Производная в степени корня – Производная степени | Математика

Производная степени | Математика

Производная степени встречается в большинстве примеров на дифференцирование. Само правило нахождения производной степени простое. При дифференцировании степени с натуральным показателем проблем, как правило, не возникает. А вот найти производную степени с отрицательным или дробным показателями несколько сложнее. Легче всего понять, как найти производную степени, на примерах.

Открываем таблицу производных и правила дифференцирования.

Основная формула, по которой  может быть найдена производная любой степени —

   

Примеры. Найти производную степени:

   

   

Поскольку при дифференцировании число выносится за знак производной, то множитель, стоящий перед степенью, при нахождении производной просто переписываем:

   

   

Нахождение производной степени, стоящей в знаменателе дроби, немного сложнее. Прежде чем воспользоваться основной формулой, степень поднимаем из числителя в знаменатель. Получившуюся в результате вычислений степень с отрицательным показателем снова преобразовываем.

   

   

   

   

   

   

Производная степени используется и для дифференцирования корней. Предварительно корень приводится к степени, а в найденной производной снова возвращаемся к корню.

Например,

   

   

   

   

   

   

Если корень в знаменателе, сначала преобразовываем его в степень, затем — поднимаем наверх с отрицательным показателем, а  далее — как обычно, производная степени.

Например,

   

   

   

   

   

   

   

   

Примеры для самопроверки. Найти производную степени:

   

Показать решение

   

   

   

   

   

   

   

 

www.matematika.uznateshe.ru

Производная степенной функции, формула и примеры

ОПРЕДЕЛЕНИЕ Производная от степенной функции равна произведению показателя степени на икс в степени на единицу меньше.

   

Приведенная формула справедлива для любого показателя степени , будь то натуральное число ; отрицательное число или дробное число, к примеру и т.п.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание Найти производную функции

   

Решение Искомая производная

   

Производная от суммы или разности функция равна сумме или разности их производных, то есть

   

Производную от найдем как производную от степенной функции:

   

Для нахождения производной одночлена вначале константу вынесем за знак производной:

   

Далее дробь представим как степень с отрицательным показателем по свойству :

   

Далее производную находим как от степенной функции:

   

Для нахождения производной запишем корень в виде степени с дробным показателем:

   

Далее производную находим как от степенной функции:

   

Записываем дробную степень в виде корня:

   

Производная от двойки, как от константы, равна нулю:

   

Итак, окончательно имеем:

   

Ответ
ПРИМЕР 2
Задание Найти производную функции
Решение Искомая производная

   

Данную производную находим как производную от степенной функции, но так как основание степени является сложной функцией (отличается от просто ), то нужно еще умножить на производную от основания:

   

Найдем отдельно оставшуюся производную. Производная о суммы равна сумме производных:

   

Из первого слагаемого вынесем константу за знак производной, а производная от второго, как от константы, равна нулю:

   

Производная от равна единице:

   

Таким образом, производная заданной функции

   

Ответ
Понравился сайт? Расскажи друзьям!

ru.solverbook.com

Производная степенной функции

Этим видео я начинаю длинную серию уроков, посвященную производным. Этот урок состоит из нескольких частей.

В первую очередь, я расскажу вам, что вообще такое производные и как их считать, но не мудреным академическим языком, а так, как я сам это понимаю и как объясняю своим ученикам. Во-вторых, мы рассмотрим простейшее правило для решения задач, в которых будем искать производные суммы, производные разности и производные степенной функции.

Мы рассмотрим более сложные комбинированные примеры, из которых вы, в частности, узнаете, что подобные задачи, содержащие корни и даже дроби, могут быть решены при использовании формулы производной степенной функции. Кроме того, конечно, будет множество задач и примеров решений самого разного уровня сложности.

Вообще, изначально я собирался записать коротенький 5-минутный ролик, но сами видите, что из этого получилось. Поэтому хватит лирики — приступаем к делу.

Что такое производная?

Итак, начнем издалека. Много лет назад, когда деревья были зеленее, а жизнь была веселее, математики задумались вот над чем: рассмотрим простую функцию, заданную своим графиком, назовем ее $y=f\left( x \right)$. Разумеется, график существует не сам по себе, поэтому нужно провести оси $x$, а также ось $y$. А теперь давайте выберем любую точку на этом графике, абсолютно любую. Абсциссу назовем ${{x}_{1}}$, ордината, как не трудно догадаться, будет $f\left( {{x}_{1}} \right)$.

Рассмотрим на том же графике еще одну точку. Не важно, какую, главное, чтобы она отличалась от первоначальной. У нее, опять же, есть абсцисса, назовем ее ${{x}_{2}}$, а также ордината — $f\left( {{x}_{2}} \right)$.

Итак, мы получили две точки: у них разные абсциссы и, следовательно, разные значения функции, хотя последнее — необязательно. А вот что действительно важно, так это что, что из курса планиметрии нам известно: через две точки можно провести прямую и, причем, только одну. Вот давайте ее и проведем.

А теперь проведем через самую первую из них прямую, параллельную оси абсцисс. Получим прямоугольный треугольник. Давайте его обозначим $ABC$, прямой угол $C$. У этого треугольника возникает одно очень интересное свойство: дело в том, что угол$\alpha $, на самом деле, равен углу, под которым пересекается прямая $AB$ с продолжением оси абсцисс. Судите сами:

  1. прямая $AC$параллельна оси $Ox$ по построению,
  2. прямая $AB$ пересекает $AC$ под $\alpha $,
  3. следовательно, $AB$ пересекает $Ox$под тем же самым $\alpha $.

Что мы можем сказать об $\text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }$? Ничего конкретного, разве что в треугольнике $ABC$отношение катета $BC$ к катету $AC$ равно тангенсу этого самого угла. Так и запишем:

\[tg=\frac{BC}{AC}\]

Разумеется, $AC$ в данном случае легко считается:

\[AC={{x}_{2}}-{{x}_{1}}\]

Точно также и $BC$:

\[BC=f\left( {{x}_{2}} \right)-f\left( {{x}_{1}} \right)\]

Другими словами, мы можем записать следующее:

\[\operatorname{tg}\text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }=\frac{f\left( {{x}_{2}} \right)-f\left( {{x}_{1}} \right)}{{{x}_{2}}-{{x}_{1}}}\]

Теперь, когда мы все это выяснили, давайте вернемся к нашему графику и рассмотрим новую точку $B$. Сотрем старые значения и возьмем и возьмем $B$ где-нибудь поближе к ${{x}_{1}}$. Вновь обозначим ее абсциссу за ${{x}_{2}}$, а ординату — $f\left( {{x}_{2}} \right)$.

Вновь рассмотрим наш маленький треугольник $ABC$и $\text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }$ внутри него. Совершенно очевидно, что это будет уже совсем другой угол, тангенс будет также другим потому, что длины отрезков $AC$ и $BC$ существенно изменились, а формула для тангенса угла нисколько не поменялась — это по-прежнему соотношение между изменением функции и изменением аргумента.

Наконец, продолжаем двигать $B$ все ближе к изначальной точке $A$, в результате треугольник еще уменьшится, а прямая, содержащая отрезок $AB$, все больше будет походить на касательную к графику функции.

 

В итоге, если продолжать сближение точек, т. е., уменьшать расстояние до нуля, то прямая $AB$, действительно, превратится в касательную к графику в данной точке, а $\text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }$превратится из обычного элемента треугольника в угол между касательной к графику и положительным направлением оси $Ox$.

И вот тут мы плавно переходим к определению$f$, а именно, производной функции в точке ${{x}_{1}}$ называется тангенс угла $\alpha $ между касательной к графику в точке ${{x}_{1}}$ и положительным направлением оси $Ox$:

\[{f}’\left( {{x}_{1}} \right)=\operatorname{tg}\text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }\]

Возвращаясь к нашему графику, следует отметить, что в качестве ${{x}_{1}}$ можно выбрать любую точку на графике. Например, с тем же успехом мы могли снять штрих в точке, показанной на рисунке. 

Угол между касательной и положительным направлением оси назовем $\beta $. Соответственно, $f$ в ${{x}_{2}}$ будет равна тангенсу этого угла $\beta $.

\[{f}’\left( {{x}_{2}} \right)=tg\text{ }\!\!\beta\!\!\text{ }\]

В каждой точке графика будет своя касательная, а, следовательно, свое значение функции. В каждом из этих случаев помимо точки, в которой мы ищем производную разности или суммы, или производную степенной функции, необходимо взять другую точку, находящуюся на некотором расстоянии от нее, а затем устремить эту точку к исходной и, разумеется, выяснить, как в процессе такого движения будет меняться тангенс угла наклона.

Производная степенной функции

К сожалению, подобное определение нас совершено не устраивает. Все эти формулы, картинки, углы не дают нам ни малейшего представления о том, как считать реальную производную в реальных задачах. Поэтому давайте немного отвлечемся от формального определения и рассмотрим более действенные формулы и приемы, с помощью которых уже можно решать настоящие задачи.

Начнем с самых простых конструкций, а именно, функций вида $y={{x}^{n}}$, т.е. степенных функций. В этом случае мы можем записать следующее: ${y}’=n\cdot {{x}^{n-1}}$. Другими словами, степень, которая стояла в показателе, показывается в множителе спереди, а сам показатель уменьшается на единицу. Например:

\[\begin{align}& y={{x}^{2}} \\& {y}’=2\cdot {{x}^{2-1}}=2x \\\end{align}\]

А вот другой вариант:

\[\begin{align}& y={{x}^{1}} \\& {y}’={{\left( x \right)}^{\prime }}=1\cdot {{x}^{0}}=1\cdot 1=1 \\& {{\left( x \right)}^{\prime }}=1 \\\end{align}\]

Пользуясь этими простыми правилами, давайте попробуем снять штрих следующих примеров:

\[f\left( x \right)={{x}^{6}}\]

Итак, мы получаем:

\[{{\left( {{x}^{6}} \right)}^{\prime }}=6\cdot {{x}^{5}}=6{{x}^{5}}\]

Теперь решим второе выражение:

\[\begin{align}& f\left( x \right)={{x}^{100}} \\& {{\left( {{x}^{100}} \right)}^{\prime }}=100\cdot {{x}^{99}}=100{{x}^{99}} \\\end{align}\]

Разумеется, это были очень простые задачи. Однако реальные задачи более сложные и они не ограничиваются одними лишь степенями функции.

Итак, правило № 1 – если функция представлена в виде других двух, то производная этой суммы равна сумме производных:

\[{{\left( f+g \right)}^{\prime }}={f}’+{g}’\]

Аналогично, производная разности двух функций равна разности производных:

\[{{\left( f-g \right)}^{\prime }}={f}’-{g}’\]

Пример:

\[{{\left( {{x}^{2}}+x \right)}^{\prime }}={{\left( {{x}^{2}} \right)}^{\prime }}+{{\left( x \right)}^{\prime }}=2x+1\]

Кроме того, есть еще одно важное правило: если перед некоторой $f$ стоит константа $c$, на которую эта функция умножается, то $f$ всей этой конструкции считается так:

\[{{\left( c\cdot f \right)}^{\prime }}=c\cdot {f}’\]

Пример:

\[{{\left( 3{{x}^{3}} \right)}^{\prime }}=3{{\left( {{x}^{3}} \right)}^{\prime }}=3\cdot 3{{x}^{2}}=9{{x}^{2}}\]

Наконец, еще одно очень важное правило: в задачах часто встречается отдельное слагаемое, которое вообще не содержит $x$. Например, мы можем наблюдать это в наших сегодняшних выражениях. Производная константы, т. е., числа, никак не зависящего от $x$, всегда равна нулю, причем совершенно неважно, чему равна константа $c$:

\[{{\left( c \right)}^{\prime }}=0\]

Пример решения:

\[{{\left( 1001 \right)}^{\prime }}={{\left( \frac{1}{1000} \right)}^{\prime }}=0\]

Еще раз ключевые моменты:

  1. Производная суммы двух функций всегда равна сумме производных: ${{\left( f+g \right)}^{\prime }}={f}’+{g}’$;
  2. По аналогичным причинам производная разности двух функций равна разности двух производных: ${{\left( f-g \right)}^{\prime }}={f}’-{g}’$;
  3. Если у функции присутствует множитель константа, то эту константу можно выносить за знак производной: ${{\left( c\cdot f \right)}^{\prime }}=c\cdot {f}’$;
  4. Если вся функция представляет собой константу, то ее производная всегда ноль: ${{\left( c \right)}^{\prime }}=0$.

Давайте посмотрим, как все это работает на реальных примерах. Итак:

\[y={{x}^{5}}-3{{x}^{2}}+7\]

Записываем:

\[\begin{align}& {{\left( {{x}^{5}}-3{{x}^{2}}+7 \right)}^{\prime }}={{\left( {{x}^{5}} \right)}^{\prime }}-{{\left( 3{{x}^{2}} \right)}^{\prime }}+{7}’= \\& =5{{x}^{4}}-3{{\left( {{x}^{2}} \right)}^{\prime }}+0=5{{x}^{4}}-6x \\\end{align}\]

В этом примере мы видим и производную суммы, и производную разности. Итого, производная равна $5{{x}^{4}}-6x$.

Переходим ко второй функции:

\[f\left( x \right)=3{{x}^{2}}-2x+2\]

Записываем решение:

\[\begin{align}& {{\left( 3{{x}^{2}}-2x+2 \right)}^{\prime }}={{\left( 3{{x}^{2}} \right)}^{\prime }}-{{\left( 2x \right)}^{\prime }}+{2}’= \\& =3{{\left( {{x}^{2}} \right)}^{\prime }}-2{x}’+0=3\cdot 2x-2\cdot 1=6x-2 \\\end{align}\]

Вот мы и нашли ответ.

Переходим к третьей функции — она уже посерьезней:

\[y=2{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+\frac{1}{2}x-5\]

Решаем:

\[\begin{align}& {{\left( 2{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+\frac{1}{2}x-5 \right)}^{\prime }}={{\left( 2{{x}^{3}} \right)}^{\prime }}-{{\left( 3{{x}^{2}} \right)}^{\prime }}+{{\left( \frac{1}{2}x \right)}^{\prime }}-{5}’= \\& =2{{\left( {{x}^{3}} \right)}^{\prime }}-3{{\left( {{x}^{2}} \right)}^{\prime }}+\frac{1}{2}\cdot {x}’=2\cdot 3{{x}^{2}}-3\cdot 2x+\frac{1}{2}\cdot 1=6{{x}^{2}}-6x+\frac{1}{2} \\\end{align}\]

Ответ мы нашли.

Переходим к последнему выражению — самому сложному и самому длинному:

\[y=6{{x}^{7}}-14{{x}^{3}}+4x+5,{{x}_{0}}=-1\]

Итак, считаем:

\[\begin{align}& {{\left( 6{{x}^{7}}-14{{x}^{3}}+4x+5 \right)}^{\prime }}={{\left( 6{{x}^{7}} \right)}^{\prime }}-{{\left( 14{{x}^{3}} \right)}^{\prime }}+{{\left( 4x \right)}^{\prime }}+{5}’= \\& =6\cdot 7\cdot {{x}^{6}}-14\cdot 3{{x}^{2}}+4\cdot 1+0=42{{x}^{6}}-42{{x}^{2}}+4 \\\end{align}\]

Но на этом решение не заканчивается, потому что нас просят не просто снять штрих, а посчитать ее значение в конкретной точке, поэтому подставляем в выражение −1 вместо $x$:

\[{y}’\left( -1 \right)=42\cdot 1-42\cdot 1+4=4\]

Идем далее и переходим к еще более сложным и интересным примерам. Дело в том, что формула решения степенной производной ${{\left( {{x}^{n}} \right)}^{\prime }}=n\cdot {{x}^{n-1}}$ имеет еще более широкую область применения, чем обычно принято считать. С ее помощью можно решать примеры с дробями, корнями и т. д. Именно этим мы сейчас и займемся.

Для начала еще раз запишем формулу, которая поможет нам найти производную степенной функции:

\[{{\left( {{x}^{n}} \right)}^{\prime }}=n\cdot {{x}^{n-1}}\]

А теперь внимание: до сих пор мы рассматривали в качестве $n$ лишь натуральные числа, однако ничего не мешаем рассмотреть дроби и даже отрицательные числа. Например, мы можем записать следующее:

\[\begin{align}& \sqrt{x}={{x}^{\frac{1}{2}}} \\& {{\left( \sqrt{x} \right)}^{\prime }}={{\left( {{x}^{\frac{1}{2}}} \right)}^{\prime }}=\frac{1}{2}\cdot {{x}^{-\frac{1}{2}}}=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{\sqrt{x}}=\frac{1}{2\sqrt{x}} \\\end{align}\]

Ничего сложного, поэтому посмотрим, как эта формула поможет нам при решении более сложных задач. Итак, пример:

\[y=\sqrt{x}+\sqrt[3]{x}+\sqrt[4]{x}\]

Записываем решение:

\[\begin{align}& \left( \sqrt{x}+\sqrt[3]{x}+\sqrt[4]{x} \right)={{\left( \sqrt{x} \right)}^{\prime }}+{{\left( \sqrt[3]{x} \right)}^{\prime }}+{{\left( \sqrt[4]{x} \right)}^{\prime }} \\& {{\left( \sqrt{x} \right)}^{\prime }}=\frac{1}{2\sqrt{x}} \\& {{\left( \sqrt[3]{x} \right)}^{\prime }}={{\left( {{x}^{\frac{1}{3}}} \right)}^{\prime }}=\frac{1}{3}\cdot {{x}^{-\frac{2}{3}}}=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{\sqrt[3]{{{x}^{2}}}} \\& {{\left( \sqrt[4]{x} \right)}^{\prime }}={{\left( {{x}^{\frac{1}{4}}} \right)}^{\prime }}=\frac{1}{4}{{x}^{-\frac{3}{4}}}=\frac{1}{4}\cdot \frac{1}{\sqrt[4]{{{x}^{3}}}} \\\end{align}\]

Возвращаемся к нашему примеру и записываем:

\[{y}’=\frac{1}{2\sqrt{x}}+\frac{1}{3\sqrt[3]{{{x}^{2}}}}+\frac{1}{4\sqrt[4]{{{x}^{3}}}}\]

Вот такое сложное решение.

Переходим ко второму примеру — здесь всего два слагаемых, но каждое из них содержит как классическую степень, так и корни.

\[y={{x}^{3}}\sqrt[3]{{{x}^{2}}}+{{x}^{7}}\sqrt[3]{x}\]

Сейчас мы узнаем, как найти производную степенной функции, которая, кроме того, содержит и корень:

\[\begin{align}& {{\left( {{x}^{3}}\sqrt[3]{{{x}^{2}}}+{{x}^{7}}\sqrt[3]{x} \right)}^{\prime }}={{\left( {{x}^{3}}\cdot \sqrt[3]{{{x}^{2}}} \right)}^{\prime }}={{\left( {{x}^{3}}\cdot {{x}^{\frac{2}{3}}} \right)}^{\prime }}= \\& ={{\left( {{x}^{3+\frac{2}{3}}} \right)}^{\prime }}={{\left( {{x}^{\frac{11}{3}}} \right)}^{\prime }}=\frac{11}{3}\cdot {{x}^{\frac{8}{3}}}=\frac{11}{3}\cdot {{x}^{2\frac{2}{3}}}=\frac{11}{3}\cdot {{x}^{2}}\cdot \sqrt[3]{{{x}^{2}}} \\& {{\left( {{x}^{7}}\cdot \sqrt[3]{x} \right)}^{\prime }}={{\left( {{x}^{7}}\cdot {{x}^{\frac{1}{3}}} \right)}^{\prime }}={{\left( {{x}^{7\frac{1}{3}}} \right)}^{\prime }}=7\frac{1}{3}\cdot {{x}^{6\frac{1}{3}}}=\frac{22}{3}\cdot {{x}^{6}}\cdot \sqrt[3]{x} \\\end{align}\]

Оба слагаемых посчитаны, осталось записать окончательный ответ:

\[{y}’=\frac{11}{3}\cdot {{x}^{2}}\cdot \sqrt[3]{{{x}^{2}}}+\frac{22}{3}\cdot {{x}^{6}}\cdot \sqrt[3]{x}\]

Мы нашли ответ.

Производная дроби через степенную функцию

Но и на этом возможности формулы для решения производной степенной функции не заканчиваются. Дело в том, что с ее помощью можно считать не только примеры с корнями, но также и с дробями. Это как раз та редкая возможность, которая значительно упрощает решение таких примеров, но при этом зачастую игнорируется не только учениками, но и учителями.

Итак, сейчас мы попытаемся совместить сразу две формулы. С одной стороны, классическая производная степенной функции

\[{{\left( {{x}^{n}} \right)}^{\prime }}=n\cdot {{x}^{n-1}}\]

С другой стороны мы знаем, что выражение вида $\frac{1}{{{x}^{n}}}$ представимо в виде ${{x}^{-n}}$. Следовательно,

\[\left( \frac{1}{{{x}^{n}}} \right)’={{\left( {{x}^{-n}} \right)}^{\prime }}=-n\cdot {{x}^{-n-1}}=-\frac{n}{{{x}^{n+1}}}\]

Пример:

\[{{\left( \frac{1}{x} \right)}^{\prime }}=\left( {{x}^{-1}} \right)=-1\cdot {{x}^{-2}}=-\frac{1}{{{x}^{2}}}\]

Таким образом, производные простых дробей, где в числителе стоит константа, а в знаменателе — степень, также считаются с помощью классической формулы. Посмотрим, как это работает на практике.

Итак, первая функция:

\[f\left( x \right)=\frac{1}{{{x}^{2}}}\]

Считаем:

\[{{\left( \frac{1}{{{x}^{2}}} \right)}^{\prime }}={{\left( {{x}^{-2}} \right)}^{\prime }}=-2\cdot {{x}^{-3}}=-\frac{2}{{{x}^{3}}}\]

Первый пример решен, переходим ко второму:

\[y=\frac{7}{4{{x}^{4}}}-\frac{2}{3{{x}^{3}}}+\frac{5}{2}{{x}^{2}}+2{{x}^{3}}-3{{x}^{4}}\]

Решаем:

\[\begin{align}& {{\left( \frac{7}{4{{x}^{4}}}-\frac{2}{3{{x}^{3}}}+\frac{5}{2}{{x}^{2}}+2{{x}^{3}}-3{{x}^{4}} \right)}^{\prime }}= \\& ={{\left( \frac{7}{4{{x}^{4}}} \right)}^{\prime }}-{{\left( \frac{2}{3{{x}^{3}}} \right)}^{\prime }}+{{\left( 2{{x}^{3}} \right)}^{\prime }}-{{\left( 3{{x}^{4}} \right)}^{\prime }} \\& {{\left( \frac{7}{4{{x}^{4}}} \right)}^{\prime }}=\frac{7}{4}{{\left( \frac{1}{{{x}^{4}}} \right)}^{\prime }}=\frac{7}{4}\cdot {{\left( {{x}^{-4}} \right)}^{\prime }}=\frac{7}{4}\cdot \left( -4 \right)\cdot {{x}^{-5}}=\frac{-7}{{{x}^{5}}} \\& {{\left( \frac{2}{3{{x}^{3}}} \right)}^{\prime }}=\frac{2}{3}\cdot {{\left( \frac{1}{{{x}^{3}}} \right)}^{\prime }}=\frac{2}{3}\cdot {{\left( {{x}^{-3}} \right)}^{\prime }}=\frac{2}{3}\cdot \left( -3 \right)\cdot {{x}^{-4}}=\frac{-2}{{{x}^{4}}} \\& {{\left( \frac{5}{2}{{x}^{2}} \right)}^{\prime }}=\frac{5}{2}\cdot 2x=5x \\& {{\left( 2{{x}^{3}} \right)}^{\prime }}=2\cdot 3{{x}^{2}}=6{{x}^{2}} \\& {{\left( 3{{x}^{4}} \right)}^{\prime }}=3\cdot 4{{x}^{3}}=12{{x}^{3}} \\\end{align}\]…

Теперь собираем все эти слагаемые в единую формулу:

\[{y}’=-\frac{7}{{{x}^{5}}}+\frac{2}{{{x}^{4}}}+5x+6{{x}^{2}}-12{{x}^{3}}\]

Мы получили ответ.

Однако прежде чем двигаться дальше, хотел бы обратить ваше внимание на форму записи самих исходных выражений: в первом выражении мы записали $f\left( x \right)=…$, во втором: $y=…$ Многие ученики теряются, когда видят разные формы записи. Чем отличаются $f\left( x \right)$ и $y$? На самом деле, ничем. Это просто разные записи с одним и тем же смыслом. Просто когда мы говорим $f\left( x \right)$, то речь идет, прежде всего, о функции, а когда речь идет об $y$, то чаще всего подразумевается график функции. В остальном же это одно и то же, т. е., производная в обоих случаях считается одинаково.

Сложные задачи с производными

В заключение хотелось бы рассмотреть пару сложных комбинированных задач, в которых используется сразу все то, что мы сегодня рассмотрели. В них нас ждут и корни, и дроби, и суммы. Однако сложными эти примеры будут лишь в рамках сегодняшнего видеоурока, потому что по-настоящему сложные функции производных будут ждать вас впереди.

Итак, заключительная часть сегодняшнего видеоурока, состоящая из двух комбинированных задач. Начнем с первой из них:

\[y={{x}^{3}}-\frac{1}{{{x}^{3}}}+\sqrt[3]{x}\]

Считаем:

\[\begin{align}& {{\left( {{x}^{3}}-\frac{1}{{{x}^{3}}}+\sqrt[3]{x} \right)}^{\prime }}={{\left( {{x}^{3}} \right)}^{\prime }}-{{\left( \frac{1}{{{x}^{3}}} \right)}^{\prime }}+\left( \sqrt[3]{x} \right) \\& {{\left( {{x}^{3}} \right)}^{\prime }}=3{{x}^{2}} \\& {{\left( \frac{1}{{{x}^{3}}} \right)}^{\prime }}={{\left( {{x}^{-3}} \right)}^{\prime }}=-3\cdot {{x}^{-4}}=-\frac{3}{{{x}^{4}}} \\& {{\left( \sqrt[3]{x} \right)}^{\prime }}={{\left( {{x}^{\frac{1}{3}}} \right)}^{\prime }}=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{{{x}^{\frac{2}{3}}}}=\frac{1}{3\sqrt[3]{{{x}^{2}}}} \\\end{align}\]

Производная функции равна:

\[{y}’=3{{x}^{2}}-\frac{3}{{{x}^{4}}}+\frac{1}{3\sqrt[3]{{{x}^{2}}}}\]

Первый пример решен. Рассмотрим вторую задачу:

\[y=-\frac{2}{{{x}^{4}}}+\sqrt[4]{x}+\frac{4}{x\sqrt[4]{{{x}^{3}}}}\]

Во втором примере действуем аналогично:

\[{{\left( -\frac{2}{{{x}^{4}}}+\sqrt[4]{x}+\frac{4}{x\sqrt[4]{{{x}^{3}}}} \right)}^{\prime }}={{\left( -\frac{2}{{{x}^{4}}} \right)}^{\prime }}+{{\left( \sqrt[4]{x} \right)}^{\prime }}+{{\left( \frac{4}{x\cdot \sqrt[4]{{{x}^{3}}}} \right)}^{\prime }}\]

Посчитаем каждое слагаемое отдельно:

\[\begin{align}& {{\left( -\frac{2}{{{x}^{4}}} \right)}^{\prime }}=-2\cdot {{\left( {{x}^{-4}} \right)}^{\prime }}=-2\cdot \left( -4 \right)\cdot {{x}^{-5}}=\frac{8}{{{x}^{5}}} \\& {{\left( \sqrt[4]{x} \right)}^{\prime }}={{\left( {{x}^{\frac{1}{4}}} \right)}^{\prime }}=\frac{1}{4}\cdot {{x}^{-\frac{3}{4}}}=\frac{1}{4\cdot {{x}^{\frac{3}{4}}}}=\frac{1}{4\sqrt[4]{{{x}^{3}}}} \\& {{\left( \frac{4}{x\cdot \sqrt[4]{{{x}^{3}}}} \right)}^{\prime }}={{\left( \frac{4}{x\cdot {{x}^{\frac{3}{4}}}} \right)}^{\prime }}={{\left( \frac{4}{{{x}^{1\frac{3}{4}}}} \right)}^{\prime }}=4\cdot {{\left( {{x}^{-1\frac{3}{4}}} \right)}^{\prime }}= \\& =4\cdot \left( -1\frac{3}{4} \right)\cdot {{x}^{-2\frac{3}{4}}}=4\cdot \left( -\frac{7}{4} \right)\cdot \frac{1}{{{x}^{2\frac{3}{4}}}}=\frac{-7}{{{x}^{2}}\cdot {{x}^{\frac{3}{4}}}}=-\frac{7}{{{x}^{2}}\cdot \sqrt[4]{{{x}^{3}}}} \\\end{align}\]

Все слагаемые посчитаны. Теперь возвращаемся к исходной формуле и складываем вместе все три слагаемых. Получаем, что окончательный ответ будет таким:

\[{y}’=\frac{8}{{{x}^{5}}}+\frac{1}{4\sqrt[4]{{{x}^{3}}}}-\frac{7}{{{x}^{2}}\cdot \sqrt[4]{{{x}^{3}}}}\]

И на этом все. Это был первый наш урок. В следующих уроках мы рассмотрим более сложные конструкции, а также выясним, зачем вообще нужны производные. 

Смотрите также:

  1. Производная произведения и частного
  2. Правила вычисления производных
  3. Тест к уроку «Площади многоугольников на координатной сетке» (легкий)
  4. Преобразование уравнений
  5. Пробный ЕГЭ 2012 от 7 декабря. Вариант 5 (без производной)
  6. Задача B2: лекарство и таблетки

www.berdov.com

Производная степенно показательной функции — примеры вычисления

Степенно-показательная функция – это функция, имеющая вид степенной функции
y = uv,
у которой основание u и показатель степени v являются некоторыми функциями от переменной x:
u = u(x);   v = v(x).
Эту функцию также называют показательно-степенной или сложной показательной функцией.

Заметим, что степенно-показательную функцию можно представить в показательном виде:
.
Поэтому ее также называют сложной показательной функцией.

Далее мы покажем, что производная степенно-показательной функции определяется по формуле:
(1)   .

Производная степенно-показательной функции

Вычисление с помощью логарифмической производной

Найдем производную степенно-показательной функции
(2)   ,
где и есть функции от переменной .
Для этого логарифмируем уравнение (2), используя свойство логарифма:
.
Дифференцируем по переменной x:
(3)   .
Применяем правила дифференцирования сложной функции и произведения:
;
.

Подставляем в (3):
.
Отсюда
.

Итак, мы нашли производную степенно-показательной функции:
(1)   .
Если показатель степени являются постоянной, то . Тогда производная равна производной сложной степенной функции:
.
Если основание степени являются постоянной, то . Тогда производная равна производной сложной показательной функции:
.
Когда и являются функциями от x, то производная степенно-показательной функции равна сумме производных сложной степенной и показательной функций.

Вычисление производной приведением к сложной показательной функции

Теперь найдем производную степенно-показательной функции
(2)   ,
представив ее как сложную показательную функцию:
(4)   .

Дифференцируем произведение:
.
Применяем правило нахождения производной сложной функции:

.
И мы снова получили формулу (1).

Пример 1

Найти производную следующей функции:
.

Решение

Вычисляем с помощью логарифмической производной. Логарифмируем исходную функцию:
(П1.1)   .

Из таблицы производных находим:
;
.
По формуле производной произведения имеем:
.
Дифференцируем (П1.1):
.
Поскольку
,
то
.

Ответ

.

Пример 2

Найдите производную функции
.

Решение

Логарифмируем исходную функцию:
(П2.1)   .
Из таблицы производных находим:
;
.
Применяем правило дифференцирования сложной функции:

.
Дифференцируем (П2.1), применяя формулу производной произведения двух функций:

.
Поскольку
,
то
.

Ответ

.

Автор: Олег Одинцов.     Опубликовано:

1cov-edu.ru

Таблица производных экспоненциальных и логарифмических функций

Развернуть структуру обучения Свернуть структуру обучения

См. также:

При нахождении производных от экспоненциальных и логарифмических функций применяют следующие правила:

  1. (loga x)’ = 1/(x ln a)
    Производная логарифма с основанием а  переменной икс равна единице, деленной на произведение переменной и натурального логарифма от а. 
  2. (loga f(x))’ = f ‘(x) / (f(x) ln a)
    Производная логарифма с основанием а от функции f(x) равна дроби, в числителе которой находится производная функции f(x), а в знаменателе — произведение f(x) и натурального логарифма от а
  3. (ln x)’ = 1/x
    Производная натурального логарифма равна 1/х 
  4. (ln f(x) )’ = f ‘(x) / f(x)
    Производная натурального логарифма от функции f(x) равна дроби, в числителе которой находится производная этой функции, а в знаменателе — сама функция
  5. (ax )’ = ax ln a, a > 0 a ≠ 1 
    Производная константы а в степени переменной х, равна произведению константы а в степени переменной х и натурального логарифма от числа а. При этом число а должно быть больше нуля и не равно единице
  6. Производная переменной икс в степени этой же самой переменной равна произведению переменной икс в степени самой себя и суммы единицы и натурального логарифма х
  7. (ex )’ = ex

В более удобном для восприятия виде правила дифференцирования экспоненциальных и логарифмических функций представлены на картинке:  Таблица производных простых функций | Описание курса | Таблица производных тригонометрических функций 

   

profmeter.com.ua

производная степени | математика-повторение

На этом занятии мы будем учиться применять формулы и правила дифференцирования.

Примеры. Найти производные функций.

1. y=x7+x5-x4+x3-x2+x-9. Применяем правило I, формулы 4, 2 и 1. Получаем:

y’=7x6+5x4-4x3+3x2-2x+1.

2. y=3x6-2x+5. Решаем аналогично, используя те же формулы и формулу 3.

y’=3∙6x5-2=18x5-2.

Применяем правило I,  формулы 3, 5 и 6 и 1.

 

 Применяем правило IV, формулы 5 и 1.

 

В пятом примере по правилу I производная суммы равна сумме производных,  а производную 1-го слагаемого мы только что находили (пример 4), поэтому, будем находить производные  2-го и 3-го слагаемых, а для 1-го слагаемого можем сразу писать результат.

Дифференцируем 2-ое и 3-е слагаемые по формуле 4. Для этого преобразуем корни третьей и четвертой степеней в знаменателях к степеням с отрицательными показателями, а затем, по 4 формуле, находим производные степеней.

Посмотрите на данный пример и полученный результат. Уловили закономерность? Хорошо. Это означает, что мы получили новую формулу и можем добавить ее в нашу таблицу производных.

Решим шестой пример и выведем еще одну  формулу.

Используем правило IV и формулу 4. Получившиеся дроби сократим.

Смотрим на данную функцию и на ее производную. Вы, конечно, поняли закономерность и готовы назвать формулу:

Учим новые формулы!

 

www.mathematics-repetition.com

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.