Производная сложной функции это – Сложная функция. Производная сложной функции

5. Производная сложной функции.

Теорема. Пусть функция имеет в точкеxпроизводную , функция имеет в точкеuпроизводную . Тогда сложная функция имеет в точкеxпроизводную, равную произведению производных функций и : .Пример а) Найти производную функцииб) Найти производную функции

6. Неявная функция и ее дифференцирование.

Неявным заданием зависимости уотхназывается уравнение видаF(x,y) = 0, связывающее эти две переменные. Общая формула дляy‘(x), следующая из неявного уравнения

F(x,y) = 0, включает в себя частные производные, которые мы будем изучать позже; пока приведём несколько примеров, показывающих, как найти производнуюy‘(x) из неявного уравнения. 1.. Дифференцируем это равенство пох, учитывая зависимостьуотх(применяя правило дифференцирования сложной функции: ): . Легко понять, что при этом всегда получится уравнение, линейное относительноy‘(x), которое без труда решается:. Производная найдена, она совпадает с полученной в предыдущем разделе (с учётом явного выражения).

7. Дифференцирование сложной показат ф-ии. Метод логариф дифф.

логарифмическое дифференцирование. Иногда проще продифференцировать логарифм данной функции, чем саму эту функцию. Это может быть, например, если функция представляет собой произведение большого числа сомножителей, или показательно-степенное выражение. Выведем формулу для производной показательно-степенной функции:

. Логарифмируем это выражение:. Дифференцируем обе части этого равенства пох, учитывая сложную зависимость отхв логарифмах:Окончательно:. Пример:

Показательная ф-я.Сложной показательной функцией наз-ся ф-я, у кот и основание и показатель степени является ф-ми от х. Функция называется показательной, если независимая переменная входит в показатель степени, и степенной, если переменная является основанием. Если же и основание и показатель степени зависят от переменной, то такая функция будет показательно – степенной. Пустьu=f(x) иv=g(x) – функции, имеющие производные в точке х,f(x)>0. Найдем производную функцииy=u^v. Логарифмируя, получим:lny=vlnu,_,, Пример.Найти производную функции. По полученной выше формуле получаем:Производные этих функций:

Окончательно:f’(x) =xcosx*(x²+ 3x)^xcosx-1* (2x+3) + (x²+ 3x)^xcosx(cosx–xsinx)ln(x²+ 3x).

8. Обратная функция и ее дифференцирование, тригоном.

Пусть дана возрастающая или убыв ф-я y=f(x), определенная на интервале (a,b). Пустьf(a)=c,f(b)=d. Рассмотрим возрастающую ф-ю. Для х и у есть взаимное соответствие. Рассматривая у, как значение аргумента, а х – ф-ии, получаем х как ф-ю от у.х =g(у) – обратная ф-яy=f(x).(для убыв аналогично). Если возраст или убыв ф-яy=f(x) непрерывна на [a,b], причемf(a)=c,f(b)=d, то обратная ф-я определена и непрерывна на [c,d]. Если ф-ииy=f(x) их =g(у) являются взаимно обратными, то графиком явл одна и та же прямая.

Теорема. Пусть дляf(x): 1. выполняются условияТеор.5.6.5об обратной функции(непрерывность и строгая монотонность на отрезке [

a,b]). 2. в точкех₀существует неравная нулю производнаяf‘(х₀). Тогда обратная функциях =g(у) в точкеу₀= f(х₀) также имеет производную, равную.

Док-во. Придадим переменнойуприращениеу0. Тогда переменнаяхполучит приращение . Вследствие строгой монотонностих0; вследствие непрерывностих0у0. . Устремиму0, тогдах0 и, по условию теоремы, существует (предел дроби), т.е..

Итак, производные взаимно обратных функций связаны соотношением

.

Применим эту формулу для вывода производных обратных тригонометрических функций.

1.. Обратная функцияимеет производную. Так как, получим:.

2.Для функциисовершенно аналогично получается.

studfiles.net

Производная сложной функции — Мегаобучалка

 

На данном уроке мы научимся находить производную сложной функции. Урок является логическим продолжением занятия Как найти производную?, на котором мы разобрали простейшие производные, а также познакомились с правилами дифференцирования и некоторыми техническими приемами нахождения производных. Таким образом, если с производными функций у Вас не очень или какие-нибудь моменты данной статьи будут не совсем понятны, то сначала ознакомьтесь с вышеуказанным уроком. Пожалуйста, настройтесь на серьезный лад – материал не из простых, но я все-таки постараюсь изложить его просто и доступно.

На практике с производной сложной функции приходится сталкиваться очень часто, я бы даже сказал, почти всегда, когда Вам даны задания на нахождение производных.

Смотрим в таблицу на правило (№5) дифференцирования сложной функции:

Разбираемся. Прежде всего, обратим внимание на запись . Здесь у нас две функции – и , причем функция , образно говоря, вложена в функцию . Функция такого вида (когда одна функция вложена в другую) и называется сложной функцией.

Функцию я буду называть внешней функцией, а функцию – внутренней (или вложенной) функцией

.

! Данные определения не являются теоретическими и не должны фигурировать в чистовом оформлении заданий. Я применяю неформальные выражения «внешняя функция», «внутренняя» функция только для того, чтобы Вам легче было понять материал.

Для того, чтобы прояснить ситуацию, рассмотрим:

Пример 1

Найти производную функции

Под синусом у нас находится не просто буква «икс», а целое выражение , поэтому найти производную сразу по таблице не получится. Также мы замечаем, что здесь невозможно применить первые четыре правила, вроде бы есть разность, но дело в том, что «разрывать на части» синус нельзя:

В данном примере уже из моих объяснений интуитивно понятно, что функция – это сложная функция, причем многочлен является внутренней функцией (вложением), а – внешней функцией.

Первый шаг, который нужно выполнить при нахождении производной сложной функции состоит в том, чтобы

разобраться, какая функция является внутренней, а какая – внешней.

В случае простых примеров вроде понятно, что под синус вложен многочлен . А как же быть, если всё не очевидно? Как точно определить, какая функция является внешней, а какая внутренней? Для этого я предлагаю использовать следующий прием, который можно проводить мысленно или на черновике.

Представим, что нам нужно вычислить на калькуляторе значение выражения при (вместо единицы может быть любое число).

Что мы вычислим в первую очередь? В первую очередь нужно будет выполнить следующее действие: , поэтому многочлен и будет внутренней функцией :

Во вторую очередь нужно будет найти , поэтому синус – будет внешней функцией:

После того, как мы РАЗОБРАЛИСЬ с внутренней и внешней функциями самое время применить правило дифференцирования сложной функции .

Начинаем решать. С урока

Как найти производную? мы помним, что оформление решения любой производной всегда начинается так – заключаем выражение в скобки и ставим справа вверху штрих:

Сначала находим производную внешней функции (синуса), смотрим на таблицу производных элементарных функций и замечаем, что . Все табличные формулы применимы и в том, случае, если «икс» заменить сложным выражением, в данном случае:

Обратите внимание, что внутренняя функция не изменилась, её мы не трогаем.

Ну и совершенно очевидно, что

Результат применения формулы в чистовом оформлении выглядит так:

Далее мы берем производную внутренней функции, она очень простая:

Постоянный множитель обычно выносят в начало выражения:

Готово

Если осталось какое-либо недопонимание, перепишите решение на бумагу и еще раз прочитайте объяснения.

Пример 2

Найти производную функции

Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока).

Пример 3

Найти производную функции

Как всегда записываем:

Разбираемся, где у нас внешняя функция, а где внутренняя. Для этого пробуем (мысленно или на черновике) вычислить значение выражения при . Что нужно выполнить в первую очередь? В первую очередь нужно сосчитать чему равно основание: , значит, многочлен – и есть внутренняя функция:

И, только потом выполняется возведение в степень , следовательно, степенная функция – это внешняя функция:

Согласно формуле , сначала нужно найти производную от внешней функции, в данном случае, от степени. Разыскиваем в таблице нужную формулу: . Повторяем еще раз: любая табличная формула справедлива не только для «икс», но и для сложного выражения. Таким образом, результат применения правила дифференцирования сложной функции следующий:

Снова подчеркиваю, что когда мы берем производную от внешней функции , внутренняя функция у нас не меняется:

Теперь осталось найти совсем простую производную от внутренней функции и немного «причесать» результат:

Готово.

 

Пример 4

Найти производную функции

Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока).

Для закрепления понимания производной сложной функции приведу пример без комментариев, попробуйте самостоятельно разобраться, порассуждать, где внешняя и где внутренняя функция, почему задания решены именно так?

 

Пример 5

а) Найти производную функции

б) Найти производную функции

 

Пример 6

Найти производную функции

Здесь у нас корень, а для того, чтобы продифференцировать корень, его нужно представить в виде степени . Таким образом, сначала приводим функцию в надлежащий для дифференцирования вид:

Анализируя функцию, приходим к выводу, что сумма трех слагаемых – это внутренняя функция, а возведение в степень – внешняя функция. Применяем правило дифференцирования сложной функции :

Степень снова представляем в виде радикала (корня), а для производной внутренней функции применяем простое правило дифференцирования суммы:

Готово. Можно еще в скобках привести выражение к общему знаменателю и записать всё одной дробью. Красиво, конечно, но когда получаются громоздкие длинные производные – лучше этого не делать (легко запутаться, допустить ненужную ошибку, да и преподавателю будет неудобно проверять).

 

Пример 7

Найти производную функции

Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока).

Интересно отметить, что иногда вместо правила дифференцирования сложной функции можно использовать правило дифференцирования частного , но такое решение будет выглядеть как извращение забавно. Вот характерный пример:

 

Пример 8

Найти производную функции

Здесь можно использовать правило дифференцирования частного , но гораздо выгоднее найти производную через правило дифференцирования сложной функции:

Подготавливаем функцию для дифференцирования – выносим минус за знак производной, а косинус поднимаем в числитель:

Косинус – внутренняя функция, возведение в степень – внешняя функция.
Используем наше правило :

Находим производную внутренней функции, косинус сбрасываем обратно вниз:

Готово. В рассмотренном примере важно не запутаться в знаках. Кстати, попробуйте решить его с помощью правила , ответы должны совпасть.

 

Пример 9

Найти производную функции

Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока).

До сих пор мы рассматривали случаи, когда у нас в сложной функции было только одно вложение. В практических же заданиях часто можно встретить производные, где, как матрешки, одна в другую, вложены сразу 3, а то и 4-5 функций.

 

Пример 10

Найти производную функции

Разбираемся во вложениях этой функции. Пробуем вычислить выражение с помощью подопытного значения . Как бы мы считали на калькуляторе?

Сначала нужно найти , значит, арксинус – самое глубокое вложение:

Затем этот арксинус единицы следует возвести в квадрат :

И, наконец, семерку возводим в степень :

То есть, в данном примере у нас три разные функции и два вложения, при этом, самой внутренней функцией является арксинус, а самой внешней функцией – показательная функция.

Начинаем решать

Согласно правилу сначала нужно взять производную от внешней функции. Смотрим в таблицу производных и находим производную показательной функции: Единственное отличие – вместо «икс» у нас сложное выражение , что не отменяет справедливость данной формулы. Итак, результат применения правила дифференцирования сложной функции следующий:

Под штрихом у нас снова сложная функция! Но она уже проще. Легко убедиться, что внутренняя функция – арксинус, внешняя функция – степень. Согласно правилу дифференцирования сложной функции сначала нужно взять производную от степени:

Теперь все просто, находим по таблице производную арксинуса и немного «причесываем» выражение:

Готово.

 

Пример 11

Найти производную функции

Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока).

На практике правило дифференцирования сложной функции почти всегда применяется в комбинации с остальными правилами дифференцирования.

Пример 12

Найти производную функции

Сначала используем правило дифференцирования суммы , заодно в первом слагаемом выносим постоянный множитель за знак производной по правилу :

В обоих слагаемых под штрихами у нас находится произведение функций, следовательно, нужно дважды применить правило :

Замечаем, что под некоторыми штрихами у нас находятся сложные функции , . Каламбур, но это простейшие из сложных функций, и при определенном опыте решения производных Вы будете легко находить их устно.
А пока запишем подробно, согласно правилу , получаем:

Готово.

 

! Обратите внимание на приоритет (порядок) применения правил: правило дифференцирования сложной функции применяется в последнюю очередь.

 

Пример 13

Найти производную функции

Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока).

Пожалуй, хватит на сегодня. Хочется еще привести пример с дробью и сложной функцией, но такой пример принципиально ничем не отличается от двух последних заданий, единственное отличие – вместо правила применяем правило .

Для закрепления темы рекомендую статью Сложные производные. Логарифмическая производная. Помимо рассмотрения дополнительных примеров, есть и новый материал! После изучения третьего урока вы будете очень уверенно себя чувствовать в ходе дальнейшего изучения математического анализа. Если задания покажутся слишком трудными (у всех разный уровень подготовки), то сначала посетите страницу Простейшие типовые задачи с производной, там рассмотрено ещё порядка 15-ти производных.

Желаю успехов!

 

Решения и ответы:

Пример 2:

Пример 4: Указание: перед дифференцированием необходимо перенести степень наверх, сменив у показателя знак .

Пример 7:

Пример 9:

Пример 11:

Пример 13:

 

megaobuchalka.ru

Производная сложной функции

⇐ ПредыдущаяСтр 5 из 11Следующая ⇒

Рассмотрим суперпозицию двух функций: , где . В этом случае – называют промежуточным аргументом, – независимой переменной.

Функцию, заданную в виде суперпозиции функций, называют сложной функцией. Таким образом, прилагательное «сложная» характеризует не функцию, а способ ее задания.

Теорема (о дифференцировании сложной функции). Если функция дифференцируема в точке , а функция дифференцируема в соответствующей точке , то сложная функция дифференцируема в точке , причем

.

Последнее равенство можно записать в виде

.

Производная сложной функции равна произведению производной этой функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента по независимой переменной.

Физическая интерпретация формулы: производная есть скорость изменения переменной по отношению к изменению переменной , а производная – скорость изменения переменной по отношению к изменению переменной . Ясно, что скорость изменения переменной по отношению к изменению переменной равна произведению скоростей . (Если движется быстрее в раз, а – быстрее в раз, то движется быстрее в раз).

Правило нахождения производной сложной функции распространяется на композицию любого конечного числа функций. Например, если , т. е. если , то

.

Если функция, которую надо продифференцировать, не является сложной, то мы в сводке формул для вычисления производных будем полагать, что , т. е. – независимая переменная. Тогда (производная независимой переменной равна единице), и поэтому, применяя указанные формулы, умножать на не придется, так как такое умножение равносильно умножению на единицу, а, как известно, умножение на единицу не изменяет произведения.

Обычно путают степенную и показательную функции и совсем не знают степенно-показательной функции.

Функция называется степенной, если она имеет вид

,

где основание степени – переменная величина, показатель степени .

Например, . Здесь .

Функция называется показательной, если она имеет вид

,

где основание , а показатель – переменная величина.

Например, . Здесь .

Функция называется степенно-показательной, если она имеет вид

,

где основание и показатель – переменные величины.

Например, . Здесь .

Производная степенной функции	Производная показательной функции

Производная степенно-показательной функции состоит из суммы:

Поучитесь вычленять в сложной функции основные элементарные функции, которые ее составляют, и пользоваться правилом дифференцирования сложной функции.

Пример 1. Функция состоит из пяти основных элементарных функций, которые можно записать в виде цепочки простых функций таким образом:

.

Продифференцируем эту функцию по правилу

Продифференцируем каждую из основных элементарных функций:

.

Теперь подставим вместо их значения из цепочки и производная от сложной функции получена:

.

Так будет выглядеть результат дифференцирования без упрощения.

При дифференцировании рекомендуется сразу писать результат дифференцирования без введения промежуточных аргументов. Все промежуточные операции следует выполнять в уме.

Пример 2. Найти производную функции .

▲ В уме: – Функция состоит из пяти основных элементарных функций: степенная, котангенс, арккосинус, показательная и .

▼

 

 

При дифференцировании можно руководствоваться следующим правилом:

1. Все функции считать сложными.

2. Научиться определять основные элементарные функции и их промежуточные аргументы.

3. Умножать на производную основной элементарной функции по промежуточному аргументу до тех пор, пока в результате дифференцирования не будет получена .

 

Порядок дифференцирования обратный порядку вычисления значения функции в точке.

Вычисление значения функции начинается справа налево, а дифференцирование наоборот – слева направо.

Первой дифференцируется та основная элементарная функция, которая вычислялась бы последней – это самое главное!

Чтобы обратить ваше внимание на порядок дифференцирования, в следующем примере основные элементарные функции подчеркнуты в соответствии с их порядковым номером при дифференцировании.

Пример 3. Найти производную функции .

▲ . ▼

mykonspekts.ru