Производящая функция теория вероятности – 5. Производящая функция дискретной случайной величины

Содержание

5. Производящая функция дискретной случайной величины

Кратко остановимся на понятие производящей функции конечных дискретных случайных величин.

Функцию определённую равенством , где некоторый параметр называют производящей функцией для последовательности повторных независимых опытов. Очевидно, что приимеет место равенство

,

для любого натурального числа

Пусть производится испытаний, причём в первом испытания вероятность появления события

равнаво втором равнавм испытании равнаи вероятностинепоявлениясобытиясоответственно равныЗаобозначим вероятность появления событиявиспытаниях ровнораз.

Производящей функцией вероятностей называют функцию, определяемую равенством

()

Таким образом, вероятность равна коэффициенту прий степени многочлена, определённой равенством (), т.е. равна коэффициенту прив разложении производящей функции по степеням.

Замечание. Отметим, что придолжно выполняться равенство (обычно называется контроль).

().

При

имеем равенство

.

Следовательно, коэффициент при равно, приравнои при.

Следует заметить, что если в различных испытаниях появляется различные события (в первом испытании событие , во втором событиеи т.д.), то изменяется лишь истолкование коэффициентов при различных степенях. Например, в равенстве (

) коэффициентопределяет вероятность появления двух событийи.

Пример 8. Устройство состоит из трёх независимо работающих элементов. Вероятности безотказной работы элементов (за время) соответственно равныНайти вероятности того, что за времябудут работать безотказно:

а) все три элемента работают;

б) два элемента работают;

в) один элемент работает;

г) ни один из элементов не будет работать.

Решение. Вероятности безотказной работы элементов соответственно равныСледовательно, вероятности того, что элементы откажут, соответственно равны

Составим производящую функцию:

а) Вероятность того, что три элемента будут работать безотказно, равна коэффициенту при

б) Вероятность того, что два элемента будут работать безотказно, равна коэффициенту при

в) Вероятность того, что один элемент будет работать безотказно, равна коэффициенту при

г) Вероятность того, что ни один из элементов не будет работать безотказно, равна свободному члену:

Легко видет, что выполняется контроль:

.

Задания. Покажите, что

1. гдештрихозначаетю производную функциипо параметрупричём

2.

3.,

где

число размещений изэлементов по.

Заметим, что вероятности ,являются коэффициентами при степенив разложении

.

6. Плотность распределения вероятностей

непрерывной случайной величины

Важнейшей характеристикой непрерывной случайной величины (кроме функции распределения) является так называемая функция плотности распределения.Напомним, что «Случайную величину называют непрерывной, если ее функция распределениянепрерывна в любой точке и дифференцируема всюду, за исключением, может быть отдельных точек».

Плотностью распределения вероятностейнепрерывнойслучайной величины называют некоторую функциюпервую производную от функции распределения:

(7) .

Из этого определения следует, что функция распределения является первообразной функциейдля функции плотности распределения.

Функцию называют такжедифференциальной функцией распределения: она выражает одной из форм закона распределения случайной величины, относящихся только к непрерывным случайным величинам.

Следует заметить, что для описания распределения вероятностей д.с.в. понятие плотность распределения неприменима.

Рассмотрим вероятностный смысл плотности распределения. По определению производной функции имеем

Далее, согласно формуле (2), выполняется равенство

Отношение представляет собой «среднюю вероятность», которая приходится на единицу длины участка. Тогда получим

(8) ,

т.е. плотность распределения н.с.в. равна пределу отношения вероятности попадания н.с.в.в промежутокк длинеэтого промежутка, когда величинастремиться к нулю. Из равенства (8) следует, что.

Тем самым, установлено, что плотность вероятности н.с.в. определяется как функцияудовлетворяющая, условию. Выражениеназываетсяэлементом вероятности.

Следует отметить, что понятие функции плотности распределения вероятности , аналогично таким понятиям, как плотность распределения масс на оси абсцисс или плотность распределения электрического тока в теории электричества в физике и т.д.

Теперь, рассмотрим свойства функции плотности распределения.

С.1. .- неотрицательная функция на всей числовой оси.

С.2. Вероятность попадания н.с.в. в промежутокравна определенному интегралу от ее функции плотности в пределах отдо, т.е. верно равенство

(9)

С.3. Если функция распределения н.с.в.и- функция плотности, то имеет место равенство

(10) .

С.4. Интеграл от функции плотности вероятности н.с.в.

в бесконечных пределах равен единице (условие нормировки - контроль) т.е. еслиплотность распределения некоторой с.в., тогда

. (11).

Условие нормировки для н.с.в. напоминает аналога условия «контроля» для случая д.с.в..

1.Функция плотности распределения- неотрицательная функция потому, что по определениюнеубывающая и монотонна, а следовательно. Это означает, что график функция плотности, называемыйкривой распределения, расположена не ниже оси абсцисс, также следует отметить, что функция плотности может принимать сколь угодно большие значения.

2.Посколькуестьпервообразнаяфункцией для функции, тогда в соответствии с формулой Ньютона-Лейбница справедливо равенство

(12)

Отсюда, согласно определению функции получим

(13) .

Геометрический смысл этого равенства следующее: интеграл от элемента вероятностиесть площадь фигуры (), ограниченной сверху кривой распределенияи опирающейся на отрезок [a;b]

рис.21-Письменный

3.На основании свойстваС.2. И то, чтополучим:

(14) .

4.Подставляя в формуле (13) соответственно, получаем достоверное событиет.е.

(15) .

Геометрическая трактовка свойство С.4.(свойство нормировки) означает, что площадь фигуры (S) ограниченной функциейи числовой осью абсцисс, равна единице.

Теперь, мы можем дать определение непрерывной с.в. в связи с функцией распределения плотности :случайная величина называетсянепрерывной, если существует неотрицательная функция такая, что при любом её функция распределения можно представить в виде

;

отсюда получим равенство -дифференциальное равенство (дифференциальный закон распределения).

Следовательно, функций иявляются равноправными (эквивалентными) характеристиками случайной величины. Отметим, что на основании формулы (13) непосредственно следует равенство

.

Отсюда, также следуют равенства:

.

Пример 9. Пусть плотность распределения с.в.задана функцией,.

1. Найти значение параметра , при которомбудет функцией плотности,

2. Выписать функцию распределения .

Решение. На основанииС.4. должно выполняться равенство (см.(11))

.

Применяя метод подсчёта несобственных интегралов, при этом воспользуюсь табличным интегралом для функции арктангенса с последующим применением формулы Ньютона –Лейбница получим

.

Следовательно, . Далее, выпишем функцию распределения с.в.плотность распределения которой равна. Проведя обычные рассуждения на основании формулы (14) получим

.

Такое распределение называют распределением Коши.

Задание. Проверьте справедливость дифференциального закона распределения и убедитесь, чтоявляется первообразной функцией.

Пример 9. Пусть плотность распределения с.в.задана функцией,

1. Найти значение параметра , при которомбудет функцией плотности,

2. Выписать функцию распределения .

Решение. Аналогично как в примере 1 пользуясь равенством (11) получим

Следовательно,

Задание. 1. Проверьте справедливость дифференциального закона распределения и убедитесь, что является первообразной функцией для.

2. Пусть и плотность распределения н.с.в.задана функцией

Найти значение параметра C, выписать явный вид функции распределения и проверить выполнение дифференциального закона.

Пример 10. Однородная проволока длиной 1 м. растягивается за концы и при этом разрывается. Пустьслучайная величина, равная расстоянию от точки разрыва до левого конца проволки. Используя геометрические вероятности, найдём, что

для любых Следовательно, функция распределения и плотность распределения этой случайной величины имеют вид:

Задание. Проверьте выполнения дифференциального закона.

studfiles.net

5. Производящая функция дискретной случайной величины

Кратко остановимся на понятие производящей функции конечных дискретных случайных величин.

Функцию определённую равенством , где некоторый параметр называют производящей функцией для последовательности повторных независимых опытов. Очевидно, что приимеет место равенство

,

для любого натурального числа

Пусть производится испытаний, причём в первом испытания вероятность появления событияравнаво втором равнавм испытании равнаи вероятностинепоявлениясобытиясоответственно равныЗаобозначим вероятность появления событиявиспытаниях ровнораз.

Производящей функцией вероятностей называют функцию, определяемую равенством

()

Таким образом, вероятность равна коэффициенту прий степени многочлена, определённой равенством (), т.е. равна коэффициенту прив разложении производящей функции по степеням.

Замечание. Отметим, что придолжно выполняться равенство (обычно называется контроль).

().

При имеем равенство

.

Следовательно, коэффициент при равно, приравнои при.

Следует заметить, что если в различных испытаниях появляется различные события (в первом испытании событие , во втором событиеи т.д.), то изменяется лишь истолкование коэффициентов при различных степенях. Например, в равенстве () коэффициентопределяет вероятность появления двух событийи.

Пример 8. Устройство состоит из трёх независимо работающих элементов. Вероятности безотказной работы элементов (за время) соответственно равныНайти вероятности того, что за времябудут работать безотказно:

а) все три элемента работают;

б) два элемента работают;

в) один элемент работает;

г) ни один из элементов не будет работать.

Решение. Вероятности безотказной работы элементов соответственно равныСледовательно, вероятности того, что элементы откажут, соответственно равны

Составим производящую функцию:

а) Вероятность того, что три элемента будут работать безотказно, равна коэффициенту при

б) Вероятность того, что два элемента будут работать безотказно, равна коэффициенту при

в) Вероятность того, что один элемент будет работать безотказно, равна коэффициенту при

г) Вероятность того, что ни один из элементов не будет работать безотказно, равна свободному члену:

Легко видет, что выполняется контроль:

.

Задания. Покажите, что

1. гдештрихозначаетю производную функциипо параметрупричём

2.

3.,

гдечисло размещений изэлементов по.

Заметим, что вероятности ,являются коэффициентами при степенив разложении

.

6. Плотность распределения вероятностей

непрерывной случайной величины

Важнейшей характеристикой непрерывной случайной величины (кроме функции распределения) является так называемая функция плотности распределения.Напомним, что «Случайную величину называют непрерывной, если ее функция распределениянепрерывна в любой точке и дифференцируема всюду, за исключением, может быть отдельных точек».

Плотностью распределения вероятностейнепрерывнойслучайной величины называют некоторую функциюпервую производную от функции распределения:

(7) .

Из этого определения следует, что функция распределения является первообразной функциейдля функции плотности распределения.

Функцию называют такжедифференциальной функцией распределения: она выражает одной из форм закона распределения случайной величины, относящихся только к непрерывным случайным величинам.

Следует заметить, что для описания распределения вероятностей д.с.в. понятие плотность распределения неприменима.

Рассмотрим вероятностный смысл плотности распределения. По определению производной функции имеем

Далее, согласно формуле (2), выполняется равенство

Отношение представляет собой «среднюю вероятность», которая приходится на единицу длины участка. Тогда получим

(8) ,

т.е. плотность распределения н.с.в. равна пределу отношения вероятности попадания н.с.в.в промежутокк длинеэтого промежутка, когда величинастремиться к нулю. Из равенства (8) следует, что.

Тем самым, установлено, что плотность вероятности н.с.в. определяется как

функция удовлетворяющая, условию. Выражениеназываетсяэлементом вероятности.

Следует отметить, что понятие функции плотности распределения вероятности , аналогично таким понятиям, как плотность распределения масс на оси абсцисс или плотность распределения электрического тока в теории электричества в физике и т.д.

Теперь, рассмотрим свойства функции плотности распределения.

С.1. .- неотрицательная функция на всей числовой оси.

С.2. Вероятность попадания н.с.в. в промежутокравна определенному интегралу от ее функции плотности в пределах отдо, т.е. верно равенство

(9)

С.3. Если функция распределения н.с.в.и- функция плотности, то имеет место равенство

(10) .

С.4. Интеграл от функции плотности вероятности н.с.в. в бесконечных пределах равен единице (условие нормировки - контроль) т.е. еслиплотность распределения некоторой с.в., тогда

. (11).

Условие нормировки для н.с.в. напоминает аналога условия «контроля» для случая д.с.в..

1.Функция плотности распределения- неотрицательная функция потому, что по определениюнеубывающая и монотонна, а следовательно. Это означает, что график функция плотности, называемыйкривой распределения, расположена не ниже оси абсцисс, также следует отметить, что функция плотности может принимать сколь угодно большие значения.

2.Посколькуестьпервообразнаяфункцией для функции, тогда в соответствии с формулой Ньютона-Лейбница справедливо равенство

(12)

Отсюда, согласно определению функции получим

(13) .

Геометрический смысл этого равенства следующее: интеграл от элемента вероятностиесть площадь фигуры (), ограниченной сверху кривой распределенияи опирающейся на отрезок [a;b]

рис.21-Письменный

3.На основании свойстваС.2. И то, чтополучим:

(14) .

4.Подставляя в формуле (13) соответственно, получаем достоверное событиет.е.

(15) .

Геометрическая трактовка свойство С.4.(свойство нормировки) означает, что площадь фигуры (S) ограниченной функциейи числовой осью абсцисс, равна единице.

Теперь, мы можем дать определение непрерывной с.в. в связи с функцией распределения плотности :случайная величина называетсянепрерывной, если существует неотрицательная функция такая, что при любом её функция распределения можно представить в виде

;

отсюда получим равенство -дифференциальное равенство (дифференциальный закон распределения).

Следовательно, функций иявляются равноправными (эквивалентными) характеристиками случайной величины. Отметим, что на основании формулы (13) непосредственно следует равенство

.

Отсюда, также следуют равенства:

.

Пример 9. Пусть плотность распределения с.в.задана функцией,.

1. Найти значение параметра , при которомбудет функцией плотности,

2. Выписать функцию распределения .

Решение. На основанииС.4. должно выполняться равенство (см.(11))

.

Применяя метод подсчёта несобственных интегралов, при этом воспользуюсь табличным интегралом для функции арктангенса с последующим применением формулы Ньютона –Лейбница получим

.

Следовательно, . Далее, выпишем функцию распределения с.в.плотность распределения которой равна. Проведя обычные рассуждения на основании формулы (14) получим

.

Такое распределение называют распределением Коши.

Задание. Проверьте справедливость дифференциального закона распределения и убедитесь, чтоявляется первообразной функцией.

Пример 9. Пусть плотность распределения с.в.задана функцией,

1. Найти значение параметра , при которомбудет функцией плотности,

2. Выписать функцию распределения .

Решение. Аналогично как в примере 1 пользуясь равенством (11) получим

Следовательно,

Задание. 1. Проверьте справедливость дифференциального закона распределения и убедитесь, что является первообразной функцией для.

2. Пусть и плотность распределения н.с.в.задана функцией

Найти значение параметра C, выписать явный вид функции распределения и проверить выполнение дифференциального закона.

Пример 10. Однородная проволока длиной 1 м. растягивается за концы и при этом разрывается. Пустьслучайная величина, равная расстоянию от точки разрыва до левого конца проволки. Используя геометрические вероятности, найдём, что

для любых Следовательно, функция распределения и плотность распределения этой случайной величины имеют вид:

Задание. Проверьте выполнения дифференциального закона.

studfiles.net

3.2. Производящие и характеристические функции

Пусть X – целочисленная, неотрицательная случайная величина с законом распределения вероятностей:

, k=0,1,2,… .

Производящей функцией случайной величины X называется неслучайная функция , определяемая приравенством:

.

Производящая функция является аналитической внутри единичного кругаи по ней закон распределения случайной величиныXоднозначно определяется равенствами:

, где ,k0.

Величину MX(X-1)…(X-k+1)называютk-ым факториальным моментом. Если конеченk-ый факториальный момент, то существует левосторонняя производнаяи

.

В частности,

, .

Производящая функция суммынезависимых случайных величин равна произведению производящих функций слагаемых:

.

Характеристической функцией случайной величиныХназывается комплекснозначная неслучайная функциявещественного аргументаt, определяемая равенством:

.

Для дискретной случайной величины Х, принимающей значенияс вероятностямиpk, характеристическая функция представляет собой ряд Фурье:

.

Если Х - непрерывная случайная величина с плотностью вероятностей, то характеристическая функция есть преобразование Фурье плотности вероятностей:

.

Характеристическая функция обладает следующими основными свойствами:

1. , .

2. равномерно непрерывна на всей числовой прямой.

3. . В частности, вещественная характеристическая функция является четной.

4. неотрицательно определена, т. е. для любого конечногоn1, для любых комплексных чиселz1,…,znи любых действительных чиселt1,…,tn спра-

ведливо неравенство

.

5. Если характеристическая функция случайной величиныX,то случайная величинаимеет характеристическую функцию.

6. Характеристическая функция суммынезависимых случайных величин равна произведению характеристических функций слагаемых:

.

7. Если у случайной величины Хсуществует момент порядкаn,то характеристическая функцияимеетnнепрерывных производных и

.

Функция распределения однозначно определяется своей характеристической функцией.Имеет место следующая формула обращения:

для любых точек x и y, являющихся точками непрерывности функции .

Если характеристическая функция абсолютно интегрируема, т.е., то у случайной величины существует плотность вероятностейи

.

Характеристической функцией случайного вектора называется комплекснозначная неслучайная функцияn вещественных переменных, определяемая равенством:

,

где - скалярное произведение векторов.

Пример 1. Найти производящую функцию геометрической случайной величиныс параметромр>0 и с ее помощью найтии.

Решение. Геометрическая случайная величинапринимает значенияс вероятностями.Поэтому производящая функции этой случайной величины имеет вид:

.

Найдем с помощью производящей функции математическое ожидание и дисперсию случайной величины .

.

Отметим, что нахождение числовых характеристик геометрической случайной величины через производящую функцию существенно проще, чем непосредственным подсчетом.

Пример 2.Найти характеристическую функцию случайной величины, имеющей равномерное распределение на отрезке.

Решение. Случайная величинаимеет плотность вероятностей

Поэтому

.

Пример 3. Характеристическая функция непрерывной случайной величины имеет вид. Найти плотность вероятностей этой случайной величины.

Решение. Характеристическая функцияявляется абсолютно интегрируемой. Поэтому плотность вероятностейслучайной величинысуществует и она представляет собой обратное преобразование Фурье функции :

- закон распределения Коши.

Задачи

3.2.1.Найти производящую функцию числа ''успехов''Хв схеме независимых испытаний Бернулли и с её помощью найтии.

3.2.2.Найти производящую функцию пуассоновской случайной величиныХ и с её помощью найтии.

3.2.3.Пустьи– число испытаний в схеме Бернулли до появления первого иm-го успеха соответственно. Найти производящие функции величини,а также,и,.

3.2.4. Найти законы распределения, которым соответствуют следующие производящие функции:

а) ; б);

в) ; г).

3.2.5.ПустьX – неотрицательная целочисленная случайная величина с производящей функциейp(z).Найти производящие функции случайных величинX+1, 2Х и 3Х+2.

3.2.6.Пустьun– вероятность того, что число успехов в последовательностиnиспытаний по схеме Бернулли чётно. Доказать рекуррентную формулу:un = qun-1 + p(1-un-1). Вывести отсюда производящую функцию, а из неё точную формулу дляun (u0 = 1).

3.2.7. Дискретная случайная величинаХможет принимать только два значения –1 и 1 с равными вероятностями. Найти характеристическую функцию данной случайной величины.

3.2.8. Дискретная случайная величинаХимеет закон распределения:

X

-2

0

2

1/4

1/2

1/4

Найти характеристическую функцию случайной величины Хи с ее помощью вычислить.

3.2.9.Найти характеристическую функцию числа ''успехов''Хв схеме Бернулли и с её помощью найтии.

3.2.10.Найти характеристическую функцию пуассоновской случайной величиныХи с её помощью найтии.

3.2.11.Найти характеристическую функцию случайной величиныХ, принимающей значения(конечное или счетное множество) с вероятностями.

3.2.12.Найти характеристические функции следующих законов распределения:

а) равномерного на отрезке ;

б) показательного с параметром а>0;

в) нормального ;

г) закона Коши с плотностью вероятностей

;

д) закона распределения Лапласа с плотностью вероятностей

;

е) χ2cn степенями свободы с плотностью вероятностей

3.2.13.Случайная величинаXимеет плотность вероятностей:

Доказать, что характеристическая функция случайной величины Xравна:

.

3.2.14.Случайная величина Х имеет плотность вероятностей:

.

Доказать, что характеристическая функция величины Xравна:

3.2.15.Найти характеристическую функцию гамма-распределенияс параметрами, имеющего плотность вероятностей

3.2.16.Найти законы распределения, соответствующие характеристическим функциям:а)в);г) ,где,.

3.2.17.Характеристическая функция случайной величиныХимеет вид:. Найти закон распределения этой случайной величины.

3.2.18.Найти плотности вероятностей случайных величин, имеющих следующие характеристические функции:

а)

б)

в)

г) .

3.2.19.Даны характеристические функции:

, .

Определить соответствующие им плотности вероятностей.

3.2.20.С помощью характеристических функций доказать, что:

а) сумма независимых пуассоновских случайных величин имеет пуассоновское распределение;

б) сумма независимых биномиальных случайных величин, связанных со схемами Бернулли с одинаковыми вероятностями ''успеха'', является биномиальной случайной величиной;

в) сумма независимых нормально распределенных случайных величин имеет нормальное распределение;

г) сумма независимых случайных величин, имеющих распределения Коши, также распределена по закону Коши.

3.2.21. ВеличиныXиYнезависимы, одинаково распределены и их характеристическая функция равна(t).Найти характеристическую функцию разности.

3.2.22. Показать, что если(t)– характеристическая функция, то итакже является характеристической функцией.

3.2.23. Убедиться, что функцияявляется характеристической функцией и найти соответствующий ей закон распределения.

3.2.24. Доказать, что при каждом натуральномnфункцияявляется характеристической.

3.2.25.Доказать, что функцияпри, продолженная на всю числовую прямую с периодом, является характеристической.

3.2.26.Являются ли характеристическими следующие функции:

а) ; б); в); г);

д) ; е); ж)?

3.2.27. Доказать, что функции

а)

б)

в)

г)

не являются характеристическими.

3.2.28. Дать теоретико-вероятностную интерпретацию равенства

3.2.29.Дать теоретико-вероятностную интерпретацию равенства

3.2.30.Пусть– независимые случайные величины, каждая из которых принимает значения -1 и1с вероятностями1/2. Найти характеристическую функцию случайной величины, где- постоянные. Показать, что призакон распределения случайной величиныстремится прик равномерному закону распределения на отрезке.

3.2.31. Пусть X1, X2, X3 – независимые случайные величины, имеющие стандартный нормальный закон распределения . Найти совместную характеристическую функцию случайных величин и .

3.2.32. Случайные величины имеют нормальное совместное распределение, причём, и , i, k=. Найти: а) ; б); в).

studfiles.net

Помощь студенту — практические примеры, задачи, теория: Теория вероятностей. Производящая функция

Производится 4 выстрела с вероятностями попадания в цель p₁ = 0,6; p₂ = 0,4; р₃ = 0,5 и
p₄ = 0,7.
  • составить закон распределения вероятностей дискретной случайной величины
    X ∈ [0; 4] — общего числа попаданий в цель;
  • построить многоугольник распределения;
  • найти математическое ожидание MX и дисперсию DX общего числа попаданий в цель.


Определим соответствующие вероятности непопаданий:

q₁ = 1 – p₁ = 0,4;   q₂ = 1 – p₂ = 0,6;   q₃ = 1 – p₃ = 0,5;   q₄ = 1 – p₄ = 0,3

Составим производящую функцию вероятностей (генератрису):

φ₄(z) = (q₁ + z·p₁)·(q₂ + z·p₂)·(q₃ + z·p₃)·(q₄ + z·p₄) =
= (0,4 + z·0,6)·(0,6 + z·0,4)·(0,5 + z·0,5)·(0,3 + z·0,7) =
= 0,036 + 0,198·z + 0,38· + 0,302· + 0,084·z⁴

Вероятность события X = k равна коэффициенту при zk в производящей функции.

Составим закон распределения дискретной случайной величины X:

xk01234
Pk0,0360,1980,380,3020,084

Проверка.

∑Pk = 0,036 + 0,198 + 0,38 + 0,302 + 0,084 = 0,12 + 0,5 + 0,38 = 0,5 + 0,5 = 1

Строим многоугольник распределения вероятностей:


Математическое ожидание MX дискретной случайной величины X найдём по формуле сложения математических ожиданий:

MX = p₁ + p₂ + р₃ + p₄ = 0,6 + 0,4 + 0,5 + 0,7 = 2,2

Дисперсию DX дискретной случайной величины X найдём по формуле сложения дисперсий независимых величин:

DX = p₁·q₁ + p₂·q₂ + р₃·q₃ + p₄·q₄ = 0,6·0,4 + 0,4·0,6 + 0,5·0,5 + 0,7·0,3 =
= 0,24 + 0,24 + 0,25 + 0,21 = 0,94


©   http://5ballov.pp.ua/

5ballov.pp.ua

32. Примеры использования производящих функций для вычисления моментов.

Производящая функция, моменты, мода, медиана и квантили случайной величины

Начальным моментом -го порядка случайной величины называется математическое ожидание -й степени случайной величины :. (3.33)

Центральным моментом -го порядка случайной величины называется математическое ожидание -й степени отклонения случайной величины от своего математического ожидания:. (3.34)

Справедливы следующие выражения для центральных моментов:

; (3.35)

; (3.36)

; (3.37)

; (3.38)

. (3.39)

Производящей функцией случайной величины называется функция от параметра (вообще говоря, комплексного), равная . (3.40)

Как и раньше, если известно, о какой случайной величине идёт речь, то индекс, обозначающий эту случайную величину, опускается: .

Начальные моменты случайной величины выражаются через производные её производящей функции[13]:

для всех : , (3.41)

где - -я производная функции .

Если (где ), то производящая функция переходит в характеристическую функцию, широко используемую в фундаментальной теории вероятностей и теории меры.

33. Определение и свойства условного математического ожидания.

Условное математическое ожидание в теории вероятностей - это среднее значение случайной величины относительно условного распределения.

X, Y – дискретные случайные величины.

X: x1,…,xn

Y: y1,…,yn

P(X=xi Y=yj)=Py

(1)

Определим такую же формулу для непрерывного распределения.

Свойства условного математического ожидания:

  1. E(x|y) при фиксированном Y обладает всеми свойствами обычного математического ожидания

  1. А1А2…. Аn

    Ω

A1={W,Y=Yi} Y(w)-постоянна

L(Y1)>L(Y2)

Если каждой

Ai(Y2)=UiBj(Yi)

Y2=f(Yi)

Y1>Y2

  1. А2 – элемент разбиения случайной величины У2 => А2=UBi

Bi - элементы порожденные случайной величиной Y1

WÎBiÌA2 – элементарные события

Основные свойства условного мат. ожидания.

  1. Если x=f(y) => E(x|y)=x

  2. E(E(x|y))=Ex

  3. Если X,Y – независимые, то E(x|y)=Ex

34. Условное мат ожидание и условное распределение одного подвектора норм случ вектора относит другого подвектора

Условное распределение:

условные мат ожидания:

34//Условная вероятность.

P(A/B)

Условной вероятностью наступления события A, при условии события B, называется вероятность наступления события A в результате испытаний, если известно, что в это испытании произошло событие B.

Вывод формулы условной вероятности для случая равновероятных элементарных событий

Действительно, в данном испытании произошло одно из t событий, входящих в B. Все элементарные события равновероятны, следовательно, для данного испытания вероятность наступления произвольного элементарного события, входящего в B равна 1/t. Тогда по классическому определению вероятности, в данном испытании событие A произойдет с вероятностью r/t.

В общем случае доказать эту формулировку невозможно, в теории вероятности она вводится как правило. Существует лишь толкование этой формулы.

Обоснование формулы условной вероятности в общем случае.

Пусть в nB испытаниях произошло событие B, а в nA испытаниях произошло событие A. Найдем условную частость наступления события A при условии, что произошло событие B. Мы можем сделать это для обоснования формулы, т.к. под вероятностью наступления события понимается предел частости наступления события при условии, что серия испытаний достаточно длинная.

Условная частость

Рассматривая AB как одно событие D имеем:  с другой стороны

Рассмотрим систему событий A1, A2,...,Ak. Покажем, что вероятность их совместного наступления равна:

Доказательство проведем по мат индукции.

Формула равна для 2 и 3 (см. ранее)

Пусть формула верна для k-1.

Введем событие B.

P(A1A2...Ak-1)=P(B)

P(A1A2...Ak)=P(AkB)=P(B)×P(AkB)

studfiles.net

3.3. Предельные теоремы теории вероятностей

Говорят, что последовательность функций распределения слабо сходится к функции распределения при(обозначается ), если в каждой точке непрерывности предельной функции распределения.

Доказательство слабой сходимости распределений часто основывается на теоремах непрерывности.

Теорема непрерывности для производящих функций

Пусть - последовательность законов распределений целочисленных случайных величинXn с производящими функциями pn(z). Для сходимости последовательности законов распределения к закону распределения прии каждом конечномk

необходимо и достаточно, чтобы последовательность производящих функций на полуинтервале сходилась прии любом0 s<1 к предельной функции :

.

При этом является производящей функцией на полуинтервале предельного закона распределения:

Теорема непрерывности для характеристических функций

Последовательность функций распределения слабо сходится к функции распределениятогда и только тогда, когда последовательность их характеристических функцийсходится прик непрерывной предельной функции. При этоместь характеристическая функция предельной функциии сходимость к равномерная на любом конечном интервале.

Пусть - последовательность независимых случайных величин. Теоремы, которые устанавливают нормальность предельного закона распределения суммы независимых случайных величинназываютсяцентральными предельными теоремами (ЦПТ).

Цпт для независимых, одинаково распределенных случайных величин.

Пусть - последовательность независимых, одинаково распределенных случайных величин, имеющих конечные математические ожидания и дисперсии .

Тогда при для любого

,

или, что эквивалентно, функция распределения центрированной и нормированной суммы слабо сходится к функции распределения стандартного нормального закона распределения .

Цпт для независимых, разнораспределенных случайных величин

Теорема Линдеберга

Пусть - последовательность независимых, разно-распределенных случайных величин, имеющих конечные математические ожиданияи дисперсии . Обозначим,и. Тогда, если выполняется условие Линдеберга:

для любого ,

то функция распределения центрированной и нормированной суммы слабо сходится к функции распределениястандартного нормального закона:.

Из условия Линдеберга следует, что

,

то есть в сумме относительный вклад каждого слагаемого дисперсии равномерно бесконечно мал. В частности, из условия Линдеберга вытекает условие асимптотической малости последовательности случайных величин:

.

Условие Линдеберга является достаточным (но не необходимым) условием справедливости ЦПТ для последовательности независимых случайных величин с конечными дисперсиями. Если же для такой последовательности выполняется условие асимптотической малости и при, то условие Линдеберга оказывается и необходимым для справедливости ЦПТ.

Из теоремы Линдеберга выводятся многие другие варианты ЦПТ, в частности, следующая теорема.

Теорема Ляпунова.

Пусть - последовательность независимых, разно-распределенных случайных величин, имеющих конечные математические ожидания, дисперсии и центральные абсолютные моменты порядка при некотором и любом. Обозначим,. Тогда, при выполнении условия

функция распределения центрированной и нормированной суммы слабо сходится к функции распределениястандартного нормального закона:.

Пример 1. Случайная величина распределена по закону Пуассона с параметром . Показать, что предельным законом распределения стандартизованной случайной величины приявляется нормальный закон.

Решение. Характеристическая функция пуассоновской случайной величины с параметром имеет вид: . Величина линейно выражается через : , поэтому по свойствам характеристических функций

Разложим экспоненту в показателе степени второй экспоненты в ряд Тейлора по степеням с точность до членов второго порядка малости:

.

Подставляя это разложение в выражение для , получим

,

что соответствует виду характеристической функции стандартного нормального закона распределения. Так как характеристическая функция однозначно определяет закон распределения, то отсюда следует утверждение, сформулированное в примере.

Замечание. Из примера 1 вытекает, что при достаточно больших значениях можно пуассоновское распределение приближенно аппроксимировать нормальным.

Пример 2. Случайная величина Хn имеет распределение χ2(n), то есть ее плотность вероятностей имеет вид:

Показать, что случайная величинаприраспределена по нормальному закону распределения.

Решение. По смыслу распределения χ2(n) (см. задачу 2.3.53) случайная величина , гдеZkнезависимые, нормально распределенные случайные величины, . Поскольку случайные величиныZk независимы, то и случайные величины независимы и одинаково распределены,. Кроме того, в соответствии с выражениями для моментов гауссовской случайной величины (см. задачу 2.1.75) для каждой из случайных величинимеем:

Таким образом, для последовательности случайных величин выполняются все условия ЦПТ. Поэтому случайная величина

имеет при нормальный закон распределения.

Замечание. Результат примера 2 позволяет при больших n (практически при n30) приближенно находить квантили распределения χ2(n) через квантили нормального распределения.

Задачи

3.3.1. Дисперсия каждой из 4500 независимых, одинаково распределенных случайных величин равна 5. Найти вероятность того, что среднее арифметическое этих случайных величин отклонится от своего математического ожидания не более чем на 0,04.

3.3.2. Случайная величина Х является средним арифметическим 3200 независимых и одинаково распределенных случайных величин с математическим ожиданием, равным 3, и дисперсией, равной 2. Найти вероятность того, что Х примет значение в промежутке (2,95; 3,075).

3.3.3. Случайная величина Х является средним арифметическим независимых и одинаково распределенных случайных величин, дисперсия каждой из которых равна 5. Сколько нужно взять таких величин, чтобы случайная величина Х с вероятностью, не меньшей 0,9973, имела отклонение от своего математического ожидания, не превосходящее 0,01?

3.3.4. Случайная величина Х является средним арифметическим 10000 независимых, одинаково распределенных случайных величин, среднее квадратическое отклонение каждой из которых равно 2. Какое максимальное отклонение  величины Х от ее математического ожидания можно ожидать с вероятностью, не меньшей 0,9544?

3.3.5. Игральная кость бросается 1000 раз. Найти пределы, симметричные относительно математического ожидания, в которых с вероятностью, большей 0,99, будет находиться число выпавших очков.

3.3.6. Складывается чисел, каждое из которых округлено с точностью до 10-m. Предполагается, что ошибки от округления независимы и равномерно распределены в интервале (). Найти пределы, симметричные относительно математического ожидания, в которых с вероятностью, не меньшей 0,99, будет находиться суммарная ошибка. Проанализировать ответ при

3.3.7. Стрелок попадает при выстреле по мишени в десятку с вероятностью 0,5; в девятку – с вероятностью 0,3; в восьмёрку – с вероятностью 0,1; в семерку – с вероятностью 0,05; в шестёрку – с вероятностью 0,05. Стрелок сделал 100 выстрелов. Какова вероятность того, что он набрал: а) более 915 очков; б) более 950 очков?

3.3.8. Дана последовательность независимых случайных величин . ВеличинаXn может принимать значения n с вероятностями , либо значение 0 с вероятностью(0<<1). Доказать, что к сумме применима теорема Ляпунова.

3.3.9. Дана последовательность независимых случайных величин такая, что

.

Доказать, что а) к этой последовательности применима теорема Ляпунова, если ;б) применим закон больших чисел, если ,и неприменим, если .

3.3.10. Случайная величина Хn имеет гамма-распределение Г(n,) с параметрами n>0 и >0, т.е. имеет плотность вероятностей вида:

и , .

Доказать, что закон распределения случайной величины схо-

дится при n и фиксированном к нормальному закону распределения .

3.3.11. Используя производящие функции, показать, что при биномиальный закон распределения сходится к пуассоновскому закону с параметром.

3.3.12. Используя характеристические функции, показать, что при

.

3.3.13. Пусть - последовательность независимых и одинаково распределённых случайных величин. Доказать, что соотношениепри некоторой постояннойС выполняется тогда и только тогда, когда характеристическая функция случайной величины Xk дифференцируема в точке t=0.

3.3.14. Дана последовательность независимых случайных величин {Xk}, k1, распределенных по нормальному закону с параметрами . Найти предельный закон распределения суммыпри, если ряда) сходится; б) расходится.

3.3.15. Установить, выполняются ли закон больших чисел и центральная предельная теорема для последовательности независимых случайных величин {Xk}, k1 со следующими законами распределения:

а) ;

б) ; ;

в) ; .

3.3.16. Доказать утверждение: если последовательность функций распределения сходится на всей числовой прямой к непрерывной функции распределения, то эта сходимость равномерная.

3.3.17. Пусть V – область m-мерного пространства, имеющая единичный объём, а - ограниченная функция, определённая всюду в областиV. Метод Монте-Карло вычисления интеграла

состоит в следующем: в область V бросают наудачу независимо одна от другой n точек равномерно распределенных в областиV, и за приближённое значение интеграла принимают сумму

.

Чему равно ? Оценить. Найти приn предельный закон распределения для величины

3.3.18. Вычисление интеграла произведено методом Монте-Карло на основании 1000 независимых опытов. Вычислить вероятность того, что абсолютная погрешность в определении величины I не превзойдёт 0,01.

3.3.19. Сколько опытов надо произвести при вычислении методом Монте-Карло интеграла

для того, чтобы с вероятностью р 0,99 можно было считать абсолютную погрешность вычисленного значения интеграла не превосходящей 0,1% от I?

3.3.20. На улице стоит человек и продаёт газеты. Предположим, что каждый из проходящих мимо людей с вероятностью 1/3 покупает газету. Пусть Х означает число людей, прошедших мимо продавца за время, пока он продавал первые 100 экземпляров газеты. Найти приближенный закон распределения Х.

3.3.21. Независимые случайные величины Х1, Х2,…Xn,… имеют одинаковые распределения с и. Показать, что величины

и

имеют при n нормальный закон распределения N(0, 1).

3.3.22. Пусть Х1, Х2,…Xn,… - независимые, нормально распределённые случайные величины. Положим

и .

Найти предельные при n законы распределения случайных величин и.

171

studfiles.net

Тема 10. Предельные теоремы теории вероятностей

Рассмотрим несколько утверждений и теорем из большой группы, так называемых предельных теорем теории вероятностей, устанавливающих связь между теоретическими и экспериментальными характеристиками случайных величин при достаточно большом числе испытаний над ними. Они составляют основу математической статистики. Предельные теоремы условно делят на две группы.

Первая группа теорем, называемая законом больших чисел (ЗБЧ), устанавливает устойчивость средних значений: при большом числе испытаний их средний результат перестаёт быть случайным и может быть предсказан с достаточной точностью. Одна из таких теорем (ЗБЧ в форме Я.Бернулли, Т.6 п.7) нами уже была рассмотрена в качестве применения интегральной формулы Муавра-Лапласса. Этот закон теоретически обосновывает свойство устойчивости относительной частоты появления некоторого события раз прииспытаниях по схеме Бернулли.

Вторая группа теорем, называемая центральной предельной теоремой (ЦПТ) устанавливает при некоторых сравнительно широких условиях, суммарное поведение достаточно большого числа с.в. почти утрачивает случайный характер и становится закономерным, т.е. устанавливается условий, при которых закон распределения суммы большого числа случайных величин неограниченно приближается к нормальному закону.

Для практики важно знание условий, при выполнении которых совокупное действие многих случайных причин приводят к результату, почти не зависящему от случая, и позволяет предвидет ход событий. Эти условия и указываются в теоремах, носящих общее название закона больших чисел. К ним относятся теоремы Бернулли и Чебышева, Маркова и др.

В начале рассмотрим неравенство Чебышева, которое можно применять:

а) для грубой оценки вероятностей событий, связанных с случайными величинами, распределение которых неизвестно;

б) для доказательства ряда теорем ЗБЧ.

1. Неравенство Чебышева и Маркова

Неравенство Чебышева справедливо для дискретных и непрерывных случайных величин.

  1. Пусть - дискретная случайная величина с заданной таблицей распределения

Контроль-

Поставим перед собой задачу: «оценить вероятность того, что отклонение д.с.в. от её м.о. по абсолютной величине не перевешает положительного числа». Имеет место утверждение

Теорема 10.1. (неравенство Чебышева д. с. в.). Если дискретная случайная величина имеет м.о.и дисперсиюто для любогосправедливо неравенство

(1)

Доказательство. Поскольку событияипротивоположные, то сумма их вероятностей равна единице, т.е.

(2) .

Отсюда интересующая нас вероятность

(3) ,

Следовательно, задача сводится к вычислению вероятности

Далее, напишем выражение дисперсии для с.в. : по определению для д.с.в.

В левой части этого выражения отбросим все слагаемые. у которых (для оставшихся слагаемых), в результате чего сумма только уменьшиться. Без ограничения общности этими слагаемыми можно выбрать первыеслагаемых в сумме.

Таким образом, , т.е.

(4)

Заметим, что обе части неравенства положительны, поэтому, возведя их в квадрат, получим равносильные неравенствадля всех

Воспользуемся этим замечанием в правой части нашей суммы, получим

(5) ).

По теореме сложения, сумма вероятностей - есть вероятность того, что с.в.примет одно (безразлично какое) из значенийа при любом из них отклонение удовлетворяет неравенствуОтсюда следует, что суммавыражает вероятность. Это соображение позволяет переписать неравенство (5) в виде:

или

.

Следовательно, согласно равенствам (2) и (3) получим доказательство неравенство (1).

Замечание. Неравенство Чебышева (1) можно переписать в другом виде:

(6)

Отметим, что для практики неравенство Чебышева имеет ограниченное значение, поскольку часто даёт грубую, а иногда и тривиальную (не представляющую интереса) оценку. Например, если тоэтим самым Неравенство Чебышева в этих случаях лишь потверждает того, что любая вероятность выражается неотрицательным числом.

Неравенство Чебышева в частности, для случайной величины имеющей биномиальное распределение с м.о.и дисперсией(см.Т.9., теорема 1), принимает вид

(7)

В том числе, для отклонения частотысобытия внезависимых испытаниях, в каждом из которых оно может произойти с вероятностьюи дисперсией, неравенство Чебышева имеет вид:

(8)

Пример 1. Оценить с помощью неравенство (1) вероятность того, что отклонение д.с.в.

от своего математического ожидания будет меньше .

Решение. Положим в формуле (1)получим оценку снизу

Оценка сверху, как известно ( п.9. формула (45)), называется «правилом трёх сигм» для с.в.и эта вероятность была равнаКак легко заметить, неравенство Чебышева даёт результат несколько слабее. В общем случае получаем неравенство

(9) .

Пример 2. Устройство состоит из 10 независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента за времяравна 0,05. С помощью неравенство Чебышева оценить вероятности того, что абсолютная величина разности между числом отказавших элементов и средним числом (м.о.) отказов за времяоткажется: а) меньше двух; б) не меньше двух.

Решение. а) Пустьобозначает дискретную случайную величину, выражающую число отказавших элементов за время. Тогда по закону Бернулли (

По неравенству Чебышева имеем

б) События и противоположны, поэтому сумма их вероятностей равна единице. Следовательно,

2. Пусть н.с.в.задана со своей функцией распределения вероятности. Тогда справедливо утверждение

Теорема 10.2. (неравенство Чебышева для н. с. в.). Если непрерывная случайная величина с плотностьюимеет м.о.и дисперсиюто для любогосправедливо неравенство

(10)

Доказательство. Вероятностьесть вероятность попадания н.с.в.в область, лежащую вне промежутка Поэтому имеем

Заметим, что область интегрирования можно записать в виде, откуда следует, что. Следовательно,

=.

Так как подынтегральная функция неотрицательна, то расширяя пределы интегрирования получим неравенство

.

Таким образом, из двух последних формул получим

.

Утверждение доказано.

Это же неравенство можно записать (в силу равенства +=1) также и в другой форме:

(11)

Теперь объединяя обе теоремы, сформулируем неравенство Чебышева в общем виде.

Теорема 10.3. Если случайная величина имеет м.о.и дисперсию,то для любогосправедливы неравенства

  1. 1. 2..

Замечание. Неравенство Чебышева имеет для практики ограниченное значение, поскольку часто даёт грубую оценку, а иногда тривиальную (не представляющего интереса) оценку. Например, еслии, следовательно,то. Таким образом, в этом случае неравенство Чебышева указывает лишь на то, что вероятность отклонения есть неотрицательное число, а это и без того очевидно, так как любая вероятность выражается неотрицательным числом.

Рассмотрим ещё одно неравенство для неотрицательно определённых случайных величин.

Теорема 10.4. (Неравенство Маркова). Если неотрицательная случайная величина имеет м.о., то для любогосправедливо неравенство

  1. 1. 2..

Доказательство. Проверим справедливости неравенств (12) для н.с.вс функцией плотностью. Имеем

Так как

то получим и второе неравенство.

studfiles.net

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *