Производная функции формулы – Формулы производных функций y (x)

Формулы производных функций y (x)

---

Производные линейной функции.

 

Производные степенной функции.

 

 

Производные показательной функции.

 

Производные логарифмической функции.

 

Производные тригонометрической функции.

 

Производные обратной тригонометрической функции.

Подробности

Автор: Administrator

Опубликовано: 30 мая 2013

Обновлено: 24 мая 2017

www-formula.ru

Формулы производных

Что такое производная функция — это основное математическое понятие, находится на одном уровне с интегралами, при анализе. Данная функция в определенной точке дает характеристику скорости изменений функции в данной точке.
Такие понятия как дифференцирование и интегрирование, первое расшифровывается как действие поиска производной, второе наоборот, восстанавливает функцию отталкиваясь от данной производной.
Вычислениям производной отводится важная часть в дифференциальных расчетах.
Для наглядного примера, изобразим производную на координатной плоскости.

в функции у=f(х) фиксируем точки М в которой (х0; f(X0)) и N f (x0+?x) к каждой абсциссе есть приращение в виде ?x. Приращением называется процесс когда изменяется абсцисса, тогда меняется и ордината. Обозначается как ?у.

Найдем тангенс угла в треугольнике MPN используя для этого точки М и N.

tg? = NP/MP = ?у/?x.

При ?x идущем к 0. Пересекающая МN все ближе к касательной МТ и угол ? будет ?. Следовательно, tg ? максимальное значение для tg ?.

tg ? = lim от ?x-0 tg ? = lim от ?x-0 ?у/?x

Таблица производных

Если проговаривать формулировку каждой формулы производных. Таблица будет проще запоминаться.
1) Производная от постоянного значения равняется 0.
2) Х со штрихом равняется единице.
3) Если есть постоянный множитель, просто выносим ео за производную.
4) Чтобы найти производную степень, нужно показатель данной степени умножить на степень с таким же основанием, у которого показатель на 1 меньше.
5) Поиск корня равен одному, деленному 2 этих корня.

6) Производная одного, деленного на Х равняется одному разделенному на Х возведенный в квадрат, со знаком минус.
7) П синус равняется косинусу
8) П косинус равняется синусу со знаком минус.
9) П тангенс равняется одному, деленному на косинус в квадрате.
10) П котангенс равняется одному со знаком минус, деленная на синус в квадрате.

В дифференцировании также существуют правила, которые тоже проще выучить проговаривая их в слух.

1) Очень просто, п. слагаемых равняется их сумме.
2) Производная в умножении равняется умножению первого значения на второе, прибавляя к себе умножение второго значения на первое.
3) Производная в делении равняется умножению первого значения на второе, отнимая от себя умножение второго значения на первое. Дробь деления на второе значение в квадрате.
4) Формулировка является частным случаем третьей формулы.

---

Если материал был полезен, вы можете отправить донат или поделиться данным материалом в социальных сетях:

---

reshit.ru

Формулы производной | Формулы с примерами

Формулы
Приращение аргумента

Приращение функции

Производная функции ?(x) в точке x₀

Касательная к графику

Геометрический смысл производной

Уравнение касательной к графику ? (x)

Физический смысл производной

Правила дифференцирования

Таблица производных

Достаточное условие монотонности функции ? (x)

Экстремумы функции ? (x)

Необходимое условие экстремума ? (x)

Достаточное условие экстремума непрерывной в точке x₀ функции ? (x)

formula-xyz.ru

Формулы производных

Производная характеризует скорость изменения функции в определенной точке. На рисунке 1 изображена производная функции на координатной плоскости.

Рисунок 1. Производная функции

2) Производная неизвестной величины равна единице

\[x’=1\]

3) Если выражение содержит постоянную величину — ее необходимо вынести за знак предела.

\[y’=\left(c\cdot f\left(x\right)\right)^{{‘} } =c\cdot f’\left(x\right)\]

4) Производная степенной функции находится как произведение значения степени на степенное выражение, степень которого уменьшена на 1.

\[y’=\left(x^{n} \right)^{{‘} } =n\cdot x^{n-1} \]

5) Производная экспоненты равна самой экспоненте

6) Производная числа в степени х равна произведения данного выражения на логарифм числа:

\[y’=\left(a^{x} \right)^{{‘} } =a^{x} \cdot \log a\]

7) Производная sinx равна cosx

8) Производная cosx равна —sinx

9) Производная тангенса равна частному единицы и квадратному косинусу х

\[y’=\left(tgx\right)^{{‘} } =\frac{1}{\cos ^{2} x} \]

10) Производная котангенса равна частному минус единицы и квадратному синусу х

\[y’=\left(ctgx\right)^{{‘} } =-\frac{1}{\sin ^{2} x} \]

11) Производная арксинуса равна:

\[y’=\left(\arcsin x\right)^{{‘} } =\frac{1}{\sqrt{1-x^{2} } } \]

12) Производная арккосинуса равна:

\[y’=\left(\arccos x\right)^{{‘} } =-\frac{1}{1-x^{2} } \]

13) Производная арктангенса равна:

\[y’=\left(arctgx\right)^{{‘} } =\frac{1}{1+x^{2} } \]

14) Производная арккотангенса противоположна производной арктангенса и равна:

\[y’=\left(arctgx\right)^{{‘} } =-\frac{1}{1+x^{2} } \]

15) Производная суммы функций равна сумме их производных:

\[\left(x+y+…+z\right)^{{‘} } =x’+y’+…+z’\]

16) Производная произведения нескольких функций равна:

$y’ = (fx1 \cdot fx2 \cdot \dots \cdot fxn) = fx’1fx2fx3\dots fxn + fx1fx’2fx3\dots fxn + \dots + fx1fx2fx3\dots fx’n$

17) Производная частного вычисляется по формуле:

\[y’=\left(\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)} \right)^{{‘} } =\frac{f\left(x\right)^{{‘} } g\left(x\right)-g\left(x\right)^{{‘} } f\left(x\right)}{g^{2} \left(x\right)} \]

spravochnick.ru

7.1. Производная, правила и формулы дифференцирования

Пусть функция y = f(x) определена в промежутке X. Производной функции y = f(x) в точке х_o называется предел

= .

Если этот предел конечный, то функция f(x) называется дифференцируемой в точке x_o; при этом она оказывается обязательно и непрерывной в этой точке.

Если же рассматриваемый предел равен  (или — ), то при условии, что функция в точке х_o непрерывна, будем говорить, что функция f(x) имеет в точке х_oбесконечную производную.

Производная обозначается символами

y ,   f (x_o),   ,   .

Нахождение производной называется дифференцированием функции. Геометрический смысл производной состоит в том,что производная есть угловой коэффициент касательной к кривой y=f(x) в данной точке х_o; физический смысл — в том, что производная от пути по времени есть мгновенная скорость движущейся точки при прямолинейном движении s = s(t) в момент t_o.

Если с — постоянное число, и u = u(x), v = v(x) — некоторые дифференцируемые функции, то справедливы следующие правила дифференцирования:

1) (с)‘ = 0, (cu)‘ = cu’;

2) (u+v)’ = u’+v’;

3) (uv)’ = u’v+v’u;

4) (u/v)’ = (u’v-v’u)/v^2;

5) если y = f(u), u = (x), т.е. y = f((x)) — сложная функция, или суперпозиция, составленная из дифференцируемых функций  и f, то , или

;

6) если для функции y = f(x) существует обратная дифференцируемая функция x = g(y), причем   0, то .

На основе определения производной и правил дифференцирования можно составить список табличных производных основных элементарных функций.

1. (u^)’ =  u^1 u’ (  R).

2. (a^u)’ = a^u lna u’.

3. (e^u)’ = e^u u’.

4. (log_a u)’ = u’/(u ln a).

5. (ln u)’ = u’/u.

6. (sin u)’ = cos u u’.

7. (cos u)’ = — sin u u’.

8. (tg u)’ = 1/ cos²u u’.

9. (ctg u)’ = — u’ / sin²u.

10. (arcsin u)’ = u’ /.

11. (arccos u)’ = — u’ /.

12. (arctg u)’ = u’/(1 + u²).

13. (arcctg u)’ = — u’/(1 + u²).

Вычислим производную степенно-показательного выражения y=u^v, (u>0), где u и v суть функции от х, имеющие в данной точке производные u’, v’.

Прологарифмировав равенство y=u ^v, получим ln y = v ln u.

Приравнивая производные по х от обеих частей полученного равенства с помощью правил 3, 5 и формулы для производной логарифмической функции, будем иметь:

y’/y = vu’/u +v’ ln u, откуда y’ = y (vu’/u +v’ ln u).

Итак,

(u ^v)’=u ^v (vu’/u+v’ ln u), u > 0.

Например, если y = x ^{sin x}, то y’ = x ^{sin x} (sin x/x + cos x ln x).

Если функция y = f(x) дифференцируема в точке x, т.е. имеет в этой точке конечную производную y’, то  = y’+, где 0 при х 0; отсюда  y = y’ х +  x.

Главная часть приращения функции, линейная относительно х, называется дифференциалом функции и обозначается dy: dy = y’ х. Если положить в этой формуле y=x, то получим dx = x’х = 1х =х, поэтому dy=y’dx, т. е. символ для обозначения производной  можно рассматривать как дробь.

Приращение функции  y есть приращение ординаты кривой, а дифференциал dy есть приращение ординаты касательной.

Пусть мы нашли для функции y=f(x) ее производную y = f (x). Производная от этой производной называется производной второго порядка функции f(x), или второй производной, и обозначается .

Аналогично определяются и обозначаются:

производная третьего порядка — ,

производная четвертого порядка —

и вообще производная n-го порядка — .

Пример 3.15. Вычислить производную функции y=(3x³-2x+1)sin x.

Решение. По правилу 3, y’=(3x³-2x+1)’sin x + (3x³-2x+1)(sin x)’ = = (9x²-2)sin x + (3x³-2x+1)cos x.

Пример 3.16. Найти y’, y = tg x +.

Решение. Используя правила дифференцирования суммы и частного, получим: y’=(tgx + )’ = (tgx)’ + ()’ =

+  = .

Пример 3.17. Найти производную сложной функции y=, u=x⁴ +1.

Решение. По правилу дифференцирования сложной функции, получим: y’_x =y‘_u u’_x =()’_u(x⁴ +1)’_x =(2u +. Так как u=x⁴ +1,то (2 x⁴ +2+.

Пример 3.18. Найти производную функции y=.

Решение. Представим функцию y=  в виде суперпозиции двух функций: y = e^u и u = x². Имеем: y’_x =y‘_u u’_x = (e^u)’_u(x²)’_x = e^u 2x. Подставляя x² вместо u, получим y=2x.

Пример 3.19.

Найти производную функции y=ln sin x.

Решение. Обозначим u=sin x, тогда производная сложной функции y=ln u вычисляется по формуле y’ = (ln u)’_u(sin x)’_x= .

Пример 3.20. Найти производную функции y=.

Решение. Случай сложной функции, полученной в результате нескольких суперпозиций, исчерпывается последовательным применением правила 5:

.

Пример 3.21. Вычислить производную y=ln .

Решение. Логарифмируя и используя свойства логарифмов, получим:

y=5/3ln(x²+4) +7/3ln(3x-1)-2/3ln(6x³+1)-1/3tg 5x.

Дифференцируя обе части последнего равенства, получим:

.

studfiles.net

Вывод производных основных элементарных функций

Производная логарифма

;     ;
;     .
См. Вывод производной логарифма тремя способами >>>

Производная степенной и показательной функций

;
;
См. Вывод производной степенной функции >>>

;
;
См. Вывод производной показательной функции и экспоненты тремя способами >>>

Производные тригонометрических функций

См. Вывод производных тригонометрических функций >>>

;
См. Вывод производной синуса >>>

;
См. Вывод производной косинуса >>>

;
См. Вывод производной тангенса >>>

;
См. Вывод производной котангенса >>>

Производные обратных тригонометрических функций

См. Вывод производных обратных тригонометрических функций >>>

;
;
См. Вывод производных арксинуса и арккосинуса двумя способами >>>

;
;
См. Вывод производных арктангенса и арккотангенса двумя способами >>>

Производные гиперболических функций

;
;
;
;

Производные обратных гиперболических функций

;
;
;
.

Обратный гиперболический косинус является многозначной функцией. Он имеет две ветви:
  – главное значение;
.
Иногда значения для двух ветвей пишут одной формулой:
.
Тогда его производная имеет вид:
.

Производные высших порядков

.
См. Доказательство методом математической индукции >>>

.
См. Вывод производной степенной функции n-го порядка >>>

.
См. Производные высших порядков показательной функции >>>

Тригонометрические функции

.
См. Доказательство методом математической индукции >>>

.
См. Производные косинуса высших порядков >>>

,
где .
См. Производные тангенса высших порядков >>>.

,
где .
См. Производные котангенса высших порядков >>>.

Обратные тригонометрические функции

Производные арксинуса и арккосинуса

,
где – многочлен степени . Он определяется по формулам:
;
.
Здесь .
.
См. Вывод производных высших порядков арксинуса и арккосинуса >>>.

Производные арктангенса и арккотангенса

;
.

Другой вид производных:
,
где .
,
где .

См. Вывод производных высших порядков арктангенса и арккотангенса >>>.

Автор: Олег Одинцов.     Опубликовано: 28-02-2017   Изменено: 26-07-2017

1cov-edu.ru

Правила и формулы нахождения производных. Производная сложной функции.

Основные правила дифференцирования:

1. Производная постоянной равна нулю, т.е. .

2. Производная аргумента равна единице, т.е. .

3. Производная алгебраической суммы конечного числа дифференцируемых функций равна алгебраической сумме производных этих функций, т.е. .

4. Производная произведения двух дифференцируемых функций равна произведению производной первого сомножителя на второй плюс произведение первого сомножителя на производную второго, т.е. .

Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак производной: .

Следствие 2. Производная произведения нескольких дифференцируемых функций равна сумме произведений производной каждого из сомножителей на все остальные, например: .

5. Производная частного двух дифференцируемых функций может быть найдена по формуле (при условии, что ).

6. Производная сложной функции. Пусть задана сложная функция .

Теорема. Если и дифференцируемые функции от своих аргументов, то производная сложной функции существует и равна производной данной функции по промежуточному аргументу и умноженной на производную промежуточного аргумента по независимой переменной

, т.е..

Производные основных элементарных функций (таблица производных):

1. Производная логарифмической функции.

А) и, где некоторая функция зависящая от .

Б) и.

2. Производная показательной функции.

А) и.

Б) и.

3. Производная степенной функции.

и .

4. Производная степенно-показательной функции.

.

5. Производная тригонометрических функций.

и ;

и ;

и ;

и .

7. Производная обратных тригонометрических функций.

и ;

и ;

и ;

и .

Пример. Найти производные следующих функций:

Производные высших порядков.

Производной второго порядка или второй производной функции называется производная от ее первой производной, т.е., и обозначаетсяилиили.

Аналогично определяются и обозначаются: производная 3-го порядка ; производная 4-го порядка; ………… производная-го порядка.

Пример. Найти производную 2-го и 3-го порядка:

А)

Б)

Понятие дифференциала и его геометрический смысл.

Пусть функция определена на промежуткеи дифференцируема в окрестности точки,тогдаили по теореме о связи бесконечно малых с пределами функций имеем, где бесконечно малая величина при . Отсюда:. Таким образом, приращение функциисостоит из двух слагаемых: 1. линейного относительно , т.к.; 2. нелинейного относительно , т.к..

Дифференциалом функции называется главная, линейная относительно часть приращения функции, равная произведению производной на приращение независимой переменной:.

Пример. Найти приращение функции прии

Пример. Найти дифференциал функции .

Дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной:.

Тогда формулу для дифференциала функции можно записать в виде: . Откуда, поэтомуможно рассматривать не только как символическое обозначение производной, но и как обычную дробь с числителеми знаменателем.

Геометрический смысл. На графике функции (рис. 5.) возьмем произвольную точку . Дадим аргументуприращение, тогда функция получает приращение. В точкепроведем касательную, образующую уголс осью. Извидно, что. Изимеем:. Таким образом,и соответствует формуле.

Рис. 5.

Следовательно, с геометрической точки зрения дифференциал функции есть приращение ординаты касательной, проведенной к графику функции в данной точке, когдаполучает приращение.

Свойства дифференциала аналогичны свойствам производной:

Формула дифференциала не изменится, если вместо функции от независимой переменной рассматривать функцию от зависимой переменной. Это свойство дифференциала получило названиеинвариантности (т.е. неизменности) формы дифференциала, т.е. .

Приближенные вычисления с помощью дифференциала. Согласно формулы , т.е., при достаточно малых значенияхприращение функцииприблизительно равно ее дифференциалу,. Эту формулу часто используется в приближенных вычислениях.

Пример. Вычислить .

studfiles.net

No related posts.