Производная синуса – Производная синуса: формулы и примеры решений

Производная синуса — энциклопедический справочник и словарь для студента от А до Я

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Производная синуса равна косинусу того же аргумента.

То есть синус просто «заменяется» на косинус. Заметим, что производная от косинуса равна минус синус того же аргумента:

Чтобы не запутаться, мне принадлежит мнемоническое правило:

Синий косяк

Косяк – синий

Первая строка показывает, что производная от синуса равна косинусу (если вы смотрите на выбранные буквы), а вторая строка дает понять, что производная от косинуса представляет собой минус синус (выбранные буквы и тире) ,

Примеры решения проблем на тему «Синусовая производная»

ПРИМЕР 1

  • Задача
  • Найдите производную от функции

  • Решение
  • Требуемая производная

    Аргумент sine не просто x («X»), поэтому невозможно просто применить приведенную выше формулу, поскольку задана сложная функция. Следовательно, производная от синуса — косинус того же аргумента, найденный по приведенной выше формуле, должна быть умножена на производную от аргумента:

    Производная от корня делится на два одинаковых корня. Тогда мы имеем:

    Ответ

    ПРИМЕР 2

  • Задача
  • Найдите производную от функции

  • Решение
  • Требуемая производная:

    На первом шаге решения мы используем правила дифференцирования, а именно, что константу можно взять из знака производной:

    Затем мы найдем производную от синуса — это косинус того же аргумента. И поскольку аргумент является выражением, более сложным, чем просто x, мы имеем дело со сложной функцией и поэтому все еще нужно умножить на производную от аргумента, то есть:

    Производная суммы равна сумме производных, тогда:

    Производные , как производная от константы, умноженной на х, равны 3; и производная , производная от константы, равна 0.

    Таким образом, мы имеем:

    Ответ

    sciterm.ru

    Производные тригонометрических функций: тангенса, синуса, косинуса и других

    Из курса геометрии и математики школьники привыкли, что понятие производной доносится до них через площадь фигуры, дифференциалы, пределы функций, а также лимиты. Попробуем посмотреть на понятие производной под другим углом, и определить, как можно увязать производную и тригонометрические функции.

    Понятие производной

    Итак, рассмотрим некую произвольную кривую, которая описывается абстрактной функцией y = f(x).

    Представим что график — это карта туристического маршрута. Приращение ∆x (дельта икс) на рисунке — это определенный промежуток пути, а ∆y – это изменение высоты тропы над уровнем моря.
    Тогда получается, что отношение ∆x/∆y будет характеризовать сложно маршрута на каждом отрезке пути. Узнав это значение можно с уверенностью сказать крутой ли подъем/спуск, понадобится ли альпинистское снаряжение и нужна ли туристам определенная физическая подготовка. Но показатель этот будет справедлив только для одного маленького промежутка ∆x.

    Если организатор похода возьмет значения для начальной и конечной точек тропы, то есть ∆x – будет равен длине маршрута, то не сможет получить объективные данные о степени сложности путешествия.  Следовательно, необходимо построить еще один график, который будет характеризовать скорость и «качество» изменений пути, другими словами определять отношение ∆x/∆y для каждого «метра» маршрута.

    Этот график и будет являться наглядной производной для конкретной тропы и объективно опишет ее изменения на каждом интересующем интервале. Убедиться в этом очень просто, значение  ∆x/∆y – есть не что иное, как дифференциал, взятый для конкретного значения x и y. Применим же дифференцирование не определенным координатам, а к функции в целом:

    Производная и тригонометрические функции

    Тригонометрические функции неразрывно связаны с производной. Понять это можно из следующего чертежа. На рисунке координатной оси изображена функция  Y = f (x) – синяя кривая.

    K (x0; f (x0)) – произвольная точка, x0 + ∆x – приращение по оси OX, а f (x0 + ∆x) – приращение по оси OY в некой точке L.

    Проведем прямую через точки K и L и построим прямоугольный треугольник KLN. Если мысленно перемещать отрезок LN по графику Y = f (x), то точки L и N будут стремиться к значениям K (x0; f (x0)). Назовем эту точку условным началом графика — лимитом, если же функция бесконечна, хотя бы на одном из промежутков  – это стремление также будет бесконечным, а его предельное значение близким к 0.

    Характер данного стремления можно описать касательной к выбранной точке y = kx + b или графиком производной первоначальной функции dy – зеленая прямая.

    Но где же здесь тригонометрия?! Все очень просто рассмотрим прямоугольный треугольник KLN. Значение дифференциала для конкретной точки K есть тангенс угла α или ∠K:

    Таким образом можно описать геометрический смымсл производной и ее взаимосвязь с тригонометрическими функциями.

    Формулы производных для тригонометрических функций

    Преобразования синуса, косинуса, тангенса и котангенса при определении производной необходимо заучить наизусть.

    Последние две формулы не являются ошибкой, дело в том, что существует разница между определением производной простого аргумента и  функции в том же качестве.

    Рассмотрим сравнительную таблицу с формулами производных от синису, косинуса, тангенса и котангенса:

    Также выведены формулы для производных арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса, хотя они применяются крайне редко:

    Стоит отметить, что приведенных формул явно недостаточно для успешного решения типовых заданий ЕГЭ, что будет продемонстрированно при решении конкретного примера поиска производной тригонометрического выражения.

    Задание: Необходимо найти производную функции и найти ее значение для π/4:

    Решение:  Чтобы найти y’ необходимо вспомнить основные формулы преобразования исходной функции в производную, а именно:

    Теперь следует приступить к поэтопному преобразованию исходной функции y, сначала применим формулу (1):

    Согласно формуле (2) преобразуем числитель выражения:

    Избавимся от производным числа 1 по правилу (3) и заменим sin x его производной (4):

    Осталось посчитать значение производной для π/4:

    Похожие статьи

    Рекомендуем почитать:

    karate-ege.ru

    Производная косинуса — энциклопедический справочник и словарь для студента от А до Я

    ОПРЕДЕЛЕНИЕ

    Производная косинуса X равна минус синус X.

    Чтобы запомнить эту формулу, существует мнемоническое правило:

    Синий косяк (производная синуса равна косинусу)

    Косяк – синий (производная косинуса равна минус синусу)

    Примеры решения задач на «косинусоидальном»

    ПРИМЕР 1

  • Задача
  • Найти производную функции

  • Решение
  • Требуемая производная

    Вынимаем константу для знака производной:

    Производная косинуса равна минус синус того же аргумента, и поскольку аргумент является более сложным выражением, чем просто х, то мы умножаем все на производную от аргумента. То есть, мы имеем:

    Производная от разности равна разности производных:

    С первой производной, согласно правилу дифференцирования, мы помещаем три знака производной, а производная от 7 равна нулю как производная от константы:

    Производная от независимой переменной х равна единице, поэтому, наконец, мы имеем

    Ответ

    ПРИМЕР 2

  • Задача
  • Найти производную функции

  • Решение
  • Требуемая производная

    Производная натурального логарифма равна единице, деленной на сублогарифмическую функцию:

    Производная косинуса равна минус синус:

    В соответствии с тригонометрическими формулами отношение синуса к косинусу равно тангенсу:

    Ответ

    sciterm.ru

    Производная косинуса — cos x

    Производная по переменной x от косинуса x равна минус синусу x:
    ( cos x )′ = – sin x.

    Доказательство

    Чтобы вывести формулу производной косинуса, воспользуемся определением производной:
    .

    Преобразуем это выражение, чтобы свести его к известным математическим законам и правилам. Для этого нам нужно знать четыре свойства.
    1) Тригонометрические формулы. Нам понадобится следующая формула:
    (1)   ;
    2) Свойство непрерывности функции синус:
    (2)   ;
    3) Значение первого замечательного предела:
    (3)   ;
    4) Свойство предела от произведения двух функций:
    Если    и  , то
    (4)   .

    Применяем эти законы к нашему пределу. Сначала преобразуем алгебраическое выражение
    .
    Для этого применим формулу
    (1)   ;
    В нашем случае
    ; . Тогда
    ;
    ;
    ;
    .

    Сделаем подстановку . При , . Используем свойство непрерывности (2):
    .

    Сделаем такую же подстановку и применим первый замечательный предел (3):
    .

    Поскольку пределы, вычисленные выше, существуют, то применяем свойство (4):

    .

    Тем самым мы получили формулу производной косинуса.

    Примеры

    Рассмотрим простые примеры нахождения производных от функций, содержащих косинус. Найдем производные от следующих функций:
    y = cos 2x;   y = cos 3x;   y = cos nx;   y = cos 2 x;     y = cos 3 x   и   y = cos n x.

    Пример 1

    Найти производные от cos 2x, cos 3x и cos nx.

    Решение

    Исходные функции имеют похожий вид. Поэтому мы найдем производную от функции y = cos nx. Затем, в производную от cos nx, подставим n = 2 и n = 3. И, тем самым, получим формулы для производных от cos 2x и cos 3x.

    Итак, находим производную от функции
    y = cos nx.
    Представим эту функцию от переменной x как сложную функцию, состоящую из двух функций:
    1)   Функции , зависящей от переменной : ;
    2)   Функции , зависящей от переменной : .
    Тогда исходная функция является сложной (составной) функцией, составленной из функций и :
    .

    Найдем производную от функции по переменной x:
    .
    Найдем производную от функции по переменной :
    .
    Применяем формулу производной сложной функции.
    .
    Подставим :
    (П1)   .

    Теперь, в формулу (П1) подставим и :
    ;
    .

    Ответ

    ;
    ;
    .

    См. также
    Все примеры вычисления производных с решениями > > >

    Пример 2

    Найти производные от косинуса в квадрате, косинуса в кубе и косинуса в степени n:
    y = cos 2 x;   y = cos 3 x;   y = cos n x.

    Решение

    В этом примере также функции имеют похожий вид. Поэтому мы найдем производную от самой общей функции – косинуса в степени n:
    y = cos n x.
    Затем подставим n = 2 и n = 3. И, тем самым, получим формулы для производных от косинуса в квадрате и косинуса в кубе.

    Итак, нам нужно найти производную от функции
    .
    Перепишем ее в более понятном виде:
    .
    Представим эту функцию как сложную функцию, состоящую из двух функций:
    1)   Функции , зависящей от переменной : ;
    2)   Функции , зависящей от переменной : .
    Тогда исходная функция является сложной функцией, составленной из двух функций и :
    .

    Находим производную от функции по переменной x:
    .
    Находим производную от функции по переменной :
    .
    Применяем правило дифференцирования сложной функции.
    .
    Подставим :
    (П2)   .

    Теперь подставим и :
    ;
    .

    Далее мы можем применить формулу для произведения синуса и косинуса:
    .
    Тогда
    .

    Ответ

    ;
    ;
    .

    Производные высших порядков

    Заметим, что производную от cos x первого порядка можно выразить через косинус следующим образом:
    .

    Найдем производную второго порядка, используя формулу производной сложной функции:

    .
    Здесь  .

    Заметим, что дифференцирование cos x приводит к увеличению его аргумента на . Тогда производная n-го порядка имеет вид:
    (5)   .

    Более строго эту формулу можно доказать с помощью метода математической индукции. Доказательство для n-й производной синуса изложено на странице “Производная синуса”. Для n-й производной косинуса доказательство точно такое. Нужно только во всех формулах заменить sin на cos.

    Автор: Олег Одинцов.     Опубликовано:

    1cov-edu.ru

    Производная от синуса

    Производная от синуса x получается путём стандартной процедуры для вывода производных, а именно, функция $y$, равная $\sin x$ рассматривается как функция $f$ от икс: $f(x)= \sin x$. Рассмотрим функцию $y$ в точке $x$, придав ей приращение, равное $Δx$:

    $f(x+ Δx)=\sin(x + Δx)$;

    Напишем, чему равно приращение $Δy$ в этом случае:

    $Δy=f(x + Δx) — f(x)=\sin(x + Δx)-\sin x\left(1\right)$

    Вспомним формулу разности синусов, она выглядит следующим образом:

    $\sin α — \sin β = 2 \sin \frac{α-β}{2} \cdot \cos{α + β}$

    Применим её для преобразования полученного нами ранее равенства $(1)$:

    $\sin(x + Δx)-\sin x=2\sin x \frac{ (x + Δx)-x}{2} \cdot \cos \frac{ (x + Δx)-x}{2} = 2 \sin \frac{Δx}{2} \cdot \cos \frac{2x+Δx}{2}=2 \sin \frac{ Δx}{2} \cos(x+\frac{Δx}{2})$.

    Теперь рассмотрим, чему равно отношение приращения $y$ к приращению $x$:

    $\frac{Δy}{Δx}=\frac{2 \sin \frac{Δx}{2} \cos(x+\frac{Δx}{2})}{Δx}\left(2\right)$.

    Обозначим дробь $\frac{Δx}{2}$ за новую переменную, назовём её $a$ и перепишем выражение $(2)$ с её использованием:

    $\frac{Δy}{Δx}=\frac{\sin a \cos (x+a)}{a}\left(2\right)$.

    Определим, чему равен предел выражения $(3)$ при $Δx \to 0$:

    $\lim_{Δx \to 0} \frac{Δy}{Δx}=\lim_{Δx \to 0}\frac{\sin a \cos (x+a)}{a}\left(3\right)$.

    Так как $Δx \to 0$, а $a$ есть не что иное, как $\frac{Δx}{2}$, то $a$ также стремится к нулю. Перепишем выражение $(3)$ в соответствии с этим:

    $\lim_{a \to 0} \frac{Δy}{Δx}=\lim_{a \to 0} \frac{\sin a}{a} \cdot \lim_{a \to 0} \cos(x+a)$.

    Первый предел в получившемся выражении равен единице, а второй, так как функция косинуса непрерывна, равен $\cos x$.

    Таким образом, мы с вами вывели доказательство того, что производная от $\sin x$ равна косинусу

    $(\sin x)’= \cos x$.

    Пример 1

    Найти, чему равны производные функций:

    1. y=sin x+ 3

    2. y=4sin x+ cos x.

    Решение:

    1. $ (\sin x+ 3)’=\cos x$

    2. $(4sin x+ cosx)’=4\cos x — \sin x$

    spravochnick.ru

    Производная sin^2 x

    Производная sin^2 х находится легко. Необходимо только иметь (или знать) таблицу значений производных от основных функций.
    Итак, разберем функцию .
    Такая функция называется сложной, потому что состоит она из нескольких функций, в данном случае из двух. Первая функция — степенная (функция в квадрате), а вторая — тригонометрическая (синус х).
    Производная от сложной функции находится по определенной правилу:
    Сначала находят производную от внешней функции (мы ее назвали первой), в нашем случае от степенной функции, а затем умножают полученное значение на производную от внутренней функции (у нас это вторая), в нашем случае тригонометрической функции.
    Распишем аналитически выше проведенные размышления.

       

    Производная найдена, но очевидно, что полученное значение можно несколько преобразовать. В результате вычисления производной мы получили значение, которое можно по формуле синуса двойного аргумента записать в следующем виде:

       

    Итак, в результате вычислений производной от сложной функции получили:

       

    Результат смотрится очень компактно по сравнению с тем, который получили при непосредственном вычислении.

    ru.solverbook.com

    Таблица производных (логарифм, синус, косинус, экспонента)

    Таблица производных (логарифм, синус, косинус, экспонента)
    ФункцияПроизводная
    const0
    x1
    x22x
    x33x2
    xnnxn-1
    ln(x)1
    x
    loga(x)1
    xln(a)
    exex
    axaxln(a)
    xx(1+ln(x))xx
    sin(x)cos(x)
    cos(x)-sin(x)
    tg(x)1
    cos2(x)
    ctg(x)-1
    sin2(x)
    arcsin(x)1
    √(1-x2)
    arccos(x)-1
    √(1-x2)
    arcctg(x)1
    1+x2
    arcctg(x)-1
    1+x2
    sh(x)ch(x)
    ch(x)sh(x)

    — версия для печати
    Определение
    Производная — предел отношения приращения функции функции к приращению аргумента в той же точке. Или, равносильное определение, – предел секущей к графику функции в точке. Либо, формулой:
    lim x→x0 f(x) − f(x0)
    x − x0
    Свойства
    1. (af+bg)’ = af’+bg’ – производная суммы с коэффициентами (a, b – постоянные).
    2. (fg)’ = f’g+g’f – производная произведения.
    3. (f/g)’ = (f’g − g’f)/g2 – производная частного (g(x) ≠ 0).
    4. f(g(x))x‘ = f’u(g(x))gx‘ – производная сложной функции (знак внизу есть переменная, по которой вычисляется производная).
    Если у вас есть мысли по поводу данной страницы или предложение по созданию математической (см. раздел «Математика») вспомогательной памятки, мы обязательно рассмотрим ваше предложение. Просто воспользуйтесь обратной связью.

    © Школяр. Математика (при поддержке «Ветвистого древа») 2009—2016

    scolaire.ru

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *