вывести трудно, поэтому их проще запомнить. Но с их помощью можно вывести искомые тригонометрические тождества.
Произведение косинусов
Сложим базовые равенства I и II — косинус разности и косинус суммы:
cos(α−β) + cos(α+β) =cos(α)×cos(β) + sin(α)×sin(β) + cos(α)×cos(β) − sin(α)×sin(β) ={одинаковые произведения синусов сокращаются} =cos(α)×cos(β) + cos(α)×cos(β) = 2×cos(α)×cos(β)Получаем равенство:
cos(α−β) + cos(α+β) = 2×cos(α)×cos(β)
В этом равенстве можно и левую и правую части поделить на 2 и поменять местами и получится искомое выражение для произведения косинусов:
cos(α)×cos(β) = [cos(α−β) + cos(α+β)] / 2,
т.е. произведение косинусов равно полусумме косинуса разности и косинуса суммы.
Произведение синусов
Воспользуемся базовыми формулами I и II — косинус разности и косинус суммы. Из равенства I вычтем равенство II:
cos(α−β) — cos(α+β) =cos(α)×cos(β) + sin(α)×sin(β) — cos(α)×cos(β) + sin(α)×sin(β) ={одинаковые произведения косинусов сокращаются} =sin(α)×sin(β) + sin(α)×sin(β) = 2×sin(α)×sin(β)Получаем равенство:
cos(α−β) — cos(α+β) = 2×sin(α)×sin(β)
В этом равенстве можно левую и правую части поделить на 2 и поменять местами и получится искомое выражение для произведения синусов:
sin(α)×sin(β) = [cos(α−β) — cos(α+β)] / 2,
т.е. произведение синусов равно полуразности косинуса разности и косинуса суммы.
Произведение синуса на косинус
Сложим базовые равенства III и IV — синус суммы и синус разности:
sin(α−β) + sin(α+β) =sin(α)×cos(β) − cos(α)×sin(β) + sin(α)×cos(β) + cos(α)×sin(β) ={одинаковые cos(α)×sin(β) сокращаются} =sin(α)×cos(β) + sin(α)×cos(β) = 2×sin(α)×cos(β)Получаем равенство:
sin(α−β) + sin(α+β) = 2×sin(α)×cos(β)
В этом равенстве можно левую и правую части поделить на 2 и поменять местами и получится искомое выражение для произведения синуса на косинус:
sin(α)×cos(β) = [sin(α−β) + sin(α+β)] / 2,
т.е. произведение синуса на косинус равно полусумме синуса разности и синуса суммы.
Итоговые формулы произведения косинусов, синусов и синуса на косинус
cos(α)×cos(β) = [cos(α−β) + cos(α+β)] / 2sin(α)×sin(β) = [cos(α−β) — cos(α+β)] / 2sin(α)×cos(β) = [sin(α−β) + sin(α+β)] / 2
Эти формулы мы получили из четырех базовых формул: косинуса разности cos(α−β), косинуса суммы cos(α+β), синуса суммы sin(α−β) и синуса разности sin(α+β). И эти четыре равенства мы между собой складывали и вычитали.
blitztest.ru
sin a cos b
Для произведения sin a cos b существует формула, в которой используется функция синус суммы, а также синус разности:
Для такого произведения важное значение имеет очередность функций синус и косинус, поскольку существует также формула для произведения cos a sin b, согласно которой:
Как видно из формул, различия небольшие, но все же есть — это всего лишь знаки между членами числителя. Но при вычислении значений тригонометрических выражений этот знак имеет огромное значение.
Рассмотрим пример применения формулы.
Пример.
Вычислить .
Решение.
Ко второму слагаемому применим рассмотренную выше формулу:
Для функции воспользуемся формулами приведения:
Значение синуса 60 градусов можно найти по таблице значений тригонометрических функций.
Ответ. .
Если внимательнее присмотреться к формуле произведения синуса и косинуса, то можно увидеть, что ее легко вывести из формул синуса суммы и разности.
ru.solverbook.com
Внеклассный урок — Преобразование сумм тригонометрических функций в произведения
Преобразование сумм тригонометрических функций в произведения
Формулы преобразования сумм в произведения:
x + y x – y x – y x + y x + y x – y x + y x – y sin (x + y) sin (x – y) sin (x + y) –sin (x – y) |
1) Объясним первую формулу:
x + y x – y
sin x + sin y = 2 sin ——— cos ———
2 2
Она поучена из формул синуса сложения и разности аргументов:
sin (α + β) = sin α cos β + sin β cos α
sin (α – β) = sin α cos β – sin β cos α.
Сложим две формулы:
sin (α + β) + sin (α – β) = sin α cos β + sin β cos α + sin α cos β – sin β cos α = 2 sin α cos β.
Таким образом,
sin (α + β) + sin (α – β) = 2 sin α cos β.
К этой формуле вернемся в конце наших вычислений.
Теперь введем новые переменные:
вместо α + β напишем х,
вместо α – β напишем у.
Тогда:
sin х + sin у = 2 sin α cos β.
В то же время, введя новую переменную, мы получили систему уравнений. Решим ее методом алгебраического сложения:
│α + β = х
│α – β = у
│α + β + α – β = х + у
│α + β – α + β = х – у
│2α = х + у
│2β = х – у
│ х + у
│α = ———
│ 2
│
│ х – у
│ β = ———
│ 2
Вернемся к полученной нами сумме двух формул сложения аргументов: sin х + sin у = 2 sin α cos β. Осталось подставить в них полученные значения α и β, чтобы в итоге получить нашу формулу:
x + y x – y
sin x + sin y = 2 sin ——— cos ———
2 2
2) Вторая формула из таблицы логически вытекает из первой и доказывается просто.
Вспомним свойство нечетности синуса: sin (–y) = –sin y.
Из этого следует, что sin x – sin y = sin x + (–sin y). Следовательно:
x + (–y) x – (–y) х – у х + у
sin x + (–sin y) = 2 sin ———— cos ———— = 2 sin ——— cos ———.
2 2 2 2
Таким образом:
x – y x + y
sin x – sin y = 2 sin ——— cos ———
2 2
Аналогично преобразуются в произведение суммы косинусов.
Преобразуем еще суммы тангенсов и котангенсов. Порядок прост: представляем тангенсы и котангенсы как отношение синусов и косинусов, находим для полученных дробей общий знаменатель и применяем формулы сложения. То есть совершаем всего три действия:
sin x sin y sin x cos y + cos x sin y sin (x + y)
tg x + tg y = ——— + ——— = ———————————— = ——————
cos x cos y cos x cos y cos x cos y
cos x cos y cos x sin y + sin x cos y sin (x + y)
ctg x + ctg y = ——— + ——— = ———————————— = ——————
sin x sin y sin x sin y sin x sin y
Преобразование разностей в произведение осуществляется таким же образом.
Остальные формулы, приведенные в таблице, тоже тесно связаны с другими формулами тригонометрии. Попробуйте вычислить их самостоятельно.
Решим несколько примеров.
Пример 1. Упростить выражение
sin 60º + sin 30º.
Решение.
60º + 30º 60º – 30º
sin 60º + sin 30º = 2 sin ————— cos ————— = 2 sin 45º cos 15º =
2 2
√2
= 2 · —— cos 15º = √2 cos 15º.
2
Ответ: sin 60º + sin 30º = √2 cos 15º.
Пример 2. Упростить выражение
sin 60º – sin 30º.
Решение.
45º – 15º 45º + 15º
sin 45º – sin 15º = 2 sin ————— cos ————— = 2 sin 15º cos 30º =
2 2
√3
= 2 sin 15º · —— = √3 sin 15º.
2
Ответ: sin 45º – sin 15º = √3 sin 15º.
raal100.narod.ru
sin + cos = 1
Задание.
Найти корни .
Решение.
Данное уравнение можно решить графическим путем — при помощи графиков функций синус и косинус. Эти функции нужно построить на одной и той же координатной плоскости, найти точки пересечения этих графиков. Такие точки и будут являться решением заданного уравнения.
Найдем решение уравнения аналитическим путем. Для этого все уравнение возведём во вторую степень:
Используем формулу квадрата от суммы и раскроем скобки:
Исходя из основного тригонометрического тождества, получим, что сумма квадрата синуса и квадрата косинуса равна единице. Перепишем полученное уравнение с учетом этого и упростим:
В уравнении видим произведение из трех множителей, один из которых (число 2) не может быть равным нулю. Следовательно, один из оставшихся множителей будет равным нулю:
либо .
Полученные уравнения являются простейшими тригонометрическими уравнениями, решение которых можно получить из справочных материалов, из таблицы значений основных из тригонометрических функций, из графиков этих функций или с помощью тригонометрической окружности. Запишем эти решения:
Ответ. ; .
ru.solverbook.com